安徽省马鞍山市红星中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析

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【文档说明】安徽省马鞍山市红星中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx,共(18)页,898.696 KB,由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

红星中学2022-2023学年度高一第二学期期中考试数学试卷(时间:120分钟满分:150分)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填涂在答题卡指定位置上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净

后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,用0.5mm黑色签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.一、单选题(本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.复数12iz=−+,则z=()A.12i−B.12i+C.

12i−+D.12i−−【答案】D【解析】【分析】根据共轭复数的概念即可确定答案.【详解】因为复数12iz=−+,则12iz=−−,故选:D2.已知向量(2,1)(2,4)ab==−,,则ab−rr()

A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】先求得ab−,然后求得ab−rr.【详解】因为()()()2,12,44,3ab−=−−=−,所以()22435−=+−=ab.故选:D3.已知边长为3的正方形ABCD,点E满足2DEEC=,则AEAC等于()A.6B.9C

.12D.15【答案】D【解析】【分析】数形结合知3ABAD==uuuruuur,ABDC=,0ABAD=uuuruuur,2233DEDCAB==uuuruuuruuur,利用向量的加法法则及向量的数量积运算即可得解.

【详解】方法一:因为四边形ABCD为边长为3的正方形,所以3ABAD==uuuruuur,ABDC=,0ABAD=uuuruuur,因为2DEEC=,所以2233DEDCAB==uuuruuuruuur,则()()()()23AEACADDEABADABAD

ABAD=++=++2232215ABABADAD=++=;方法二:以D为坐标原点建立如图所示直角坐标系,因为2DEEC=,所以点E为线段DC上靠近点C的三等分点,则(0,0),(0,3),(3,0),(2,0)DACE,因为(2,3),(3,3)AEAC=−=−,所以6915A

EAC=+=.故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算及数量积,属于基础题.4.在△ABC中,cosC=23,AC=4,BC=3,则cosB=()A.19B.13C.12D.23【答案】A【解析】【分析】根据已知条件结合余弦定理求得AB,再根据222cos2ABBCACBABBC

+−=,即可求得答案.【详解】在ABC中,2cos3C=,4AC=,3BC=根据余弦定理:2222cosABACBCACBCC=+−2224322433AB=+−可得29AB=,即3AB=由22299161cos22

339ABBCACBABBC+−+−===故1cos9B=.故选:A.【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.5.一海轮从A处出发,以每小时40海里的速度沿南偏东35的方向直线航行,30分钟后到达B处,在C处有一座灯塔,

海轮在A处观察灯塔,其方向是南偏东65,在B处观察灯塔,其方向是北偏东70,那么B,C两点间的距离是()A.103海里B.203海里C.102海里D.202海里【答案】C【解析】【分析】根据题意画出草图,确定BAC、ABC的值,进而可得到ACB的值,根据正弦定理可得到

BC的值.【详解】解:如图,由已知可得,30BAC=,3570105ABC=+=,140202AB==,从而1801803010545ACBBACABC=−−=−−=.在ABC中,由正弦定理sinsinBCABBACAC

B=,可得201sin30102sin45222ABBC===海里.故选:C.6.已知向量()1,2a=r,()1,1b=r,若a与aλb+的夹角为锐角,则实数的取值范围是()A.5,3−+B.5,3−−C.5,3−

D.()5,00,3−+【答案】D【解析】【分析】根据向量夹角为锐角列出不等式组,求出的取值范围.【详解】()()()1,2,1,2ab+=+=++,由题意得:(

)()1220+++且212++,解得:53−且0,故选:D7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-14,则bc=A.6B

.5C.4D.3【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理推论得出a,b,c关系,在结合正弦定理边角互换列出方程,解出结果.【详解】详解:由已知及正弦定理可得2224abc−=,由余弦定理推论可得22222141313c

os,,,464224242bcacccbAbcbcbc+−−−===−===,故选A.【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用.8.在矩形ABCD中,1AB=,2AD=,动点P在以点A为圆心的单位圆上.若(),RAPABAD=+,则+的最大值为()A

.3B.5C.52D.2【答案】C【解析】【分析】构建直角坐标系,令(cos,sin)AP=,[0,2),根据向量线性关系的坐标表示列方程组得cos2sin==,结合辅助角公式、正弦函数性质求最值.【详

