【文档说明】安徽师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试 数学 Word版含答案.docx，共(12)页，730.258 KB，由管理员店铺上传

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安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期度期中考查高一数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.若复数()()()21

1iaaaR−+−是实数，则a等于（）A.1B.1−C.1D.不存在2.设1e、2e是平面内两个不共线的向量，则下列四组向量不能作为基底的是（）A.1e和122ee+B.122ee+与123ee−C.123ee−与214ee−D.122

ee+与1224ee+3.在ABC△中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，已知23a=，4B=，3A=，则b=（）A.22B.2C.3D.24.如图，水平放置的OBC△的斜二测直观图为OBC△，若1OBOC==，则BC

=（）A.2B.5C.2D.55.已知a，b为两个单位向量且13ab=，则向量a在向量b上的投影向量为（）A.13B.13bC.13−D.13b−6.某圆锥的侧面积为4，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半

径长为（）A.2B.2C.22D.427.如图，已知点G是ABC△的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设AMxAB=，ANyAC=，则4xy+的最小值为（）A.9B.4C.3D.528.在ABC△中，5AB=，42AC=，2

cos10A=，H是ABC△的垂心，若HPxHByHC=+，其中10,2x，10,2y，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）A.7B.14C.212D.214二、多项选择题：本题共4小

题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若直线l与平面不平行，则l与相交B.若直线l上有两个点到平面的距离相等，则l∥C.经过两条平行直线有且仅有一个

平面D.如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行10.下列命题正确的是（）A.若1z，2z是复数，则1212zzzz+=+B.若复数z的共轭复数为z，22zzzz==C.虚轴上的点对应的均为纯虚数D.已知复数z满足3i1z+=（i为虚数

单位），则12iz−+的最小值是21−11.下列说法正确的是（）A.若m为非零实数，且()manbnR=，则a与b共线B.已知向量()2,1a=−，()1,bt=−，若a，b的夹角为锐角，则2t−C.若点O满足OAOBOC==，2AB=，6AC=，则16AOBC

=D.若ABACAPABAC=+，)0,+，则点P的轨迹一定通过ABC△的内心12.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为棱AB，1AA的中点，点P在对角

线1AB上，则（）A.1APDP+的最小值为222+B.三棱锥PCEF−体积为13C.点P到平面CEF的距离为16D.四面体BCEF外接球的表面积为14三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知圆柱的轴截

面为正方形且边长为4，则该圆柱的体积为______.14.在ABC△中，sin:sin:sin2:3:4ABC=，则最大角的余弦值为______.15.已知圆O的半径为2，弦长23AB=，C为圆O上一动点，则ACBC的最大值为______.16.球面被平

面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成

的几何体.如图1，一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是2SRh=，与之对应的球缺的体积公式是()2133VhRh=−.如图2，已知C，D是以AB为直径的圆上的两点，3AOCBOD==，2CODS=扇形，则扇形COD绕直线AB旋转一周

形成的几何体的体积为______.图1图2四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量a，b满足2a=，()2,1b=.（1）若ab

∥，求向量a的坐标；（2）若()abb+⊥，求向量a与向量b夹角的余弦值.18.（本小题满分12分）（1）已知复数()22i1i1iz=−+−，其中i为虚数单位，求z及z；（2）若关于x的一元二次方程20xmxn++=的一个根是12i−+，其中,mnR，i是虚数单位，求mn−的值.19.（本

小题满分12分）如图，在ABC△中，8AB=，5AC=，3BAC=，且35AEEB=，23AFFC=，BF与CE交于点O.（1）求BFCE的值（2）求cosEOF的值20.（本小题满分12分）如图，在正方体1111ABCDABCD−中，棱

长为2，E是线段1AA的中点，设过点1D、C、E的平面与棱AB交于点F.（1）画出平面截正方体所得的截面，并求截面多边形的面积；（2）平面截正方体，把正方体分为两部分，求比较小的部分与比较大的部分的体积的比值.（参考公式：()

