【文档说明】广东省深圳实验学校高中部2020-2021学年高二下学期第一阶段考试数学试题含答案.doc，共(14)页，994.986 KB，由小赞的店铺上传

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1深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学时间：120分钟满分：150分命题人：曾玉泉一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．用数字1,2

,3组成允许有重复数字的两位数，其个数为()A．9B．8C．6D．52．从3名男生与2名女生中选二人去参加同一个会议，要求至少有一名女生，选派的方法数为()A．6B．7C．8D．143．右图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，若,ab是某行的前两个数，当7a=时，b=

()A.20B.21C.22D.234．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则()2PX等于()A．115B．715C．815D．14155．如右图所示的几何体由三棱锥PABC−与三棱柱111ABCABC−组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色

(底面111ABC不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有()A．36种B．24种C．12种D．9种6．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联

：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44,585,2662等；那么用数1,2,3,4,5,62可以组成4位“回文数”的个数为()A．30B．36C．360D．12967．在561819(1)(1)(1)(

1)xxxx−+−++−+−…的展开式中，含3x的项的系数是()A．3871B．3871−C．4840D．4840−8．224xy+表示的平面区域内，以横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点，可以构成的三角形个数为()A．256B．258C．260D．264二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．设随机变量的分布列为()1,2,3,4,55kPakk===，则()A．151a=B．()0.50.80.2P=C．()0.10.50.2P=D．

()10.3P==10．下列等式中，正确的是（）A．11mmmnnnAmAA−++=B．11rrnnrCnC−−=C．111111mmmmnnnnCCCC+−−+−−=++D．11mmnnmCCnm++=−11．已知n为满足1232

727272727CCCC(3)Saa=+++++…L能被9整除的正整数a的最小值，则1nxx−的展开式中，下列结论正确的是()A.第7项系数最大B.第6项系数最大C.末项系数最小D.第6项系数最小12．关于多项式621xx−

+的展开式，下列结论正确的是()A.各项系数之和为1B.各项系数的绝对值之和为122C.不存在常数项D.3x的系数为403三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知01122112C3C3C3C3C2nnnnnnnnnn−−−+++++=L，则n=.14．已知随机

变量的分布列为：若()234Px=，则实数x的最小值为________.15．如右图，机器人亮亮沿着单位网格从A地移动到B地，每次只移动一个单位长度，则亮亮从点A移动到点B最近的走法共有_________种.16．将5个不同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，若每

个盒子中所放的球的个数不大于其编号数，则共有_________种不同的放法.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本题满分10分）有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求

用数字作答).1）全体排成一排，女生必须站在一起；2）全体排成一排，男生互不相邻；3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.18．（本题满分12分）41()nxax+的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128

，且前三项系数成等差数列.1）求a的值；2）若3a，展开式有多少有理项？写出所有有理项.19．（本题满分12分）长方体1111ABCDABCD−如右图，已知2AB=，11ADAA==，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点.2−023P141414a4用随机

变量X表示这两点之间的距离.1）求随机变量2X的概率；2）求随机变量X的分布列.20.（本题满分12分）现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）.1）若5本书完全相同，共有多少种分法；

2）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法；3）若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法.21．（本题满分12分）2021年元旦某公司进行抽奖活动，每位员工抽奖一次.规则如下：在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对

应1分、2分、3分、4分、5分、6分.员工从袋中一次性任取3个小球，按3个小球中最大得分的6倍计分，计分超过25分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等

，用表示某员工取出的3个小球中最大得分，求：1）取出的3个小球恰有两个颜色相同的概率；2）随机变量的分布列；3）该员工中奖的概率.22．（本题满分12分）已知数列{}na（*nN）的通项公式为1nan=−（*nN）.1）求201(12)ax+的二项展开式中的系

数最大的项；2）记1245kakd+=（*kN），求集合1{|,}kkxdxdx+Z的元素个数（写出具体的表达式）.5深圳实验学校高中部2020-2021学年度第二学期第一阶段考试高二数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.12345678

ABCDCBDA二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.6;14.;415.;8016.535.8.解：由题意可得224xy+表示的平面区域内的整点共有13个，其中三点共线的情况有10种，五点共线的情况

有2种，所以从13个点中可以构成三角形的个数为:33313351022861020256CCC−−=−−=个．故选C．12.解：在621xx+−中，令1x=，可得展开式中各项系数之和为62，所以A不正确.6

21xx+−的展开式中各项系数的绝对值之和与621xx++的展开式中各项系数之和相等.在621xx++中，令1x=可得展开式中各项系数之和为122，故B正确.展开621xx+−

