【文档说明】2024届高考二轮复习文科数学试题（老高考旧教材） （三）中低档大题规范练 Word版含答案.docx，共(16)页，598.182 KB，由管理员店铺上传

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(三)中低档大题规范练规范练1(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023四川成都三模)某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益.该公司统计了今年以来这款文创产品定价x(单位:元)与销量y(单位:万件)的数据如下表所示:产品定价x(单位:元)

99.51010.511销量y(单位:万件)1110865(1)依据表中给出的数据,判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01);(2)建立y关于x的回归方程,预测当产品定价为8.

5元时,销量可达到多少万件.参考公式:r=∑𝑖=1𝑛(xi-x)(yi-y)√∑i=1n(𝑥𝑖-𝑥)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2,𝑏^=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-�

�)2,𝑎^=𝑦−𝑏^𝑥.参考数据:√65≈8.06.2.(本题满分12分)(2023四川成都三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且√3c+a=bcosC-ccosB.(1)求角B的大

小;(2)若D是AC边上一点,且BD=CD=13b,求cos∠BDA.3.(本题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的正三角形,现将菱形ABCD沿边AD折叠,所成二面角P-AD-B的大小为120°,此时恰有PC⊥AD.(1)求BD的长;(2)求三棱锥P-ABC的体积.(二

)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023河南郑州二模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{𝑥=cos𝜑,𝑦=1+sin𝜑(φ为参数),以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2√

3cosθ.(1)求曲线C1的极坐标方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)直线l:θ=π6(ρ∈R)与曲线C1,C2分别交于M,N两点(异于极点O),P为C2上的动点,求△PMN面积的最大值.2.(本题满分10分)(2023河南郑州二模)已知函数f(x)=|ax-

2|-|x-2|(a∈R).(1)当a=3时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若对任意x∈[1,2],都有f(x)≥0,求a的取值范围.规范练2(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023河南郑州二模)已知数列{an}的前n项之积为Tn=

2𝑛(𝑛-1)2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)记bm为{an}在区间(0,m](m∈N*)中的项的个数,求数列{bn}的前50项和S50.2.(本题满分12分)(2023新高考Ⅱ,19)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学

指标有明显差异,经过大量调查,得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图:利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值c,将该指标大于c的人判定为阳性,小于或等于c的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将

患病者判定为阴性的概率,记为p(c);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.(1)当漏诊率p(c)=0.5%时,求临界值c和误诊率q(c);(2)设函数f(c)=p(c

)+q(c).当c∈[95,105]时,求f(c)的解析式,并求f(c)在区间[95,105]的最小值.3.(本题满分12分)(2023河南郑州二模)《九章算术》卷第五《商功》中有记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也,甍,屋盖

也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有“刍甍”如图所示,四边形EBCF为矩形,BC=2BE=2AE=2AG=4,且AG∥EF.(1)若O是四边形EBCF对角线的交点,求证:AO∥平面GCF;(2)若

AE⊥EF,且∠AEB=2π3,求三棱锥A-BEF的体积.(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为{𝑥=2+𝑡cos𝜃,𝑦=𝑡sin𝜃,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极

轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ.(1)当θ为参数,t>0时,曲线C1与C2只有一个公共点,求t;(2)当t为参数,θ∈[0,π)时,曲线C1与C2相交于A,B,且|AB|=4,求θ的值.2.(本题满分10分)已知函数f(x)=|2x-m|+2|x+3m|.(1)若m=12,试

求不等式f(x)≤8的解集;(2)若f(x)≥7恒成立,求实数m的取值范围.规范练3(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.在①cos2𝐴-𝐶2-cosAcosC=34;②(sinA+sinC)2=s

in2B+3sinAsinC;③2bcosC+c=2a这三个条件中任选一个作为已知条件.(1)求角B的大小;(2)若a+c=2√7,求△ABC周长的最小值.2.(本题满分12分)(2023四川成都三模)如图,在多面体ABCDEFG中,已知四边形ADGC是正方形,GD∥EF,GF∥

