【文档说明】山东省滨州市邹平市第一中学2023-2024学年高二上学期开学考试数学试题 word版含解析.docx，共(18)页，1.116 MB，由小赞的店铺上传

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山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知()()()1,1,0,4,3,0,5,4,1ABC−−，则A到BC的距离为

（）A．3B．583C．2173D．7832．如果实数x，y满足()2222xy−+=，则yx的范围是（）A．()1,1−B．1,1−C．()(),11,−−+D．(),11,−−+3．已知抛物线x2=16y的焦点为F，双

曲线22145xy−=的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线右支上一点，则|PF|+|PF1|的最小值为（）A．5B．7C．9D．114．若直线yxb=+与曲线24yx=−有两个公共点，则实数b的取值范围为（）A．[2,22]−B．[22,2

2]−C．(0,22]D．[2,22)5．已知抛物线()2:20Cypxp=，F为C的焦点，过焦点F且倾斜角为的直线l与C交于()11,Axy，()22,Bxy两点，则下面陈述不正确的为（）A．2121234xxyyp+=−B．22sinpAB=C．112AFBFp+=D．记原点为

O，则2sinAOBpS=△6．如图所示，该曲线W是由4个圆：22(1)1xy−+=，22(1)1xy++=，22(1)1xy++=，22(1)1yx+−=的一部分所构成，则下列叙述错误的是（）A．曲线W围成的封闭图形面积为42π+B．若圆222(0)xyrr+=与曲线W有4个交点，则2r=

或2C．BD与DE的公切线方程为120xy+−−=D．曲线上的点到直线5210xy+++=的距离的最小值为37．1F、2F是椭圆22:12516xyC+=的左、右焦点，点P在椭圆C上，过1F作12FPF的角

平分线的垂线，垂足为M，若||2,OM=则1||PF的长为（）A．5B．6C．7D．88．已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的右焦点为F，过F作过第一象限的渐近线的垂线，垂足为M，交另一条渐近线于点N，若16FMFN=，则E的离心率为（）A．4155B．2155

C．5D．25二、多选题9．在下列四个命题中，正确的是（）A．若直线的倾斜角为锐角，则其斜率一定大于0B．任意直线都有倾斜角，且当90时，斜率为tanC．若一条直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为D．直线的倾斜角越大，

则其斜率越大10．已知方程22124xykk+=−−，则（）A．若此方程表示椭圆，则24kB．若此方程表示双曲线，则2k或4kC．若此方程表示焦点在y轴的双曲线，则4kD．若此方程表示圆，则圆的半径为111．已知抛物线24yx=的焦点为F，

点P在抛物线上，则（）A．过点()0,2A且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有两条B．设点()3,2B，则PBPF−的最大值为22C．点P到直线30xy−+=的最小距离为2D．点P到直线4360xy−+=与点P到y轴

距离之和的最小值为112．已知正方体1111ABCDABCD−棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（）A．若112APAD=，则异面直线BP与1CD所成角的余弦值为33B．若()10,1BPB

CBB=+三棱锥1PABC−的体积是定值C．若()110,12BPBCBB=+，有且仅有一个点P，使得1AC⊥平面1ABPD．若()10,1APAD=，则异面直线BP和1CD所成角取值范围是ππ,42三、

填空题13．已知向量()()1,1,0,1,0,2ab==−rr，若向量k+ab与2ab+的夹角为锐角，求实数k的取值范围______．14．过点()4,3−且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为______．15．直线3ykx=+与圆

()()22324xy−+−=相交于,MN两点，若23MN，则k的取值范围是______．16．已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，过左焦点1F的直线与双曲线C的左支交于M，N两点，且13MNMF=，线段2MF的中垂线恰好经过点N，则双曲线C的

离心率是______．四、解答题17．已知平行六面体1111ABCDABCD−的底面是边长为1的菱形，且113CCBCCDBCD===，12DD=．（1）证明：1DDBD⊥；（2）求异面直线1CA与AB夹角的余弦值．18．已知直线:(21)(

