【文档说明】江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期12月份阶段测试数学试题 含答案.doc，共(18)页，1.267 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试数学试卷2020年12月时间：120分钟分值：150分第I卷（选择题）一、单选题(总分40分，每题5分)1．命题“xR，2440xx−+

”的否定是（）.A．xR，2440xx−+B．xR，2440xx−+C．xR，2440xx−+D．xR，2440xx−+2．设椭圆22:14xCy+=的左焦点为F，直线():0lykxk=与椭圆C交于,AB两点，则AFBF+的值是（）.A．2B．23C．4D．433

．不等式24410xx−+的解集为（）.A．1(,]2−B．11,,22−+C．12D．4．设Rba,，若bap22:,22:baq,则p是q的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．南宋数学

家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2

，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）.A．184B．174C．188D．1606．若点P是棱长为1的正方体11

11ABCDABCD−中异于A的一个顶点，则APAB的所有可能值的个数是（）.A．1B．2C．3D．47．设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）.A．6B．2C．D．8．已知1F，2F分别为双曲线221

43xy−=的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，2F关于直线1PF的对称点为M，1F关于直线2PF的对称点为N，则当||MN最小时，12FPF的大小为（）.A．150B．120C．90D．60二、多选题（总分20分，每题5分.选择全部

正确得5分，选不全得3分，错选或不选得0分）9．下列求导过程正确的选项是（）.A．'211()xx=B．'1()2xx=C．'1()aaxax−=D．'ln(log)aaxx=10．若,,abc不共面，则（）.A．,,bcbca+−共面B．,,2bcbcb

+−共面C．,,bcaabc+++共面D．,2,acacc+−共面11．已知函数2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，则（）.A．224ab−B．214ab+C．若不等式20xaxb+−的解集

为12xxxx（12xx），则120xxD．若不等式2xaxbc++<的解集为12xxxx（12xx），且124xx−=，4c=12．已知数列是na正项等比数列，且37236aa+=，

则5a的值可能是（）.A．2B．4C．85D．83三、填空题13．已知曲线31433yx=+,则曲线在点(2,4)P的切线方程_________________.14．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数），称为莱布尼兹

三角形．根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为________．15．已知直线:2lyxb=+与抛物线()2:20Cypxp=相交于A、B两点，且5AB=，直线l经过C的焦点．则p=________，若M为C上的一个动点，设点N的坐标为()3,0，则MN的最小值为________

．16．正四棱柱1111ABCDABCD−中，4AB=，123AA=.若M是侧面11BCCB内的动点，且AMMC⊥，则1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为______.四、解答题17．已知，命题2:,20pxRxax++，命题1

:3,2qx−−，210xax−+=．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．18.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PAADCD===，3BC=，23PC=，E

为PB中点，______，从①CDBC⊥；②//BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解答；（1）求证：四边形ABCD是直角梯形，（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.19．已知双曲线()222210xybaab−=渐近线方程为3yx=，O为坐标原点，点()3,

3M−在双曲线上．（1）求双曲线的方程；（2）已知,PQ为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．20.南通某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用()04xx万元满足131mx

=−+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.

（1）将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？21．已知数列}{na满足：1na，，)1(2)1(3221nnaa−=−+，记数列，)(*221Nnaacnnn−=+.（1）证明数列}{nb是

等比数列；（2）求数列}{nc的通项公式；（3）是否存在数列}{nc的不同项)(,,kjiccckji使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项)(,,kjiccckji；若不存在，请说明理由.22．已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过点F的直线l交

抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.江苏省南通市

通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试参考答案1．A2．C3.D．4．D5．B6．B【分析】根据立方体的八个顶点分成两类：一类是：当P点是1A，D，1D中的一个时；另一类是：当P点是11,,,BCCB中的一个

时，分别根据向量的乘积的几何意义进行求解即可【详解】如图所示，分成两类：一类是：当P点是1A，D，1D中的一个时，此时，APAB⊥，0APAB=；另一类是：当P点是11,,,BCCB中的一个时，此时AP在AB方向上的投影是AB，根据向量的乘法的几何意义得：21||

APABAB==，则APAB的所有可能值的个数是0或1故选：B【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及立体图形的性质，得出立方体的八个顶点分成两类是解决问题的关键7．B【解析】由椭圆第一定义知2a=，所以24m=，椭圆方程为22111

432xyed+===所以2d=，选B．8．B【分析】根据对称性得到1224PNPMPFPFa−=−==，根据余弦定理得到()212121621cos3MNPFPFFPF=+−，由三角函数的有界性得到得到||MN的最小值.【详解】根据对称性知：2PMPF=，1P

NPF=，故1224PNPMPFPFa−=−==.根据余弦定理：2222cosMNPMPNPMPNMPN=+−()()()()2121212121221cos231621cos3PFPFPFPFFPFPFPFFPF

=−+−−=+−120PFPF，12cos31FPF故当121cos30FPF−=，即1223FPF=时，||MN有最小值.故选：B【点睛】本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，

