【文档说明】【精准解析】黑龙江省大庆实验中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题.doc，共(22)页，1.664 MB，由管理员店铺上传

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大庆实验中学2019-2020学年度上学期期末考试高二数学（理科）试题一、选择题1.在空间直角坐标系Oxyz−中，点()1,2,6P−到原点的距离为（）A.9B.3C.3D.22【答案】B【解析】【分析】根据空间中两点间的距离公式求解.【详解】()()2221263OP=++−=故选：B【点睛

】本题主要考查了空间中两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知()2sin2xfxxe=+，则()fx=（）A.22cos22xxe+B.2cos2xxe+C.22sin22xxe+D.2s

in2xxe+【答案】A【解析】【分析】根据导数公式及法则求解.【详解】因为()2sin2xfxxe=+，所以()22cos22=+xfxxe.故选：A【点睛】本题主要考查了导数的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.在空间直角坐标系Oxyz−中，

点()1,4,9−关于y轴的对称点为（）A.()1,4,9−−B.()1,4,9−−C.()1,4,9−D.()1,4,9−−【答案】C【解析】【分析】根据空间点的对称性求解.【详解】在空间直角坐标系中，点关于y轴的对称，把x变为-x，z变为-z，y不变，所以点()1,4,9−关于y轴的对称

点为()1,4,9−故选：C【点睛】本题主要考查了空间中两点间的对称，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于基础题.4.已知命题:pxR，20x﹔命题0:qxR，0lgsin0x，则下列

命题为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】C【解析】【分析】先判断命题p，命题q的真假，再利用复合命题的结论判断.【详解】由指数函数的值域知，命题p是真命题，因为00,sin[1,1]−xRx，所以0lgsin0x，命题q是假命题，则P是真命题，所以pq

是真命题.故选：C【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.5.1211xx是121221xxxx+成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充

分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用不等式的性质可知1211xx能推出121221xxxx+,利用取特殊值法可知121221xxxx+推不出1211xx,从而得到结论.【详解】解:当1211xx时,由不等式的

性质知121221xxxx+成立;当121221xxxx+时,取1214,2xx==,则1211xx不成立,所以1211xx是121221xxxx+成立的充分不必要条件.故选:A.【点睛】本题

考查了不等式的基本性质和四种条件的判定,属基础题.6.曲线2yx=和23yx=+围成的封闭面积是（）A.323B.283C.10D.313【答案】A【解析】【分析】根据题意画出直线与曲线所围成的封闭图形，利用定积分求出面积.【详解】直线与曲线所围成的

封闭图形如图阴影部分,两个交点坐标分别为()()1,1,3,9−，其面积为：()()2223133132232333|3311xxdxxxdxxxx−+−=−++=−++=−−故选：A【点

睛】本题主要考查了利用定积分求曲边梯形的面积，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.7.已知空间向量()1,2,3a=−，()3,2,xb=−，若ab⊥，则x的值为（）A.43B.73C.103D.113【答案】B【解析】【

分析】根据ab⊥，则0ab=求解【详解】因为向量()1,2,3a=−，()3,2,xb=−，又因为ab⊥，所以3430=−−+=abx.解得x=73.故选：B【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.8.命题“xR

，2420xx−+”的否定是（）A.0xR，200420xx−+B.0xR，200420xx−+C.xR，2420xx−+D.xR，2420xx−+【答案】B【解析】【分析】根据命题的否定的定义判断，要注意既要否定结论，也要转化量词.【详解】因为命题“xR，2

420xx−+”根据命题的否定的定义所以命题“xR，2420xx−+”的否定是0xR，200420xx−+故选：B【点睛】本题主要考查了命题的否定，还考查了理解辨析的的能力，属于基础题.9.如图所示，在正方体1111ABCDABCD−中，M是BC的中点，则异面直线1DB与1BM所

成角的余弦值为（）A.1515B.1515−C.153D.153−【答案】A【解析】【分析】先建立空间直角坐标系，求得相应点的坐标，从而得到相应向量的坐标，再利用线线角的向量法求解.【详解】以D为原点，分别以DA，DC，DD1，为x，y，z轴

建立空间直角坐标系，设AB=1则B(1,1,0)，C(0,1,0)，M(12,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，所以，()11,1,1,=−DB与11,0,12=−−BM，设异面直线1DB与1BM所成角为，111111|15coscos,15|||||BMB

MBMDBDBDB===.故选：A【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10.已知双曲线的标准方程为22221xyab−=，过双曲线的左焦点作斜率为33的直线，恰好与圆222xya+=相切，则双曲线的渐近线方程为（）A.12yx=

