【文档说明】吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高三上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(24)页，1.162 MB，由小赞的店铺上传

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高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合20,1,,1,0,23AaBa==+，若AB=，则=a（）A1−或3B.0

C.3D.3−2.若复数z满足()1i23iz+=+，则z的虚部是（）A.12B.1i2C.1D.i−3.命题“21,2,0xxa−”为真命题的一个充分不必要条件是（）A.3aB.4aC

.5aD.5a4.某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为0ektNN−=，其中0N为初始污

染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49%B.51%C.65.7%D.72.9%5.要得到函数()πsin23fxx=+的图象，可以将函数(

)sin212gxx=+的图象（）A.向左平移π4个单位B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位D.向右平移π8个单位6.已知,,,ABCD是半径为5的球体表面上的四点，2AB=，90ACB=，30ADB=，则平面CAB与平面DAB的夹角的余弦值为（）A.624−B

.12C.13D.337.设函数122,1(),1xxfxxx−=，则使()4fx成立的x的取值范围为（）A.(,4]−B.(,2]−C.(1,2]D.(1,4]8.设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若11

33f−=，则53f=（）.A.53−B.13−C.13D.53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于函数()π2si

n26fxx=+，下列说法正确的是（）A.函数()fx在2,43上单调递减B.函数()fx的图像关于π,06−中心对称C.函数()fx的对称轴方程为ππ62kx=+，ZkD.将()fx的图像向右平移5π6个单位长度后，

可以得到()2cos2gxx=的图像10.对于数列na，如果1nnaa++为等比数列，那么就称na为“等和比数列”．已知数列1nnnbaa+=+，且2nnb=，*nN，设nS为数列na

的前n项和，且11a=，则下列判断中正确的有（）A.20242024213a−=B.20252024213a−=C.20252024223S−=D.20242024213S−=11.定义在()0,+上的函数(

)fx的导函数为()fx，且()()()20xxfxfx+−恒成立，则下列结论正确的有（）A.()()4132ffB.()()163154ffC.()()6254ffD.()()254245ff12

.已知00ab，，且1ab+=，则（）A.ab的最大值为14B.12ab+的最小值为322+C.22ab+的最小值为12D.()()121ab++的最大值为3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设1x−，则函数4

61yxx=+++的最小值是__________.14.函数()fx定义域为R，满足(1)2()fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−，若对任意的(,]xm−，都有8()9fx−，则m的取值范围是_______的15.三棱锥−PABC中，,ABBCP⊥在底面的射影O为A

BC的内心，若4,3ABBC==，5PO=，则四面体PABC的外接球表面积为_________.16.已知数列na是各项均为正数的等比数列，nS为数列na的前n项和，若2233SaS+=−，则423aa+的最小值为______．四、

解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列na的前n项和为nS，已知()()*1312nnSan=−N．（1）求na通项公式；（2）设,,nnnnanbnan+=为奇数为偶数，求数列nb的前2n的项和2nT．1

8.已知函数()()πsin06,2fxx=+的最小正周期为()π1,32TfTf==．（1）求()fx的解析式；（2）当π0,2时，()17f=−，求sin的值．19.第四届中国国际进口博览会于

2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，生

产x千台空调，需另投入资金R万元，且2210,040901945010000,40xaxxRxxxx+=−+.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年该企业年利润W（万元）

关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.20.如图，已知ABC三个内角A，B，C对边分别为a，b，c，且2b=，3c

=，cossin2aCcAbc-=-．的的（1）求tanA；（2）D是ABC外一点，连接AD，CD构成平面四边形ABCD，若π4ADC=，求BD的最大值．21.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos3bAaB

c+=.（1）求A；（2）求2bca+最大值.22.已知函数2()ln2afxxx=+．（1）讨论()fx的单调性；（2）设23()()agxfxxx=+−，若1x，()212xxx是()fx的两个极值点，证明

：()()121232gxgxxxa−−．的高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合20,1,,1,0,23AaBa==+，若AB=

，则=a（）A.1−或3B.0C.3D.3−【答案】C【解析】【分析】由集合相等的含义得223aa=+，求解并验证互异性即可.【详解】AB=，223aa=+，解得1a=−或3，当1a=−时，2231aa=+=，不满足集

合中元素的互异性，舍去.当3a=时，2239aa=+=，此时0,1,9AB==，满足题意.综上，3a=.故选：C.2.若复数z满足()1i23iz+=+，则z的虚部是（）A.12B.1i2C.1D.i−【答案】A【解析】【

分析】利用复数除法运算求得z，进而求得z的虚部.【详解】()()()()23i1i23i51i1i1i1i22z+−+===+++−，故z的虚部是12.故选：A3.命题“21,2,0xxa−”为真命题的一个充分不必要条件是（