属于中档题型.9．BC【分析】利用基本初等函数的导数公式即可求解.【详解】由211()xx=−，可知A错误；由'1()2xx=，可知B正确；由'1()aaxax−=，可知C正确；由'1(log)lnaxxa=，可知D错误；故选：BC【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，熟记公式是关键，属

于基础题.10．BCD【分析】根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.【详解】∵2()()bbcbc=++−，∴,,2bcbcb+−共面，故B正确；∵()abcbca++=++，∴,,bcaabc+++共面，故C正

确；∵(2)3acacc+=−+，∴,2,acacc+−共面，故D正确.对于A选项，若设()=+bcbca+−，则=+bcbca+−得=1=1=0−，故无解，因此,,bcbca+−不共面.故选：BCD.【点睛】本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题.11．ABD【分析】

因为2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，故可得240ab=−=，即240ab=，再利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.【详解】因为2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，故可得240ab=−=，即240ab=，对A：224ab−等价于2

440bb−+，显然()220b−，故A正确；对B：21114244abbbbb+=+=，故B正确；对C：因为不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，故可得120xxb=−，故C错误；对D：因为不等式2xaxbc++<的解集为()12,xx，且124xx

−=，则方程20xaxbc++−=的两根为1x，2x，故可得()()22121244424xxxxabccc+−=−−===，故可得4c=，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的

性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12．ABD【分析】可结合基本不等式性质和等比数列性质进行代换，即可求出5a范围【详解】数列是正项等比数列，370,0aa，由2373737523

2326262aaaaaaa+==，即52a，符合题意的有：ABD故选ABD【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于中档题13．切线方程为440xy−−=或20xy−+=．14．160【分析】根据所给数表，数字排列规律为第n行的第1个数和最后1个数为1n，中间的某个数等

于下一行“两个脚”的和，即可计算得解．【详解】由数表可知，第n行第一个数为1n，所以第6行的第1个数和最后1个数是16，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，所以第6行的第2个数为1115630−=，第6行的第3个数为111203060

−=，故答案为：160.【点睛】本题考查数与式的归纳推理，数学文化的简单理解和应用，属于基础题.15．222【分析】将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p的值，设点()00,Mxy，可得()200040y

xx=，利用两点间的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN的最小值.【详解】由题意知，直线:2lyxb=+，即22byx=+．直线l经过抛物线()2:20Cypxp=的焦点，22bp−=，即bp=−．直线l的

方程为2yxp=−．设()11,Axy、()22,Bxy，联立222yxpypx=−=，消去y整理可得22460xpxp−+=，由韦达定理得1232pxx+=，又5AB=，12552xppx++==，则2p=，抛物线2:4Cyx=．设()()000

,0Mxyx，由题意知2004yx=，则()()()2222200000334188xyxxMNx=−+=−+=−+，当01x=时，2MN取得最小值8，MN的最小值为22．故答案为：2；22.【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点

到定点距离最值的求解，考查了抛物线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.16．2.【分析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,Mmn，由AMMC⊥得()2224mn−+=，证明11AMBÐ为1AM与平面11BCCB所成角，令22cos,2sinmn=+=，用三角函数表

示出11tanAMB，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,Mmn，则()()()14,0,0,0,4,0,4,4,23ACB，()(),0,,4,4,CMmnAMmn

==−，又AMMC⊥，得2240,AMCMmmn=−+=即()2224mn−+=；又11AB⊥平面11BCCB，11AMB为1AM与平面11BCCB所成角，令22cos,2sin,0,mn=+=，()()()()1111221224tan423442c

os22sin232016sin6ABAMBBMmn==−+−==−+−−+当3=时，11tanAMB最大，即1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛

】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.17．（1）[22,22]−（2）10,23−−【分析】

（1）由题意解24120a=−可得；（2）问题转化为211xaxxx+==+在13,2−−的值域,由“对勾函数”的单调性可得【详解】解：（1）命题:pxR,220xax++为真命题,241

20a=−,解得2222a−,实数a的取值范围为[22,22]−（2）命题1:3,2qx−−,210xax−+=为真命题,211xaxxx+==+在13,2−−上有解,由对勾函数可知,1axx=+在[3,1]x−−单调递增,在11,2x

−−单调递减,当1x=−时,a取最大值2−；当3x=−时,103a=−；当12x=−时,52a=−,所以a的最小值为103−,实数a的取值范围为:10,23−−【点睛】本题考查已知命题的真假求参数问题,考查全称命题和存在性命题18．证明

见解析；26.【分析】选择①，由线面垂直的性质得,PAADPACD⊥⊥，根据勾股定理得222CDPDPC+=，得CDPD⊥，再CDAD⊥，又CDBC⊥，可得//ADBC，可得证四边形ABCD是直角梯形；再求

直线AE与平面PCD所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，由线面垂直的性质，如图建立空间直角坐标系A—xyz，由线面角的向量求法可求得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值.选择②，同①得CDAD⊥，再由线面平行的性质可证得//ADB

