【文档说明】安徽省马鞍山市红星中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，898.696 KB，由小赞的店铺上传

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红星中学2022-2023学年度高一第二学期期中考试数学试卷（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.复数12iz=−+，则z=（）A.12i−

B.12i+C.12i−+D.12i−−【答案】D【解析】【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案.【详解】因为复数12iz=−+，则12iz=−−，故选：D2.已知向量(2,1)(2,4)ab==−，，则ab−rr（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】先

求得ab−，然后求得ab−rr.【详解】因为()()()2,12,44,3ab−=−−=−，所以()22435−=+−=ab.故选：D3.已知边长为3的正方形ABCD，点E满足2DEEC=，则AEAC等

于（）A.6B.9C.12D.15【答案】D【解析】【分析】数形结合知3ABAD==uuuruuur，ABDC=，0ABAD=uuuruuur，2233DEDCAB==uuuruuuruuur，利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.【详解】方法一：因

为四边形ABCD为边长为3的正方形，所以3ABAD==uuuruuur，ABDC=，0ABAD=uuuruuur，因为2DEEC=，所以2233DEDCAB==uuuruuuruuur，则()()()()23AEACADD

EABADABADABAD=++=++2232215ABABADAD=++=；方法二：以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为2DEEC=，所以点E为线段DC上靠近点C的三等分点，则(0,0),(0,3),(3,0),(2,0)DACE，因为(2,3),(3,3)AEAC=−=−，所以6

915AEAC=+=.故选：D【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积，属于基础题.4.在△ABC中，cosC=23，AC=4，BC=3，则cosB=（）A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB，再根据222cos2

ABBCACBABBC+−=，即可求得答案.【详解】在ABC中，2cos3C=，4AC=，3BC=根据余弦定理：2222cosABACBCACBCC=+−2224322433AB=+−可得29AB=，即3AB=由2229

9161cos22339ABBCACBABBC+−+−===故1cos9B=.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.5.一海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东35的方向直线航行，3

0分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东65，在B处观察灯塔，其方向是北偏东70，那么B，C两点间的距离是（）A.103海里B.203海里C.102海里D.202海里【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图，确定BAC、ABC的值，进而可得

到ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值．【详解】解：如图，由已知可得，30BAC=，3570105ABC=+=，140202AB==，从而1801803010545ACBBACABC=−−=−−=．在ABC中

，由正弦定理sinsinBCABBACACB=，可得201sin30102sin45222ABBC===海里．故选：C．6.已知向量()1,2a=r，()1,1b=r，若a与aλb+的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A

.5,3−+B.5,3−−C.5,3−D.()5,00,3−+【答案】D【解析】【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组，求出的取值范围.【详解】()(

)()1,2,1,2ab+=+=++，由题意得：()()1220+++且212++，解得：53−且0，故选：D7.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csin

C，cosA=－14，则bc=A.6B.5C.4D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a，b，c关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果.【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224

abc−=，由余弦定理推论可得22222141313cos,,,464224242bcacccbAbcbcbc+−−−===−===，故选A．【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．8.在矩形ABCD中，1AB=，2AD=，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若(),RAPABAD

=+，则+的最大值为（）A.3B.5C.52D.2【答案】C【解析】【分析】构建直角坐标系，令(cos,sin)AP=，[0,2)，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得cos2sin==，

结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详解】构建如下直角坐标系：(0,1),(2,0)ABAD==，令(cos,sin)AP=，[0,2)，由(),RAPABAD=+可得：cos2sin==，则cos5sins

in()22+=+=+且1tan2=，所以当sin()1+=时，+的最大值为52.故选：C二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分

，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知向量()()()2,13,21,1abc=−=−=，，，则（）A.//abB.()abc+⊥C.abc+=D.53cab=+【答案】BD【解析】【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一

一判断即可．【详解】因为()()221310−−−=，所以,ab不平行，则A错；由()()()1,11,1110abc+=−=−+=rrr，所以()abc+⊥，则B正确；由()1,1ab=−+，()1,1c=，故C错；由()()53109,561,1abc+=−−+==，

故D正确.故选：BD10.若复数z满足()12i8iz−=−，则（）A.z的实部为2B.z的模为13C.z的虚部为2D.z在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【解析】【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C，求出复数的模，可判断选项B，根据复数的几何

意义可判断选项D.【详解】因为()()()()8i12i8i1015i23i12i12i12i5z−+−+====+−−+，所以z的实部为2，z的虚部为3，所以23||2313z=+=，z在复平面内表示的点位于第一象限故A、B正确，C，D错误．故选：AB11.在ABC中，ABc=，B

Ca=，CAb=，下列命题为真命题的有（）A.若ab，则sinsinABB.若0ab，则ABC为锐角三角形C.若0ab=，则ABC为直角三角形D.若()()0bcabac+−+−=rrrrrr，则ABC为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理判

断选项A，利用数量积的性质判断选项B和C，利用数量积的性质和余弦定理判断选项D．【详解】解：A：若ab，由正弦定理得2sin2sinRARB，sinsinAB，则A正确；B：若0ab，则cos()0ACB−，cos0ACB，即ACB为钝角，ABC为钝角三角形，故B错误

