【文档说明】江苏省南通市通州区金沙中学2020-2021学年高二上学期12月份阶段测试数学试题 含答案.doc，共(18)页，1.267 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试数学试卷2020年12月时间：120分钟分值：150分第I卷（选择题）一、单选题(总分40分，每题5分)1．命题“xR，2440xx−+”的否定是（）.A．xR，2440xx−+B．xR，244

0xx−+C．xR，2440xx−+D．xR，2440xx−+2．设椭圆22:14xCy+=的左焦点为F，直线():0lykxk=与椭圆C交于,AB两点，则AFBF+的值是（）.A．2B．23C．4D．433．不等式24410xx−+的解

集为（）.A．1(,]2−B．11,,22−+C．12D．4．设Rba,，若bap22:,22:baq,则p是q的（）.A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件5．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3

，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为（）.A．184B．174C．188D．1606．若点P是棱长为1的

正方体1111ABCDABCD−中异于A的一个顶点，则APAB的所有可能值的个数是（）.A．1B．2C．3D．47．设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为（）.A．6B．2C．D．8

．已知1F，2F分别为双曲线22143xy−=的左、右焦点，P为双曲线右支上一点，2F关于直线1PF的对称点为M，1F关于直线2PF的对称点为N，则当||MN最小时，12FPF的大小为（）.A．150B．120C．90D．

60二、多选题（总分20分，每题5分.选择全部正确得5分，选不全得3分，错选或不选得0分）9．下列求导过程正确的选项是（）.A．'211()xx=B．'1()2xx=C．'1()aaxax−=D．'ln(log)aaxx=10．若,,abc不共面，则（）.A．,,

bcbca+−共面B．,,2bcbcb+−共面C．,,bcaabc+++共面D．,2,acacc+−共面11．已知函数2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，则（）.A．224ab−B．214ab+C．若不等式20xaxb+−的解集为12

xxxx（12xx），则120xxD．若不等式2xaxbc++<的解集为12xxxx（12xx），且124xx−=，4c=12．已知数列是na正项等比数列，且37236aa+=，则5a的值可能是

（）.A．2B．4C．85D．83三、填空题13．已知曲线31433yx=+,则曲线在点(2,4)P的切线方程_________________.14．德国数学家莱布尼兹发现了如图所示的单位分数三角形（单位分数是指分子为1，分母为正整数的分数），称为莱

布尼兹三角形．根据前5行的规律，则第6行的左起第3个数为________．15．已知直线:2lyxb=+与抛物线()2:20Cypxp=相交于A、B两点，且5AB=，直线l经过C的焦点．则p=________，若M为C上的一个动点，设点

N的坐标为()3,0，则MN的最小值为________．16．正四棱柱1111ABCDABCD−中，4AB=，123AA=.若M是侧面11BCCB内的动点，且AMMC⊥，则1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为__

____.四、解答题17．已知，命题2:,20pxRxax++，命题1:3,2qx−−，210xax−+=．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题q为真命题，求实数a的取值范围．18.如

图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，2PAADCD===，3BC=，23PC=，E为PB中点，______，从①CDBC⊥；②//BC平面PAD这两个条件中选一个，补充在上面问题中，并完成解

答；（1）求证：四边形ABCD是直角梯形，（2）求直线AE与平面PCD所成角的正弦值.19．已知双曲线()222210xybaab−=渐近线方程为3yx=，O为坐标原点，点()3,3M−在双曲线上．（1）

求双曲线的方程；（2）已知,PQ为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．20.南通某服装厂拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）m万件与年促销费用()04xx万元满足1

31mx=−+.已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元.厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的2倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将20

20年该产品的利润y万元表示为年促销费用x万元的函数；（2）该服装厂2020年的促销费用投入多少万元时，利润最大？21．已知数列}{na满足：1na，，)1(2)1(3221nnaa−=−+，记数列，)(*221Nnaacnnn−=+.（1）证明数列}{nb是等

比数列；（2）求数列}{nc的通项公式；（3）是否存在数列}{nc的不同项)(,,kjiccckji使之称为等差数列？若存在，请求出这样的不同项)(,,kjiccckji；若不存在，请说明理由.22．已知抛物线x2＝2py(p>0)，F为其焦点，过