BC,FG⊥平面ADGC,M,N分别是AC,BF的中点,且BC=EF=12CG=12FG.(1)求证:MN∥平面AFG;(2)已知BC=1,求三棱锥E-DFN的体积.3.(本题满分12分)(2022全国乙,文19)某地经过

多年的环境治理,已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了10棵这种树木,测量每棵树的根部横截面积(单位:m2)和材积量(单位:m3),得到如下数据:样本号i12345678910总和根部横截面

积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得∑𝑖=110xi2=0.038,∑i=110𝑦𝑖2=1.6158,∑𝑖=110xiyi=0

.2474.(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量;(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数(精确到0.01);(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积,并得到所有这种树木的根部

横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.附:相关系数r=∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)√∑𝑖=1𝑛(𝑥𝑖-𝑥)2∑𝑖=1𝑛(𝑦𝑖-𝑦)2,√1.896≈1.377.(二)选做题

:共10分.1.(本题满分10分)(2023四川成都三模)在平面直角坐标系xOy中,已知直线l的参数方程为{𝑥=1+𝑡,𝑦=2-2𝑡3(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ2=41

+3sin2𝜃.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若P是曲线C上一点,Q是直线l上一点,求|PQ|的最小值.2.(本题满分10分)(2023四川成都三模)已知函数f(x)=3√𝑥2-4𝑥+4+|x-m|,且不等式f(x)

<3的解集为(1,n).(1)求实数m,n的值;(2)若正实数a,b,c满足a2+b2+c2=m,证明:𝑎4𝑏2+1+𝑏4𝑐2+1+𝑐4𝑎2+1≥14.规范练4(时间:45分钟,满分:46分)(一)必做题:共36分.1.(本题满分12分)(2023山东日照一模

)已知△ABC中,a,b,c是角A,B,C所对的边,asin𝐴+𝐶2=bsinA,且a=1.(1)求角B;(2)若AC=BC,在△ABC的边AB,AC上分别取D,E两点,使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后,顶点A正好落在边BC(设为点P)上,求AD的最小值.2.(本

题满分12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠PAD=90°,AD∥BC,M为PD的中点,AB=BC=CD=PA=1,AD=2,PB=√2.(1)求证:CM∥平面PAB;(2)求三棱锥B-MCD的体积.3.(本题满分12分)(202

3贵州黔西一模)为了研究学生网上学习的情况,某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查,其中男生与女生的人数之比为7∶5,男生中喜欢上网课的为47,女生中喜欢上网课的为710,得到如下列联表.性别喜欢上网课不喜欢上网课合计男生女生合计(1)请将列联表补充完整,试判断能否有90%的把握认为喜

欢上网课是否与性别有关;(2)从不喜欢上网课的学生中采用分层抽样的方法,随机抽取6人.现从6人中随机抽取2人,求抽取的学生中至少有1名是女生的概率.附:K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d

.P(K2≥k)0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(二)选做题:共10分.1.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)在平面直角坐标系xO

y中,以原点为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,并在两个坐标系下取相同的长度单位,已知曲线C的参数方程为{𝑥=1+√3cos𝜃,𝑦=√3sin𝜃(θ为参数),直线l的参数方程为{𝑥=2+𝑡c

os𝛼,𝑦=1+𝑡sin𝛼(t为参数,α为直线l的倾斜角).(1)求曲线C的普通方程;当α=π3时,求直线l的极坐标方程.(2)若曲线C和直线l交于M,N两点,且|MN|=√10,求直线l的倾斜角.2.(本题满分10分)(2023陕西铜川二模)设函数f(x)=|2x-2|+|

x+2|.(1)解不等式f(x)≤6-x;(2)令f(x)的最小值为T,正数a,b,c满足a+b+c=T,证明:1𝑎+1𝑏+4𝑐≥163.(三)中低档大题规范练规范练1(一)必做题1.解(1)由题得𝑥=15(9+9.5+10+10.5+11)=10,.....