；C：若0ab=，则ACBC⊥，ABC为直角三角形，故C正确；D：若()()0bcabac+−+−=rrrrrr，则22()0bac−−=rrr，2222acbac+−=rrrrr，222cos

2acbBac+−=−rrrrr，由余弦定理知222cos2acbBac+−=rrrrr，coscosBB=−，则cos0B=，(0,)B，2B=，ABC为直角三角形，故D正确．故选：ACD．12.在锐角ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，外接圆半径为R，若3a=，3

A=，则（）A.1R=B.32bC.bc的最大值为3D.223bcbc++的取值范围为(11,15【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理求外接圆半径；由题设知1sin(,1)2B，结合2sinbRB=即可求范围；由余弦定理及基本不等式求bc

的最大值，注意取最大的条件；由C分析有222234()9bcbcbc++=+−，结合正弦定理边角关系及,BC的范围，应用二倍角正余弦等恒等变换，根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设，外接圆直径为22sinaRA==，故1R

=，A正确；锐角ABC中3090B，则1sin(,1)2B，故2sin(1,2)bRB=，B错误；22222313cos12222bcabcAbcbcbc+−+−===−，则3bc，当且仅当3bc

==时等号成立，C正确；由C分析知：222234()9bcbcbc++=+−，而2sin,2sinbBcC==，又2(,)362BC=−且(,)62C，则22224(sinsin)42(cos2cos2)bcBCBC+=

+=−+=42cos[()()]2cos[()()]BCBCBCBC−++−−+−−44cos()cos()BCBC=−+−242cos(2)3C=+−，而22(,)333C−−，所以21cos(2)(,1]32C

−，则242cos(2)(5,6]3C+−，所以223(11,15]bcbc++，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项222234()9bcbcbc++=+−，应用边角关系及角的范围，结合三角恒等变换将22bc+转化为三角函数性

质求范围.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡的相应位置．）13.已知向量()()1,3,3,4ab==，若()abb−⊥，则=__________．【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．【详解】因()()

()1,33,413,34ab−=−=−−，所以由()abb−⊥可得，()()3134340−+−=，解得35=．为故答案为：35．【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设()()

1122,,,axybxy==，121200ababxxyy⊥=+=，注意与平面向量平行坐标表示区分．14.ABC的内角A,B,C的对边α,b,c,已知30B=,3b=,3c=,则A=________.【

答案】90或30【解析】【分析】由正弦定理求A，注意有两解．【详解】由正弦定理sinsinbcBC=得sin3sin303sin23cBCb===，因为cb，所以CB，所以60C=或120°．A=90°或30°．故答案为：90°或30°．【点睛】本题考查正

弦定理，掌握正弦定理解题关键．但要注意用正弦定理解三角形可能会有两解．15.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动，如图是要测山高MN．现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点，从A测得点M的仰角45MAN=，点C的仰角30CAB=

，测得75MAC=，60MCA=，已知另一座山高400BC=米，则山高MN=________米．【答案】4003【解析】【分析】在直角ABC得AC，在AMC中，由正弦定理求得AM，再在直角AMN中，求得MN．【详解】显然M

N与CB平行且与,,ANABBN都垂直，30CAB=，则2800ACBC==，AMC中，180756045AMC=−−=，的是由正弦定理sinsinAMACACMAMC=得800sin60sin45AM=，4006AM=，又直角AMN中，45M

AN=，所以224006400322MNAM===．故答案为：4003．16.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3cos5A=，若ABC的面积为2，则当ABC的周长取到最小值时，ba=______．【答案】52【解析】【分析】根据给定条件，结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的

函数表达式，再借助函数性质、均值不等式计算作答.【详解】由题意得4sin5A=，因为1sin22ABCSbcA==，则5bc=，由余弦定理2223cos25bcaAbc+−==，得22()16bca+=+，即216bca+=+，则216abcaa++=++，而函数2()16fxxx=++

在()0,+上单调递增，即当a最小时，ABC周长最小，显然2216()420abcbc+=+=，当且仅当5bc==时取“=”，此时min2a=，所以当ABC的周长取到最小值时，52ba=．故答案：52四、解答题（本大题共6小题，17题10分

，18-22题每小题12分，共70分．解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．）17.设A，B，C，D为平面内的四点，且(1,3),(2,2),(4,1)ABC−.（1）若ABCD

=，求D点的坐标；（2）设向量,==aABbBC，若向量kab−与3ab+平行，求实数k的值.【答案】（1）4(5,)D−；（2）13−.的为【解析】【分析】（1）求出向量坐标，再利用相等向量列出方程组，求解作答.（2）求出,ab的坐标，再利用向量线性运算的

坐标表示，及共线向量的坐标表示求解作答.【小问1详解】设(,)Dxy，因为ABCD=，于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)xy−−=−，整理得(1,5)(4,1)xy−=−−，即有4115xy−=−=−，解得54xy==−，所以4(5,)

