【文档说明】北京市顺义区第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，916.206 KB，由小赞的店铺上传

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顺义一中高一2023-2024学年第二学期3月月考数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.一、选择题（每小题4分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.cos12cos18s

in12sin18−的值等于（）A.32−B.12−C.12D.32【答案】D【解析】【分析】根据余弦的和角公式即得.【详解】()cos12cos18sin12sin18cos1218−

=+3cos302==.故选；D．2.如图，在平行四边形ABCD中，ACAB−=（）A.CBB.ADC.BDD.CD【答案】B【解析】【分析】根据向量运算得ACABAD−=.【详解】由图知ACABBCAD−==，故选：B.3.为了得到函数πs

in4yx=+的图象，只需把函数πsin4yx=−的图象（）A.向左平移π4个单位长度B.向右平移π4个单位长度C.向左平移π2个单位长度D.向右平移π2个单位长度【答案】C【解析】【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.

【详解】对于A，πsin4yx=−向左平移π4个单位长度得ππsinsin44yxx=−+=，故A错误；对于B，πsin4yx=−向右平移π4个单位长度得πππsinsincos442yxxx=−−=−=−，

故B错误；对于C，πsin4yx=−向左平移π2个单位长度得πππsinsin424yxx=−+=+，故C正确；对于D，πsin4yx=−向右平移π2个单位长度得ππ3ππsinsincos4244yxxx=−

−=−=−−，故D错误；故选：C.4.已知，都是锐角，3sin5=，()5cos13+=−，则sin=（）A.5665−B.1665−C.3365D.6365【答案】D【解析】【分析】计

算得到4cos5=，()12sin13+=，再根据()sinsin=+−展开得到答案.【详解】，都是锐角，3sin5=，()5cos13+=−，故4cos5=，()12sin13+=.()()()6

3sinsinsincoscossin65=+−=+−+=.故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.5.已知,ab为非零向量，且abab+=+，则一定有（）A.ab=B.//ab，且,ab方向相同C.ab=−D.//

ab，且,ab方向相反【答案】B【解析】【分析】将已知等式两边平方，可得abab=，利用数量积定义可得,0ab=，可知两向量同向.【详解】因为abab+=+，两边平方得222222abababab++=++，化简得abab=，即cos,ababab

=，则cos,1ab=，,0ab=，即,ab方向相同，故只有B正确，故选：B.6.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边位于第一象限，且与单位圆O交于点P，PMx⊥轴，垂足为M.若OMP的面积为625，则sin2=（）A

.625B.1225C.1825D.2425【答案】D【解析】【分析】由三角函数的定义结合三角形面积列出方程，再由倍角公式求出答案.【详解】由三角函数的定义可知：cos,sinOMPM==，故511c

oss62in22OMPM==，故51sin2462=，解得：sin2=2425.故选：D7.22cossin2sincosyxxxx=−+的最小值是（）A.2B.2−C.2D.2−【答案】B【解析】的【分析】利用二倍角公式进行转化，再利用辅助角公式

把函数变形为π2sin24yx=+，即可求解.【详解】因为22cossin2sincosyxxxx=−+πcos2sin22sin24xxx=+=+，故函数的最小值为2−，故选：B.

8.函数()()sin0,0πyAxA=+在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（）A.2π2sin23yx=+B.π2sin23yx=+C.7πsin12yx=+D.11π

2sin12yx=+【答案】A【解析】【分析】根据图象先确定A的值及周期，进而得到2=，分类讨论，结合函数图象过点π,212−，求出的值即可.【详解】根据函数图象可得2A=,由周期5ππ2π1212T=−−=

,即2ππ,2==，当2=时，()2sin2yx=+，又函数图象过点π,212−，则ππ2sin221212f−=−+=，所以ππ2π,Z62kk−+=+,即2π2π,Z3k

k=+，又因0π，故2π3=，则2π2sin23yx=+；当2=−时，()2sin2yx=−+，又函数图象过点π,212−，则ππ2sin221212f−=−−+=，所以ππ2

π,Z62kk+=+,即π2π,Z3kk=+，又因为0π，故π3=，则π2π2sin22sinπ233yxx=−+=−+2π2sin23x=+，综上知，2π2sin23yx=+

