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专练15导数的概念及运算授课提示：对应学生用书29页[基础强化]一、选择题1．若f(x)＝2xf′(1)＋x2，则f′(0)＝()A．2B．0C．－2D．－4答案：D解析：∵f(x)＝2xf′(1)＋x2，∴f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴f′(1)＝2f′(1)＋2，∴f′(1)＝－

2，∴f(x)＝－4x＋x2，∴f′(x)＝－4＋2x，∴f′(0)＝－4.2．已知函数f(x)＝g(x)＋2x且曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为()A．2B．4C．6D．8答案：B解析：∵曲线y＝g(x)在点(1

，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，∴g′(1)＝2.∵函数f(x)＝g(x)＋2x，∴f′(x)＝g′(x)＋2＝g′(1)＋2，∴f′(1)＝2＋2＝4，即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线的斜率为4.故选B.3．已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2

x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1答案：D解析：因为y′＝aex＋lnx＋1，所以当x＝1时，y′＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线

方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以ae＋1＝2，b＝－1，解得a＝e－1b＝－1.4．在等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝()A．26B．29C．212D．2

15答案：C解析：∵函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)，∴f′(x)＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋x[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′，∴f′(0)＝a1a2…a8＝(a1a8)4＝84

＝212.5．设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案：D解析：∵f(x)＝x3＋(a－1)x

2＋ax为奇函数，∴a－1＝0，得a＝1，∴f(x)＝x3＋x，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x，故选D.6．已知曲线y＝x24－3lnx的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为()A．3B

．2C．1D．12答案：B解析：令y′＝2x4－3x＝－12，解得x＝－3(舍去)或x＝2.故切点的横坐标为2，故选B.7．f′(x)是f(x)＝sinx＋acosx的导函数，且f′π4＝24，则实数a的值为()A．2

3B．12C．34D．1答案：B解析：∵f′(x)＝cosx－asinx，∴f′π4＝22－22a＝24，得a＝12.8．已知曲线y＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与二次曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a等于()A．－2B．0C．

1D．8答案：D解析：由y＝x＋lnx，得y′＝1＋1x，∴当x＝1时，y′＝2，∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，由y＝2x－1，y＝ax2＋（a＋2）x＋1，得ax2＋ax＋2＝0，由题意得a≠0，Δ＝a2－8a＝0，得a＝8.9．函数f(x)的定义

域为R，f(－1)＝2，对于任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1，1)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1)D．(－∞，＋∞)答案：B解析：设g(x)＝f(x)－2x－4，g′(x)＝f′(x)－2，由题意得g′(x)

>0恒成立，∴g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，又g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，又f(x)>2x＋4等价于g(x)>0，∴原不等式的解为x>－1.二、填空题10．已知物体运动的位移s与时间t之间的函数关系式为s＝12t3－t，则当t＝2时，该物体的瞬时速度为

________．答案：5解析：由题知s′＝32t2－1，故当t＝2时，该物体的瞬时速度为32×22－1＝5.11．已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为________．答案：e解析：f′(x)＝ex·lnx＋exx，∴f′(1)＝e.12．若曲线

y＝e－x在点P处的切线与直线2x＋y＋1＝0平行，则点P的坐标是________．答案：(－ln2，2)解析：∵y＝e－x，∴y′＝－e－x，设P(x0，y0)，由题意得－e－x0＝－2，∴e－x0＝2，∴－x0＝ln2，x0＝－ln

2，∴P(－ln2，2).[能力提升]13．函数f(x)＝x4－2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为()A．y＝－2x－1B．y＝－2x＋1C．y＝2x－3D．y＝2x＋1答案：B解析：f′(x)＝4x3－6x2

，则f′(1)＝－2，易知f(1)＝－1，由点斜式可得函数f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.故选B.14．(多选)已知函数f(x)＝－x3＋2x2－x，若过点P(1，t)可作曲线y＝f(

x)的三条切线，则t的取值可以是()A．0B．127C．128D．129答案：CD解析：∵f(x)＝－x3＋2x2－x，∴f′(x)＝－3x2＋4x－1.由已知得，过点P(1，t)作曲线y＝f(x)的三条切线，情况如下：①点P(1，

t)在曲线上，此时切点为P(1，t)，把P点坐标代入函数解析式可得P(1，0)，利用切线公式得y＝f′(1)(x－1)，所以切线为x轴，但此时切线只有一条，不符合题意．②点P(1，t)不在曲线上，设切点为(x0，y0)，又切线经过点P(1，t)，所以切线方程为y－t＝f′(x0)(x－1)

.因为切线经过切点，所以y0－t＝(－3x20＋4x0－1)(x0－1).又因为切点在曲线上，所以y0＝－x30＋2x20－x0.化简得t＝2x30－5x20＋4x0－1.令g(x)＝2x3－5x2＋4x－1，即t＝g(x)有三个解，即直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点．令g′(x

)＝6x2－10x＋4＝2(x－1)(3x－2)＝0，可得两极值点为x1＝1，x2＝23.所以x∈－∞，23和(1，＋∞)时，g(x)单调递增，x∈23，1时，g(x)单调递减，所以当g(1)＝0＜t＜127＝g

23时，满足直线y＝t与y＝g(x)的图象有三个交点，而0＜129＜128＜127，故选CD.15．已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝(x－1)ex＋3e的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则直线l的横截距

为________．答案：－2解析：因为f′(x)＝ex＋(x－1)ex＝xex，所以切线l的斜率为f′(1)＝e，由f(1)＝3e知切点坐标为(1，3e)，所以切线l的方程为y－3e＝e(x－1).令y＝0，解得x＝－2，故直

线l的横截距为－2.16．[2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)解析：设切线的切点坐标为(x0，y0).令f(x)＝(x＋a)ex，则f′(x)＝(x＋1＋a

)ex，f′(x0)＝(x0＋1＋a)ex0.因为y0＝(x0＋a)ex0，切线过原点，所以f′(x0)＝y0x0，即(x0＋1＋a)·ex0＝（x0＋a）ex0x0.整理，得x20＋ax0－a＝0.由题意知该方程有两个不同的实数根

，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0.