13VhSSSS=++棱台）21.（本小题满分12分）已知ABC△的内角A，B，C的对边为a，b，c，且()3sinsin32sinABcbCab−−=+.（1）求sinA；（2）若ABC△的面积为423；（1）已知E为BC的中点，求ABC

△底边BC上中线AE长的最小值；（2）求内角A的角平分线AD长的最大值.22.（本小题满分12分）在ABC△中，A，B，C对应的边分别为a，b，c，()2sinsin3sinsinsinaBCbBcCaA=+−.（1）求A；（2

）奥古斯丁·路易斯·柯西（AugustinLouisCauchy，1789年-1857年），法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式.其中柯西不等式

在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用.现在，在（1）的条件下，若2a=，P是ABC△内一点，过P作AB，BC，AC垂线，垂足分别为D，E，F，借助于三维分式型柯西不等式：对任意10y，20y，30y，有：()2222123312123123xxxx

xxyyyyyy++++++，当且仅当312123xxxyyy==时等号成立.求4ABBCACTPDPEPF=++的最小值.安徽师范大学附属中学2023~2024学年度第二学期期中考查高一数学参考答案1-4ADAB5

-8BACD9.CD10.ABD11.ACD12.ABD13.1614.14−15.616.1638.【详解】延长BH，CH，AH分别交AC，AB，BC于E，F，D，如图，由H为垂心，可知在直角三角形中，24cos42105AFACA===

，22cos5102AEABA===，由余弦定理可得22722cos10EFAFAEAFAEA=+−=，由A，E，H，F四点共圆及正弦定理可得，2727210101sin72211010EFAHA====−，由余弦定理，2222cos2532849BCABACABACA

=+−=+−=，所以7BC=，所以2222549323cos22575ABBCACBABBC+−+−===.所以3cos535BDABB===，所以224ADABBD=−=，所以413HDADAH=−=−=，HPxHByHC=+，其中110,,0

,22xy，则111212224HBCSSHDBC===△.故选：D16.【详解】因为3AOCBOD==，所以233DOC=−=，设圆的半径为R，又21223CODSR

==扇形，解得23R=（负值舍去），过点C作CEAB⊥交AB于点E，过点D作DFAB⊥交AB于点F，则sin33CEOC==，cos33OEOC==，所以3AEROE=−=，同理可得3DF=，3OFBF==，将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径23R=的球中上下截去两个球

缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中球缺的高3h=，圆锥的高13h=，底面半径3r=，则其中一个球缺的体积()()()221113332335333VhRh=−=−=，圆锥的体积22133333V==，球的体积()333442332333

VR===，所以几何体的体积31222163VVVV=−−=.故答案为：16317.（本小题满分10分）【详解】（1）ab∥，()2,1b=，设()2,ab==，又2a=，2242+=，255=，4525,55a=

或4525,55a=−−.（2）()abb+⊥，()0abb+=，即20abb+=，cos,50aabb+=，55coscos,225ab−==−，即向量a与向量b夹角的余弦值为52−.18.（本

小题满分12分）【详解】（1）由()()()()()22i1i2iz1i2i2ii1i1i1i1i1i+=−+=−+=−++=−−−−+，则1i2z=−−=，1iz=−+（2）由x的一元二次方程20xmxn++=的一个根是12i−+，且,mnR

，可知该方程还有另一个根为12−−.由韦达定理，()12i12i2m−++−−=−=−，()()()212i12i12i3n−+−−=−==故得2m=，3n=，1mn−=−.19.（本小题满分12分）【详解】（1）因为35A

EEB=，23AFFC=，所以58AEAB=，35AFAC=，所以35BFAFABACAB=−=−，58CEAEACABAC=−=−；因为8AB=，5AC=，3BAC=，所以1cos85202ABACABACBAC===，所以2235311558588

