【文档说明】《中考数学重难点专项突破（全国通用）》专题01 截长补短模型证明问题.docx，共(7)页，86.444 KB，由管理员店铺上传

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1专题01截长补短模型证明问题【专题说明】截长补短法在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题,而且这种方法一直贯穿着整个几何教学的始终.那么什么是截长补短法呢?所谓截长补短其实包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两

段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段.当条件或结论中出现a+b=c时，用截长补短．【知识总结】1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等；2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段

上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明

，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用.如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法.截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可；补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可

.【类型】一、截长“截长”是指在较长的线段上截取另外两条较短的线段，截取的作法不同，涉及四种方法。方法一：如图2所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，2可得△MCF为等腰直角三角形，又

可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.图2方法二：如图2所示，在BF上截取FM=GC，可证四边形GCFM为

平行四边形，可得CM=FG=CF；可得∠BFC=∠BDC=45°，得∠MCF=90°；又得∠BMC=∠DFC=135°，于是△BMC≌△DFC（AAS），BM=DF，于是BF=FM+BM=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BCD和△MCF。[来源:Z§xx§k.Com]方法

三：[来源:Z,xx,k.Com]如图3所示，在BF上截取FK=FD，得等腰Rt△DFK，可证得∠DFC=∠KFG=135°，所以△DFC≌△KFG（SAS），所以KG=DC=BC，∠FKG=∠FDC=∠CBF，KG∥BC，3得四边形BCGK为平行四边形，BK=CG，于是BF=BK+K

F=CG+DF.图3方法四：[来源:Z#xx#k.Com]如图3所示，在BF上截取BK=CG，可得四边形BCGK为平行四边形，BC=GK=DC，BC∥KG，∠GKF=∠CBF=∠CDF，[来源:学科网]根据四边形BCFD为圆的内接四边形，可证得∠BFC=45

°，∠DFC=∠KFG，于是△DCF≌△KGF（AAS），DF=KF，于是BF=BK+KF=CG+DF.上述两种方法中都利用了两个共顶点的等腰Rt△BDC和△KDF。【类型】二、补短“补短”指的是选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破，根据

辅助线作法的不同也涉及四种不同的方法。方法五：如图4所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），4可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，所以BF=NG=NC+

CG=DF+CG.图4[来源:Zxxk.Com]方法六：如图4所示，延长GC至N，使NG=BF，得四边形BFGN为平行四边形，所以BN=GF=CF，又∠DCF+∠CDF=∠CBN+∠BCN=45°，得∠DCF=∠CBN，又C

D=BC，可证△CDF≌△BCN（SAS），DF=CN，以下从略.方法七：如图5所示，延长CG至P，使CP=BF，连接PF，则四边形CPFB为平行四边形，PF=BC=DC，又∠BFC=45°，∠PFE=∠D

EC，因为∠PFG=∠FGC－∠P=45°－∠P，∠DCF=∠CFE－∠CDF=45°－∠CDF，5又可证∠P=∠CBF=∠CDF，于是∠PFG=∠DCF，所以△PFG≌△DCF（SAS），PG=DF，于是BF=CP=CG+PG=CG+DF.图5方法八：如图5所示，延长CG至P，

使GP=DF，连接PF，可证∠DFC=∠PGF=135°，FC=CF，所以△DFC≌△PGF（SAS），所以DC=PF=BC，∠P=∠CDF=∠CBF=∠PCE，BC∥FP，所以四边形BCPF为平行四边形，所以BF=CP=CG+PG=CG+DF.方法九：如图6所示，延长DE

至Q，使DQ=BF，连接CQ，GQ，可证△BCF≌△DCQ（SAS），CF=CQ，∠BCF=∠DCQ，于是可得∠FCQ=∠BCD=90°，所以△FCQ为等腰直角三角形，可得四边形FCQG为正方形，FQ=CG，

6所以BF=DQ=DF+FQ=DF+CG.图6方法十：如图6所示，延长FE至Q，使FQ=CG，通过证明四边形FCQG为正方形，△BCF≌△DCQ，同样可以证明结论成立。感兴趣的读者可以自行证明，详细思路从略。方法十一：如图7所示，延长FD至H，

使DH=CG，可证得∠BDF=∠BDC+∠CDF，∠ECF=∠FCG+∠CEG，于是∠BDF=∠ECF，则∠BDH=∠BCF，所以△BDH∽△BCF（SAS），得∠H=∠BFC=45°，所以△BFH为等腰直角三角形，于是BF=H

F=DF+DH=DF+CG.7图7方法十二：如图7所示，延长FD至H，使FH=BF，可得△BFH为等腰直角三角形，于是∠HBD=∠FBC，又∠H=∠BFC=45°，所以△BDH∽△BCF，所以BF=HF=DF+DH=DF+CG.经过上述分

析，可知采取不同的切入点，解题思路会有差异。