.......................................................................1分𝑦=15(11+10+8+6+5)=8..................................

............................................................................2分∵∑𝑖=15(xi-x)(yi-y)=-8,∑i=15(xi-𝑥)2=2.5,∑𝑖=15(yi-𝑦)2=

26,..........................................................................5分∴r=∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)√∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)2∑𝑖=15

(𝑦𝑖-𝑦)2=-8√65≈-0.99.∵y与x的相关系数近似为-0.99,说明y与x的线性相关性很强,从而可以用线性回归模型拟合y与x的关系...................................................

................................................................................6分(2)∵𝑏^=∑𝑖=15(𝑥𝑖-𝑥)(𝑦𝑖-𝑦)∑𝑖=15(𝑥𝑖-

𝑥)2=-82.5=-3.2,𝑎^=𝑦+3.2𝑥=40,......................................................................9分∴y关

于x的线性回归方程为𝑦^=-3.2x+40,...............................................................................10分当x=8.5时,𝑦^=12.8.∴当产品定价为8.5元时,预测销量可达

到12.8万件...............................12分2.解(1)∵√3c+a=bcosC-ccosB,由正弦定理有√3sinC+sinA=sinBcosC-sinCcosB,∵sinA=sin(B+C),∴√3sinC+si

nBcosC+sinCcosB=sinBcosC-sinCcosB.∴2sinCcosB+√3sinC=0.又C∈(0,π),∴sinC≠0,∴cosB=-√32.又B∈(0,π),∴B=5π6.(2)在△BCD中,由余

弦定理得cos∠BDC=𝐵𝐷2+𝐶𝐷2-𝐵𝐶22𝐵𝐷·𝐶𝐷=2𝑏2-9𝑎22𝑏2.在△ABD中,由余弦定理得cos∠BDA=𝐵𝐷2+𝐴𝐷2-𝐴𝐵22𝐴𝐷·𝐵𝐷

=5𝑏2-9𝑐24𝑏2.∵∠BDC+∠BDA=180°,∴cos∠BDC=-cos∠BDA,即2𝑏2-9𝑎22𝑏2=-5𝑏2-9𝑐24𝑏2,整理得b2-c2=2a2.在△ABC中,由余弦定理得cosB=𝑎2+𝑐2-�

�22𝑎𝑐=-√32,则-𝑎22𝑎𝑐=-𝑎2𝑐=-√32,∴a=√3c,∴b2-c2=6c2,即b=√7c,∴cos∠BDA=5𝑏2-9𝑐24𝑏2=1314.3.解(1)取AD的中点M,连接PM,CM,AC,∵△PAD是正三角形,∴PM⊥A

D,又∵PC⊥AD,PC,PM⊂平面PMC,PC∩PM=P,∴AD⊥平面PMC,∴AD⊥MC,故△ACD为等腰三角形.又菱形ABCD,故∠CDA=60°,∠BDA=30°,∴𝐵𝐷sin120°=𝐴𝐷sin30°,故BD=2√3.(2)由(1)知,∠CMP为二面角P-AD-B的平

面角,∴∠CMP=120°,∵AD⊥平面PMC,∴平面PAD⊥平面PMC,交线为PM.故三棱锥C-PAD的高h=CM·sin60°=32.∵S△PAD=12×2×2·sin60°=√3,∴VP-ABC=VP-ACD=VC-PAD=13×32×√3=√32.(二)选

做题1.解(1)由{𝑥=cos𝜑,𝑦=1+sin𝜑消去φ,得x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0,将x=ρcosθ,y=ρsinθ代入,得曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ.C2的极坐标方程为ρ=2√3cosθ,即ρ2=2√3ρcosθ,化为直

角坐标方程为x2+y2-2√3x=0.综上,曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-2√3x=0.(2)当θ=π6时,ρM=2sinπ6=1,ρN=2√3ρcosπ6=3,|MN|=|ρM-ρN|=2.当点P到直线MN