）A.3aB.4aC.5aD.5a【答案】D【解析】【分析】先求出命题为真时的充要条件，进一步判断即可.【详解】若命题“21,2,0xxa−”为真命题，即21,2,xxa恒成立，又

1,2x，则214x，故4a，结合选项可知，5a是4a的一个充分不必有条件，故选：D.4.某企业在生产中为倡导绿色环保理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为0ek

tNN−=，其中0N为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（）A.49%B.51%C.65.7%D.72.9%【答案】C【解析】【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意

，前2个小时过滤后剩余污染物数量为070%N，于是20070%ekNN−=，解得2e0.7k−=，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为62330000e(e)0.70.343kkNNNNN−−====，所以前6小时共能过滤掉污染物的0000.34365.7%NNN−=.故选：

C5.要得到函数()πsin23fxx=+的图象，可以将函数()sin212gxx=+的图象（）A.向左平移π4个单位B.向左平移π8个单位C.向右平移π4个单位D.向右平移π8个单位【答案】B【解析】【分析】

()πππsin2sin23812fxxx=+=++，根据三角函数图象的平移变换即可求解.的【详解】因为()πππsin2sin23812fxxx=+=++

,所以将函数()sin212gxx=+的图象向左平移π8个单位可得到函数()πsin23fxx=+的图象.故选:B.6.已知,,,ABCD是半径为5的球体表面上的四点，2AB=，90ACB=，3

0ADB=，则平面CAB与平面DAB的夹角的余弦值为（）A.624−B.12C.13D.33【答案】B【解析】【分析】设球心为O，分别取ABC，ABD△的外接圆圆心为,EF，连接,,OEEFOF，证得E为AB中点，平面CAB与平面DAB的夹角即为OEF的余

角，解RtOEF△，即可得解.【详解】设球心为O，分别取ABC，ABD△的外接圆圆心为,EF，连接,,OEEFOF，∵90ACB=，∴点E为AB中点，则1EAEB==，由F为ABD△外心，故FAFB=，则FEAB⊥，由题意可得OE⊥平面ABC

，故平面CAB与平面DAB的夹角，即为OEF的余角.在ABD△中，2AB=，30ADB=，则由正弦定理可得222sin30FAFBFD====，由球O的半径为5，故2521OF=−=，2512OE=−=,由OF⊥平面DAB，EF平面DAB，可得OFEF⊥，则RtOEF△中，1

sin2OFOEFOE==,即30OEF=，故平面CAB与平面DAB的夹角为60，故其余弦值为12.故选:B7.设函数122,1(),1xxfxxx−=，则使()4fx成立的x的取值范围为（）A.(,4]−B.(,2]−C.(1,2]D.(1

,4]【答案】B【解析】分析】分1x和1x两种情况解不等式即可【详解】当1x时，由()4fx，得12242x−=，得12x−，3x，所以1x，当1x时，由()4fx，得24x，得22x−，所以12x，综上，2x，即使()4f

x成立的x的取值范围为(,2]−，故选：B8.设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若1133f−=，则53f=（）A53−B.13−C.13D.53【答案】C【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和

函数的递推关系即可求得53f的值.【详解】由题意可得：522213333ffff=+=−=−，而21111133333ffff=−==−−=−，故5133f=

.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键..【.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.关于函数()π2sin26fxx=+，下列说法正确的是（）A.函数()fx在2,43上单调递减B.函数()fx的图像关于π,06−中心对称C.函数()fx的对称轴方程为ππ62kx=+，Zk

D.将()fx的图像向右平移5π6个单位长度后，可以得到()2cos2gxx=的图像【答案】ACD【解析】【分析】根据函数的解析式分别应用对称轴,对称中心,单调性及平移逐个判断选项即可.【详解】对于A:2,43x,π2

π3π2,632x+,所以函数()fx在2,43上单调递减,故A正确;对于B:令π2π,Z6xkk+=,则ππ,Z122kxk=−+,故函数()fx的对称中心为ππ,0122k−+

,故B错误;对于C:令π2π,Z2π6xkk+=+,则ππ,Z62kxk=+,故函数()fx的对称轴为ππ,Z62kxk=+,故C正确;对于D:将()fx的图像向右平移5π6个单位长度可得5ππ3π2sin22

sin22cos2662yxxx=−+=−=,故D正确.故选:ACD.10.对于数列na，如果1nnaa++为等比数列，那么就称na为“等和比数列”．已知数列1nnnbaa+=+，且2nnb=，*nN，设nS为数列na的前n项和，且11a=，