，故选：A.9.如果函数()sin3cos(0)fxxx=+的两个相邻零点间的距离为2，那么()()()()1239ffff++++L的值为（）．A.1B.1−C.3D.3−为【答案】A【解析】【分析】利用辅助角公式化简函数()fx，由已知求出，再结合函数式计算

作答.【详解】依题意，π()2sin()3fxx=+，函数()fx的周期4T=，而0，则2ππ2T==，ππ()2sin()23fxx=+，5π11π(1)(3)2sin2sin066ff+=+=，4π7π(2)(4)2sin2sin033ff+

=+=，所以()()()()5π1239(1)2[(1)(2)(3)(4)](1)2sin16ffffffffff++++=++++===L.故选：A10.已知函数π()cos23fxx=+，如果存在实数12,xx，使得对任意实数x，都有12()()()fxfxfx，那么

21xx−的最小值为（）A.π3B.π2C.πD.2π【答案】B【解析】【分析】由题意分析可知()1fx为()fx的最小值，()2fx为()fx的最大值，故12xx−最小值为半个周期，由此得解.【详解】因为π()cos23fxx

=+的周期2ππ2T==，又由题意可知()1fx为()fx的最小值，()2fx为()fx的最大值，所以21xx−的最小值为π22T=.故选：B.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.ππ2sincos

1212=______.【答案】12##0.5【解析】【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.【详解】ππππ12sincossin2sin12121262===.故答案为：12.12.已知角的终边经过点()3,4−，则cos2=．【答案】

725−【解析】【详解】试题分析：由三角函数定义可得：4sin5=，由二倍角公式可得:2167cos212sin122525=−=−=−考点：1．三角函数定义;2．二倍角公式13.13πtan7−与7πtan8−

的大小关系是______（填：“,或=”中的一个）.【答案】【解析】【分析】根据诱导公式化简后，利用正切函数的单调性即可比较大小.【详解】因为13π13ππtantan2πtan777−=−=，7π

7ππtantanπtan888−=−=，又πππ0872，所以ππtantan87，故13π7πtantan78−−，故答案为：.14.已知函数()()1cos3sincos2fxxxx=−

+，那么函数()fx最小正周期为______；对称轴方程为______.【答案】①.π②.ππ,Z32=+kxk【解析】【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，继而利用周期公式及整体代入法求解对称轴即可.【详解】因为()(

)1cos3sincos2fxxxx=−+213cossincos2xxx=−+31sin2cos222xx=−πsin26x=−，所以函数()fx的最小正周期2ππ2T==，令ππ2π,Z62xkk−=+,得ππ,Z32=+kxk，所以函

数()fx的对称轴为ππ,Z32=+kxk.故答案为：π；ππ,Z32=+kxk.15.已知()sincosfxxx=，xR.有下列四个说法：①()fx的一个正周期为2π；②()fx在ππ,44−上单增；③()fx值域为11,22−；④()fx图象

关于πx=对称.其中，所有正确说法的序号是______.【答案】①③④【解析】【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.【详解】对于①，因为(2π)sin(2π)cos(2π)fxxx+=++sincos()xx

fx==，所以①正确；对于②，当π[0,]4x时，sin0x，此时1()sincossin22fxxxx==，又π2[0,]2x，所以()fx在π[0,]4单调递增，因为()sin()cos()fxxx−=−−sincos()xxfx==，()fx为偶函数，所以()fxπ[,0

]4−单调递减，故②错误；对于③，因为()sincosfxxx=1sin2,2π2ππ21sin2,2ππ2π2π2xkxkxkxk+=−++，(Z)k所以()fx值域为11,22−，故③正确；对于④，

因为(2π)sin(2π)cos(2π)fxxx−=−−sin()cos()xx=−−sincos()xxfx==，所以()fx图象关于πx=对称.故答案为:①③④.三、解答题（共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）16.

