【文档说明】云南省曲靖市沾益区第四中学2020-2021学年高二下学期5月月考数学（文）试卷含答案.doc，共(20)页，1.362 MB，由小赞的店铺上传

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曲靖市沾益区第四中学2021年高二年级5月月考质量检测数学试卷（文）一、单选题1．已知集合2log1Axx=，12Bxx=−，则AB=（）A．()2,3B．()1,3−C．()2,+D．()1,−+2．在复平面内与复数21izi=+所对应的点关于实轴对称的点为A，则

A对应的复数为（）A．1i+B．1i−C．1i−−D．1i−+3．已知平面向量a，b满足：4a=，6b=r，6ab=，则cos,aab+=（）A．1116B．58C．58−D．1116−4．已知等差数列na的前n项和为Sn，若S2=8，38

522aaa+=+，则a1等于（）A．1B．2C．3D．45．在ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且3a=，6b=，45B=，则A等于（）A．60°B．120°C．60°或120°D．135°6．如图，长方体ABCD-

A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A．1010B．35C．105D．457．抛物线2yx=−上的点到直线10xy+−=的最短距离是（）.A．38B．328C．58D．5288．某单位为了解用电量y

度与气温Cx之间的关系，随机统计了其中4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温（C）1813101−用电量（度）24343864由表中数据得回归直线方程ybxa=+$$$，其中2b=−$，预测当气温

为4C−时，用电量的度数约为（）A．64B．68C．68.8D．69.69．函数()3fxaxbx=+在1xa=处有极值，则ab的值为（）A．2B．2−C．3D．3−10．已知()fx是可导函数，且()()lnfxxxfx对于0x恒成立，则（）A．()()()283462fff

B．()()()623428fffC．()()()346229fffD．()()()286234fff11．已知正四棱锥P－ABCD内接于一个半径为R的球，则正四棱锥P－ABCD体积的最大值是（）A．316R81B．332R81C．364R81D．R312．已知正实数m，n

满足184+=mn，则8+mn的最小值为（）A．5B．6C．7D．8二、填空题13．过曲线2yx=上一点P的切线的斜率为4−，则点P的坐标为______．14．化简2sin60cos152sin15sin75−=______．15．若()21P，是圆22(1)25−+=xy的弦AB的中

点，则直线AB的方程为________．16．在ABC中，角ABC，，所对的边分别为abc，，，若()()31cosAsinBsinAcosB−=+，6ac+=，则ABC的面积的最大值为________三、解答题17．设na是等差数列，510a=,且12310,8,6a

aa+++成等比数列.（1）求na的通项公式；（2）记na的前n项和为nS，且1nnbS=,求数列nb的前n项和为nT.18．2020年春季，受疫情的影响，学校推迟了开学时间.上级部门倡导“停课不停学”，鼓励学生在

家学习，复课后，某校为了解学生在家学习的周均时长(单位:小时)，随机调查了部分学生，根据他们学习的周均时长，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求该校学生学习的周均时长的众数的估计值;（2）估计该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.19．如图,在四棱

锥PABCD−中,四边形ABCD是菱形,PAPC=,E为PB的中点.（1）求证:PD面AEC；（2）求证:平面AEC⊥平面PDB.20．已知函数()()()242,fxxxaaR=−−，()fx为()fx的导函数，且()

10f−=．（1）讨论函数()fx的单调性；（2）求函数()fx在22−,上的最大值和最小值．21．已知椭圆E：22221xyab+=（a＞b＞0）的左．右焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），过

F1且斜率为24的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为F2．（1）求椭圆E的方程；（2）如图，下顶点为A，过点B（0，2）作一条与y轴不重合的直线．该直线交椭圆E于C，D两点．直线AD，AC分别交x轴于点H，G．求证：△ABG与△AOH的面积之

积为定值，并求出该定值．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为22222xatyat=+=−+（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为222cos44a−+=.（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线

C的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l被曲线C所截得的弦长为210，求a的值.文科参考答案1．D【分析】解对数不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，利用集合并集的定义运算即可．【详解】2log12Axxxx==，12|13Bxxxx=−=−则|1AB

xx=−=()1,−+故选：D2．B【分析】化简复数z，求出其共轭复数，即为所求．【详解】∵复数()(2i2i1i1i1i1i1i)()z−===+++−，∴复数的共轭复数是1i−，就是复数21izi=+所对应的点关于实轴对称的点为A对应的复数，故选：B3．A【分析】先计算