BFCEACABABACACABACAB=−−=−+−.2231155552085882=−+−=−（3）依题意EOF为向量BF与CE的夹角，又2222239696520875255255BFACABACACABAB

=−=−+=−+=222225255255820558644644CEABACABABACAC=−=−+=−+=所以55112cos7514BFCEEOFBFCE−===−

.20.（本小题满分12分）【详解】（1）连接1DE并延长交DA于G，连接CG交AB于F，则四边形1EFCD即为平面截正方体所得的截面.因为E是1AA的中点，根据三角形相似可得：A、F分别为DG和AB的中点，所以在1GDC△中，112E

FDC∥，所以截面1EFCD为梯形，且1EF=，12CD=，1102DECF==，如下图所示：分别过点E、F在平面1CDEF内作1EMCD⊥，1FNCD⊥，垂足分别为点M、N，则易得221132EMEDDM=−=，所以，梯形1CDEF的面积为()1113932224SEFCDEM=+==

.（2）多面体1AEFDDC−为三棱台，1124AEFSAEAF==△，11112DDCSDDDC==△，该棱台的高为2，所以，该棱台的体积为()11111172112334412AEFDDCAEFDDCSSSSAD++

=++=△△△△，故剩余部分的体积为72172221212−=.故比较小的那部分与比较大的那部分的体积的比值为717.21.（本小题满分12分）【详解】（1）由正弦定理，得()332abcbcab−−=+，即22223cbabc+−=，故222

213cos223bccbaAbcbc+−===，因为cos0A，所以0,2A，所以2122sin1cos193AA=−=−=；（2）①由（1）知22sin3A=，因为ABC△的面积为423，所以14sin223bcA=，解得

4bc=，由于()12AEABAC=+，所以()()2222222111222cos4443AEABACABACcbbcAcbbc=++=++=++12188243433bcbcbc+==

（当且仅当bc=时，等号取得到），所以282633AEAE，故AE长的最小值为263；②因为AD为角A的角平分线，所以1sinsin2BADCADA==，由于ADBADCABCSSS+=△△△，所以111sinsinsinsincos

2222222AAAAADcADbbcAbc+==，由于sin02A，所以()2cos2AADcbbc+=，由于22126cos2cos1coscos232323AAAA=−===，又4bc=，所以()6862co

s24233AADcbbc+===，由于24bcbc+=（当且仅当bc=时，等号取得到），故()86243ADcbbcADAD=+=，故263AD，即角平分线AD长的最大值为263.22.（本小题满分12分）【详解】（1）由正弦定理得()2222s

in3abCbca=+−，即2sin32cosabCbcA=，sin3cosaCcA=，即sinsin3sincosACCA=，()0,C，sin0C，sin3cosAA=，若cos0A=，等式不成立，则cos0A，所以tan3A=.又()0,A，所以3A

=.（如果得到2sin32cosacBbcA=进行化简也可以）（2）222444ABBCACcabcabTPDPEPFPDPEPFcPDaPEbPF=++=++=++.又12PABScPD=△，12PBCSaPE=△，12PACSbPF=△，PABPBCPACABCSSSS+

+=△△△△2ABCcPDaPEbPFS++=△.由三维分式型柯西不等式有()()222224244223ABCbcbccbTcPDaPEbPFSbc++++=++=△.（当且仅当121PDPEPF==即22PEPDPF==时等号成

立.）由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得：224bcbc=+−，所以()243bcbc+−=即()243bcbc+−=，则()()()2222423434bcbcTbcbc++++=+−.令4tbc=++，则()2222323128441tT

ttt=−−−+因为()224322bcbcbcbca+−+=+=解得24bc+，（当且仅当bc=时等号成立）.所以68t.则11186t−−.令2212811111233yttt=−+=−−，则21111233yt

=−−在111,86t上递减，当118t=即2bc==时，y有最大值316，此时T有最小值3233.