【文档说明】江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期11月份阶段测试数学试题 含答案.docx，共(19)页，807.827 KB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）11月份阶段测试数学试卷2020年11月时间：120分钟分值：150分一、单选题.1．双曲线2244xy−=的离心率为（）．A．32B．52C．32D．522．已知数列{}na为等差数列，244,8aa==则na=

（）．A．1n+B．4n+C．2nD．21n+3．已知：1:12px−，:||1qxa−，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（）．A．(,3]−B．[2,3]C．(2,3]D．(2,3)4．已知等比数列{}na中，若12312313,27aaaaaa++

==且1q，则6a=（）．A．53−B．53C．42或22−D．53−或535．已知等差数列{}na中，50a，470aa+,则{}na的前n项和nS的最大值为（）．A．4SB．5SC．6SD．7S6．若正实数,ab，满足1ab+=，则33b

ab+的最小值为（）．A．2B．26C．5D．437．设抛物线24yx=的焦点为F，准线为l．P是抛物线上的一点，过P作PQx⊥轴于Q，若3PF=，则线段PQ的长为（）．A．2B．2C．22D．328．设等差数列na的前n项和为nS，且满足20200S，20210S，对任

意正整数n，都有nkaa，则k的值为()．A．1009B．1010C．1011D．1012二、多选题9．在数列na中，若221nnaap−−=，（2n，*nN，p为常数），则称na为“等方差数列”．下列对“等方差数列”的判断正确的是（）．A．若na是等差数列

，则2na是等方差数列．B．()1n−是等方差数列．C．若na是等方差数列，则kna（*kN，k为常数）也是等方差数列．D．若na既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．10．若实数0,0,1=abab，则下列选

项的不等式中，正确的有（）．A．2ab+B．2ab+C．222ab+D．112ab+11．已知F是抛物线2:16Cyx=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点，则（）．A．C的准线方程为4x=−．B．F点的

坐标为()0,4．C．12FN=．D．三角形ONF的面积为162（O为坐标原点）．12．我们通常称离心率为512−的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，1212,,,AABB为顶点，12,FF为焦点，P为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆C

为“黄金椭圆”的有（）．A．111222||,||,||AFFFFA为等比数列．B．11290FBA=．C．1PFx⊥轴，且21//POAB．D．四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FF．三、填空题13

．设na是等比数列，公比q不为1.已知113a=，且123,2,3aaa成等差数列，则数列na前5项和5S=___________．14．下列命题中：①R,x2(3)0x−；②R,x0xe；③,xZ6132

x=−+；④,xR23640xx−+=．其中真命题的个数是__________个．15．若曲线22141xykk+=+−表示双曲线，则k的取值范围是_______________．16．已知双曲线M：2213yx−=的渐近线是边长为1的菱形

OABC的边OA，OC所在直线．若椭圆N：22221xyab+=（0ab）经过A，C两点，且点B是椭圆N的一个焦点，则a=______．四、解答题17．设全集U=R，集合26|Axxm=−+，12164x

Bx=．（1）当1m=时，求()UAB∩ð；（2）若:pxA，:qxB，且p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．18．如图设计一幅矩形宣传画，要求画面（阴影部分）面积为24840cm，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白．（1）设画面的高为cmx，写出宣传画所用

纸张面积2cmS关于高cmx的函数关系式，并写出定义域．（2）怎样确定画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积S最小？19．已知椭圆E：22221xyab+=(0ab)的左､右焦点分别是1F､2F，其离心率

为32，以1F为圆心以1为半径的圆与以2F为圆心以3为半径的圆相交，两圆交点在椭圆E上．（1）求椭圆E的方程；（2）过椭圆左顶点A斜率为1的直线与椭圆的另外一个交点为B，求2ABF的面积．20．已知数列

{}na的前n项和nS满足*11·()3nnnnSSanNn++=+，且11a=．（1）证明：数列{}nan是等比数列；（2）求数列{}na的前n项和nS．21．如图，已知抛物线()220ypxp=的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位

于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.22．已知数列na中，121aa==，且当2n，*nN时满足()11n

nnana+=+．（1）求数列na的通项公式；（2）设112nnnba+=−，若对任意的*nN，数列nb是单调递减数列，求实数的取值范围．江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）11

月份阶段测试参考答案1．D【解析】【分析】先将双曲线方程化为标准方程，求出,ac，即可求出离心率.【详解】将双曲线方程化为标准方程为2214xy−=，2,1ab==，则225cab=+=，52cea==

.故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，属于基础题.2．C【解析】【分析】先依据条件计算公差d，再得到1a，即可得到na.【详解】因为{}na为等差数列，244,8aa==，故4224daa=−=，2d=故122aad=−=，1

