【文档说明】河南省漯河市高级中学2023-2024学年高三下学期3月月考试题 数学 含解析.docx，共(13)页，769.455 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-6d6da0ae6d8f86daa050c17b4a5bffaa.html

以下为本文档部分文字说明：

2023-2024学年高三下学期3月检测一数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的

相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知直线l的方向向量是(3,2,1)a=，平面的一个法向量是(1,1,1)n=−−，则l与的位置关系是（）A.

l⊥B.l∥C.l与相交但不垂直D.l∥或l2.已知i是虚数单位，aR，则“()2i2ia+=”是“21a=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.华罗庚是享誉世

界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题

的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数()yfx=的图象如图所示，则()fx的解析式可能是（）A.sin()3xfx=B.cos()3xfx=

B.C.sin1()3xfx=D.cos1()3xfx=4.《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大的正方形，若下图中所示的角为（045），且小正方形与大正方形面积之比为125：，则tan的值为（）A.

2524B.2425C.43D.345.已知一台擀面机共有4对减薄率均在20%的轧辊（如图），所有轧辊周长均为160mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，若某个轧辊有缺陷，每滚动一周会在面带上压出一个疵点（整个

过程中面带宽度不变，且不考虑损耗），已知标号3的轧辊有缺陷，那么在擀面机最终输出的面带上，相邻两个疵点的间距为（）A.800mmB.400mmC.200mmD.100mm6.已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，若sinsin2AC

abA+=，63SABAC=，则ABC的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰直角三角形7.已知函数21()e(R)2(1)xfxxbxaba=−−+，没有极值点，则1ba+的最大值为（

）A.e2B.e2C.eD.2e28.设定义在R上的函数()fx与()gx的导函数分别为()fx和()gx，若()()212fxgx+−−=，()()1fxgx=+，且()1gx+为奇函数，则下列说法中一定正确的是（）A.()fx是奇函数B.函数()gx的图象关于点()1,0对称C.

点()2,2k（其中kZ）是函数()fx的对称中心D.()202310kgk==二．多选题（共4小题，每题5分，共20分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。）9.下列命题中真命题是（）A.设一组数据12,,,nxxx的平

均数为x，方差为2s，则()22211niisxxn==−B.将4个人分到三个不同的岗位工作，每个岗位至少1人，有36种不同的方法C.一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158D.已知随机变量X的分布列为()

()()1,2,3,,1001aPXiiii===+，则99100a=10.如图，OA是连接河岸AB与OC的一座古桥，因保护古迹与发展的需要，现规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区.规划要求：①新桥B

C与河岸AB垂直；②保护区的边界为一个圆，该圆与BC相切，且圆心M在线段OA上；③古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点AC､分别位于点O正北方向60m､正东方向170m处，4tan3BC

O=.根据图中所给的平面直角坐标系，下列结论中，正确的是（）A.新桥BC的长为150mB.圆心M可以在点A处C.圆心M到点O的距离至多为35mD.当OM长为20m时，圆形保护区的面积最大11.已知函数(

)()2sin3cos5tan2sincosxxfxxxx=++，下列结论正确是（）A.()fx值域是)4,+B.()fx是周期函数C.()fx图像关于直线π4x=对称D.()fx在π3π,24上单调递增12.如图，在四棱锥QEFGH−中，底面是边长为2

2的正方形，M为QG的中点．4QEQFQGQH====，过Q作平面EFGH的垂线，垂足为O，连EG，EM，设EM，QO的交点为A，在QHF△中过A作直线BC交QH，QF于B，C两点，QBxQH=，QCyQF=，过E

M作截面将此四棱锥分成上、下两部分，记上、下两部分的体积分别为12,VV，下列说法正确的是（）A.1133QAQHQF=+B.113xy+=C.123Vxy=D.12VV的最小值为12三．填空题（共4小题，每题5分，共20分。）13.已知一个圆柱底面半

径为2，高为3，上底面的同心圆半径为1，以这个圆面为上底面，圆柱下底面为下底面的圆台被挖去，剩余的几何体表面积等于______________14.若sin0+−=，则cos+−的最大值为_____

___________．15.设ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在ABC所在的平面内，记PCD与PAB的面积分别为1S，2S，且121SS−=．当||10PB=，且||||PAPB时，||PA=_

________；记PAPBa−=，则实数a的取值范围为_____16.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，离心率为23.若A和B为椭圆C上在x轴上方的两点，且122BFA

F=，则直线2AF的斜率为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（10分）17.已知数列na的前n项和为()*,22NnnnSSan=−．（1）求na通项公式；（2）设()()