点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示．(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.江苏省南通市通州区金沙中学2020至2021学年高二（上）12月份阶段测试参考答

案1．A2．C3.D．4．D5．B6．B【分析】根据立方体的八个顶点分成两类：一类是：当P点是1A，D，1D中的一个时；另一类是：当P点是11,,,BCCB中的一个时，分别根据向量的乘积的几何意义进行求解即可【详解】如图所示，分成两类：一类是：当P点是1A，D，1D中的一

个时，此时，APAB⊥，0APAB=；另一类是：当P点是11,,,BCCB中的一个时，此时AP在AB方向上的投影是AB，根据向量的乘法的几何意义得：21||APABAB==，则APAB的所有可能值的个数是0或1故选：B【点睛】本题考查向量在几何中的应用以及立

体图形的性质，得出立方体的八个顶点分成两类是解决问题的关键7．B【解析】由椭圆第一定义知2a=，所以24m=，椭圆方程为22111432xyed+===所以2d=，选B．8．B【分析】根据对称性得到1224PNPMPFPFa−=−==，根据余弦定理得到()212121621cos3MNPFPFF

PF=+−，由三角函数的有界性得到得到||MN的最小值.【详解】根据对称性知：2PMPF=，1PNPF=，故1224PNPMPFPFa−=−==.根据余弦定理：2222cosMNPMPNPMPNMPN=+−()()()()2121212121221co

s231621cos3PFPFPFPFFPFPFPFFPF=−+−−=+−120PFPF，12cos31FPF故当121cos30FPF−=，即1223FPF=时，||MN有最小值.故选：B【点睛】本题

考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题型.9．BC【分析】利用基本初等函数的导数公式即可求解.【详解】由211()xx=−，可知A错误；由'1()2xx=，可知B正确；由'1()aaxax−=，可知C正确；由'1(log)lnax

xa=，可知D错误；故选：BC【点睛】本题考查了基本初等函数的导数公式，熟记公式是关键，属于基础题.10．BCD【分析】根据空间向量基本定理逐一判断是否共面即可.【详解】∵2()()bbcbc=++−，

∴,,2bcbcb+−共面，故B正确；∵()abcbca++=++，∴,,bcaabc+++共面，故C正确；∵(2)3acacc+=−+，∴,2,acacc+−共面，故D正确.对于A选项，若设()=+bcbca+−，则=+bcbca

+−得=1=1=0−，故无解，因此,,bcbca+−不共面.故选：BCD.【点睛】本题考查了空间向量的基本定理，属于基础题.11．ABD【分析】因为2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，故可得240ab=−=，即240ab=，再

利用基本不等式和不等式的性质对四个选项逐一分析即可得到答案.【详解】因为2yxaxb=++（0a）有且只有一个零点，故可得240ab=−=，即240ab=，对A：224ab−等价于2440bb−+，显然()220b−，故A正确；对B：21114244

abbbbb+=+=，故B正确；对C：因为不等式20xaxb+−的解集为()12,xx，故可得120xxb=−，故C错误；对D：因为不等式2xaxbc++<的解集为()12,xx，且124xx−=，则方程20xaxbc++−=的两根为1x，2x，故可得()(

)22121244424xxxxabccc+−=−−===，故可得4c=，故D正确.故选：ABD.【点睛】本题主要考查一元二次方程、不等式的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，属于常考题.12．AB

D【分析】可结合基本不等式性质和等比数列性质进行代换，即可求出5a范围【详解】数列是正项等比数列，370,0aa，由23737375232326262aaaaaaa+==，即52a，符合题意的有：ABD故选ABD

【点睛】本题考查等比数列的性质和基本不等式，属于中档题13．切线方程为440xy−−=或20xy−+=．14．160【分析】根据所给数表，数字排列规律为第n行的第1个数和最后1个数为1n，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，即可计算得解．

【详解】由数表可知，第n行第一个数为1n，所以第6行的第1个数和最后1个数是16，中间的某个数等于下一行“两个脚”的和，所以第6行的第2个数为1115630−=，第6行的第3个数为111203060−=，故答案为：160.【点睛】本题考查数与式的归纳

推理，数学文化的简单理解和应用，属于基础题.15．222【分析】将直线l的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式可求得p的值，设点()00,Mxy，可得()200040yxx=，利用两点间