(1)2naandn=+−=.故选：C.【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求法，属于基础题.3．C【解析】【分析】先分别解出两个不等式，然后由p是q的充分不必要条件，列不等式组可求出a的取值范围【详解】解：由112x−，得302xx

−−，解得23x，即:23px，由||1xa−，得11axa−+，即:11qaxa−+，因为p是q的充分不必要条件，所以1213aa−+，解得23a，故选：C【点睛】此题考查由充分不必要条件求参数的范围，属于基础题4．B【解析】

【分析】由等比数列的性质结合12327aaa=，可得2a的值，代入12313aaa++=可得公比，进而可得结果.【详解】根据题意，设等比数列{}na的公比为q，若12327aaa=，则有()3227a=，解得23a=，由12313aaa++=，

即22213aaaqq++=，则有231030qq−+=，解可得3q=或13q=，又由1q，则3q=，则45623aaq==，故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，关键是求出公比q，属于基础题.5．B【解析】【分析】根据50a

和470aa+判断出数列的单调性，根据数列的单调性确定出nS的最大值.【详解】因为470aa+，所以560aa+，又因为50a，所以60a，因为na为等差数列，所以650daa=−，所以na为单调

递减数列，所以nS的最大值为5S，故选：B.【点睛】本题考查根据等差数列的单调性求解前n项和的最大值，难度一般.求解等差数列前n项和的最值，关键是分析等差数列的单调性，借助单调性可说明nS有最大值还是最小值并且求解出对应结果.6．C【解析】【分析】化简333333

33bbabbaababab++=+=++，然后利用基本不等式求解即可【详解】根据题意，若正实数,ab，满足1ab+=，则3333332353333bbabbabaabababab++=+=+++=，当且仅当

334ba==时等号成立，即33bab+的最小值为5；故选：C7．C【解析】【分析】根据3PF=求得P的横坐标，由此求得P的纵坐标，从而求得PQ的长.【详解】抛物线的准线方程为1x=−，由于3PF=，根据

抛物线的定义可知2Px=，将2Px=代入抛物线方程得28,22Pyy==，所以22PQ=.故选：C【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，属于基础题.8．C【解析】【分析】对任意正整数n，都有nkaa，ka为数列na中的最小的正数项或最大的负数项，根据已知结合前n项和公式

，即可得出结论.【详解】等差数列na中，1202010101021102020200()1010()2Saaaa==++12021202111010100111011112021()0,20210,02aa

Saaaa+==+，101010101011min101100,||naaaaa−=，，所以对任意正整数n，都有nkaa，则k的值为1011故选：C.【点睛】本题考查等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，考查计算求解能力，属于中档题.9．BCD【

解析】【分析】根据定义以及举特殊数列来判断各选项中结论的正误.【详解】对于A选项，取nan=，则()()()422444221111nnaannnnnn+−=+−=+−++()()221

221nnn=+++不是常数，则2na不是等方差数列，A选项中的结论错误；对于B选项，()()22111110nn+−−−=−=为常数，则()1n−是等方差数列，B选项中的结论正确；对于C选项，若na是等方差数列，则存在常数pR，使得221nna

ap+−=，则数列2na为等差数列，所以()221knknaakp+−=，则数列kna（*kN，k为常数）也是等方差数列，C选项中的结论正确；对于D选项，若数列na为等差数列，设其公差为d，则存在mR，使得nadnm=+，则()()(

)()2221112222nnnnnnaaaaaaddnmddnmdd+++−=−+=++=++，由于数列na也为等方差数列，所以，存在实数p，使得221nnaap+−=，则()222dnmddp++=对任意的nN恒成立，则()2202dmddp=+=

，得0pd==，此时，数列na为常数列，D选项正确.故选BCD.【点睛】本题考查数列中的新定义，解题时要充分利用题中的定义进行判断，也可以结合特殊数列来判断命题不成立，考查逻辑推理能力，属于中等题.10．ABCD【解析】【分

析】利用基本不等式证得四个选项中的不等式都成立，由此得出正确结论.【详解】由于0,0,1=abab，由基本不等式得22abab+=，22abab+=，2222abab+=，111122abab+=，上述不等式当且仅当1ab==时，

等号成立.所以ABCD四个选项都正确.故选：ABCD【点睛】本小题主要考查利用基本不等式判断不等式是否成立，属于基础题.11．ACD【解析】【分析】先求C的准线方程4x=−，再求焦点F的坐标为()4,0，接着求出4AN=，8FF=，中位线62ANFFBM+==，最后求出12F

N=，162QNFS=△即可得到答案.【详解】如图，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线l与x轴交于点F，作MBl⊥于点B，NAl⊥于点A.由抛物线的解析式可得准线方程为4x=−，F点的坐标为()4,0，则4AN=，8FF=，在直角梯形ANFF中，中位线62ANF