的距离最大时,△PMN的面积最大.直线MN的方程为y=tanπ6x,即y=√33x,圆心C2(√3,0)到直线MN的距离为|1+0|√1+13=√32,∴点P到直线MN的最大距离d=√32+√3=3√32,∴S△PMN=1

2×|MN|×d=3√32.2.解(1)当a=3时,原不等式可化为|3x-2|-|x-2|>2.当x≥2时,原不等式可化为3x-2-(x-2)>2,整理得x>1,所以x≥2.当23<x<2时,原不等式可化为

3x-2+(x-2)>2,整理得x>32,所以32<x<2.当x≤32时,原不等式可化为-(3x-2)+(x-2)>2,整理得x<-1,所以x<-1.综上,当a=3时,不等式f(x)>2的解集为(-∞,-1)∪32,+∞.(2)若对任意x

∈[1,2],都有f(x)≥0,即|ax-2|≥2-x,即ax-2≥2-x或ax-2≤x-2,当ax-2≥2-x,a≥4𝑥-1,a≥4𝑥-1max=41-1=3,所以a≥3;当ax-2≤x-2,(a-1)x≤0,所以a≤1.所以a的取值范围为a≤

1或a≥3.规范练2(一)必做题1.解(1)由数列{an}的前n项之积为Tn=2𝑛(𝑛-1)2(n∈N*),得Tn-1=2(𝑛-1)(𝑛-2)2(n∈N*且n≥2),依题意有an=𝑇𝑛𝑇𝑛-1=2n-1(n∈N*且n≥2).又因为a1=

1符合,所以an=2n-1.(2)由题意,2n-1≤m,即n≤log2m+1,当m=1时,b1=1,当m=2,3时,b2=b3=2,…,当m∈[2k,2k+1-1]时,bm=k+1,共有2k个,k∈N*,

则S50=b1+(b2+b3)+(b4+b5+b6+b7)+…+(b32+b33+…+b50)=1+2×2+3×4+4×8+5×16+6×19=243.2.解(1)当p(c)=0.5%时,由患病者频率分布直方图可得第一个小矩形面积为0.002×

5=0.01,∴c=95+1002=97.5.由未患病者频率分布直方图可得q(c)=0.01×(100-97.5)+0.002×5=0.035.(2)当c∈[95,100)时,p(c)=(c-95)×0.002,q(c)=(100-c)×0.01+0.01,∴f(

c)=-0.008c+0.82>0.02;当c∈[100,105]时,p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012,q(c)=(105-c)×0.002,∴f(c)=0.01c-0.98≥0.02.∴f(c)={-0.008𝑐+0.82,𝑐∈[

95,100),0.01𝑐-0.98,𝑐∈[100,105].故当c=100时,f(c)取最小值,最小值为f(100)=0.02.3.(1)证明在图中取线段CF中点H,连接OH,GH,如图所示:由题可知,四边形EBCF是

矩形,且BC=2BE,∴O是线段BF与CE的中点,∴OH∥BC且OH=12BC.又AG∥EF且AG=12BC,而EF∥BC且EF=BC,∴AG∥BC且AG=12BC,∴AG∥OH且AG=OH,∴四边形AOHG是平行四边形,∴AO∥HG,由于AO⊄平面GCF,HG⊂平面GCF,∴A

O∥平面GCF.(2)解∵AE⊥EF,EF⊥BE,AE,BE⊂平面ABE,AE∩BE=E,∴EF⊥平面ABE,S△ABE=12AE·BEsin2π3=12×2×2×√32=√3,∴VA-BEF=VF-ABE=13S△ABE·EF=13×√3×4=4√33,即三棱锥A-BEF的

体积为4√33.(二)选做题1.解(1)曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4,当θ为参数时,曲线C1的直角坐标方程为(x-2)2+y2=t2,又曲线C1与C2只有一个公共点,故曲线C1与C2的位置关系是外切或内切,当C1与C2外切时,√(2-0)2+(0-2)2=2+t,解得t=

