【文档说明】湖南省炎德英才杯2019-2020学年高二下学期基础学科知识竞赛试题数学含答案.doc，共(11)页，1.710 MB，由小赞的店铺上传

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2020年“炎德英才杯”高二基础学科知识竞赛数学时量：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知命题p：x>0，ln(x＋1)>0，则

命题p的否定是A.x>0，ln(x＋1)≤0B.x≤0，ln(x＋1)>>0C.x0>0，ln(x0＋1)>0D.x0>0，ln(x0＋1)≤02.已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{t∈Z|t＝2x＋1，x∈A}，则A∩B＝A.{－1，0，1

}B{－1，0}C{0，1}D.{0}3.已知正项等比数列{an}的公比为q，若a2a6＝4a52，则公比q＝A.12B.22C.2D.24.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，c＝λa＋µb，若a⊥c，则下列结论正确的是Aλ－μ＝0B.

λ＋μ＝0C.2λ－μ＝0D.2＋μ＝05.(2x2＋1x)5的展开式中，x4的系数是A160B.80C.50D.106.已知cos(α－4)sin(34－α)＝33，α∈(3,24)，则sin2α＝A.2313−B.231

3−C.313−D.313+7.唐朝著名的凤鸟花卉纹浮雕银杯如图1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(如图2).当这种酒杯内壁表面积(假设内壁表面光滑，表面积为S平方厘米，半球的半径为R厘米)固定时，若要使得酒杯的容积不大

于半球体积的2倍，则R的取值范围为A.(0，310S]B.[310S，＋∞)C.(5S，310S]D.[310S，2S)8.巳知实数a，b满足ab>0，则2aaabab−++的最大值为A.2－2B.2＋2C.3－22D.3＋22二、

多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.在平面直角坐标系xOy中，双曲线A的焦点F位于x轴上，且双曲线A与双曲线B：2213xy−=有相同渐近线，

则下列结论正确的是A双曲线A与双曲线B的离心率相等B双曲线A与双曲线B的焦距相等C.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为22162xy−=D.若双曲线A的焦点F到渐近线距离为2，则双曲线A的标准方程为221124xy−=10.2019年国际数学奥

林匹克竞赛(IMO)中国队王者归来，6名队员全部摘金，总成绩荣获世界第一，数学奥林匹克协会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往机场接参赛选手。某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案。方案一：不乘坐第一辆车，若

第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车。记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，则下列结论正确的是A.P1<P2B.P1＝P2C.2P1

＝3P2D.P1＋P2＝5611.如图所示，已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是线段AB、AD、AA1的中点，点P、Q分别在线段A1B1、A1D1上，且A1P＝A1Q＝x(0<x<1)。设平面MEF∩平面MPQ＝l，则下列结论正确的是A.l//平面ABC

DB.l⊥ACC.直线l与平面BCC1B1不垂直D.当x变化时，l不是定直线12.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)满足f(x0)＝f(x0＋1)＝－12，且f(x)在(x0，x0＋1)上

有最小值，无最大值。则下述四个结论正确的是Af(x0＋12)＝－1B.若x0＝0，则f(x)＝sin(2πx－6)C.f(x)的最小正周期为3D.f(x)在(0，2019)上的零点个数最少为1345个三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知i是虚数单位，复数z＝a

＋i(a∈R)，且满足z＝13iz1−+，则|z|＝。14.已知函数f(x)＝x1x1++，则f(x2－2x)<f(2－x)的解集是。15.已知抛物线：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为直线l，点A与F在准线l的两

侧，且AF⊥l，|AF|＝2p，B(32p，y0)是抛物线上的一点，BC垂直l于点C，AB分别交l，CF于点D，E，则|BC|＝；若|EF|＝λ|DF|，则λ的值为。16.巳知函数f(x)＝13x3－ax2＋ax＋1(a≤1)在不同的两点P1(t

1，f(t1))，P2(t2，f(t2))处的切线的斜率相等，若不等式f(t1＋t2)＋m≥0(m∈R)恒成立，则实数m的取值范围是。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)在①3a2＋b2＋b4＝0，

②a4＝b4，③S3＝－27这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题。设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，，a5＝b1，4Tn＝3bn－1(n∈N*)，是否存在实数λ，对任意n∈N*

都有λ≤Sn?若存在，求实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由。(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)18.(本小题满分12分)三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos

2B＝bsinA。(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围。19.(本小题满分12分)已知四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°，PA⊥平面ABCD，E，M分别是BC，PD上的中点，直线EM与平面PAD所成角的正弦值为155

，点F在PC上移动。(1)证明：无论点F在PC上如何移动，平面AEF⊥平面PAD；(2)若点F为PC的中点，求二面角C－AF－E的余弦值。20.(本小题满分12分)过椭圆C：22221(0)xyabab+=内一点A(0，1)的动直线l'与椭圆相交，当l'平行于x轴

和垂直于x轴时，l'被椭圆C所截得的线段长均为22。(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F(2，0)作直线l交椭圆C于点M，N，求三角形OMN面积的最大值。21.(本小题满分12分)华为手机的“麒麟970”芯片在华为处理器排行榜中最高主频2.4GHz，同时它

的线程结构也做了很大的改善，整个性能及效率至少提升了50%，科研人员曾就是否需采用西门子制程这一工艺标准进行了反复比较，在一次实验中，工作人员对生产出的50片芯片进行研究，结果发现使用了该工艺的30片芯片有28片线程结构有很大的改善，没有使用该工艺的20片芯片中有

12片线程结构有很大的改善。(1)用列联表判断：这次实验是否有99.5%的把握认为“麒麟970”芯片的线程结构有很大的改善与使用西门子制程这一工艺标准有关?(2)在“麒嶙970”芯片的线程结构有很大的改善后，接下来的生产制作还需对芯片的晶圆依次进行金属

溅镀，涂布光阻，蚀刻技术。光阻去除这四个环节的精密操作，进而得到多晶的晶圆，生产出来的多晶的晶圆经过严格的质检，确定合格后才能进入下一个流程。如果生产出来的多晶的晶圆在质检中不合格，那么必须依次对前四个环节进行技术检测并对所有的出错环节进行修

复才能成为合格品。在实验的初期，由于技术的不成熟。生产制作的多晶的晶圆很难达到理想状态，研究人员根据以往的数据与经验得知在实验生产多晶的晶圆的过程中，前三个环节每个环节生产正常的概率为23，每个环节出错需要修复的费用均

为200元，第四环节生产正常的概率为34，此环节出错需要修复的费用为100元，问：一次试验生产出来的多晶的晶圆要成为合格品大约还需要消耗多少元费用?(假设质检与检测过程不产生费用)参考公式：22()()()(

)()nadbcKabcdacbd−=++++，n＝a＋b＋c＋d。参考数据：22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x12eaxax−−+，g(x)＝(2a－1)lnx－ax－2x，其中a≥0。(1)

当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；(2)设函数F(x)＝f(x)＋g(x)，若x＝2是F(x)的唯一极值点，求a取值的集合。