已知函数()1π2sin26fxx=−．（1）求()fx的最小正周期；（2）求()fx的单调递增区间；（3）求方程()1fx=的解集．【答案】（1）4π（2）()2π4π4π,4π33kkk−++Z（3）2π4π3xxk=+或4π2π,xkk

=+Z【解析】【分析】（1）根据题意，由正弦型函数的周期公式即可得到结果；（2）根据题意，由正弦型函数的单调区间，代入计算，即可得到结果；（3）根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】最小正周期T2π

4π12==.【小问2详解】在∵sinyt=在()ππ2π,2π22tkkk−++Z上单增，∴令π1ππ2π2π2262kxk−+−+，∴2π4π4π4π33kxk−++，∴()fx的单增区间为()2π4π4π,4π33

kkk−++Z.【小问3详解】令()1fx=即1π1sin262x−=，∴1ππ2π266xk−=+或5π2π6k+，∴2π4π3xk=+或4π2πk+，∴方程()1fx=的解集是2π4π3xxk=+或4π2π,xkk=+

Z17.已知函数()πsin26fxx=+.（1）求π3f的值；（2）求函数()fx的对称中心；（3）作出()fx在一个周期内的图象（将给定的表格中填全，并描点画图）26x+0x()fx【

答案】（1）12（2）ππ,0,Z122kk−+（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可；（2）整体代入法进行求解即可；（3）利用五点作图法填写表格作出图象即可.【小问1详解】因为()πsin26fxx=+，所以πππ

5π1sin2sin33662f=+==.【小问2详解】令π2π,Z6xkk+=，得ππ,Z122kxk=−+，所以函数的对称中心为ππ,0,Z122kk−+.小问3详解】表格如下图：π26x+0π2π3π22πxπ12−π65π122π311

π12【()fx0101−0图象如下：18.已知函数π()4cossin16fxxx=+−.（1）求π6f的值；（2）求()fx在区间ππ,64−上的最大值和最小值.【答案】（1）2（2）2；1−【解析】【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简()fx

，从而可得π6f的值；（2）由ππ64x−得ππ2π2663x−+，从而结合正弦函数的性质即可得解.【小问1详解】因为π()4cossin16fxxx=+−314cossincos122xxx=+−223sincos2cos1

xxx=+−π3sin2cos22sin26xxx=+=+，所以πππ2sin22666f=+=.【小问2详解】由ππ64x−，可得ππ2π2663x−+，所以当ππ262x+=，即π6x=时，()fx取得最大值2；当ππ26

6x+=−，即π6x=−时，()fx取得最小值1−.19.已知函数()()πsin,0,0,2fxAxxA=+R部分图象如图所示．（1）求()fx的解析式；（2）将函数()yfx=的图象向右平移π6个单位长度得到函数()ygx=的图象，求曲线(

)ygx=的对称轴只有一条落在区间0,m上，求m的取值范围.【答案】（1）()πsin26fxx=+（2）π5π36m【解析】【分析】（1）由图象可知1A=，相邻的对称中心和对称轴距离相差4T，再代入关键点可得解析式；（2）根据图象的变换得到()ygx=解析

式，求解函数()ygx=的对称轴，由题意列不等式即可求解.【小问1详解】由图象可知()yfx=的最大值为1，最小值-1，故1A=；又2π5ππ2π431244T=−==且0，∴2=，将点2π,13−代入()yfx=得，2π4πsin133f=+=−

，∴4π3π2π32k+=+，即π=2π,Z6kk+，又π2，∴π6=，所以()πsin26fxx=+；小问2详解】【由()yfx=的图象向右平移π6个单位长度得到函数πππ()sin2sin2666gxxx=−+=−，令ππ2π

62xk−=+得ππ,Z32kxk=+，∴曲线()ygx=的对称轴为ππ,Z32kxk=+，∵曲线()ygx=的对称轴只有一条落在区间0,m上，∴π5π36m.20.已知函数()()πsin0,2fxx=+，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为一组

已知条件，使()fx的解析式唯一确定.（1）求()fx的解析式；（2）设函数()()π6gxfxfxa=+−+，若()gx在区间π0,2上的最大值为23+，求a的值.条件①：()fx的最小正周期为π；条件②：()fx为奇函数；条件③：()fx图象的一条对称轴

为π4x=.【答案】（1）()sin2fxx=（2）2【解析】【分析】（1）若选①②，先由周期求得2=，再利用奇函数求得0=即可；若选①③，先由周期求得2=，再利用对称轴π4x=求得0=即可；若选②③