1)74lmxmym+++=+，椭圆22:12516xyC+=．（1）证明：直线l与椭圆C恒有两个交点；（2）已知点()1,0A，若P是椭圆C上任意一点，求PA的取值范围．19．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为42，短轴长为2，直线l过点()2,1

P−且与椭圆C交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为1，求弦AB的长；（3）若过点1(1,)2Q的直线1l与椭圆C交于E、G两点，且Q是弦EG的中点，求直线1l的方程．20．如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，2AB=，60ABC=，M是AB的中点．（

1）求证：EMAD⊥；（2）求点B到平面EAC的距离；（3）已知点P在线段EC上，且直线AP与平面ABE所成的角为45°，求出EPEC的值．21．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近

线方程为12yx=，且双曲线C过点()22,1．（1）求双曲线C的标准方程；（2）过点M()3,0的直线与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，是否存在直线AB，使得10AMBM=成立，若存在，求出直线AB的方程；若不存在，请说明理由．22．在A

BC中，23AC=，点B是椭圆22154xy+=在x轴上方的顶点，l的方程是1y=−，当AC在直线l上运动时．（1）求ABC外接圆的圆心P的轨迹E的方程；（2）过定点3(0,)2F作互相垂直的直线1l、2l，分别交轨迹E于M、N和R、Q，求四边

形MRNQ面积的最小值．山东省邹平市第一中学2023-2024学年度高二上学期9月开学考数学参考答案：1．D2．B3．C4．D【详解】化简曲线24yx=−得()2240xyy+=，画出图像如图：当直线1l与半圆O相切时

，直线与半圆O有一个公共点，此时，22bd==，所以22b=，由图可知，此时0b，所以22b=．当直线2l如图过点A、B时，直线与半圆O刚好有两个公共点，此时2byx=−=．由图可知，当直线介于1l与2l之间时，

直线与曲线有两个公共点，所以222b．故选：D．5．D【详解】解：由题意知，令直线2pxmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，与抛物线2:2Cypx=联立方程，消去x得2220ypmyp−−=，所以122yypm

+=，212yyp=−，所以21212224pppxxmymy=++=，则2121234xxyyp+=−，故A正确；由1tan2m=，所以12ABAFBFxxp=+=++()212222myy

ppmp=++=+=()222122121tansinppmp+=+=，当2=时，经检验22sinpAB=亦成立，故B正确；12121211112222xxpppppAFBFxxxx+++=+=++++()122121224x

xpppxxxx++=+++()()121222121222424xxpxxppppppxxpxx++++===+++++，故C正确；如图，作OE垂直AB于E，则22112sin22sin22sinAOBpppSABOE===△，当2=时，经检验22sinAOBp

S=△亦成立，故D错误，故选：D．6．D【详解】曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆构成，所以其面积为2222142+=+，故A正确；当2r=时，交点为B，D，F，H；当2r=时，交点

为A，C，E，G；当02r或2r时，没有交点；当22r时，交点个数为8个，故B正确；设BD与DE的公切线方程为()0,0ykxtkt=+，由直线和圆相切的条件可得221111tktkk−+==

++，解得1k=−，12t=+（12−舍去），则其公切线方程为12yx=−++，即210xy+−−=，故C正确；同理可得HB，HG的公切线方程为120xy+++=，则两平行线距离为5211242d+−−==，故D错误．7．C【详解】如图，延长1FM交2PF的延长线于点B，因为1

FPMBPM=，1FBPM⊥，所以1FMMB=，1PFPB=．又12FOOF=，所以2//OMFB，224FBOM==，由椭圆的定义得122510PFPF+==，214PFPF=−，所以1142510PFPF+−==，∴

17PF=．故选：C8．B【详解】双曲线的渐近线方程为byxa=，过(),0Fc与此渐近线垂直的直线方程为：bxyca=−+，联立求得22OMOMbbcyyaa=−+，221OMbbcyaa+=，①代入渐近线byxa=−中，得到22O