2√2-2;当C1与C2内切时,√(2-0)2+(0-2)2=t-2,解得t=2√2+2.故t=2√2-2或t=2√2+2.(2)当t为参数时,曲线C1为过点(2,0)的直线,又曲线C2是直径为4的圆,且|AB|=4,所以直线C1过圆C2的圆心

(0,2),则直线C1的斜率tanθ=2-00-2=-1,因为θ∈[0,π),所以θ=3π4.2.解(1)当m=12时,f(x)=2x-12+|2x+3|,即f(x)={-4𝑥-52,𝑥≤-32,72,-32<𝑥

≤14,4𝑥+52,𝑥>14,所以f(x)≤8可化为{-4𝑥-52≤8,𝑥≤-32或{72≤8,-32<𝑥≤14或{4𝑥+52≤8,𝑥>14,解得-218≤x≤-32,或-32<x≤14,或14<x≤

118,所以不等式f(x)≤8的解集为x-218≤x≤118.(2)因为f(x)=|2x-m|+2|x+3m|≥|(2x-m)-(2x+6m)|=|7m|,当且仅当(2x-m)(2x+6m)≤0时取等号,所以f(x)min=|7m|.又f(x)≥7恒成立,所以|7m|≥7.解得m≤-

1或m≥1,所以m的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).规范练3(一)必做题1.解(1)选①.cos2𝐴-𝐶2-cosAcosC=1+cos(𝐴-𝐶)2-cosAcosC=34,即1-cos𝐴cos𝐶+sin𝐴sin𝐶2=1-cos(�

�+𝐶)2=34,所以cos(A+C)=-12,所以cosB=12.又因为B∈(0,π),所以B=π3;选②.因为(sinA+sinC)2=sin2B+3sinAsinC,所以sin2A+sin2C+2sinAsinC=sin2B+3si

nAsinC,即sin2A+sin2C-sin2B=sinAsinC,由正弦定理得a2+c2-b2=ac.由余弦定理知cosB=𝑎2+𝑐2-𝑏22𝑎𝑐=12.又B∈(0,π),所以B=π3;选③.因为2bcosC+c=2a,由正弦定理得2sinBcosC+sin

C=2sinA,所以2sinBcosC+sinC=2sin(B+C)=2(sinBcosC+cosBsinC),即sinC(2cosB-1)=0.因为sinC≠0,所以cosB=12,又B∈(0,π),所以B=π3.(2)

由(1)知B=π3,则由余弦定理得,a2+c2-b2=ac.所以b2=a2+c2-ac=(a+c)2-3ac≥(a+c)2-3×(𝑎+𝑐)24=(𝑎+𝑐)24=7,当且仅当a=c=√7时取等号,所以b≥√7.所以△ABC周长的最小值为3√7.2.(1)证明如图,设P是CG的中点,连接

PM,PN.∵M为AC的中点,∴PM∥AG.又PM⊄平面AGF,AG⊂平面AGF,∴PM∥平面AGF.同理可得,PN∥平面AGF.∵PM∩PN=P,PM,PN⊂平面PMN,∴平面PMN∥平面AGF.又MN⊂平面PMN,∴MN∥平面AGF

.(2)解∵FG⊥平面ADGC,CG⊂平面ADGC,∴FG⊥CG.又CG⊥GD,GF∩GD=G,GD⊂平面DEFG,GF⊂平面DEFG,∴CG⊥平面DEFG.∵BC=1,∴FG=2,EF=1,CG=2.∴VE-DFN=VN-DEF=VP-DEF=13

S△DEF×12CG=13×12×EF×FG×12×CG=13.∴三棱锥E-DFN的体积为13.3.解(1)依题意,𝑥=0.610=0.06,𝑦=3.910=0.39,故估计该林区这种树木平均一棵的根

部横截面积为0.06,平均一棵的材积量为0.39.(2)依题意,所求样本相关系数r=∑𝑖=110xiyi-10xy√(∑i=110𝑥𝑖2-10𝑥2)(∑𝑖=110𝑦𝑖2-10𝑦2)=0.2474-10×