**2,2,Nlog,21,Nnnnankkbankk===−，求数列nb的前21n+项的和．的（12分）18.在四棱锥PABCD−中，已知ABCDABAD⊥，∥，BCPA⊥，222ABADCD===，6PA=，2PC=，E是线段PB上的点．（1）求证：PC

⊥底面ABCD；（2）是否存在点E使得PA与平面EAC所成角的余弦值为53？若存在，求出BEBP的值；若不存在，请说明理由．（12分）19.有如下图所示的四边形ABCD.（1）在ABC中，三内角为,,ABC,求当A为何值时，2cos2cosABC++取得最大值，

并求出这个最大值；（2）若CAB为（1）中所得值，90,120,BADBCD==2AC=,记ABC=.（ⅰ）求用含的代数式表示DC；（ⅱ）求BCD的面积S的最小值（12分）20.某班为了庆祝我

国传统节日中秋节，设计了一个小游戏：在一个不透明箱中装有4个黑球，3个红球，1个黄球，这些球除颜色外完全相同.每位学生从中一次随机摸出3个球，观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球，则分得X个月饼；若摸出的球中有黄球，则需要表演一个

节目.（1）求一学生既分得月饼又要表演节目的概率；（2）求每位学生分得月饼数的概率分布和数学期望.（12分）21.已知椭圆2222:1(0)xyMabab+=的离心率为12，短轴长为23，过点(1,0)P斜

率存在且不为0的直线l与椭圆有两个不同的交点AB，．（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆左右顶点为MN，，设AB中点为Q，直线OQ交直线4x=于点()BNAMPRRkkk−，是否为定值？若是请求出定值，若不是请说明

理由．（12分）22.已知函数()()sinln1fxxax=−+．（1）若π0,2x时，()0fx，求实数a的取值范围；（2）设*nN，证明：()113213sinlnlnsin32124nknnkk=++−++．高三数学答案1—8DAADCBBC9.ABC1

0.AC11.BC12.ABD13.()15310π+14.215.①26②.45(,2)516.317.（1）当1n=时，11122,2aaa=−=，当2n时，1122nnnnnaSSaa−−=−=−，则12nnaa−=，则数列na为12a=为首项，公比为2的等比数列，故1

222nnna−==；（2）因为()()()()****2,2,N2,2,Nlog,21,N,21,Nnnnnankknkkbankknnkk=====−=−，故数列nb的前21n+项的和为：2462n21135(2

12222nTn+=++++++++++）(1)(121)4(14)214nnn+++−=+−24(41)(1)3nn−=++.18.（1）在ADC△中，190ADDCADC===，，所以22112ACADDC=+=+=．在ABC中，2245ACAB

BAC===，，，由余弦定理有：22222cos454222222BCABACABAC=+−=+−=，所以，222ABACBC=+，所以90ACB=，所以BCAC⊥，又因为BCPA⊥，PA

ACA=，PA、AC平面PAC，所以，BC⊥平面PAC，因为PC平面PAC，所以，BCPC⊥，在PAC△中：226ACPCPA===，，，则222PAACPC=+，所以，PCAC⊥，因为ACBCC=，AC、BC平面ABCD，所以PC⊥面ABCD．（2

）因为PC⊥平面ABCDABAD⊥，，以点A为坐标原点，AD、AB、CP的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，.则有(0,0,0)A、(0,2,0)B、(1,1,0)C、(1,0,0)D、(1,1,2)P，设(1,1,2)(,,2)BEBP==−=−，其中01

≤≤，则(,2,2)(1,1,0)(1,1,2)AEABBEACAP=+=−==，，，设(,,)nxyz=为面EAC的法向量，则有()2200nAExyznACxy=+−+==+=，取xλ=−，则1yz==−，，所以，平面EAC的一个法向量为(,,

1)=−−n，设PA与平面EAC所成的角为π0,25cos3=，2sin3=由题意可得222222cos,36(1)APnAPnAPn−===++−，可得23210+−=，因

为01≤≤，所以13=．因此，存在点E使得PA与平面EAC所成角的余弦值为53，且13BEBP=．得8n，又因为*Nn，所以n的最大值7．19.（1）60CAB=，32；（2）（ⅰ）()1150sin−；（ⅱ）633

−.【详解】（1）cos2cos2BCA++22sin2sin122AA=−++，当()1sin6022AA==时，取得最大值32.（2）（i）由（1）可得60CAB=，可得30CAD=四边形内角和360得150ADC=−，在AD