B.2yx=C.33yx=D.3yx=【答案】D【解析】【分析】先通过焦点设出直线方程，再利用直线恰好与圆222xya+=相切，则圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】设左焦点为()1,0Fc−，则

直线方程()33yxc=+，即3330xyc−+=，因为直线恰好与圆222xya+=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即312ca=，所以221cbaa==+，所以3ba=.所以双曲线的渐近线方程为3yx=

故选：D【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质和直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11.函数()xfxekx=−，当()0,x+时，()0fx恒成立，则k的取值范围是（）A.1kB.k2

C.keD.1ke【答案】C【解析】【分析】将当()0,x+时，()0fx恒成立，转化为xekx()0,x+时恒成立，再令()xegxx=，用导数法求()gx最小值即可.【详解】因为函数()xfxekx=−，当()0,x+时，()0fx恒成立，所以xekx()0

,x+时，恒成立，令()xegxx=，()()21xexgxx−=，当1x时，()0gx，当1x时，()0gx，所以当1x=时()gx取得最小值e.所以ke.故选：C【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档

题.12.椭圆()32122:10xyCabab+=与双曲线()22222,:100xyCcdcd−=的焦点相同，1F，2F分别为左焦点和右焦点，椭圆1C和双曲线2C在第一象限的交点为P，若12FPF=，椭圆的

离心率为1e，双曲线的离心率为2e，则下列选项中正确的是（）A.2212cossin221ee+=B.2212sincos221ee+=

C.2212tan121ee+=D.2212tan121ee+=【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆与双曲线的定义求得12,PFPF，再在12FP

F中，利用余弦定理，化简变形求解.【详解】设12,PFmPFn==，根据题意，22mnamnc+=−=，解得macnac=+=−，在12FPF中，设122FFf=，由余弦定理得()22222cosfmnnm=+−，所以()()()()22242cosfacacacac=++

−−+−，()222222cosfacac=+−−，2222121211112coseeee=+−−，()()22121121cos1cosee=−++，所以2212sincos221e

e+=.故选：B【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义和余弦定理，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13.抛物线214yx=的准线方程是___________________.【答案】1y=−【解析】

【分析】将214yx=化成抛物线的标准方程24xy=，利用抛物线的性质求解即可．【详解】由214yx=得：24xy=，所以24p=，即：12p=所以抛物线214yx=的准线方程为：12py=−=−．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基

础题．14.已知x，y满足线性约束条件301010xyxyxy−−++−，则2zxy=+的最小值为________.【答案】1；【解析】【分析】根据约束条件画出可行域，平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求解.【详解】

根据约束条件画出可行域，如图所示：平移目标函数2zxy=+所在的直线，最优点A(0,1)，所以min2011=+=z故答案为：1【点睛】本题主要考查了线性规划，还考查了数形结合的思想方法和运算求解的能力，属于基础题.15.计算221

4xdx−−=__________．【答案】4332+【解析】分析：根据定积分的几何意义，将定积分化为两个区域的面积求解．详解：令24yx=−，可得224(0)xyy+=，表示以原点为圆心，半径为2的圆的上半部分．结合图形可得所求定积

分为RtAOB和扇形AOC的面积之和（如图），且RtAOB中，2,60OAAOB==，扇形AOC中，120AOC=．故2214xdx−−=2114313(2)2332+=+．点睛：求定积分的方法有

两种，一是根据微积分基本定理求解；二是根据定积分的几何意义求解，特别是对于被积函数中含有根号形式的定积分，一般要根据几何意义转化为图形的面积求解．16.已知函数()1sin2sin2fxxx=−，且对于任意的1x，224,33x，12xx，()()1212fxfxxx−

−恒成立，则的取值范围是________.【答案】)2,+【解析】【分析】先求导()2219cos2cos2coscos12cos48=−=−−=−−fxxxxxx，确定函数的单调性，然后不妨设1x，

224,33x且12xx，将()()1212fxfxxx−−恒成立，去绝对值转化为()()1122−−fxxfxx恒成立，令()()=−gxfxx，转化为()gx是减函数，通过()()0=−gxfx恒成立求解.【详解】因为函数()1sin2sin2fxxx=

−，所以()2219cos2cos2coscos12cos48=−=−−=−−fxxxxxx，因为24,33x，所以1cos[1,]2tx=−−，所以()[0,2]fx，所以()fx在2

4,33是增函数，不妨设1x，224,33x且12xx，因为()()1212fxfxxx−−恒成立，所以()()()1212−−fxfxxx恒成立，所以()()1122−−

fxxfxx恒成立，令()()=−gxfxx，因为()gx是减函数，所以()()0=−gxfx，恒成立，所以()219cos2cos2cos48=−=−−fxxxx恒成立，因为()[0,2]fx所以