0.06×0.39√(0.038-10×0.062)(1.6158-10×0.392)≈0.97.(3)由题意及(1),可知该林区这种树木的总材积量的估计值为0.390.06×186=1209(m3).(二)选做题1.解(1)由直线

l的参数方程,得直线l的普通方程为2x+3y-8=0................................................2分将ρ2=x2+y2,ρsinθ=y代入曲线C的极坐标方程,化简得曲线C的直角

坐标方程为𝑥24+y2=1.....5分(2)由(1),设点P(2cosα,sinα).…6分由题知|PQ|的最小值为点P到直线l的距离的最小值.又点P到直线l的距离d=|4cos𝛼+3sin𝛼-8|

√22+32=|5sin(𝛼+𝜑)-8|√13,其中tanφ=43...........................................8分当α+φ=π2+2kπ(k∈Z)时,d的最小值为3√1313,∴|PQ|的最小值为3

√1313......................................................................................................

.........10分2.解(1)∵f(1)=3,f(n)=3,且n>1,∴3+|1-m|=3,解得m=1.∴f(x)=3|x-2|+|x-1|.........................................

..............................................................................2分∴3|n-2|+|n-1|=3.①当1<n≤2时,由3(2-n)+(n-1)=5-2n=3,

解得n=1(不合题意,舍去);②当n>2时,由3(n-2)+(n-1)=4n-7=3,解得n=52,经检验满足题意.综上所述,m=1,n=52.................................................................

......................................................5分(2)由(1)得m=1,∴a2+b2+c2=1.∵𝑎4𝑏2+1+𝑏4𝑐2+1+𝑐4𝑎2+1(a2+1+b2+1+c2+1)≥(a2+b2+c2)2,∴𝑎4𝑏2+1+𝑏4

𝑐2+1+𝑐4𝑎2+1≥11+3=14.当且仅当𝑎4(𝑏2+1)2=𝑏4(𝑐2+1)2=𝑐4(𝑎2+1)2,即a=b=c=√33时等号成立.∴𝑎4𝑏2+1+𝑏4𝑐2+1+𝑐4𝑎2+1≥14...................

.........................................................................................10分规范练4(一)必做题1.解(1)∵asin𝐴+𝐶2=bsinA,∴由正弦定理

得sinAsin𝐴+𝐶2=sinBsinA.∵A∈(0,π),sinA≠0,A+C=π-B,∴sinπ-𝐵2=sinB,即cos𝐵2=sinB,∴cos𝐵2=2sin𝐵2cos𝐵2,∵B∈

(0,π),∴𝐵2∈0,π2,cos𝐵2≠0,∴sin𝐵2=12,∴𝐵2=π6,即B=π3.(2)∵AC=BC,B=π3,∴△ABC为等边三角形,即AC=BC=AB=1,设AD=m,则BD=1-m,P

D=m,∴在△BPD中,由余弦定理得cosB=𝐵𝑃2+𝐵𝐷2-𝑃𝐷22𝐵𝑃×𝐵𝐷=𝐵𝑃2+(1-𝑚)2-𝑚22𝐵𝑃×(1-𝑚)=12,整理得BP2+(1-2m)=BP·(1-m),设BP=x,0≤x≤1,∴m=𝑥2-𝑥+12-𝑥=(2-𝑥)2-3

(2-𝑥)+32-𝑥=2-x+32-𝑥-3,由于0≤x≤1,故1≤2-x≤2,∴m=2-x+32-𝑥-3≥2√3-3,当且仅当2-x=32-𝑥=√3时等号成立,此时x=2-√3,∴AD的最小值为2√3-3.2.(1)证明取PA边中点N,连接NM,NB

,∴MN∥AD且MN=12AD,∵BC∥AD且BC=1,AD=2,∴BC=12AD,∴BC∥MN,BC=MN,∴四边形MNBC是平行四边形,∴CM∥BN.∵BN⊂平面PAB,CM⊄平面PAB,∴CM∥平面PAB.(2)解在△PAB中,由AB=PA=1,PB=√2,可知AB2+PA2