则下列判断中正确的有（）A.20242024213a−=B.20252024213a−=C.20252024223S−=D.20242024213S−=【答案】AC【解析】【分析】由12nnnaa++=①，则当2n

时有112nnnaa−−+=②，两式相减得1112nnnaa−+−−=．求出2a后利用累加法求得2024a，判断AB，利用2024132023Sbbb=+++可得2024S，从而判断CD，【详解】根据题意知，数列na中，有12nnnaa++=①，

则当2n时有112nnnaa−−+=②，①－②可得1112nnnaa−+−−=．又由122aa+=，11a=，得21a=，则2422aa−=，4642aa−=，L，2022202420222aa−=，

则()()()2024202220202202420242022202220204222122213aaaaaaaa−=−+−++−+=++++=，A正确，B错误；若12nnnaa++=，则122aa+=，3342aa+=，L，2023202320242aa+=，则()(

)()202535202320241234202320242222223Saaaaaa−=++++++=++++=，C正确，D错误．故选：AC11.定义在()0,+上的函数()fx的导函数为()fx，且()()()20xxfxfx+−

恒成立，则下列结论正确的有（）A.()()4132ffB.()()163154ffC.()()6254ffD.()()254245ff【答案】AC【解析】【分析】构造函数1()(1)()gxfx

x=+，利用导数得出其单调性，然后由单调性比较大小，从而判断各选项．【详解】令()()11gxfxx=+，则()()()()()()222111xxfxfxgxfxfxxxx+−=−++=．∵()()()20xxfxfx+−在()0,+上恒成

立，∴()0gx，故()gx在()0,+单调递增．由(2)(1)gg，得()()32212ff，即()()4132ff，故A正确；由(4)(3)gg，得()()544343ff，即()()163154ff，故B错误；由()()24gg，得()()352424ff

，即()()6254ff，故C正确；由()()54gg得()()655454ff，即()()254245ff，故D错误．故选：AC．12.已知00ab，，且1ab+=，则（）A.ab的最大值为

14B.12ab+的最小值为322+C.22ab+的最小值为12D.()()121ab++的最大值为3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判断【详解】因为00ab，，且1ab+=，A.2124abab+=，当且仅当12a

b==时，等号成立，故正确；B.()121222332322babaababababab+=++=+++=+，当且仅当2baab=，即21,22ab=−=−时，等号成立，故正确；C.()222122abab++=，当且仅

当ab=时，等号成立，故正确；D.()()()()()223112512122212228ababab++++=++=，当且仅当2221ab+=+，即13,44ab==时，等号成立，故错误；故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

．13.设1x−，则函数461yxx=+++的最小值是__________.【答案】9【解析】分析】根据题意，化简4461511yxxxx=++=+++++，结合基本不等式，即可求解.【详解】由1x−，可得10x+，则()4446152159111yxxxxxx=++=+++++=++

+，【当且仅当411xx+=+时，即1x=时，等号成立，所以函数461yxx=+++的最小值是最小值为9.故答案为：9.14.函数()fx的定义域为R，满足(1)2()fxfx+=，且当(0,1]x时，()(1)fxxx=−，

若对任意的(,]xm−，都有8()9fx−，则m的取值范围是_______【答案】7,3−【解析】【分析】首先根据已知条件依次得到在(0,1]x附近的区间，(1,2]x、(2,3]x对应的函数解析式，然后按其规律画出函数的

图像，再根据不等式恒成立的意义与函数图像即可求得实数m的取值范围【详解】当10−x时，011x+，则11()(1)(1)22fxfxxx=+=+，当12x时，011x−，则()2(1)2(1)(2)fxfxxx=−=−−，当23x时，

021x−，则22()2(1)2(2)2(2)(3)fxfxfxxx=−=−=−−，由此作出()fx图象如图所示，由图知当23x时，令282(2)(3)9xx−−=−，整理得：(37)(38)0xx−−=，解得：73x=或83x=，要使对任意的

(,]xm−，都有8()9fx−，必有73m，所以m的取值范围是7,3−，故答案为：7,3−【点睛】本题主要考查函数的解析式，函数的图象，不等式恒成立问题，考查分类讨论，数形结合的思想，属于中档题.1

5.三棱锥−PABC中，,ABBCP⊥在底面的射影O为ABC的内心，若4,3ABBC==，5PO=，则四面体PABC的外接球表面积为_________.【答案】41π【解析】【分析】根据三棱锥−PABC的几何特征可知ABC内切圆半径为1r=，所以可得四面体PABC外接球球心为O在平面AB