的距离公式结合二次函数的基本性质可求得MN的最小值.【详解】由题意知，直线:2lyxb=+，即22byx=+．直线l经过抛物线()2:20Cypxp=的焦点，22bp−=，即bp=−．直线l的方程为2yxp=−．设()1

1,Axy、()22,Bxy，联立222yxpypx=−=，消去y整理可得22460xpxp−+=，由韦达定理得1232pxx+=，又5AB=，12552xppx++==，则2p=，抛物线2:4Cyx=．设()()000,0Mxyx，由题意知2004yx=，则()()(

)2222200000334188xyxxMNx=−+=−+=−+，当01x=时，2MN取得最小值8，MN的最小值为22．故答案为：2；22.【点睛】本题考查利用抛物线的焦点弦长求参数，同时也考查了抛物线上的点到定点距离最值的求解，考查了抛物线

方程的应用，考查计算能力，属于中等题.16．2.【分析】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,Mmn，由AMMC⊥得()2224mn−+=，证明11AMBÐ为1AM与平面11BCCB所成角，令22cos,2sinmn=+=，用三角函数表示出11

tanAMB，求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系，设点(),4,Mmn，则()()()14,0,0,0,4,0,4,4,23ACB，()(),0,,4,4,CMmnAMmn==−，又AMMC⊥，得2

240,AMCMmmn=−+=即()2224mn−+=；又11AB⊥平面11BCCB，11AMB为1AM与平面11BCCB所成角，令22cos,2sin,0,mn=+=，()()()()1111221224tan423

442cos22sin232016sin6ABAMBBMmn==−+−==−+−−+当3=时，11tanAMB最大，即1AM与平面11BCCB所成角的正切值的最大值为2.故答案为：2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题，考查了直线与平面所成

角的计算.对于这类题，一般是建立空间直角坐标，在动点坐标内引入参数，将最值问题转化为函数的最值问题求解，考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.17．（1）[22,22]−（2）10,23−−【分析】（1）由题意解24120a=−可得；（2）问题转化为211xaxxx+==+在

13,2−−的值域,由“对勾函数”的单调性可得【详解】解：（1）命题:pxR,220xax++为真命题,24120a=−,解得2222a−,实数a的取值范围为[22,22]−（2）命题1:3,2q

x−−,210xax−+=为真命题,211xaxxx+==+在13,2−−上有解,由对勾函数可知,1axx=+在[3,1]x−−单调递增,在11,2x−−单调递减,当1x=−时,a取最大值2−；当3x=−时,103a=−；当12x=

−时,52a=−,所以a的最小值为103−,实数a的取值范围为:10,23−−【点睛】本题考查已知命题的真假求参数问题,考查全称命题和存在性命题18．证明见解析；26.【分析】选择①，由线面垂直的性质得,PAADPACD⊥⊥，根据勾股定理得222CDPDPC+=，得CD

PD⊥，再CDAD⊥，又CDBC⊥，可得//ADBC，可得证四边形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，由线面垂直的性质，如图建立空间直角坐标系A—xyz，由线面角的向量求法可求得直线AE与平面PCD所成的角的正弦值.选择②，同①得C

DAD⊥，再由线面平行的性质可证得//ADBC，可证得四边形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，同上①.【详解】选择①，先证：四边形ABCD是直角梯形，因为PA⊥平面ABCD，所以

,PAADPACD⊥⊥，因为2PAADCD===，所以22PD=，又23PC=，所以222CDPDPC+=，所以CDPD⊥，又PAPDP=，CD\^面PAD，则CDAD⊥，又CDBC⊥，所以//ADBC，又3BC=，所以ADBC，所以四边

形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，过A点作AD的垂线交BC于M，因为PA⊥平面ABCD，,PAAMPAAD⊥⊥，如图建立空间直角坐标系A—xyz，则(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(002

)ACDP，，，因为E为PB的中点，11,,12E−，11,,1,(2,2,2)2AEPC=−=−，(0,2,2)PD=−uuur，设平面PCD的法向量为(,,)nxyz=，则2220220nPCxyznPDyz=+−==−=，令1y=，则(0,1,1)n=，

