【文档说明】西南大学附属中学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）.doc，共(17)页，1.495 MB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前西南大学附中2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题卷注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号码填写在答题卡上。2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。3.考

试结束后，将答题卡交回。一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13,21….该数列的特点是:前两个数都是1，

从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列na称为“斐波那契数列”，则()()()()2332132243334201520172016aaaaaaaaaaaa−−−−=A．1B．2017C．-1D．-20172．古希腊数学家阿波罗

尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆．若用面积为144的矩形ABCD截某圆锥得到椭圆，且与矩形ABCD的四边相切．设椭圆在平面直角坐标系中的

方程为22221(0)xyabab+=，下列选项中满足题意的方程为（）A．2218116xy+=B．2216581xy+=C．22110064xy+=D．22164100xy+=3．若抛物线22ypx=的焦点与双曲

线2213xy−=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为A．=1x−B．2x=−C．1x=D．4x=4．已知na是等差数列，若11a+，33a+，55a+成等比数列，且公比为q，则q＝（）A．3B．3−C．1D．1−5．在等比数列na中，28,

aa为方程240xx−+=的两根，则357aaa的值为（）A．B．−C．D．36．我国古代数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，知长排来争三岁，其年二百七岁期借问长儿多少岁，各儿岁数要详推”大致

意思是：一个公公九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的开始排列，后面儿子比前面儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁?（）A．38B．35C．32D．297．已知双曲线()()220022:10,0,,xyCabPxyab−=是直线20bxaya

−+=上任意一点，若圆()()22002xxyy−+−=与双曲线C的右支没有公共点.则双曲线C的离心率的取值范围是（）A．(1,2B．(1,2C．()2,+D．)42,+8．数列na满足11a=，对任意的*Nn都有11nnaaan+=+

+，则122016111...aaa+++=（）A．20152016B．20162017C．40342017D．40322017二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．

记nS为等差数列{}na的前n项和，nT为数列{}nb的前n项和，且11,*.nnnaabnN+=若40,S=55a=，则（）A．25nan=−B．24nSnn=−C．16nT−D．()5nnab+的最大值为210．关于函数()xfxe=，()lngxx=下列说法

正确的是（）A．对0x，()1gxx−恒成立B．对xR，()fxex恒成立C．若abe，()()agbbgaD．若不等式()()faxaxxgx−−对1x恒成立，则正实数a的最小值为1e11．设数列na是公差为d等差

数列，nS为其前n项和，10a，且20202023SS=，则（）A．0dB．20220a=C．56SSD．2021S，2022S为nS的最小值12．已知双曲线22:1169xyC−=，下列结论正确的是（）A．双曲线C的渐近线方程为34yx=?B．双曲线C的焦点到其

渐近线的距离为3C．若直线l与C相交于A、B两点且AB的中点为()8,3，则l的斜率为32−D．若直线ykx=与C没有交点，则k的取值范围是33,,44−−+三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．顶点在原点，

经过圆222220Cxyxy+−+=：的圆心且准线与x轴垂直的抛物线方程为________．14．数列{}na满足11a=，22a=，且2221sin2cos22nnnnaa+=++

（*nN），则2020a=__.15．在ABC中，,,abc分别为角,,ABC的对边，已知2221coscossinsinsin4ABCBC−+==，且ABC的面积为3，则a的值为__________．16．已知{an}是

公差不为零的等差数列，a5＝14，且a1，a3，a11成等比数列，设bn＝(－1)n＋1an，数列{bn}的前n项的和为Sn，则S2021＝________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知数列na满足132a=，11

1,213,2nnnannkaank−−+−=+==，其中*kN．记2112nnban−=++，*nN．（1）求证：数列nb是等比数列；（2）记212212nnnSaaaa−=++++…，试比较2(1)133nnS+++与233nnS+的大小，并说明理由．18．已知数列n

a的前n项和为nS，12nnaaS=+，且12a=.（1）求na的通项公式；（2）若()21lognnbna=+，求221nnb+的前n项和nT.19．对于数列A：a1，a2，a3，…