D−.【小问2详解】因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)aABbBC==−==−−=ruuurruuur，所以(1,5)(2,3)(2,53)kabkkk−=−−=−−−rr，3(1,5)3(2,3)(7,4)ab+=−+=rr，因为向量

kab−与3ab+平行，因此7(53)4(2)0kk−−−−=，解得13k=−，所以实数k的值为13−.18.已知：复数()22i1i1iz=+++，其中i为虚数单位．（1）求z及z；（2）若223izazb++=+，求实数,ab的值．【答案】（1）13i

z=+，10z=（2）1a=，9b=【解析】【小问1详解】()()()()222i1i2i1i2i2iii13i1i1i1iz−=++=+=+−=+++−，则221310z=+=.【小问2详解】由（1）得：()()()()213i13i86i3i863i23iabaa

baba++−+=−++−+=+−+−=+，82633aba+−=−=，解得：19ab==.19.在ABC中，sin23sinCC=．（1）求C；（2）若6b=，且ABC的面积为63，求ABC的周长．【答案】（1）6（2）663+【解析】【分析】（1）利用

二倍角的正弦公式化简可得cosC的值，结合角C的取值范围可求得角C的值；（2）利用三角形的面积公式可求得a的值，由余弦定理可求得c的值，即可求得ABC的周长.【小问1详解】解：因为()0,C，则sin0C，由已知可得3sin2sincosCCC=，可得3co

s2C=，因此，6C=.【小问2详解】解：由三角形的面积公式可得13sin6322ABCSabCa===，解得43a=.由余弦定理可得22232cos48362436122cababC=+−=+−=，23c=，所以，ABC的周长为636abc++=+.

20.如图，已知ABC中，D为BC的中点，12AEEC=，ADBE，交于点F，设ACa=，ADb=．（1）用,ab分别表示向量AB，EB；（2）若AFtAD=，求实数t的值．【答案】（1）2ABba=−，423EBab−+=；（

2）12t=．【解析】【分析】（1）根据向量线性运算，结合线段关系，即可用,ab分别表示向量AB，EB；（2）用,ab分别表示向量FB，EB，由平面向量共线基本定理，即可求得t的值.【详解】（1）由题意，D为BC的中点，12AEEC=，可得13AEAC=，ACa=，ADb=．

∵2ABACAD+=，∴2ABba=−，∴–EBABAE=123baa=−−423ab=−+（2）∵ADAtbFt==，∴–FBABAF=()2atb=−+−∵423EBab−+=，FB，EB共线，由平面向量共线基本定理可知

满足12423t−−=−，解得12t=．【点睛】本题考查了平面向量的线性运算，平面向量共线基本定理的应用，属于基础题.21.在ABC中，3A=，2b=，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求（1）B的大小；（2）ABC的面积．条件①：2222bacac+=

+；条件②：cossinaBbA=．【答案】选择见解析；（1）4B=；（2）334+．【解析】【分析】选择条件①时：（1）利用余弦定理求出cosB和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算

ABC的面积．选择条件②时：（1）由正弦定理求出tanB和B的值；（2）由正弦定理求出a的值，再利用三角形内角和定理求出sinC，计算ABC的面积．【详解】选择条件①：2222bacac+=+，（1）由2222bacac+=+，得2222acbac+−=，所以22

222cos222acbacBacac+−===；又(0,)B，所以4B=；（2）由正弦定理知sinsinabAB=，所以sin3sinbAaB==；所以()321262sinsinsincoscossin22224CABABAB+=+=+=

+=，所以ABC的面积为116233sin322244ABCSabC++===△．选择条件②：cossinaBbA=．（1）由正弦定理得sinsinabAB=，所以sinsinaBbA=；又cossinaBbA=，所

以sincosBB=，所以tan1B=；又(0,)B，所以4B=；（2）由正弦定理知sinsinabAB=，所以sin3sinbAaB==；所以()321262sinsinsincoscossin22224CABABAB+=+=+=+=，所以ABC的面积

为116233sin322244ABCSabC++===△．【点睛】方法点睛：(1)在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角

的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到；(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．22.在锐角△ABC中，23a=，(2)coscosbcAaC−=，（1）求角A

；（2）求△ABC的周长l的范围.【答案】（1）3.（2）(623,63]+【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式，可得1cos2A=，可得3A=；（2）利用正弦定理将l表示为B的函数，根据锐角三角形得B的范围，再根据正弦函数的图象可

得结果.【详解】（1）∵(2)coscosbcAaC−=，2coscoscosbAaCcA=+，所以2sincossincossincosBAACCA=+，所以2sincossin()BAAC=+，所以

2sincossinBAB=，因为sin0B，所以1cos2A=，0,2A，所以3A=.（2）234sin32aA==，所以4sinsinbcBC==,所以4sinbB=，24sin4sin()3cCB==−，所以2234sin4sin()3labcB

B=++=++−236sin23cosBB=++2343sin()6B=++因为△ABC是锐角三角形，且3A=，所以022032BB−，解得62B，所以2(,)633B+，所以3sin(

)(,1]62B+，所以(623,63]l+.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com