【文档说明】江西省上高二中2020-2021学年高二下学期第五次月考试题（4月） 数学（理）含答案.doc，共(11)页，956.500 KB，由小赞的店铺上传

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2022届高二第四次月考数学试卷（理科）一、单选题1．曲线3()3fxxx=−+在点P处的切线平行于直线21yx=−，则点P坐标为（）A．(1,3)B．(1,3)−和(1,3)C．(1,3)−−和(1,1)D．(1,3)−2．数列na的前n项和(

)22nnSnan=，而11a=，通过计算234,,,aaa猜想na=（）A．21n+B．()21nn+C．221n−D．231n−3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程()200++=axbxca有

有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（）A．假设a，b，c都是偶数B．假设a，b，c都不是偶数C．假设a，b，c至少有一个是偶数D．假设a，b，c至多有两个是偶数4．若2()24fxxxlnx=−−，则()

0fx的解集为()A．(0,)+B．()()1,02,−+C．(2,)+D．(1,0)−5．若f(x)＝e2xln2x，则f′(x)＝()A．e2xln2x＋22xexB．e2xln2x＋2xexC．2e2xln2x＋2xexD．2e2x·1x6．用数学归纳法证明“(1)(

2)()213(21)nnnnnn+++=−”，从“k到1k+”左端需增乘的代数式为（）A．21k+B．2(21)k+C．211kk++D．231kk++7．()222sin4xxdx−+−=（）A．4B．2πC．

42π+D．88．已知函数ln()1xfxaxx=++，其中aR，若()fx在定义域上单调递增，则实数a的取值范围（）A．21,3e+B．31,e+C．31,2e+D．31,e−9．设函

数()()xfxFxe=是定义在R上的函数，其中()fx的导函数()fx满足()()fxfx对于xR恒成立，则（）A．22021(2)(0),(2021)(0)feffefB．22021(2)(0),(2021)(0)feffefC．22021(2)(0)

,(2021)(0)feffefD．22021(2)(0),(2021)(0)feffef10．函数3211()228032fxaxaxaxa=+−++的图像经过四个象限，则a的取值范围是（）A．(80,10)−−B．(96,15)−−C．(

,96)(15,)−−−+D．(,80)(10,)−−−+11．已知函数2()(23)xfxxxe=−，则函数23[()]2()1yfxfx=+−零点的个数是（）A．6B．5C．4D．312．已知a为常数，函数f(x)=x(lnx-ax)有两个极值点

x1，x2(x1<x2)，则（）A．()()1210,2fxfx−B．()()1210,2fxfx−C．()()1210,2fxfx−D．()()1210,2fxfx−二、填空题13．已知函数()'()sincos,6fxfxx=+则()6f的值为.____

14．比较大小：322−________107−（填“>”“<”或“=”）．15．已知函数()2lnfxaxx=+满足0(1)(12)lim23xffxx→−−=，则曲线()yfx=在点11,22f

处的切线斜率为___________．16．已知函数2()xfxxexax=−−，当0x时，()0fx，实数a的取值范围是________.三、解答题17．已知函数f(x)＝ln

x，g(x)＝12ax＋b.(1)若f(x)与g(x)在x＝1处相切，求g(x)的表达式；(2)若φ(x)＝()11mxx−+－f(x)在[1，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围．18．已知函数f（x）＝ax3+bx+c在x＝2处取得极值为c﹣16.（1）求a、b的值；（2）若f（x）

有极大值28，求f（x）在[﹣3，3]上的最大值和最小值.19．已知函数()lnafxxx=+.（1）当0a时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()fx在[1,]e上的最小值是32，求a的值.20．如图，已知四棱锥PABCD−的底面ABCD为等腰梯形，//,,ABDCACBDAC

⊥与BD相交于点O，且顶点P在底面上的投影恰为O点，又2,2,BOPOPBPD==⊥求：（1）异面直线PD与BC所成角的余弦值；（2）二面角PABC--的大小.21．已知椭圆C：22221xyab+=(0ab

)的离心率为32，短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点(1,0)P的直线l与椭圆C交于A，B两点若ABO的面积为35(O为坐标原点)，求直线l的方程.22．已知函数2()2ln=−fxxxx，函数2()(ln)=+−agxxxx，其中aR，0x是g()x的一个极值点，且(

)02gx=.（1）求()fx的单调区间；（2）求实数0x和a的值.2022届高二第四次月考数学答题卡（理科）一、选择题（每题5分，满分60分）123456789101112二、填空题（每题5分，满分

20分）13、___________14、____________15、___________16、_____________三、解答题17、18、19、20、21、22、参考答案1．B2．B3．B4．C5．C6．B7．B8．C9．C10．B

11．B12．D【分析】由题得f′(x)=lnx-2ax+1，即曲线y=1+lnx与直线y=2ax有两个不同交点，数形结合分析得到0<2a<1，0<x1<1<x2，再证明()()1210,2fxfx−.【详解】由题得f′(x)=lnx-2ax+1，依题意知f′

(x)=0有两个不等实根x1，x2，即曲线y=1+lnx与直线y=2ax有两个不同交点，如图.由题得直线y=x是曲线y=1+lnx在点(1，1)处的切线，所以0<2a<1，0<x1<1<x2，∴a∈10,2.由0<x1<1，得f(x1)=x1(

lnx1-ax1)<0，∵当x1<x<x2时，f′(x)>0，∴f(x2)>f（1）1=2a−−.故选：D.13．-114．<15．316．1a17．（1）g(x)＝x－1；（2）(－∞，2].解析：(