，定义A的“差数列”A：213243,,aaaaaa−−−，…（I）若数列A：a1，a2，a3，…的通项公式121nna−=+，写出A的前3项；（II）试给出一个数列A：a1，a2，a3，…，使得A是等差数列；（III）若数列A：a1，

a2，a3，…的差数列的差数列（A）的所有项都等于1，且19a=92a=0，求1a的值.20．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为12，直线30xy++=过其短轴的一个端点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若过点(2,1)P的直线l与椭圆C

在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.21．设nS是等差数列na的前n项和，已知132aa+=−，1575S=（*nN）．（Ⅰ）求9S；（Ⅱ）若数列()()1144nnnbaa+=++，求数列nb的前n项和nT．22．已知椭圆C：()22221

0xyabab+=的左焦点为F，点61,2M在椭圆C上，且椭圆C上存在点N与点F关于直线yx=对称．（1）求椭圆C的标准方程．（2）若直线l与椭圆C只有一个公共点，点A，B是x轴上关于原点对称的两点，且点A，B在直线l上的射影分别为P，Q，判断是否存在点A，B，使得APBQ为

定值，若存在，求出A，B的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．参考答案1．C根据“斐波那契数列”特点可得到数列的规律，即当n为偶数时，2211nnnaaa++−=−；当n为奇数时，2211nnnaaa++−=，所求式子最末项20

15n=，从而可得结果.由题意得：21321aaa−=，22431aaa−=−，23541aaa−=，…当n为偶数时，2211nnnaaa++−=−；当n为奇数时，2211nnnaaa++−=()()()()

23321322433342015201720161aaaaaaaaaaaa−−−−=−本题正确选项：C2．A由题意椭圆方程是22221(0)xyabab+=，排除BD，矩形ABCD的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22ab144=，36ab=．

在椭圆2218116xy+=中，9,4ab==，36ab=，满足题意，在椭圆22110064xy+=中10,8ab==，80ab=,不满足题意．故选：A．3．B双曲线2213xy−=的右焦点为()2,0故抛物线22ypx=中242pp=

=故其准线方程为2x=−4．C解：设{}na是公差为d的等差数列，若11a+，33a+，55a+成等比数列，可得2315(3)(1)(5)aaa+=++，即2111(23)(1)(45)adaad++=+++，化为2210dd++=，解得1d=−，则

1(1)naan=−−，则公比为3111323111aaqaa+−+===++，故选：C．5．C解：在等比数列na中，因为28,aa为方程240xx−+=的两根，所以2258aaa==，所以5a=，所以33575aaaa==.故选：C.6．B由题意可知，九个

儿子的年龄可以看成以老大的年龄1a为首项，公差为3−的等差数列，所以()198932072a+−=，解得135a=，故选：B.7．B由直线20bxaya−+=与渐近线0bxay−=的距离得到圆心()00,Pxy到直线0bxay−=的距离为2adc=，再根据圆()()22

002xxyy−+−=与双曲线C的右支没有公共点，由22adc=求解.双曲线22221xyab−=的一条渐近线方程为0bxay−=，因为点()00,Pxy是直线20bxaya−+=上任意一点，又直线20bxaya−

+=与直线0bxay−=的距离为：2222aadcab==+，即圆心()00,Pxy到直线0bxay−=的距离为：2adc=,因为圆()()22002xxyy−+−=与双曲线C的右支没有公共点，所以22adc=，即2cea=

，又1e,所以双曲线的离心率的取值范围为(1,2].故选：B8．D利用累加法可得(1)2nnna+=，再裂项相消求和即可由题意得，对11nnaaan+=++，故11a=，212aa=+，323aa=+，…，1nnaan−=+，累加可得(1)12...(

2)2nnnann+=+++=，11a=满足，所以(1)2nnna+=，则1112()1nann=−+，122016111aaa+++1111140322(1)223201620172017=−+−++−=故