2.故答案为：)2,+【点睛】本题主要考查了导数法研究不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题17.已知函数()32134132fxxxx=−−+.（1）求函数(

)fx的单调区间；（2）当25x−，时，求函数()fx的最大值和最小值.【答案】（1）单调递增区间是(),1−−和()4,+；单调递减区间是()1,4−（2）最大值为196，最小值为533−.【解析】

【分析】（1）先求导，()()()41fxxx=−+，则()0fx¢>的解集对应的是增区间，()0fx¢<的解集对应的是减区间.（2）根据（1）知，当2,1x−−时，()0fx¢>，当1,4x−时，()0fx¢<，当4,5x时，

()0fx¢>，求出极值点，再加上端点值，其中最大的为最大值，最小的为最小值.【详解】（1）()()()41fxxx=−+，当1x−或4x时，()0fx¢>，当14x−时，()0fx¢<，所以函数()f

x单调递增区间是(),1−−和()4,+，函数()fx单调递减区间是()1,4−.（2）由（1）知，当2,1x−−时，()0fx¢>，当1,4x−时，()0fx¢<，当4,5x时，()0fx¢>，所以()123f−=，()1916f−=，()5343f=−，(

)8956f=−，当1x=−时，函数()fx的最大值为196，当4x=时，函数()fx的最小值为533−.【点睛】本题主要考查了导数法研究函数的单调性与最值问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于

中档题.18.（1）证明不等式1xex+.（2）证明：当0x时，不等式2112xexx++恒成立.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）构造函数()1xfxex=−−，若证不等式1xe

x+成立，则()min0fx，用导数法求()1xfxex=−−的最小值即可.（2）构造函数()2112xgxexx=−−−，若证0x时，不等式2112xexx++恒成立，则()min0gx，用导数法求()2112xgxexx=−−−最小值即可.【详解】（1）因为不等式

1xex+成立，所以10xex−−成立，令()1xfxex=−−，所以()1xfxe=−，当(),0x−时，()0fx，当()0,x+时，()0fx，所以0x=是函数()fx的极小值点，即()()00fxf=，

所以1xex+.（2）要证0x时，不等式2112xexx++恒成立，只需0x时，不等式21102xexx−−−恒成立，令()2112xgxexx=−−−，()1xgxex=−−，由（1）可知，()0gx，所以函数()gx在)0,+单调递增，即()()00gxg

=，所以2112xexx++.【点睛】本题主要考查了导数法证明不等式，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.19.已知抛物线()220ypxp=上一点()022,Mx到焦点F的距离032

xMF=.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点()20N，的直线交抛物线与A，B两点，在x轴上是否存在定点C（异于点N），使得NCANCB=，如果存在，请求出定点C的坐标，如果不存在请说明理由.【答案】（1）24yx=（2）存在，()2,0C−【解析】【分析】（1）根据00322xpMF

x=+=，求得0xp=，得到点(),22Mp，再代入抛物线方程求解.（2）设过点()2,0N的直线方程为2xky=+，与联立抛物线得：2480yky−−=，设点()11,Axy，()22,Bxy，(,0)Cm，根据NCANCB=，则两直线的斜率互为相反数，

即CACB0kk+=，再由12120yyxmxm+=−−求解.【详解】（1）因为00322xpMFx=+=，所以0xp=，点(),22Mp，代入抛物线方程得，282p=，解得2p=，所以抛物线方程是24yx=.（2）设过点()2,0N的直线方

程为2xky=+，与抛物线方程联立得：2480yky−−=，124yyk+=，128yy=−，设点()11,Axy，()22,Bxy，(,0)Cm，112xky=+，222xky=+，因为NCANCB=

，所以CACB0kk+=，即12120yyxmxm+=−−，1212022yykymkym+=+−+−，所以()()1212220kyymyy+−+=，所以()420km+=，由于k具有任意性，所以2m=−，即()2,0C

−.【点睛】本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.20.如图所示在四棱锥PABCD−中，下底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，PAD为以AD为斜边的

等腰直角三角形，4AB=，若点E是线段PD上的中点.（1）证明//PB平面EAC.（2）求二面角PACE−−的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）53333【解析】【分析】（1）根据F为BD的中点，E为PD的中

点，有//EFPB，再根据线面平行的判定理证明.（2）取AD中点O，由平面PAD⊥平面ABCD，得OP⊥平面ABCD，即OM，OD，OP俩俩垂直，以OM，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，再利用面面角的向量法