出ab+，代入cos,aab+公式中可得答案．【详解】()22221612368ababaabb+=+=++=++=，()216611cos,4816aabaabaabaabaab++++====++故选：A【点睛】本题考查平面向量数量积的应用，考查向量夹角和模长的求法，属于中档题．

4．C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a．【详解】设等差数列na的公差为d，则3856522aaaaa+=+=+，解得652daa=−=，212112228Saaada=+=+=+=，解得13a=故选：C5．C【分析】利用正弦定理求得sinA，根据大

边对大角确定A的范围，得到A的值.【详解】3a=，6b=，45B=，由正弦定理得2332sin26asinBAb===,ab,AB，45180A60A=或120A=，故选：C.【

点睛】本题考查正弦定理，在已知两边一对角时，利用正弦定理解三角形，注意大边对大角，对另一个对角的范围进行限定，从而做出正确选择.6．D【分析】连接BC1，A1C1，由长方体的性质可知AD1//BC1，A1BC1为异面直线AD1与A1B所成角或其补角､再利用余弦定理求

解.【详解】解：连接BC1，A1C1，则AD1//BC1，A1BC1为异面直线AD1与A1B所成角或其补，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC=2A1B=BC1=5，AC1=2，在A1BC1中，由余弦定理得cosA1BC1=552452

55+−=，故选：D.【点睛】本题主要考查空间几何体的结构特征和异面直线所成的角的求法，同时，还考查了转化思想和运算能力，属中档题.利用余弦定理计算后的值大于等于零，即为所求；为负，要取绝对值.7．B【分析】利用判别式法求得与已知直线平行的抛物线的切线方程，然

后计算两平行线间的距离即为所求的最短距离.【详解】221010xyyyyx+−=−+==−,无解,故直线:10lxy+−=与抛物线2yx=−没有公共点,如图所示.设直线:0mxyc++=与抛物线相切，则直线m与l的距离

即为抛物线2yx=−上的点到直线:10lxy+−=的最短距离，2200xycyycyx++=−++==−，则140c=+=，14c=−，所以两平行直线1:04mxy+−=与:10lxy+−=的距离为：

1(1)32482d−−−==.故选：B.【点睛】本题考查求抛物线上的点到定直线的距离最小值问题，考查数形结合思想，属基础题，当定直线与抛物线没有公共点时，抛物线上到定直线距离的最小值是与定直线平行的抛物线的切线与定直线的距离.8．B【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心

点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．【详解】解：由表格得18131012434386410,4044xy++−+++====，(),xy为：(10,40)，又(),xy在回归方程ˆ

ybxa=+上且2b=−4010(2)a=−+，解得：60a=，260yx=−+．当4x=−时，2(4)6068y=−−+=．故选：B．【点评】本题考查直线方程，考查分类讨论的数学思想，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题．9．D【分析】求出函数的导函数,根据极值点处的导数为

零,即可求得ab的长.【详解】()23fxaxb=+,由21130fabaa=+=,可得3ab=−.故选:D.【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题,属基础题,主要根据极值点的必要条件求解即可.10．B【分析】构造函数()()lnfxgx

x=，利用导数判断出函数()ygx=在区间()1,+上为增函数，可得出()()()248ggg，进而可得出结论.【详解】令()()lnfxgxx=，则()()()()2lnlnxfxxfxgxxx−=．当1x时，由()()lnfxxxfx得()0gx，所以函数()()l

nfxgxx=在()1,+上是增函数，于是()()()248ggg，即()()()248ln2ln4ln8fff，即()()()248ln22ln23ln2fff.化简得，()()()623428fff，故选：B.11．C【分析】根据几何体的对称性可以确定外接球的球心在正四

棱锥的高线上，记O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，设OO1＝x，进而求得四棱锥底面边长和高关于x的表达式，利用棱锥的体积公式得到正四棱锥P－ABCD的体积:V关于x的函数表达式，适当整理变形后利用平均值不等式求得最大值.【详解】如图，记

O为正四棱锥P－ABCD外接球的球心，O1为底面ABCD的中心，则P，O，O1三点共线，连接PO1，OA，O1A.设OO1＝x，则O1A＝22Rx−，AB＝2·22Rx−，PO1＝R＋x，所以正四棱锥P－ABCD的体积:()()()()()2221111222333VABPORxR

xRxRxRx＝＝－＋＝－＋＋()()()332-2++++1643381RxRxRxR=，当且仅当22RxRx−=+，即3Rx=时取等号.所以正四棱锥P－ABCD的体积的最大值为36481R.故选：C.【点睛】本题