选：D．9．ABD解：因为数列{}na为等差数列，40S=，55a=，所以1145460adad+=+=，解得13,2ad=−=，所以()31225nann=−+−=−，()232542nnnS

nn−+−==−，故选项A、B正确；又因为11nnnaab+=，所以()()1112523nnnbaann+==−−，因为1n=时，111136Tb==−，所以选项C错误；因为()()()2221515252341615282nnnnabnnnnnn+===−−−++−，1n=时，()1123

5ab=+，2n=时，()2245ab=−+，3n时，因为15282nn+−随着n的增大而增大，且大于0，所以()()33255nnabab+=+，综上，()5nnab+的最大值为2，故选项D正确；故选：ABD.10．ABD选项A：构造函数()()ln10hxxxx=−+，根据导数判断函数的

单调性并求最大值，从而判断选项正确；选项B：构造函数()()xfxex=−，根据导数判断函数的单调性并求最小值，从而判断选项正确；选项C：构造函数()()()0gxmxxx=，根据导数判断函数在(),e+内单调递减，从而判断选项错误；选项D：把不等式()()faxaxxgx−−变形为l

nlnaxxeaxex−−，所以只需研究函数()xFxex=−的单调性即可求出答案，从而判断选项正确.选项A：令()()ln10hxxxx=−+，则()111xhxxx−=−=，因为0x，所以由()0hx得01x；由()0hx得1x，所

以()hx在()0,1内单调递增，在()1,+内单调递减，所以()hx的最大值为()10h=，所以对0x，()0hx恒成立，即对0x，()1gxx−恒成立，故选项A正确；选项B：令()()xxfxexeex=−=−，则()x

xee=−，由()0x得1x；由()0x得1x，所以()x在()1,+内单调递增，在(),1−内单调递减，所以()x的最小值为()10=，所以对xR，()0x恒成立，即对xR，()fxex恒成立，故

选项B正确；选项C：令()()ln()0gxxmxxxx==，则21ln()xmxx−=，所以由()0mx得0xe；由()0mx得xe，所以()mx在()0,e内单调递增，在(),e+内单调递减，所以当abe时，()()mamb，即()()gagba

b，所以abe，()()agbbga成立，故选项C错误；选项D：因为不等式()()faxaxxgx−−对1x恒成立，即不等式lnaxeaxxx−−对1x恒成立，又因为lnlnlnxxxex−=−，所以不等式lnlnaxxeaxex−−对1x恒成立

；令()xFxex=−，则()1xFxe=−，当0x时，()10xFxe=−恒成立，所以()xFxex=−在()0,+单调递增，所以由不等式lnlnaxxeaxex−−对1x恒成立，得lnaxx对1x恒成立，即lnxax对1x恒成立，由选项C知，

()ln()1xmxxx=在()1,e内单调递增，在(),e+内单调递减，所以()mx的最大值为1()mee=，所以只需1ae，即正实数a的最小值为1e.故选：ABD.11．ABD根据20202023SS=可知，2021202220230aaa++=，由等差中项可得，2021202

22023202203aaaa++==，即20220a=，故B正确；10a，2022102021aad==+，故102021ad=−，故A正确；10a，0d可知，等差数列单调递增，但20220a=，说明()12021,nannZ都是负数，故2021S最小，又20220a=，于

是20212022SS=，它们均是最小值，故D正确；据刚才分析，60a，而6560SSa−=，故C错误.故选：ABD12．AB依题意，双曲线22:1169xyC−=，4,3,5abc===，双曲线的渐近线方程为34=

=byxxa，A选项正确.焦点()5,0F到渐近线340xy−=的距离为1535=，B选项正确.设()()1122,,,AxyBxy，则222211221,1169169xyxy−=−=，两式相减并化简得12121212916yyyyxxxx+−=+−，若AB的中点为()8

,3，则12121212933,1682yyyyxxxx−−==−−，即l的斜率为32，C选项错误.双曲线的渐近线34yx=?与双曲线没有交点，34k=，所以D选项错误.故选：AB13．由题意圆的