=PB2,则PA⊥AB.又∠PAD=90°,可知PA⊥AD,∵AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD,∴PA⊥平面ABCD,S△BCD=12BC·√32=√34.又M为PD中点,则VB-MCD=VM-BCD=13S△BCD·12PA=√324

.综上,三棱锥B-MCD的体积为√324.3.解(1)由题意可知抽取120名学生中男生有70人,女生有50人,其中男生中喜欢上网课的为47,所以男生中喜欢上网课的有70×47=40(人),女生中喜欢上网课的为710,所以女生中喜欢上网

课的有50×710=35(人),则列联表如下表:性别喜欢上网课不喜欢上网课合计男生403070女生351550合计7545120K2=120(40×15-35×30)270×50×75×45=7235

≈2.057<2.706.则没有90%的把握认为喜欢上网课与性别有关.(2)由分层抽样的性质可知,抽取的6名学生中,男生4人,女生2人,记4名男生分别为a,b,c,d,2名女生分别为A,B,从这6名学生中抽取2名学生的所有情况为{a,b},{a,c},{a,d},{a,A

},{a,B},{b,c},{b,d},{b,A},{b,B},{c,d},{c,A},{c,B},{d,A},{d,B},{A,B}共15种,其中抽取的学生中至少有1名是女生共有9种,则所选取的2名学生中至少有1名是女生的概率

P=915=35.(二)选做题1.解(1)由{𝑥=1+√3cos𝜃,𝑦=√3sin𝜃得曲线C的普通方程为(x-1)2+y2=3.当α=π3时,直线l的参数方程为{𝑥=2+12𝑡,𝑦=1+√32𝑡(t为参数),直线l的普通方程为

√3x-y-2√3+1=0,则其极坐标方程为√3ρcosθ-ρsinθ-2√3+1=0,即2ρcosθ+π6=2√3-1.(2)将{𝑥=2+𝑡cos𝛼,𝑦=1+𝑡sin𝛼代入圆的方程(x-1)2+y2=3,得(1+

tcosα)2+(1+tsinα)2=3,化简得t2+2t(sinα+cosα)-1=0,又点(2,1)在圆(x-1)2+y2=3内,设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=-2(sinα+cosα),t

1t2=-1,则|MN|=|t1-t2|=√(𝑡1+𝑡2)2-4𝑡1𝑡2=√4(sin𝛼+cos𝛼)2+4=2√2+sin2𝛼=√10,sin2α=12,解得2α=π6或2α=5π6,即α=π12或α=5π12,所以直线l的倾斜角为π12或5π12.2.(1)解当x<-2时,f(x)

≤6-x即-2x+2-x-2≤6-x,解得x≥-3,故-3≤x<-2;当-2≤x≤1时,f(x)≤6-x即-2x+2+x+2≤6-x,∴4≤6,则-2≤x≤1;当x>1时,f(x)≤6-x即2x-2+x+2≤

6-x,解得x≤32,故-1<x≤32.综上所述,原不等式的解集为x|-3≤x≤32.(2)证明若x<-2,则f(x)=-3x>6;若-2≤x≤1,则f(x)=-x+4≥3;若x>1,则f(x)=3x>3.所以函数f(x)的最小值T=3,故a+b+c=3,又a,b,c为正数

,则1𝑎+1𝑏+4𝑐×3=1𝑎+1𝑏+4𝑐(a+b+c)=6+𝑏𝑎+𝑎𝑏+𝑐𝑎+4𝑎𝑐+𝑐𝑏+4𝑏𝑐≥6+2√𝑏𝑎·𝑎𝑏+2√𝑐𝑎·4𝑎𝑐+2√𝑐𝑏·4𝑏

𝑐=16,当且仅当a=b=34,c=32时等号成立,所以1𝑎+1𝑏+4𝑐≥163.