考查棱锥的体积、锥与球的切接问题及利用均值不等式求最值的应用，关键是根据几何体的对称性找到球心位置，利用勾股定理求得正四棱锥的底面边长和高关于球心到底面的距离的函数表达式，难点是利用均值不等式求最值，属中高档题，难度较大.12．D【分析】由已知得11814mn+=

，则()118884mnmnmn+=++，化简并利用基本不等式求解最值即可．【详解】11814mn+=Q，()11816416488161628444nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=

当且仅当18464mnnmmn+==，即216mn==时取等号故选：D13．2,222或2,222−−.【分析】设切点()00,Pxy，利用导数的几何意义列方

程()04fx=−即可求解.【详解】由()2fxx=可得()22fxx=−，设切点()00,Pxy，由题意可得()02024fxx=−=−，解得：2012x=，即022x=，当022x=时，00222222yx===，此时点P的坐标

为2,222当022x=−时，00222222yx===−−，此时点P的坐标为2,222−−，故答案为：2,222或2,222−−.14．22【分析】利用诱导

公式与二倍角公式得到2n2sin15sin75cos60si15=，逆用两角和的正弦公式，即可求解．【详解】2sin60cos152sin15sin75−sin60cos152sin15cos15sin15=−sin

60cos15sin30sin15=−sin60cos15cos60sin15=−sin45=22=．15．30xy+−=【分析】根据条件可知CPAB⊥，利用两直线的位置关系求直线方程.【详解】设圆的圆心()1,

0C，10121CPk−==−，由条件可知CPAB⊥，则AB的斜率为1−，所以直线AB的方程为()12yx−=−−，即30xy+−=.故答案为：30xy+−=16．22【分析】利用正弦定理得出,,abc

的关系，利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得sinB，利用基本不等式，三角形面积公式即可求解.【详解】()()3cossinsin1cosABAB−=+，3sinsinsincoscossinsi

nsinBAABABAC=++=+，由正弦定理可得：36bac=+=，解得2b=.6ac+=，62acac=+，可得9ac（当且仅当3ac==时等号成立），2222()2416cos22acbacacacBacacac+−+−−−===，可得22164sin1cos1216acBBa

cacac−=−=−=−，114csin2162216229162222SaBacacacac==−=−−=（当且仅当3ac==时等号成立）.故答案为：22.【点睛】本题主要考查的是正弦定

理，余弦定理的应用，基本不等式的应用以及同角三角函数基本关系式的应用，熟练掌握正余弦定理是解本题的关键，是中档题.17．（1）2nan=（2）111nTn=−+【分析】（1）利用等差数列和等比数列的的通项公式

，即可求出结果；（2）由等差数列的前n项和可得2nSnn=+，所以111nbnn=−+，采用裂项相消法求和，即可求出结果.【详解】（1）设等差数列na的公差为d,12310,8,6aaa+++成等比数列,()()()221

38106aaa+=++,即2(183)(204)(162)ddd−=−−,解得2d=,5(5)102(5)2naandnn=+−=+−=.（2）由（1）知2nan=,2(22)2nnnSnn+==+,111(1)1nbnnnn==-++,111111111112233411n

Tnnn=−+−+−++−=−++,数列nb的前n项和为111nTn=−+【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18．（1）25小时；（2）0.3.

【分析】（1）根据直方图，频率最大的区间中点横坐标为众数即可求众数；（2）由学习的周均时长不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，它们的频率之和，即为该校学生学习的周均时长不少于30小时的概率.【详解】（1）根据直方图

知：频率最大的区间中点横坐标即为众数，∴由频率最大区间为[20,30)，则众数为2030252+=；（2）由图知：不少于30小时的区间有[30,40)、[40,50)，∴该校学生学习的周均时长不少于30小时

的概率0.03100.3P==.【点睛】本题考查了根据直方图求众数、概率，应用了众数的概念、频率法求概率，属于简单题.19．（1）要证明线面平行，则可以根据线面平行的判定定理来证明．（2）对于面面垂直的证明，

要根据已知中的菱形的对角线垂直，以及AC⊥面PBD来加以证明．【详解】试题分析：（1）由题意得只需在平面AEC内找一条直线与直线PD平行即可．设ACBDO=，连接EO，由三角形中位线可得PDEO即得；（2）连接PO，由题意得PO⊥AC，又底面为菱形，则A