解】构建如下直角坐标系:(0,1),(2,0)ABAD==,令(cos,sin)AP=,[0,2),由(),RAPABAD=+可得:cos2sin==,则cos5si

nsin()22+=+=+且1tan2=,所以当sin()1+=时,+的最大值为52.故选:C二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题

目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.已知向量()()()2,13,21,1abc=−=−=,,,则()A.//abB.()abc+⊥C.abc+=D.53cab=+【答案】BD【解析】【分析】根据向量的平行与垂直坐标公式及加减运算对选项一一判

断即可.【详解】因为()()221310−−−=,所以,ab不平行,则A错;由()()()1,11,1110abc+=−=−+=rrr,所以()abc+⊥,则B正确;由()1,1ab=−+,()1,1c=,故C错;由()()53109,561,1abc+=−−+==,故D正确.故选:BD

10.若复数z满足()12i8iz−=−,则()A.z的实部为2B.z的模为13C.z的虚部为2D.z在复平面内表示的点位于第四象限【答案】AB【解析】【分析】化简复数后根据实部、虚部的概念可判断选项A、C,求出复数的模,可判断选项B,根据复数的几何意义

可判断选项D.【详解】因为()()()()8i12i8i1015i23i12i12i12i5z−+−+====+−−+,所以z的实部为2,z的虚部为3,所以23||2313z=+=,z在复平面内表示的点位于第一象限故A、B正确,C,D错误.故选:AB11.在ABC

中,ABc=,BCa=,CAb=,下列命题为真命题的有()A.若ab,则sinsinABB.若0ab,则ABC为锐角三角形C.若0ab=,则ABC为直角三角形D.若()()0bcabac+−+−=rrrrrr,则ABC为直角三角形【答案】

ACD【解析】【分析】利用正弦定理判断选项A,利用数量积的性质判断选项B和C,利用数量积的性质和余弦定理判断选项D.【详解】解:A:若ab,由正弦定理得2sin2sinRARB,sinsinAB,则A正确;B:若0ab,则cos()0ACB−,cos0AC

B,即ACB为钝角,ABC为钝角三角形,故B错误;C:若0ab=,则ACBC⊥,ABC为直角三角形,故C正确;D:若()()0bcabac+−+−=rrrrrr,则22()0bac−−=rrr,2222acbac+−=rrrrr,222cos2acbBac+−=−rr

rrr,由余弦定理知222cos2acbBac+−=rrrrr,coscosBB=−,则cos0B=,(0,)B,2B=,ABC为直角三角形,故D正确.故选:ACD.12.在锐角ABC中,角A,B,C所对边分别为a,

b,c,外接圆半径为R,若3a=,3A=,则()A.1R=B.32bC.bc的最大值为3D.223bcbc++的取值范围为(11,15【答案】ACD【解析】【分析】由正弦定理求外接圆半径;由题设知1sin(,1)2B,结合2sinbRB=即可求范围;由余弦定理

及基本不等式求bc的最大值,注意取最大的条件;由C分析有222234()9bcbcbc++=+−,结合正弦定理边角关系及,BC的范围,应用二倍角正余弦等恒等变换,根据三角函数的值域求范围.【详解】由题设,外接圆直径为22sinaRA==

,故1R=,A正确;锐角ABC中3090B,则1sin(,1)2B,故2sin(1,2)bRB=,B错误;22222313cos12222bcabcAbcbcbc+−+−===−,则3bc,当且仅当3bc==时等号成立,C正确;由C

分析知:222234()9bcbcbc++=+−,而2sin,2sinbBcC==,又2(,)362BC=−且(,)62C,则22224(sinsin)42(cos2cos2)bcBCBC+=+=−+=42cos[()()]

2cos[()()]BCBCBCBC−++−−+−−44cos()cos()BCBC=−+−242cos(2)3C=+−,而22(,)333C−−,所以21cos(2)(,1]32C−,则242cos(2)(5,6]3C+−,

所以223(11,15]bcbc++,D正确.故选:ACD【点睛】关键点点睛:D选项222234()9bcbcbc++=+−,应用边角关系及角的范围,结合三角恒等变换将22bc+转化为三角函数性质求范围.三、填空题(本大题共

4小题,每小题5分,共20分.请把答案填在答题卡的相应位置.)13.已知向量()()1,3,3,4ab==,若()abb−⊥,则=__________.【答案】35【解析】【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程,即可解出.【详