，其含义是6个21xx+−相乘，在6个相同因式21xx+−中，每9101112ABCABDADBD6个因子取21,,xx−三者其一乘到一起，所有情况相加再进行合并.于是6个因式21,,xx−各取两次时便

得到常数项，故C不正确同理可得含3x的系数为：333514463653(C(1)C(C)2)(C(1))014()−+−=，故D正确.综上本题选BD.（判断选项C，D是否正确也可以如下操作：由662211xxxx+−=+−

的展开式的通项为162C(06,)rrrTxrrx+=−Z，2rxx−的展开式的通项为12C()(0,,)rkkkkrTxkrrkx−+=−Z，所以621xx+−的展开式的通项为216(1)CC(06,,)2kkrk

rkrrrTxkrrk−−+=−Z.当20(06,,)krkrrk−=Z时为常数项，所以多项式621xx+−的展开式中有常数项，故C不正确.当23,06,,krkrrk−=Z时，3,3kr

==或4,5,kr==333045416365(1)CC2(1)CC240−+−=，所以3x的系数为40，故D正确）.16.解：四个盒子放球的个数如下:1号盒子：{0，1}2号盒子：{0，1，2}3号盒子：{0，1，2，3}4号盒子：{0，1，2，3，4}结合由5个不同

的小球全部放入盒子中，不同组合下其放法如下：5=1+4：153C种5=2+3：254C种75=1+1+3：31526CC种5=1+2+2：22536CC种5=1+1+1+2：2115323CCC种∴5个相同的小球放入四个盒子方式共有：15

3C+254C+31526CC+22536CC+2115323CCC=535种故答案为：535四、解答题17．有3名男生与4名女生，在下列不同条件下，分别求排法种数(要求用数字作答).1）全体排成一排，女生必须站在一起；2）全体排成一排，男

生互不相邻；3）全体排成一行，其中甲，乙，丙三人从左至右的顺序不变.解：1）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有44A种方法，再将4名女生进行全排列，也有44A种方法，故共有4444AA576=种排法

…………………………………3分2）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有44A种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有35A种方法，故共有4345AA1440

=种排法.……………6分3）（定序法）从7个位置中选四个安排除甲，乙，丙以外的4个人，有47A种方法，剩下的三个位置从左至右依次安排甲，乙，丙，仅有一种安排，故共有47A=840种排法.…………………………10分18．41()nxax+的展开式中，偶数

项的二项式系数之和128，且前三项系数成等差数8列.1）求a的值；2）若3a，展开式有多少有理项？写出所有有理项.解：1）因为偶数项的二项式系数之和为128，所以12128n−=，解得8n=，……………1分所以二项展开式为：841()xax+第一项：()0804101

841TTCxxax+===，系数为1，第二项：()1137142118418TTCxxaax+===，系数为8a，第三项：()25622321824128TTCxxaax+=

==，系数为228a，………………………………4分由前三项系数成等差数列得：282821aa=+，解得2a=或14a=.……………………………6分2）若3a，由1）得2a=，故二项展开式为：841()2xx+，其通项是：()163884184122rrrrrrrCTCxxx−

−+==，其中0,1,2,8r=由于1633r=444r−−，要1rT+成为有理项，则0,4,8r=……………………8分0r=时04418TCxx==；4r=时48543528CTxx==；

8r=时982289812256CTxx−−==…………11分从而展开式有3项为有理项，分别是04418TCxx==，48543528CTxx==，82289812256CTxx−−==.………………………………………………………12分1

9．长方体1111ABCDABCD−如右图所示，已知2AB=，11ADAA==，从该长方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点，用随机变量X表示这两点之间的距离.1）求随机变量2X的概率；2）求随机变量X的分布列.解：1）由于从长

方体的八个顶点中，任取两个不同的顶点的取法总共有2828C=种，又2X的情况有两类：当5X=时，即取矩形ABCD或矩形1111DCBA或矩形11AABB或矩形11CCDD的对角线的两个端点，每个矩形有2种取法，共有428=种取法；当6X=时，取长方体1111ABCDA

BCD−的体对角线的两个端点，共有4种取法，故随机变量2X的概率是()()()843256287PXPXPX+==+===；……………4分2）依题意，随机变量X的所有可能取值为1、2、2、5、6，当1

X=时，即取正方形11AADD和正方形11BBCC的边所对棱的两个端点，共有8种取法，10则()821287PX===；当2=X时，即取正方形11AADD和正方形11BBCC的对角线的两个端点，每个正方形有2种取法，共有224=种取法，则()412287PX===；当2X=时，即取棱长