C⊥BD，由面面垂直的判定定理即得．试题解析：（1）证明：设ACBDO=，连接EO，因为O，E分别是BD，PB的中点，所以PDEO而,PDAECEOAEC面面，所以PD面AEC（2）连接PO，因为PAPC=，所以ACPO⊥，又四边形ABCD是菱形，所以ACBD⊥而PO面PBD，BD面PBD

，POBDO=，所以AC⊥面PBD又AC面AEC，所以面AEC⊥面PBD考点：1．线面平行的判定定理；2．面面垂直的判定定理；20．（1）单调递增区间为4,1,,3−−+，单调递减区间为41,

3−；（2）最大值为9，最小值为10027−.【分析】(1)先求出()'fx，由()'10f−=求出a的值，再由()'0fx得增区间，()'0fx得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处

函数值进行比较即可结果.【详解】(1)函数()()()242(fxxxaa=−−R),()()()22'2242628fxxxaxxax=−+−=−−.()'10,6280fa−=+−=,解得1a

=.则()()()232421284,fxxxxxxx=−−=−−+R.()()()2'6282341fxxxxx=−−=−+,令()'0fx=，解得1241,3xx=−=.由()'0fx得43x或1x−，此时函数单调递增，由()'0fx得413x−，此时

函数单调递减，即函数的单调递增区间为4,1,,3−−+，单调递减区间为41,3−.（2）当22x−时，函数()fx与()'fx的变化如下表：x)2,1−−1−41,3−4

34,23()'fx+-+()fx单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当1x=−时，函数()fx取得极大值，()19f−=，当43x=时，函数()fx取得极小值，4100327f=−

，又()()20,20ff−==，可知函数()fx的最大值为9，最小值为10027−.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于难题.求函数()fx最值的步骤

：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()fx；(3)解方程()0,fx=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()fx在()0fx=的根0x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()fx在0x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()fx在0x处取

极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小21．（1）2212xy+=；（2）证明见解析；定值为12．【分析】（1）写出直线方程，取1x=求得y值，得到直线与椭圆的交点，再由已知列关于a，b的方程组

，求解a，b的值，则椭圆方程可求；（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:2BCykx=+，由椭圆方程联立，利用根与系数的关系可得D，C横纵坐标的和与积，分别写出AD，AC的方程，求得H与G的坐标，再写出两三角形面积的乘积，结合根与系数的关系可得ABG与AOH△的面积之积为定值12

．【详解】解：（1）过1F且斜率为24的直线的方程为2(1)4yx=+，令1x=，得22y=，由题意可得222211112abab−=+=，解得22a=，21b=．求椭圆E的方程为2212xy+=；证明：（2）由题意知，直线BC的斜率存在，设直线:

2BCykx=+，1(Dx，1)y，2(Cx，2)y，联立22212ykxxy=++=，得22(12)860kxkx+++=．122812kxxk−+=+，122612xxk=+，由216240k=−

，得232k，121224()412yykxxk+=++=+，2212121212242(2)(2)2()412kyykxkxkxxkxxk−=++=+++=+，直线AD的方程为1111yyxx+=−，令0y=，解得111xxy=+，则1

1(1xHy+，0)，同理可得22(1xGy+，0)，121212121131||3||||21214(1)(1)ABGAOHxxxxSSyyyy==++++212222121222633363

6112||||||44241441244249211212xxkkyyyykkkk+=====−++++++−++++【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与

椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22．（Ⅰ）:3lyxa=−，22:224Cxyaxay+−+=；（Ⅱ）2.【分析】（Ⅰ）在直线l的参数方程中消去

参数t可得出直线l的普通方程，将曲线C的极坐标方程变形为()22cossin4a−−=，利用极坐标方程与普通方程的转换关系可得出曲线C的普通方程；（Ⅱ）计算出圆心到直线l的距离，利用勾股定理可得出关于a的等式，可求得a的值.【详解】（Ⅰ）()22

22cos42cossin44aa−+=−−=.所以，曲线C的直角坐标方程为22224xyaxay+−+=，在直线l的参数方程中消去参数t，得3yxa=−，即直线l的普通方程为3yxa=−；（Ⅱ

）圆C的标准方程为()()22224xayaa−++=+，圆心为(),aa−，半径为224ra=+，圆心(),aa−到直线l的距离2ad=，直线l被曲线C所截得的弦长22222321022242422a

arda=−=+−=+，解得2a=.