C射影为AC中点Q，根据勾股定理找出等量关系可解得外接球半径，即可求出结果.【详解】三棱锥底面为直角三角形，O为ABC内心，由4,3ABBC==，ABBC⊥可得5AC=，以B为坐标原点，,BABC分别为,xy轴建立平面直角坐标系，如下图

所示：设ABC内切圆半径r，易知ABC的周长为12l=，面积为13462S==；由等面积可得12Slr=，解得1r=；设四面体PABC外接球球心为O，所以易知O在平面ABC射影为AC中点Q，易知()31,12,2OQ，，则52OQ=，设OPOCR

==，则222OQQCR+=，且()2222252PORQCR−−+=，即222255544RR−−+=，解得2414R=，则四面体PABC的外接球表面积为24π41πR=.故答案为：41π【点睛

】方法点睛：求解几何体外接球半径问题时，一般是根据几何体特征找出外接球球心位置再利用等量关系解出半径即可求出结果.16.已知数列na是各项均为正数的等比数列，nS为数列na的前n项和，若2233SaS+=−，

则423aa+的最小值为______．【答案】18【解析】【分析】先根据2233SaS+=−得到1230aqq=−，从而1q，对423aa+进行整理，用含q的式子表示，再用基本不等式进行求解最小值.【详解】由2233SaS+=−

得232333aSSa=−−=−，所以2113aqaq=−，1230aqq=−，故20qq−，解得：1q或0q，因为数列na是各项均为正数，所以0q，故1q，所以()()()()2323421123333121433311qqqqqaaaqaqqqqq++

−+−++=+===−−−()()4431632161811qqqq=−++−+=−−．当且仅当41311qqq−==−时取得最小值．故答案为：18四、解答题：本题共6小题，共70分．解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.设数列na的前n项和为nS，已知()()*1312nnSan=−N．（1）求na的通项公式；（2）设,,nnnnanbnan+=为奇数为偶数，求数列nb

的前2n的项和2nT．【答案】（1）13nna−=（2）()2222413132nnnTn+−=+【解析】【分析】（1）由231nnSa=−，得()112312nnSan−−=−，两式相减化简可得数列na是以

1为首项，3为公比的等比数列，从而可求出其通项公式，（2）由（1）得,,nnnnanbnan+=为奇数为偶数，然后分别利用分组求和，错位相减法求出奇数项的和与偶数项的和，相加即可.【小问1详解】由231nnSa=−，得

()112312nnSan−−=−，两式相减得()132nnaan−=．令11,1,na==数列na是以1为首项，3为公比的等比数列，13nna−=【小问2详解】由题意可得,,nnnnanbnan+=为奇数为偶数，()()0242229113521333

38nnSnn−−=++++−+++++=+奇数项,1352123436323nSn−=++++偶数项①，则35721923436323nSn+=++++偶数项②，①−②得：()()132121213

19823332322319nnnnSnn−++−−=+++−=−−偶数项,∴()22433332nnS−+=偶数项,()()2222224333241319183232nnnnnnTnn−++−−

=++=+18.已知函数()()πsin06,2fxx=+的最小正周期为()π1,32TfTf==．（1）求()fx的解析式；（2）当π0,2时，()17f=−，求sin的值．【答案】（1）()πsin26fxx

=+（2）321sin14=【解析】【分析】（1）根据2π0,T=，利用()12fT=及π132f=即可求出解析式；（2）判断出π7π0266+，根据()17f=−，即可求出πcos26+的值，进一步可求出cos2的值，根据二倍角公式，即

可求出sin的值.【小问1详解】因为2π2π2π10,,sin2Tf==+=，所以1πsin,22=，则π6=，πππ1sin3362f=+=，因为06，所以πππ13π636

6+，所以ππ5π366+=，所以2=，则()πsin26fxx=+．【小问2详解】当π0,2时，π7π0266+，且π1sin267+=−，所以π7ππ26

6+，所以π43cos267+=−，所以ππππππ13cos2cos2cos2cossin2sin66666614=+−=+++=−，由213cos212sin14=−=−，得3

21sin14=．19.第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行.本届进博会有4000多项新产品､新技术､新服务.某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调.生产此款

空调预计全年需投入固定成本260万元，生产x千台空调，需另投入资金R万元，且2210,040901945010000,40xaxxRxxxx+=−+.经测算，当生产10千台空调时需另投入的资金R=4000万元.现每台空调售价为0.9万元时，

当年内生产的空调当年能全部销售完.（1）求2022年该企业年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式；（2）2022年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？注：利润=销售额-成本.【答案】（1）2210600260,0409

19010000,40xxxWxxxx−+−=−+−（2）当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元【解析】【分析】（1）由题意可知10x=时，R=4000，代入函数中可求出a，然后由年利润等于销售总额减去投入资金，再减去固定成