求解.【详解】（1）连结AC，BD相交于点F，连结EA，BC，F为BD的中点，E为PD的中点，所以//EFPB，又因为PB平面EAC，EF平面EAC，所以//PB平面EAC.（2）取AD中点O，BC中点M，连结OP，

OM，OPAD⊥，OMBC⊥，因为平面PAD⊥平面ABCD，所以OP⊥平面ABCD，即OM，OD，OP两两垂直.以OM，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：()002P,,，()0,-2,0A，()4,2,0C，()0,1,1E，()0,2,2AP=

，()4,4,0AC=，设平面PAC的法向量为()1111,,nxyz=，则1100nAPnAC==，即1111220440yzxy+=+=，令z1=1，()11,1,1=−n，()0,3,1AE=，()4,4,0AC=，设平面PAC的法向

量为()2222,,nxyz=，则2200nAEnAC==，即222230440yzxy+=+=，令z2=1()2,1,1,3=−n，所以121212533cos,33==nnnnnn.二面角PACE−−的平面角的余弦值为53333.【点睛】

本题主要考查了线面平行的判定定理，二面角的求法，还考查了数形结合、转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数()lnxefxxxx=−+.（1）求函数()fx的最小值；（2）若()230xxfxebx

−−恒成立，求b的取值范围.【答案】（1）1e+（2）)2,e−+【解析】【分析】（1）先求导()()()21xxxefxx−+=，再求极小值点，从而求得最小值.（2）先将()230xxfxebx−−恒成立，转化为()2lnxebxxx−−，0x

恒成立，令()()2lnxegxxxx=−−，用导数法求()gx的最大值即可.【详解】（1）因为()lnxefxxxx=−+.所以()()()21xxxefxx−+=，当()0,1x时，()0fx，函数()fx单调递减，当()1,x+

时，()0fx函数()fx单调递增，所以当1x=时，函数()fx取得最小值为()11fe=+.（2）因为()230xxfxebx−−恒成立，所以()2ln0xxxxebx−−−，0x恒成立，所以()2lnxeb

xxx−−，0x恒成立，令()()2lnxegxxxx=−−，()()()221xxexgxx−−=，令()2xuxxe=−，()2=−xuxe，当0n2xl时，()0ux，当n2xl时

，()0ux所以当2xln=时，()ux取得最大值，所以()()ln22ln220uxu=−，所以当()0,1x时，()0gx，函数()gx单调递增，当()1,x+时，()0gx函数()gx单调递减，所以当1x=为函数()g

x取得最大值()12=−ge，所以()12bge=−，所以b取值范围是)2,e−+.【点睛】本题主要考查了导数法求函数最值，证明不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.22.已知椭圆()222210

xyabab+=的左右焦点分别为1F，2F，该椭圆与y轴正半轴交于点M，且12MFF是边长为2的等边三角形.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点2F任作一直线交椭圆于A，B两点，平面上有一动点P，设直线PA，2PF，PB的斜率分别为

1k，k，2k，且满足122kkk+=，求动点P的轨迹方程.【答案】（1）22143xy+=（2）点P的轨迹的方程为4x=【解析】【分析】（1）根据焦点12MFF，得到,,abc的关系求椭圆的方程.（

2）当过点2F的直线斜率存在时，设直线方程为()1=−ykx，与椭圆方程联立，得()22223484120+−+−=kxkxk，因为直线PA，2PF，PB的斜率分别为1k，k，2k，且满足122kkk+=，所以有001020010221

yyyyyxxxxx−−=+−−−，再利用韦达理化简求解.注意斜率不存在的情况的分析.【详解】（1）因为12MFF是边长为2的等边三角形，所以32,32aba===，所以椭圆标准方程为22143xy+=.（2）当过点2F的直线斜率存在时，设

直线方程为()1=−ykx，设()11,Axy，()22,Bxy，()00,Pxy，联立方程()221431xyykx+==−，得()22223484120+−+−=kxkxk，由韦达定理得，2122834+=+

kxxk，212241234−=+kxxk，因为122kkk+=，所以001020010221yyyyyxxxxx−−=+−−−，所以()()2000022665443434−+=−++ykxxxkk，即()()()000410−−−=xkxy，所以04x=

或()001=−ykx（舍去），②当过点2F的直线斜率不存在时，即为1x=，此时331,,1,22AB−，可知直线04x=上任意一点亦满足条件.所以动点P的轨迹的方程为4x=.【点睛】本题主要考查了椭圆的方程及其应用，还考查了转化化归的

思想和运算求解的能力，属于中档题.