FBM+==，由抛物线的定义有6MFMB==，结合题意，有6MNMF==，故6612FNFMNM=+=+=，2212482ON=−=，18241622QNFS==△.故选：ACD.【点睛】本题考

查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是基础题.12.BD【解析】【分析】利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．【详解】解：2222:1(0)xyCabab+=()(

)()()1212,0,,0,0,,0,AaAaBbBb−−，()()12,0,,0FcFc−对于A：111222||,||,||AFFFFA为等比数列则2112212||||||AFFAFF=()()222acc−=2acc−=13e=不满足条件，故A错误；对

于B：11290FBA=222211112AFBFBA=+()2222acaab+=++220caca+−=即210ee+−=解得512e−=或512e−−=（舍去）满足条件故B正确；对于C：

1PFx⊥轴，且21//POAB2,bPca−21POABkk=即2bcaba=−−解得bc=222abc=+222cceac===不满足题意，故C错误；对于D：四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FF即四边形122

1ABAB的内切圆的半径为c，22abcab=+422430caca−+=42310ee−+=解得2352e+=（舍去）或2352e−=512e−=故D正确故选：BD13．121243【解析】【分析】由123,2,3aaa成等差数列，可得13234aaa+=，即211134

qaqaa=+，可求出13q=，进而利用等比数列的求和公式，求出5S即可.【详解】由题意，13234aaa+=，即211134qaqaa=+，因为10a，所以2134qq+=，解得13q=或1q=（舍去），所以1113nnnaaq−==，

则5511112133124313S−==−.故答案为：121243.【点睛】本题考查等差中项、等比数列的性质、等比数列前n项和公式的运用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.14．1【解析】【分析】举例判断①，根

据指数函数性质判断②，由方程解出x后判断③，由一元二次方程的判别式判断④．【详解】3x=时，2(3)0x−=，①错；由指数函数性质知xR，0xe，因此0xe成立，②正确；由6132x=−+得593x=−，593Z−，③错；2(6)434120=−−=−方程23640xx−+

=无实数解，④错．∴正确的命题只有1个．故答案为：1．【点睛】本题考查判断全称命题和特称命题的真假，掌握全称命题和特称命题的真假判断方法是解题关键．全称命题为真需证明，为假可举反例，特称命题为真，只要举一例，为假需证明．15．(,4)(1,)−−+【解析】【分析】根据双曲线

的标准方程列式求解．【详解】∵曲线22141xykk+=+−表示双曲线，∴(4)(1)0kk+−，解得4k−或1k．故答案为：(,4)(1,)−−+．【点睛】本题考查双曲线的标准方程，二元二次方程221xymn+=，在0mn时表

示双曲线，在0,0,mnmn时表示椭圆，在0mn=时表示圆，0,0mn时不表示任何曲线．16．312+【解析】【分析】由双曲线渐近线的斜率得出60AOB=，进而得出点A的坐标，根据题意得出椭圆N的半焦距，再由椭圆的定义，即可得出a的

值.【详解】因为OA为双曲线2213yx−=的渐近线，所以3OAk=，则60AOB=所以3sin602ADAO==，1cos602ODAO==，则13,22A因为21OBOD==，所以椭圆N的半焦距1c=设椭圆N的左焦点为1F，则1(1,0)F

−，连接1AF由椭圆的定义可得12AFABa+=即22221313101022222a−−+−+−+−=，解得312a+=故答案为：312+【点睛】本题主要

考查双曲线的基本性质以及椭圆的基本性质，其中利用定义求a是解题的关键，属于中档题.17．（1）)(4,53,2−−；（2）02m.【解析】【分析】（1）先利用指数函数的性质化简集合12164xBx=，

再求补集，然后求交集即可；（2）p是q的必要不充分条件，可得B是A的子集，利用包含关系列不等式求解即可.【详解】（1）当1m=时，21635Axxxx=−+=−因为1216244xBxxx=

=−.所以(),42,UB−=−+ð，.所以)(4,53,2UBA=−−ð.（2）因为26Axmxm=−−−，24Bxx=−p是q必要不充分条件可得B是A的子集，所以2264mm−−−

−，“=”不能同时取到.所以02m.【点睛】本题主要考查集合的交集、补集以及包含关系的应用，考查了充分条件与必要条件，同时考查了指数函数的性质，属于中档题.18．（1）164840500010Sxx=++，0x；（2）当画面高为88cm，宽为5