为2的棱的两个端点，共有4种取法，则()412287PX===；…………10分由（1）知，()825287PX===，()416287PX===.故随机变量X的分布列为：………………………………12分

20.现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学（要求用数字作答）.1）若5本书完全相同，共有多少种分法；2）若5本书都不相同，每个同学至少分一本书，共有多少种分法；3）若5本书仅有两本相同，按一人3本另两人各1本分配，共有多少种分法.解：1）先借三本相同的书一人给一本，保证每人至少分

得一本，再将8本书排成一排，中间有7个空位，在7个空位中任选2个插入隔板，有2721C=种情况，即有21种不同的分法；……………4分2）分2步进行：①将5本书分成3组，X12256P271717271711若分成1、1、3的三组，有31522210CCA=种分组方

法，若分成1、2、2的三组，有1225422215CCCA=种分组方法，从而分组方法有101525+=种；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A=种情况，根据分步计数原理，故共有256150=种分法.…………………………………………………8分3）记这5本书分别为A、A、B、C、D,5

本书取其三本分配时①不含A时仅有一种分组，再分配给3人,有3种方法②仅含一个A时，分组的方法有23C种，再分配给3人，共有333218AC=种方法③含两个A时，分组的方法有13C种，再分配给3人，共有133318

AC=种方法从而共有18+18+3=39种分法.……………………………………………………12分21．2021年元旦某公司进行抽奖活动，每位员工抽奖一次.规则如下：在一个抽奖盒中放有红、橙、黄、绿、蓝、紫的小球各2个，分别对应1分、2分、3分、4分、5分、6分.员

工从袋中一次性任取3个小球，按3个小球中最大得分的6倍计分，计分超过25分即为中奖（中奖者根据得分兑换相应礼品，员工抽完奖球立即放回盒中），每个小球被取出的可能性相等，用表示某员工取出的3个小球中最大得分，求：1）取出的3个小球恰

有两个颜色相同的概率；2）随机变量的概率分布；3）求该员工中奖的概率.解：1）取出的3个小球“恰有两个颜色相同”与“颜色互不相同”互为对立事件12记“取出的3个小球颜色互不相同”的事件为A，则311162223128()11CCCCPAC==故取出的3个小球恰有两个

颜色相同的概率为：831()11111PA−=−=……………3分（若用直接法，列式则为：()()121162231523=11CCCCC）2）由题意有可能的取值为：2,3,4,5,6.……………………………………………4分2112222

23121(2)55CCCCPC+===；211242423124(3)55CCCCPC+===；211262623129(4)55CCCCPC+===；2112828231216(5)55CCCCPC+===；211210210231

25(6)11CCCCPC+===……………………………………………………………9分所以随机变量的概率分布为:23456P1554559551655511……………………………………………………………10分133）记“该员工中奖”的事件为C，则：()(56)(5

)(6)51654111555PCPPP=====+==+=或…………………………12分22．已知数列{}na（*nN）的通项公式为1nan=−（*nN）.1）求201(12)ax+的二项展开式中的系数最大的项；2）记1245kakd+=（*kN），求集合1{|,}kkx

dxdx+Z的元素个数（写出具体的表达式）.解：1）2012001200(12)(12)2arrrrxxTCx++=+=Q设二项展开式中的系数最大的项数为1,[0,200],rrrN+则112002001120020012(200)22133134133,1342(20

1)22rrrrrrrrrrCCrrrrCC++−−+−=−，因此二项展开式中的系数最大的项为133133200(2)Cx，134134200(2)Cx………………………6分2）1224455kakkd

Z+==1111222(51)(555(1))(1)555kkkkkkkkkdCC−−−=−=−++−+−L1121122[55(1)](1)5kkkkkkkCC−−−−=−++−+−L……………………………………………8分所以

当k为偶数时，集合1{|,}kkxdxdx+Z的元素个数为：1111211112[55(1)]2[55(1)]1kkkkkkkkkkkkCCCC−−−−−++−++−−−++−−LL12261[(51)1][(51)1]145555k

kk+=−+−−−−=−当k为奇数时，集合1{|,}kkxdxdx+Z的元素个数为：141111211112[55(1)]2[55(1)]1kkkkkkkkkkkkCCCC−−−−−++−++−−−++−+LL12261[(51)1][(51)

1]145555kkk+=−−−−++=+综上，元素个数为164(1)5kk++−……………………………………………………………12分