NONbbcyyaa=−，221ONbbcyaa−=−，②，∵16FMFN=，∴6ONOMyy=，∴2222161bbaa+=−，整理得：2257ba=，结合222abc+=，整理可得22125ac=，即离心率2155e=．故选：

B．9．AB【详解】当090时，其斜率tan0k=，所以A正确；根据直线倾斜角的定义可得每一条直线都有一条确定的倾斜角，由斜率定义可得当直线的倾斜角90时，直线的斜率为tan，所以B正确；若一条直线的斜率为ta

n，则此直线的倾斜角为180k=+，kZ，且0180，故C不正确；直线的倾斜角为锐角是斜率大于0，倾斜角为钝角时斜率小于0，故D不正确；故选：AB．10．BD【详解】对于A：当方程表示椭圆时，204024kkkk−−

−−，解得24k且3k，故A错误．对于B：当方程表示双曲线时，()()240kk−−，解得2k或4k，故B正确．对于C：当方程表示焦点在y轴的双曲线时，2040kk−−，解得2k，故C错误．对于D：当方程表示圆时，24kk−=−，解得3k=，此

时方程为221xy+=，故D正确．故选：BD11．BCD【详解】对于A选项，设过点A的直线为m，若直线m方程为0x=，此时直线m与抛物线24yx=只有一个公共点，若直线m的方程为2y=，此时直线m与抛物线24yx=只有一个公共点，若直线m的斜率存在且不为零，设直线m的方程

为2ykx=+，联立224ykxyx=+=可得()224440kxkx+−+=，若直线m与抛物线24yx=相切，则()22044160kkk=−−=，解得12k=，此时，直线m的方程为122yx=+，综上所述，过点()0,2

A且与抛物线只有一个公共点的直线有且仅有三条，A错；对于B选项，如下图所示：易知点()1,0F，()()22312022PBPFBF−=−+−=，当且仅当点P为射线BF与抛物线24yx=的交点时，等号成立，故PBPF−的最大值为22，B对；对于C选项，设点()24,4Pt

t，其中tR，则点P到直线30xy−+=的距离为222114242244322222ttttd−+−+−+===，当且仅当12t=时，等号成立，故点P到直线30xy−+=的最小距离为2，C对；对于D选项，如下图所示：抛物线24yx

=的准线为:1lx=−，过点P作PAl⊥，垂足为点A，设PA交y轴于点B，过点P作直线4360xy−+=的垂线，垂足为点D，连接PF，则11PBPDPAPDPFPD+=+−=+−，当DF与直线4360xy−+=垂直时，PDPF+取最小值，且最小值为点F

到直线4360xy−+=的距离()2210243d==+−，因此，1211PBPDPFPD+=+−−=，故点P到直线4360xy−+=与点P到y轴距离之和的最小值为1，D对．故选：BCD．12．BD【详解】A：由112APAD=，

即P为1AD中点，连接BP，1BC，BD，若E，O分别是1BC，BD中点，连接OE，1ED，则1//OECD，又1BEPD=且1//BEPD，即1BEDP为平行四边形，所以1//BPED，所以异面直线BP与1CD所成角，即为1OED或其补角，而1122OEDC==，16ED=，

16OD=，故12663cos6226OED+−==，故A错误；B：由()10,1BPBCBB=+知：P在11BC（含端点）上移动，如下图示，PBC△面积恒定，1A到面PBC的距离恒定，故1PAB

C−的体积是定值，故B正确；C：若E，F分别是1BB，1CC中点，由()110,12BPBCBB=+知：P在EF（含端点）上移动，由CD⊥面11ADDA，CD面1DCA，则面11ADDA⊥面1DCA，由11ADAD⊥，面11ADDA

面11DCAAD=，1AD面11ADDA，所以1AD⊥面1DCA，1AC面1DCA，则11ADAC⊥，同理可证：11ABAC⊥，由11ADABA=，1AD、1AB面11ABD，故1AC⊥面11ABD，而面1ABP面111ABDAB=，要