5cm时，所用纸张面积最小.【解析】【分析】（1）设画面高为cmx，宽为cmy，48404840xyyx==，从而可求出所需纸张面积S的表达式；（2）结合（1），利用基本不等式求解即可．【详解】（1）设画面高为cmx，宽为cmy，依意有48404840xyyx==，0x，

0y则所需纸张面积(16)(10)1610160Sxyxyyx=++=+++，即16484050001610500010Syxxx=++=++，0x（2）1648405000105000216048406760Sxx=+++=…，．当且仅当16484010xx=，即8

8x=，55y=时等号成立．即当画面高为88cm，宽为55cm时，所需纸张面积最小为26760cm【点睛】本题考查函数的模型与应用，基本不等式的应用，考查转化思想与建模能力，考查计算能力，属于中档题．19．（1）2214xy+=；（2）4235+.【解析】【分析】第一问根据离心率先得到a、

b的关系，再由以1F为圆心以1为半径的圆与以2F为圆心以3为半径的圆相交的交点在椭圆E上得到第二个方程，联立方程组即可得到a与b的值；第二问设过椭圆左顶点A斜率为1的直线方程，与椭圆联立方程组后求解出点B的坐标，然后即可解得三角形的面积.【详

解】（1）设椭圆方程为()222210xyabab+=，由两圆交点在椭圆上，2134a=+=，得2a=，由离心率为32，22234aba−=，得1b=，所以椭圆C的方程为2214xy+=.（2）直线AB：2yx=+与椭圆2214xy+=联立，消去y得：2516120xx++

=，解得65Bx=−，代入直线AB方程可得45By=，且223AFac=+=+，故2ABF的面积为()2114423232255BAFy+=+=.【点睛】本题考查了利用椭圆的性质求解椭圆方程及利用方程思想求解直线和椭圆交点

，属于中档题目，解题中对运算能力有一定的要求.20．（1）证明见解析；（2）99314423nnnS=−+.【解析】【分析】（1）利用11nnnSSa++−=化简，证明nan

是等比数列；（2）由（1）可得113nnan−=，再利用错位相减法求和.【详解】解：（1）证明：根据题意可得，11·3nnnnSSan++−=，11·3nnnaan++=，11·13nnaann+=+，11a=，数列{}nan是以

1为首项，以13为公比的等比数列，（2）由（1）可得11()3nnan−=，11·()3nnan−=，012111111()2()3()()3333nnSn−=++++，123111111()2()3()()33333nnSn=++++，123111211

111133131()()()()()()()()1333333322313nnnnnnSnnn−−=+++++−=−=−+−，9931()()4423nnnS=−+.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式

与求和公式､数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.21．（1）24yx=．（2）84,55N【解析】试题分析：（1）抛物线y2=2px的准线为x=﹣2p，于是4+2p=5，由此能求出抛物线方程．（2）点A的

坐标是（4，4），由题意得B（0，4），M（0，2），F（1，0），从而43FAk=，由MN⊥FA，34MNk=−，由此能求出直线MN的方程．解析：（1）抛物线22ypx=的准线为2px=−，于是452p+=，所以2p=，所以抛物线方程为24yx=．（2）

由（1）知点A的坐标是()4,4，由题意得()0,4B，()0,2M．又因为()1,0F，所以43FAk=，因为MNFA⊥，所以34MNk=−，所以FA的方程为()413yx=−，①MN的方程为32,4yx=−+②由①②联立得85x=，45y=，所以N的坐标为84,55

．点睛：本题考查抛物线方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．一般和抛物线有关的题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，

一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．22．（1）1,1,22nnann==；（2）1,3+.【解析】【分析】（1）已知式变形为()121nnaannn+=+，得数列nan当2n时为常数列，从而可得数

列通项公式；（2）求出nb，利用1422021nnnbbnn+−=−−++恒成立，转化为求函数的最大值，从而得的范围．【详解】（1）由已知得()121nnaannn+=+，∴数列nan当2n时为常数列，且各项为12∴2n时2nna

=，又∵11a=∴1,1,22nnann==.（2）由（1）知，112221nnnnban+=−=−+，若对意的nN，数列nb是单调递减数列，则1422021nnnbbnn+−=−−++对任意的nN恒成立，即ma

x4221nn−++，又()()4222221123nnnnnnn−==++++++，因为函数()20yxxx=+在区间()0,2上单调递减，在()2,+上单调递增，所以由对勾函数的性质可知，当1n=或2

n=时，23nn++取得最小值6，即4221nn−++取得最大值13，故实数的取值范围为1,3+.【点睛】本题考查由递推关系求数列的通项公式，考查数列的单调性，求通项公式的解题关键是构造出新数列，新数列是等差数列或等比数

列或常数数列，从而易得通项公式，单调性问题利用单调性的定义转化为不等式恒成立，从而可转化为求函数的最值．