解】因()()()1,33,413,34ab−=−=−−,所以由()abb−⊥可得,()()3134340−+−=,解得35=.为故答案为:35.【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标

表示,设()()1122,,,axybxy==,121200ababxxyy⊥=+=,注意与平面向量平行坐标表示区分.14.ABC的内角A,B,C的对边α,b,c,已知30B=,3b=,3c=,则A=____

____.【答案】90或30【解析】【分析】由正弦定理求A,注意有两解.【详解】由正弦定理sinsinbcBC=得sin3sin303sin23cBCb===,因为cb,所以CB,所以60C=或120°.A=90°或30°.故答案为:90°

或30°.【点睛】本题考查正弦定理,掌握正弦定理解题关键.但要注意用正弦定理解三角形可能会有两解.15.某教师组织本班学生开展课外实地测量活动,如图是要测山高MN.现选择点A和另一座山顶点C作为测量观测点,从A测得点M的仰角45MAN=,点C的仰角30CA

B=,测得75MAC=,60MCA=,已知另一座山高400BC=米,则山高MN=________米.【答案】4003【解析】【分析】在直角ABC得AC,在AMC中,由正弦定理求得AM,再在直角AMN中,求得MN.【详解】显然MN与CB平行且与,,ANABBN都垂直

,30CAB=,则2800ACBC==,AMC中,180756045AMC=−−=,的是由正弦定理sinsinAMACACMAMC=得800sin60sin45AM=,4006A

M=,又直角AMN中,45MAN=,所以224006400322MNAM===.故答案为:4003.16.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,3cos5A=,若ABC的面积为2,则当ABC的周长取到最小值时,ba=__

____.【答案】52【解析】【分析】根据给定条件,结合三角形面积定理、余弦定理求出周长的函数表达式,再借助函数性质、均值不等式计算作答.【详解】由题意得4sin5A=,因为1sin22ABCSbcA==,则5bc=,由余弦定理2223cos25bcaAbc

+−==,得22()16bca+=+,即216bca+=+,则216abcaa++=++,而函数2()16fxxx=++在()0,+上单调递增,即当a最小时,ABC周长最小,显然2216()420abcbc+=+=,当且仅当5bc==时取“=”,此时min2a=,

所以当ABC的周长取到最小值时,52ba=.故答案:52四、解答题(本大题共6小题,17题10分,18-22题每小题12分,共70分.解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程.解答写在答题卡上的指定区域内.)17.设A,B,C,D为平面内的四点,且(1,3),(2,2),(4,1)

ABC−.(1)若ABCD=,求D点的坐标;(2)设向量,==aABbBC,若向量kab−与3ab+平行,求实数k的值.【答案】(1)4(5,)D−;(2)13−.的为【解析】【分析】(1)求出向量坐标,再利用相等向

量列出方程组,求解作答.(2)求出,ab的坐标,再利用向量线性运算的坐标表示,及共线向量的坐标表示求解作答.【小问1详解】设(,)Dxy,因为ABCD=,于是(2,2)(1,3)(,)(4,1)xy−−=−,整理得(1,5)(4,1)xy−=−−,即有4115xy−=

−=−,解得54xy==−,所以4(5,)D−.【小问2详解】因为(1,5),(4,1)(2,2)(2,3)aABbBC==−==−−=ruuurruuur,所以(1,5)(2,3)(2,53)kabkkk−=−−

=−−−rr,3(1,5)3(2,3)(7,4)ab+=−+=rr,因为向量kab−与3ab+平行,因此7(53)4(2)0kk−−−−=,解得13k=−,所以实数k的值为13−.18.已知:复数()22i1i1iz=+++,其中i为

虚数单位.(1)求z及z;(2)若223izazb++=+,求实数,ab的值.【答案】(1)13iz=+,10z=(2)1a=,9b=【解析】【小问1详解】()()()()222i1i2i1i2i2iii13i1i1i1iz−=++=+

=+−=+++−,则221310z=+=.【小问2详解】由(1)得:()()()()213i13i86i3i863i23iabaababa++−+=−++−+=+−+−=+,82633aba+−=−=,解得:19ab==.19.在ABC中,sin23sinCC=.(1)求C;(