，由奇函数求得()sinfxx=，可取()sin2fxx=，再由对称轴为π4x=，可求得()sin6fxx=，解析式不唯一，不合题意；（2）先由()fx求出()gx并化简解析式，求得ππ5π2,666x−−，再利用单调性求得最大值即可求

解.【小问1详解】若选①②，则2ππT==,解得2=，又函数为奇函数，则()()fxfx−=−，即()()sin2sin2xx−+=−+，解得π,Zkk=，又π2，所以0=，故()sin2fxx=.若选①③

，则2ππT==,解得2=，又()fx图象的一条对称轴为π4x=，所以ππsin2144f=+=，故πππ,Z22kk+=+，解得π,Zkk=，又π2，所以0=，故()sin2fxx=.若选②③，因为函数为奇函数，则(

)()fxfx−=−，即()()sinsinxx−+=−+，解得π,Zkk=，又π2，所以0=，故()sinfxx=，可令2=，则()sin2fxx=，又()fx图象的一条对称轴为π4

x=，所以ππsin144f=+=，故πππ,Z42kk+=+，解得2πππ,Z4kk−=+，又π2，所以6=，1k=时，符合题意，故()sin6fxx=，此时函

数()sin2fxx=和()sin6fxx=均为奇函数，且ππsin21,sin6144==−，均满足一条对称轴为π4x=，故解析式不唯一，不合题意.【小问2详解】有()1知(

)sin2fxx=，则()()π6gxfxfxa=+−+πsin2sin23xxa=+−+13sin2sin2cos222xxxa=+−+π3sin26xa=−+，由π0,2x得ππ5π2,666x−−，故当π

π262x−=，即π3x=时，()max323gxa=+=+，故2a=.21.对于函数()yfx=，1xD，()ygx=，2xD及实数m，若存在11xD，22xD，使得12()()fxgxm+=，则称函数()fx与()gx具有“m关

联”性质.（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；①()fxx=，1,1x−；()gxx=−，1,1x−；②()exfx=，1x；()exgx=，1x；（2）若()sinfxx=与()cos2gxx=具有“m

关联”性质，求m的取值范围；（3）已知0a，()fx为定义在R上的奇函数，且满足：①在0,2a上，当且仅当2ax=时，()fx取得最大值1；②对任意xR，有()()0faxfax++−=.求证：1sinπ()yxfx=+与2cosπ()yxfx=−不具有“

4关联”性质.【答案】（1）①有；②没有；（2）22−,；（3）证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.（2）求解()()12fxgx+的值域即可得出结果.（3）根据()fx的

性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.【小问1详解】①存在111,1x=−，211,1x=−−，使得12()()1[(1)]2fxgx+=+−−=，所以函数(),()fxgx具有“2关联”性质；②1x，

()eexfx=，而1x，()0eexgx=，因此121,1xx，()()12efxgx+，显然不存在1[1,)x+，2(,1]x−，使得()()122fxgx+=，所以函数(),()fxg

x不具有“2关联”性质.【小问2详解】()sin1,1fxx=−，()cos21,1gxx==−，则()()122,2fxgx+−，2,2m−，所以m的取值范围是22−

,.【小问3详解】因为在0,2a上，当且仅当2ax=时，()fx取得最大值1，又()fx为定义在R上的奇函数，则在2,0a−上，当且仅当2ax=−时，()fx取得最小值1−，由对任意xR，有()()0faxfax++−=，即()yfx=关于点(),0a对称，又()()()faxfax

fxa+−==−−，于是函数()fx的周期为2a，因此()fx的值域为1,1−；sinπ1,1,cosπ1,1xx−−，①当()11fx=时，12,Z2axnan=+，而1sinπ1x=

时，112,Z2xkk=+，若12222anak+=+，则41,,Z41kaknn+=+时，有()111sinπ2yxfx=+=；②当()21fx=−时，22,Z2axmam=−+，而2cosπ1x=时，2

2,Zxtt=，若222amat−+=，则4,,Z41tatmm=−时，有()222cosπ2yxfx=−=，显然4144141ktanm+=+−，因此()()1122sinπcosπ4xfxxfx++−，即不存在12R,Rxx

，使得()()1122sinπcosπ4xfxxfx++−=，所以()1sinπyxfx=+与()2cosπyxfx=−不具有“4关联”性质.【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知

识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.