C，可证得四边形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，同上①.【详解】选择①，先证：四边形ABCD是直角梯形，因为PA⊥平面ABCD，所以,PAADPACD⊥⊥，因为2PAADCD===，所以22PD=，又23PC=，所

以222CDPDPC+=，所以CDPD⊥，又PAPDP=，CD\^面PAD，则CDAD⊥，又CDBC⊥，所以//ADBC，又3BC=，所以ADBC，所以四边形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，过A点作AD的垂

线交BC于M，因为PA⊥平面ABCD，,PAAMPAAD⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A—xyz，则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(002)ACDP，，，因为E为PB的中点，11,,12E−，11,,1,(2,2,2)2AEPC=−=−，

(0,2,2)PD=−uuur，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则2220220nPCxyznPDyz=+−==−=，令1y=，则(0,1,1)n=，设直线AE与平面PCD所成的角为，则11112

2sincos,3622nAE−+===，所以直线AE与平面PCD所成的角的正弦值为26.选择②，先证：四边形ABCD是直角梯形，因为PA⊥平面ABCD，所以,PAADPACD⊥⊥，因为2

PAADCD===，所以PD22=，又23PC=，所以222CDPDPC+=，所以CDPD⊥，又PAPDP=，CD\^面PAD，则CDAD⊥，又//BC平面PAD，BC平面ABCD，面PAD面ABCDAD=，所以//ADBC，又3BC=，所以ADBC，所以四边形ABCD是直角梯

形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，同上①.【点睛】本题考查空间中的线面垂直的判定和性质，线面平行的性质等运用，证明空间的线线平行，运用向量法求线面角的问题，属于中档题.19．（Ⅰ）22126xy−=；（Ⅱ）221113OPOQ+=.【解析】试题分析

：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OPOQ⊥，可设出直线,OPOQ的方程，代入双曲线方程求得点,PQ的坐标可求得221113OPOQ+=．试题解析：（Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为3yx=，∴设双曲线方程为22(0

)3yx−=，∵点()3,3M−在双曲线上．∴22(3)(3)3−−=，∴2=．∴双曲线方程为2223yx−=，即22126xy−=．（Ⅱ）由题意知OPOQ⊥．设OP直线方程为ykx=，由22126xyykx

−==，解得222226363xkkyk=−=−，∴22222222666(1)||333kkOPxykkk+=+=+=−−−．由OQ直线方程为1yxk=−.以1k−代替上式中的k，可得222

2216[1()]6(1)||1313()kkOQkk+−+==−−−．∴22222222113312(1)1+=6(1)6(1)6(1)3kkkkkkOPOQ−−++==+++．20.(略)21.(略)22．（1

）y2p=−；（2）见解析.【分析】（1）判断直线l的斜率存在，设方程为2pykx=+，设()()1122,,,AxyBxy,动点(),Cxy，联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得212xxp=−，求出OA方程，然后求解轨迹方程；（2）设直线n的方程为1ykxm=

+，由212xpyykxm==+消去y得到关于x的一元二次方程，利用直线n与抛物线相切，得()1,Ppkm−,求出12,22PmpQk+−−，可得0PFQF=，说明以线段PQ为直径的圆过点F.【详解】(1)依题意可得，直

线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋2p，又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)．由222xpypykx==+⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.易知直线OA：y＝11yxx＝12xpx，直线BC：

x＝x2，由122xyxpxx==，得1222xxpyp==−，即点C的轨迹M的方程为y＝－2p.(2)证明:由题意知直线n的斜率存在．设直线n的方程为y＝k1x＋m.由212xpyykxm==+⇒x2－2pk1x－2

pm＝0⇒Δ＝4p2k＋8pm.∵直线n与抛物线相切，∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．又由112,222ykxmPmpQpky=++−−=−.又0,2pF，∴112,,,22ppmPFpkmQFpk+=

−+=，∴()2022ppmpPFQFmp−+=++=∴PFQF⊥，即PF⊥QF，∴以线段PQ为直径的圆过点F.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、曲线轨迹方程的求解方法，以及转化与划归思想的应用，属于难题.转化

与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题

当中.解答本题（2）的关键是将圆过定点问题转化为证明PFQF⊥.22．（1）()22na=；（2）21224nnn+++−【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和

公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）bn＝an2+log2an＝2n12+n，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q

＞0，前n项和为Sn，a10是8a2和6a6的等差中项，可得2a10＝8a2+6a6，即有2a1q9＝8a1q+6a1q5，即为q8﹣3q4﹣4＝0，解得q2=，S8＝30+152，可得()111612a−=−30+152，解得a12=，可得an＝（2）n；（2）bn＝a

n2+log2an＝2n12+n，数列{bn}的前n项和为（2+4+…+2n）12+（1+2+…+n）()2121122n−=+−•12n（n+1）＝2n+1﹣214+（n2+n）．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题．