使1AC⊥面1ABP，则P必在面11ABD内，显然EF面11ABD，故C错误；D：由()10,1APAD=知：P在1AD（含端点）上移动，如图以1A为原点，11AB，11AD，1AA分别为x，y，z轴建系，则()12,2,0C，()0,2,2D，()

2,0,2B，则()12,0,2CD=−，设()0,,2Paa−，0,2a，则()2,,BPaa=−−，所以122422cos,224222aaBPCDaa−−==++，令20,2ax−=，当2a=，即0x=时，1cos,0BPCD=，此时直线BP和1CD所成角是2；当2a

，即(0,2x时，则12211cos,64111212633BPCDxxx==−+−+，当112tx==，即0a=时，1cos,BPCD取最大值为22，直线BP和1CD所成角的最小值为4，故D正确．故选：BD13．111,,22−+【详解

】因为()1,1,0a=，()1,0,2b=−，所以()1,1,2akbkk+=−，()21,2,2ab+=，因为向量akb+与2ab+的夹角为锐角，所以()()2124330akbabkkk++=−++=+，解得1k−，而当()()//

2akbab++时，112122kk−==，解得12k=，所以实数k的取值范围为111,,22−+．14．1yx=−+或34yx=−【详解】依题意设l的方程为()34ykx+=−．令0x=，得43yk=−−；令0y=，得43kxk+=．因此4343kkk+−−=．

解得1k=−或34k=−．故所求方程为1yx=−+或34yx=−．故答案为：1yx=−+或34yx=−15．3,04−【详解】解：由圆的方程得：圆心()3,2，半径2r=，所以，圆心()3,2到直线3ykx=+的距离2311kdk+=+，因为直线3ykx=+与圆()()

22324xy−+−=相交于M，N两点，若23MN，所以2222961224231kkrdk++−=−+，变形得：22961431kkk++−+，即2430kk+，解得：304k−，所以，k的取值范围是3,04−

．16．333/1333【详解】设1MFm=，则3MNm=，12NFm=，因为线段2MF的中垂线恰好经过点N，所以23MNNFm==，所以212NFNFma−==，所以12MFa=，14NFa=，26NFa=，因为212MFMFa−=

，所以24MFa=，因为1212NFFMFF+=，所以1212coscos0NFFMFF+=，所以22222211221122112112022NFFFNFMFFFMFNFFFMFFF+−+−+=，所

以2222221643644160242222acaacaacac+−+−+=，2222221643688320acaaca+−++−=，化简得223110ca−=，所以22113ca=，所以离心率333cea==，故

答案为：33317．【详解】设CDa=，CBb=，1CCc=由题可知：a，b，c两两之间的夹角均为3，且1ab==，2c=（1）由()()11110DDBDCCCDCBcabcacb=−=−=−=−=所以1DDBD⊥即证．（2

）由11CACDDAAAabc=++=++，又ABa=−所以()2111CAabc=++=，1AB=又()152CAABaabc=−++=−则1155112cos,2211CAABCAABCAAB==−=−又异面直线夹角范围为0,2所以异面直线1CA，AB

夹角的余弦值为51122．18．【详解】（1）()()21174mxmym+++=+整理可得()2740mxyxy+−++−=，由27040xyxy+−=+−=解得31xy==，所以直线l过定点()3,1．又223116912516400+=，所以点()3

,1在椭圆内部，所以直线l与椭圆C恒有两个交点．（2）设点P坐标为(),xy，则2216125xy=−所以()()222229111612172525xPAxyxxx=−+=−+−=−+令2921725txx=−+，5,5x−，其对称轴为259x=，且开口向上所

以，当259x=时，2min9252512821725999t=−+=当5x=−时，()()2max9525173625t=−−−+=所以128369t，所以128369PA，即8263PA所以PA的取值范围为82,6319．【详解

】（1）依题意，椭圆C的半焦距22c=，而1b=，则2229abc=+=，所以椭圆C的方程为：2219xy+=．（2）设()11,Axy，()22,Bxy，依题意，直线l的方程为：3yx=+，由22399yxxy=++=消去y并整理得：2527360xx++=，解