C中，()()21sin30sin150sin150DCDC==−−.（ii）在ABC中，23sin60sinsinBCBC==，()131sin12024sin150sinBCDSDCBC

==−231314413133sincossinsin2cos222444==+−+()31413sin26024=−+，当75=时，S取最小值633−.20.【小问1详解】记“一学生既分得月饼又

要表演节目”为事件A，可知有两种可能：“2个红球1个黄球”和“1个黑球，1个红球，1个黄球”，所以()211113143138CCCCC15C56+==PA.【小问2详解】由题意可知X的可能取值为：0，1，2，3，则有：()()302153533388CCCC515

0,1C28C28======PXPX，()()120353533388CCCC1512,3C56C56======PXPX，可得X的分布列为X0123P52815281556156所以()51515190123282856568EX=+++=.21.【小问1

详解】由题意：22212223cababc===+，解得：231abc===，故所求椭圆的标准方程为：22143xy+=．【小问2详解】如图：因为直线AB斜率不为0，设其方程为：1xty=+，代入椭圆方程：223412xy+=，得：223(1)4

120tyy++−=，整理得：()2234690tyty++−=．设()()1122,,AxyBxy，，则显然0，则122634tyyt+=−+，122934yyt=−+，()212122268223434txxtyytt+=++=−+=++2243,3434tQt

t−++，则直线OQ方程为34tyx=−，令4x=，得3yt=−，则(4,3),(1,0)RtP−，则PRkt=−，112AMykx=+，222BNykx=−，()212121212213BNAMPRyyyykkkttxxtyty

−=+=+−+−+()22221222212212129931334181233334ttytyytytttyytytytytyt+−+++==++−−−−+，又122634tyyt=−−+代入得()

2222222222222299993333434.618121212434343434BNAMPRtttytyttkkkttttytytyttt++−−++−===++−−−−−+++所以()BNAMPRkkk−为定值34．22.【小问1详解】根据题意可得

10ax+，当0a时，可得10ax+在π0,2x上恒成立，当a<0时，由10ax+可得1,xa−−，易知需满足π10,,2a−−，解得20πa−，又

()()1coscos11axxaafxxaxax+−=−=++，令()()1cosgxaxxa=+−，()01ga=−，当20πa−时，()0gxπ0,2上恒成立，即()0fx¢>在π0,2上恒成立，所以()fx在π0,2上单调递增，即可得()

()00fxf=恒成立；当0a时，()()cos1singxaxaxx=−+，令()()()cos1sinhxgxaxaxx==−+，则()()2sin1coshxaxaxx=−−+，所以()0hx在π0,2上恒成立，即()hx在π0

,2上单调递减，又因为()00ha=，ππ1022ah=−+，由零点存在定理可得0π0,2x，使得()00hx=；当)00,xx时，()0hx，即()0gx，所以()gx在)00,

x上单调递增；0π,2xx时，()0hx，即()0gx，所以()gx0π,2x上单调递减；（i）若01a时，()100ga=−，所以当)00,xx时，()0gx，又π02ga=−

，即10π,2xx，使得()10gx=；当)10,xx时，()0gx，即()0fx¢>，所以()fx在)10,x上单调递增，当1π,2xx时，()0gx，即()0fx，所以()fx在12,πx上单调递减，在在又因为()00f

=，所以要使()0fx在π0,2x上恒成立，只需ππ1ln1022af=−+，解得()2e1πa−，又()2e11π−,所以可得01a；（ii）当1a时，()010ga=−，又()gx在)00,x上单调

递增，所以一定20xx使得)20,xx时，()0gx；即()0fx，所以()fx在)20,x上单调递减,即可得()()00fxf=，这与()0fx在π0,2x上恒成立矛盾，不合题意；综上可得21πa−【小问2详解】

令()sinmxxx=−，则()1cos0mxx=−恒成立，所以()sinmxxx=−在R上单调递增，又()00m=，所以当0x时，()sin0mxxx=−，即sinxx，所以()()11111111111113sin2222212412nnn

kkkkkkkkknn====−=+−−+++++；即不等式右侧恒成立；由（1）可得得：当1a=时，对于π0,2x，()()sinln10fxxx=−+恒成立，即()sinln1xx+，当且仅当0x=时，等号成立；取()*1

,2Nxkkk=+，易知()1π0,22kk+，*Nk可得()()()()211112sinln1lnlnln2221kkkkkkkkkkk++++==−++++，所

以()12111212sinsinlnlnsinlnln2313132nnkkkknkkkkn==++++−=+−+++,综上可得：()113213sinlnlnsin32124nk

nnkk=++−++.