设直线AE与平面PCD所成的角为，则111122sincos,3622nAE−+===，所以直线AE与平面PCD所成的角的正弦值为26.选择②，先证：四边形ABCD是直角梯形，因为PA⊥平面ABCD，

所以,PAADPACD⊥⊥，因为2PAADCD===，所以PD22=，又23PC=，所以222CDPDPC+=，所以CDPD⊥，又PAPDP=，CD\^面PAD，则CDAD⊥，又//BC平面PAD，BC平面ABCD，面PAD面ABCDAD=

，所以//ADBC，又3BC=，所以ADBC，所以四边形ABCD是直角梯形；再求直线AE与平面PCD所成角的正弦值，同上①.【点睛】本题考查空间中的线面垂直的判定和性质，线面平行的性质等运用，证明空间的线线平行，运用向量法求线面角的问题，属于中档题

.19．（Ⅰ）22126xy−=；（Ⅱ）221113OPOQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OPOQ⊥，可设出直线,OPOQ的方程，代入双曲线方程求得点,PQ的坐标可求得221113OPOQ+=．试题解析：（

Ⅰ）∵双曲线的渐近线方程为3yx=，∴设双曲线方程为22(0)3yx−=，∵点()3,3M−在双曲线上．∴22(3)(3)3−−=，∴2=．∴双曲线方程为2223yx−=，即22126xy−=．（Ⅱ）

由题意知OPOQ⊥．设OP直线方程为ykx=，由22126xyykx−==，解得222226363xkkyk=−=−，∴22222222666(1)||333kkOPxykkk+=+=+=−−−．由OQ直线方程为1y

xk=−.以1k−代替上式中的k，可得2222216[1()]6(1)||1313()kkOQkk+−+==−−−．∴22222222113312(1)1+=6(1)6(1)6(1)3kkkkkkOPOQ−−++==+++．20.(略)21.(略)22．（1）y2p=−；（2）见解析.【分析】（

1）判断直线l的斜率存在，设方程为2pykx=+，设()()1122,,,AxyBxy,动点(),Cxy，联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得212xxp=−，求出OA方程，然后求解轨迹方程；（2）设直线n的方程为1ykxm=+，由21

2xpyykxm==+消去y得到关于x的一元二次方程，利用直线n与抛物线相切，得()1,Ppkm−,求出12,22PmpQk+−−，可得0PFQF=，说明以线段PQ为直径的圆过点F.【详解】(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为y＝kx＋2p，

又设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x，y)．由222xpypykx==+⇒x2－2pkx－p2＝0⇒x1·x2＝－p2.易知直线OA：y＝11yxx＝12xpx，直线BC：x＝x2，由122xyxp

xx==，得1222xxpyp==−，即点C的轨迹M的方程为y＝－2p.(2)证明:由题意知直线n的斜率存在．设直线n的方程为y＝k1x＋m.由212xpyykxm==+⇒x2－2pk1x－2pm＝0⇒Δ

＝4p2k＋8pm.∵直线n与抛物线相切，∴Δ＝0⇒pk＋2m＝0，可得P(pk1，－m)．又由112,222ykxmPmpQpky=++−−=−.又0,2pF，∴112,,,22ppmPFpkmQFpk+=−+=

，∴()2022ppmpPFQFmp−+=++=∴PFQF⊥，即PF⊥QF，∴以线段PQ为直径的圆过点F.【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系、曲线轨迹方程的求解方法，以及转化与划归思想的应用，属于难题.转化与划归思想是解决高中数学问题

的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题（

2）的关键是将圆过定点问题转化为证明PFQF⊥.22．（1）()22na=；（2）21224nnn+++−【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公

比，即可得到所求通项公式；（2）bn＝an2+log2an＝2n12+n，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和．【详解】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，前n项和为Sn，a10是8a2和6

a6的等差中项，可得2a10＝8a2+6a6，即有2a1q9＝8a1q+6a1q5，即为q8﹣3q4﹣4＝0，解得q2=，S8＝30+152，可得()111612a−=−30+152，解得a12=，可得an＝（2）n；（2）bn＝a

n2+log2an＝2n12+n，数列{bn}的前n项和为（2+4+…+2n）12+（1+2+…+n）()2121122n−=+−•12n（n+1）＝2n+1﹣214+（n2+n）．【点睛】本题考查等比数列的

通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题．