圆心，因此抛物线的方程的焦点在轴正半轴，设方程，把点代入得，解得，因此抛物线方程．14．2020当n为偶数时，可得出22nnaa+=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解.当n为偶数时，2223cos1sin2cos1cos2222nnnnnnnaaa

na+−=++=++=+，即22nnaa+=+，故数列{}na的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以2122nnan=+−=，所以20202020a=.故答案为：2020.15．23根据同角的三角函数关系和正弦

、余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理和比例性质求得22bcasinBsinCsinA=，结合△ABC的面积求出a的值．△ABC中，由cos2A﹣cos2B+sin2C＝sinBsinC14=，得1-sin2A-（1-sin2B）+s

in2C＝sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，∴b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cosA222122bcabc+−==，又A∈（0，π），∴A3=；由正弦定理abcsinAsinBsinC==，∴22bcasinBsinCsinA=，即22143bcas

in=，化简得a2＝3bc；又△ABC的面积为S△ABC12=bcsinA3=，∴bc＝4，∴a2＝12，解得a＝23．故答案为23.16．3032根据已知条件求得na，进而求得nb，利用分组求和法求得2021S.设等差数列na的公差为d，由于a1，a3，a11成等比数列

，∴23111aaa=，即(a5－2d)2＝(a5－4d)·(a5＋6d).∴14d2＝3a5d.又d≠0，a5＝14，知d＝3，因此an＝a5＋(n－5)×3＝3n－1，bn＝(－1)n＋1(3n－1).∴S2021＝b1＋b2＋b3＋…＋b2021＝b1＋

(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(b2020＋b2021)2310103032=+=.故答案为：303217．（1）根据题意求1nnbb+及1b，即可得到数列nb是等比数列；（2）根据（1）得到数列n

b的通项公式及前n项和，然后根据题意将2nS和数列nb的前n项和联系起来，得到2nS，进而得22nS+，最后利用作差法比较2(1)133nnS+++与233nnS+的大小即可．（1）由题意得21221121212113312332223111222nnnnnnnnanannan

bbananan+−+−−−++++++++====++++++，且11332ba=+=，所以数列nb是以3为首项，3为公比的等比数列．（2）由（1）知，3nnb=，所以()11231333132nnnbbb+−−+++==−…．因为2112nnban−=++，*

nN，所以123112nnban−−=+−+，……23122ba=++，11112ba=++，所以()121321(1)22nnnnnbbbaaa−++++=+++++……．而212212nnnSaaaa−=++++…，11212133…−−=++++n

naaaa，()13214…−=+++naaa.所以1212233242324622nnnnnSnn++−+=−=−−−，故222222232(1)4(1)6232812nnnSnnnn+++=−+−+−=−−−，而()2(1)2(1)221113333333

33+++++++++−=−nnnnnnnnSSSS，()221211232893232433+++=−−−−−−−nnnnnnn，()2114403nnn+=+，故2(1)213333nnnn

SS++++．18．（1）2nna=；（2）()()221nnn++.（1）由题意结合数列na与nS的关系可得12nnaa−=，进而可得na是公比2q=的等比数列，再由等比数列的通项公式即可得解；（2）由题意()22221111nnbnn+=−+

，再由裂项相消法即可得解.（1）由12nnaaS=+可得当2n时，1112nnaaS−−=+，∴1122nnnnnaaSSa−−−=−=，即12nnaa−=，又12a=，∴na是公比2q=的等比数列，

∴112nnnaaq−==；（2）由（1）知，()()()221log1log21nnnbnannn=+=+=+，∴()()2222221211111nnnbnnnn++==−++，∴()22222211111112231nTnn

=−+−++−+()22222211111112231nn=−+−++−+()()()2221111nnnn+=−=++.19．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819（I）先计算数列