得1125x=−，23x=−，因此，21232115ABxx=+−=，所以弦AB的长是325．（3）显然，点11,2Q在椭圆C内，设()33,Exy，()44,Gxy，因E、G在椭圆C上，则223322449999xyxy+=+=，两式相减得：()()()()3434343

490xxxxyyyy−++−+=，而Q是弦EG的中点，即342xx+=且341yy+=，则有()()3434290xxyy−+−=，于是得直线1l的斜率为343429yyxx−=−−，直线1l的方程

：()12129yx−=−−，即418130xy+−=，所以直线1l的方程是418130xy+−=．20．【详解】（1）∵EAEB=，M是AB的中点，∴EMAB⊥，∵平面ABE⊥平面ABCD，平面ABE平面ABC

DAB=，EM平面ABE，∴EM⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴EMAD⊥．（2）由（1）知EM⊥平面ABCD，CM平面ABCD，∴EMCM⊥，菱形ABCD中，60ABC=，所以ABC△是正三角形，∴MCAB⊥．∴ME，MC，MB两两垂直

．建立如图所示空间直角坐标系Mxyz−．则()0,0,0M，()1,0,0A−，()1,0,0B，()0,3,0C，()0,0,3E，()1,3,0AC=，()1,0,3AE=，()2,0,0BA=−，设(),,mxyz=是平面ACE的一个法向量，则3030mACxymAExz=+==+

=，令1z=，得()3,1,1m=−，设点B到平面EAC的距离为d，则2321555mBAdm===，∴点B到平面EAC的距离为2155（3）因为y轴垂直平面ABE，所以设平面ABE的法向量为()0,1,0n=()1,0,3AE=，()0,3,3

EC=−，设()0,3,3EPEC==−，()01，则()1,3,33APAEEP=+=−，∵直线AP与平面ABE所成的角为45°，2232sin45cos,2133631AEnAPnAPn====++−+，由01，解得

23=，∴23EPEC=．21．【详解】（1）依题意，2212811baab=−=，解得：2a=，1b=，所以双曲线C的标准方程是2214xy−=．（2）假定存在直线AB，使得10AMBM=成立，显

然AB不垂直于y轴，否则5AMBM=，设直线AB：3xmy=+，由22344xmyxy=+−=消去x并整理得：()224650mymy−++=，因直线AB与双曲线C的左右支分别交于A、B两点，设()11,Axy，()22,Bxy，于是得()()2

2221212224036204165064504mmmmmyymyym−=−−=++=−−=−，则有24m，即2m−或2m，因此，()()2222121225110101

104mAMBMmymymyym+=+−+−=+==−，解得3m=，所以存在直线AB，使得10AMBM=成立，此时，直线AB的方程为：330xy−−=或330xy+−=．22．【详解】（1）由椭圆22154xy+=，得点()0,2B，∵直线l的方程是1y=−，23AC

=，AC在直线l上运动，可设()3,1Am−−，()3,1Cm+−，则AC的垂直平分线方程为xm=，①AB的垂直平分线方程为133232mmyx−−−=−．②∵点P是ABC△外接圆的圆心，∴点P的坐标(),xy满足方程①和②．由①和②联立消去m，得216yx=．故圆心P

的轨迹E的方程为26xy=．（2）由题意可知，直线1l和2l的斜率存在且不为零，设1l的方程为32ykx=+，2l的方程为132yxk=−+．由23216ykxyx=+=，得2690xkx−−=．∵直线1l与轨迹E交于M，N

两点，∴236360k=+．设()11,Mxy，()22,Nxy，则126xxk+=，129xx=−．∴()()22212121461MNkxxxxk=++−=+．同理，可得2161RQk=

+．∴四边形MRNQ面积()22222211111361118218227222SMNRQkkkkkk==++=+++=．当且仅当221kk=，即1k=时，等号成立．故四边形MRNQ面积的最小值为72．获得更多资源请扫码加

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