1)由已知得f′(x)＝1x，所以f′(1)＝1＝12a，a＝2.又因为g(1)＝0＝12a＋b，所以b＝－1，所以g(x)＝x－1.(2)因为φ(x)＝()11mxx−+－f(x)＝()11mxx−+－lnx在[1，＋∞)上是减函数．所以()()()2222101

xmxxxx−+−−+=在[1，＋∞)上恒成立．即x2－(2m－2)x＋1≥0在[1，＋∞)上恒成立，则2m－2≤x＋1x，x∈[1，＋∞)，因为x＋1x∈[2，＋∞)，所以2m－2≤2，m≤2.故数m的

取值范围是(－∞，2]．点睛：本题考查了函数的单调性和最值,以及不等式恒成立问题，属于中档题．对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或

者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．18．（1）1,12ab==−；（2）最小值为4−，最大值为28.【详解】（1）因3()fxaxbxc=++，故2()3fxaxb=+，由于()fx在点2x=处取得极值，故有(2)0(2)16ffc==−，即1208216ababc

c+=++=−，解得112ab==−；（2）由（1）知3()12fxxxc=−+，2()312fxx=−令()0fx=，得122,2xx=−=，当(,2)x−−时，()0fx故()fx在(,2)−−上为增函数；当(2,2)x−时，()0fx故

()fx在(2,2)−上为减函数，当(2,)x+时()0fx，故()fx在(2,)+上为增函数．由此可知()fx在12x=−处取得极大值(2)16fc−=+，()fx在22x=处取得极小值(2)16fc=−，由题设条件知1628c+=，得12c=，此时(3)921fc−

=+=，(3)93fc=−+=，(2)164fc=−=−，因此()fx上[3,3]−的最小值为(2)4f=−，最大值为28.【点睛】本题主要考查函数的导数与极值，最值之间的关系，属于导数的应用．19．解：（1）函数的定义域为()0,+,且2

()xafxx−=,当0a时，()0fx，即函数在定义域()0,+上为增函数，()fx的单调递增区间为()0,+，无单调递减区间.（2）由（1）知,2()xafxx−=,①若1a，则0xa−，即()0fx在[1,]e

上恒成立,此时()fx在[1,]e上为增函数,()fx在[1,]e上的最小值为32,min3()(1)2fxfa===,32a=（舍去）②若ae,则0xa−，即()0fx在[1,]e上恒成立,此时()f

x在[1,]e上为减函数,min3()()12afxfee==+=，2ea=（舍去）.③若1ae，令()0fx=，得xa=.当1xa时,()0fx,()fx在)1,a上为减函数；当axe<时，

()0fx，()fx在,ae上为增函数，min3()()ln12fxfaa==+=，ae=综上可知：ae=20．（1）PO⊥平面ABCD，POBD⊥，又2,2,BOPOPBPD==⊥，由平面几何知识可知()22222ODPOP

BOD++=+，解得1ODOC==，2BOAO==，以O为坐标原点，,,OAOBOP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0O，()2,0,0A，()0,2,0B，()1,0,0C−，()0,1,0D−，()0,0,2P.()0,1,2PD=−−，()1,2,0BC=−−，221

5cos,1535PDBCPDBCPDBC===，所以异面直线PD与BC所成角的余弦值为21515.（2）由图可知，平面ABC的一个法向量为()0,0,1m=，设平面PAB的一个法向量为(),,nxyz=，由()2,2,0AB=−，

()2,0,2AP=−,则00ABnAPn==，即2xyzx==，令1x=，则()1,1,2n=，22cos,122mnmnmn===，显然二面角PABC--为锐角，所以二面角P

ABC--的大小为4.21．（1）2214xy+=；（2）610xy−=.（1）由题意可得2223222cabcab===−，解得24a=，21b=，故椭圆C的标准方程为2214xy+=；（2）由题

意可知直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为1xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy.联立22114xmyxy=++=，整理得()224230mymy++−=，()222(2)44(3)16480m

mm=−+−=+，则12224myym+=−+，12234yym=−+，故()222121212222212434444mmyyyyyymmm+−=+−=−+=+++，因为ABO的面积为35，所以2212221143233|

|122445mmOPyymm++−===++，设233tm=+，则22315tt=+，整理得(31)(3)0tt−−=，解得3t=，所以6m=，故直线l的方程为61xy=+，即610xy−=.22．（1）(0,)+；（2）01x=，1a=.（

1）由题意，函数2()2ln=−fxxxx的定义域为(0,)+，则()22ln2fxxx=−−，令()22ln2hxxx=−−，则2(1)()xhxx−=，由()0hx=，即10x−=，解得1x=，当(0,1)x时，()0hx，()hx单调递减；当(1,)x

+时，()0hx，()hx单调递增，又由(1)0h=，所以()0hx，即()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增.（2）由函数2()(ln)=+−agxxxx，可得函数()gx的定义域为(0,)+，则22ln()1axgxxx=−−，

因为0x是g()x的一个极值点，可得00()gx=，即20002ln0xxxa−−=，又由()02gx=，可得220000(ln)20xxxxa−−+=，联立方程组，消去a，可得20002(ln)2ln20xxx−−−=，令2()2(

ln)2ln2txxxx=−−−，则2ln22(ln1)()2xxxtxxxx−−=−−=，由（1）知ln10xx−−，所以()0tx≥，所以()tx在(0,)+上单调递增，又由(1)0t=，所以方程20002(ln)2ln20xxx−−−=有唯一的解01x=，

将01x=代入20002ln0xxxa−−=，可得1a=，所以01x=，1a=.