A的前4项，然后利用差数列的定义写出A的前3项；（II）由差数列定义知常数列即满足题意；（III）根据差数列的定义利用累加法可求得数列na的通项公式，然后利用数列的第19项和第92项即可求得首项的值.（I）数列A：2，3

，5，9，数列A：1，2，4（II）数列A：2，2，2，2，…（III）数列（A）：1，1，1，1，…，设数列A：k，k+1，k+2，k+3，…则数列A：a2－a1=ka3－a2=k+1…()12nnaakn−−=+−以上叠加得()()()11212nnnaank−−−=−+，即(

)()()11212nnnanka−−=−++则19192118179914591akaaka=++=++，则154819ka=−=.20．（1）22143xy+=；（2）直线方程为2x=，(2,0)M或240xy+−

=，3(1,)2M．（1）由离心率得12ca=，由直线过短轴端点得3b=，从而可求出a，得椭圆方程；（2）分类讨论，斜率不存在的直线及斜率存在的切线，斜率存在的切线用0=可求解．（1）直线l与y轴交点为(0,3)−，它是椭圆短

轴端点，则3b=，又12cea==，所以22214aba−=，解得2a=．∴椭圆方程为22143xy+=；（2）过(2,1)P斜率不存在的直线为2x=，是椭圆的切线，此时切点为(2,0)M．过(2,1)P斜率存在

的切线方程设为1(2)ykx−=−，由221431(2)xyykx+=−=−得222(34)8(12)161680kxkkkk++−+−−=，∴222264(12)4(34)(16168)96(21)0kkkkkk=−−+−−

=−+=，12k=−，此时121xx==，1232yy==，即3(1,)2M．直线方程为11(2)2yx−=−−，即240xy+−=．切线方程为2x=，(2,0)M或240xy+−=，3(1,)2M．21．（Ⅰ）18；（Ⅱ）24

nnTn=+.（1）根据等差数列na满足132aa+=−，1575S=，列出关于首项1a、公差d的方程组，解方程组可得1a与d的值，根据等差数列的求和公式可得9S递的值；（2）由（1）知3nan=−，从而可得()()()()11111441212nnnbaannnn+===

−++++++，利用裂项相消法求解即可.试题解析：（I）设数列na的公差为d，则112221510575adad+=−+=即1111510575adad+=−+=，解得121ad=−=，所以()998921182S=−+=.（也可利用等差数列的性质解答）(II)由（I）知(

)2113nann=−+−=−，()()()()11111441212nnnbaannnn+===−++++++，123nnTbbbb=++++=111111233412nn−+−+−++11.2224nnn=−=++22．（

1）22142xy+=；（2），存在点()2,0A，()2,0B−或()2,0A−，()2,0B，使得APBQ为定值，该定值为2．解：（1）因为点61,2M在椭圆C上，所以221123ab+=．由题意知(),0Fc−，因为点N与点F关于直线yx=对称，所以点

N的坐标为()0,Nc−，代入椭圆C的方程，得221cb=，即2221abb−=，所以222ab=，与221123ab+=联立并求解，得24a=，22b=，所以椭圆C的标准方程为22142xy+=．（2）存在点A，B，使得APBQ为定值．当直线l的斜率存在时，设其方程为ykxm

=+，将ykxm=+代入22142xy+=，得()222124240kxkmxm+++−=，则()()()2224412240kmkm=−+−=，得2242mk=+．设()(),00Att，则(),0Bt−，点(),0At到直线l的距离21tkmAPk+=+，点(),0Bt−到直线l的距离

21tkmBQk−+=+，所以()22222224211tkmtkAPBQkk−+−==++，当242t−=，即2t=时，2APBQ=，为定值，所以存在点()2,0A，()2,0B−或()2,0A−，()2,0B，使得2APBQ=．当直线l的斜率不存在时

，直线l的方程为2x=，()2,0A，()2,0B−或()2,0A−，()2,0B均满足2APBQ=．综上，存在点()2,0A，()2,0B−或()2,0A−，()2,0B，使得APBQ为定值，该定值为2．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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