2)若6b=,且ABC的面积为63,求ABC的周长.【答案】(1)6(2)663+【解析】【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化简可得cosC的值,结合角C的取值范围可求得角C的值;(2)利用三角形的面

积公式可求得a的值,由余弦定理可求得c的值,即可求得ABC的周长.【小问1详解】解:因为()0,C,则sin0C,由已知可得3sin2sincosCCC=,可得3cos2C=,因此,6C=.【小问2详解】解:由三角形的面积

公式可得13sin6322ABCSabCa===,解得43a=.由余弦定理可得22232cos48362436122cababC=+−=+−=,23c=,所以,ABC的周长为636abc++=+.20.如图,已知ABC中,D为BC的中点,12AEEC

=,ADBE,交于点F,设ACa=,ADb=.(1)用,ab分别表示向量AB,EB;(2)若AFtAD=,求实数t的值.【答案】(1)2ABba=−,423EBab−+=;(2)12t=.【解析】【分析】(1)根据向量线性运算,结合线段关系,即可用,ab分别表示向量AB,EB;(2

)用,ab分别表示向量FB,EB,由平面向量共线基本定理,即可求得t的值.【详解】(1)由题意,D为BC的中点,12AEEC=,可得13AEAC=,ACa=,ADb=.∵2ABACAD+=,∴2ABba=−,∴–EBABAE=123baa=−−423ab

=−+(2)∵ADAtbFt==,∴–FBABAF=()2atb=−+−∵423EBab−+=,FB,EB共线,由平面向量共线基本定理可知满足12423t−−=−,解得12t=.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量共线基本定理的应用,属于基础题.21.在ABC中,

3A=,2b=,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求(1)B的大小;(2)ABC的面积.条件①:2222bacac+=+;条件②:cossinaBbA=.【答案】选择见解析;(1)4B=;(2)334+.【解析

】【分析】选择条件①时:(1)利用余弦定理求出cosB和B的值;(2)由正弦定理求出a的值,再利用三角形内角和定理求出sinC,计算ABC的面积.选择条件②时:(1)由正弦定理求出tanB和B的值;(2)由正弦定理求出a的值,再利用三角形内角和定理求出sinC,计算ABC的面

积.【详解】选择条件①:2222bacac+=+,(1)由2222bacac+=+,得2222acbac+−=,所以22222cos222acbacBacac+−===;又(0,)B,所以4B=;(2)由正弦定理知sinsinabAB=,所以sin3sinbA

aB==;所以()321262sinsinsincoscossin22224CABABAB+=+=+=+=,所以ABC的面积为116233sin322244ABCSabC++===△.选择条件②:cossinaBbA=.(1)由正弦定理得sinsinabAB=,所以si

nsinaBbA=;又cossinaBbA=,所以sincosBB=,所以tan1B=;又(0,)B,所以4B=;(2)由正弦定理知sinsinabAB=,所以sin3sinbAaB==;所以()321262sinsinsincoscossin22

224CABABAB+=+=+=+=,所以ABC的面积为116233sin322244ABCSabC++===△.【点睛】方法点睛:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息,一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次

式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到;(2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.22.在锐角△ABC中,23a=,(2)coscosbcAaC

−=,(1)求角A;(2)求△ABC的周长l的范围.【答案】(1)3.(2)(623,63]+【解析】【分析】(1)根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式,可得1cos2A=,可得3A=;(2)利用正弦定理将l

表示为B的函数,根据锐角三角形得B的范围,再根据正弦函数的图象可得结果.【详解】(1)∵(2)coscosbcAaC−=,2coscoscosbAaCcA=+,所以2sincossincossincosBAACCA=+,所

以2sincossin()BAAC=+,所以2sincossinBAB=,因为sin0B,所以1cos2A=,0,2A,所以3A=.(2)234sin32aA==,所以4sinsinbcBC==,所以4sinbB=,24

sin4sin()3cCB==−,所以2234sin4sin()3labcBB=++=++−236sin23cosBB=++2343sin()6B=++因为△ABC是锐角三角形,且3A=,所以022032BB−,解得62B

,所以2(,)633B+,所以3sin()(,1]62B+,所以(623,63]l+.【点睛】本题考查了正弦定理、两角和的正弦公式、锐角三角形的概念和正弦函数的图象的应用,属于中档题.获

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