本，可求出年利润W（万元）关于年产量x（千台）的函数关系式，（2）分别当040x和40x求出函数的最大值，比较即可得答案【小问1详解】由题意知，当10x=时，()21010104000Rxa=+=，所以a=300.当040x

时，()229001030026010600260Wxxxxx=−+−=−+−；当40x时，22901945010000919010000900260xxxxWxxx−+−+−=−−=.所以2210600260,040919010000,40xxxWxxxx−+−=

−+−，【小问2详解】当040x时，()210308740Wx=−−+，所以当30x=时，W有最大值，最大值为8740；当40x时，10000100009190291908990Wxxxx=−++−+=，当且仅当1000

0xx=，即x=100时，W有最大值，最大值为8990.因为87408990，所以当2022年产量为100千台时，该企业的年利润最大，最大年利润为8990万元.20.如图，已知ABC三个内角A，B，C的对

边分别为a，b，c，且2b=，3c=，cossin2aCcAbc-=-．（1）求tanA；（2）D是ABC外一点，连接AD，CD构成平面四边形ABCD，若π4ADC=，求BD的最大值．【答案】（1）1（2）3【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒

等变换可得A；（2）设3π04ACD骣琪?<<琪琪桫，在ACD中利用正弦定理可得2sinAD=，再在ABD△中，利用余弦定理可得2π4sin256BD骣琪=-+琪琪桫，结合三角函数性质可得最值.【小问1详解】由已知co

ssin2aCcAbc-=-，则sincossinsinsin2sinACCABC-=-，所以()sincossinsinsin2sinACCAACC-=+-，化简可得sinsincossin2sinACACC+=，又在ABC中，()0,πC，所以sin0C，则πsincos2sin24A

AA骣琪+=+=琪琪桫，即πsin14A+=，又()0,πA，ππ5π,444A骣琪+?琪琪桫，所以ππ42A+=，π4A=，所以tan1A=；【小问2详解】由（1）得π4A=，设3π04ACD骣琪?<<琪琪桫，则3π4C

AD=−，在ACD中，由正弦定理得sinsinACADADCACD=，即πsinsin4ACAD=，且2AC=，即2sinAD=，在ABD△中，由余弦定理得2222cosBDABADABA

DBAD=+−，即()()2222π3π32sin232sincos34sin43sincos44BD=+−+−=++π4sin256骣琪=-+琪琪桫，由3π04，

所以ππ4π2663-<-<，所以当ππ262−=，即π3=时，2BD取得最大值为9，所以BD的最大值为3.21.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos3bAaBc+=.（1）求A；（2）求2bca+的最大值.【答案】（1）π

3A=（2）2213.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理边化角，进而可得tan3A=，结合角的范围即可求解；方法2，利用余弦定理进行边角的互化，进而可得tan3A=，结合角的范围即可求解；（2

）利用正弦定理边化角，结合辅助角公式进而可得()2221sin3bcBa+=+，结合正弦函数的性质即可求解.【小问1详解】方法1：由sin3cos3bAaBc+=及正弦定理可得：()sinsin3sincos3sin3sinBAABC

AB+==+，所以sinsin3sincos3sincos3cossinBAABABAB+=+，故sinsin3cossinBAAB=，因为0πB，即sin0B，故sin3cos0AA=，所以tan3A=，又0

πA，所以π3A=.方法2：由sin3cos3bAaBc+=及余弦定理可得：()2223sin32aacbbAcac+−+=，所以()2223sin3cos02bcaAAbc+−==，所以tan3A=，又0πA，所以π3A=

.【小问2详解】由正弦定理可知22sinsinsinbcBCaA++=，即()2232π23532212sinsinsincossin333223bcBBBBBa+=+−=+=+，其中3πtan52=，2π7π0,036B

B+,故当π2B+=时，2bca+的最大值为2213.22.已知函数2()ln2afxxx=+．（1）讨论()fx的单调性；（2）设23()()agxfxxx=+−，若1x，()212xxx是()fx的两个极值点，证明：()()12123

2gxgxxxa−−．【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导后，分0a、0a两种情况讨论即可；（2）由题意可得123xx+=，120xxa=，从而可得要证()()121232gxgxxxa−−

成立，只需证1212lnln3xxxxa−−，即证12121212lnlnxxxxxxxx−+−，即证112221lnxxxxxx−，设12xtx=，构造函数()1()ln01httttt=−+，求导后判断单调性即可证明.【小问1

详解】2()ln2afxxx=+，则2331()axafxxxx−=−=，()fx的定义域为()0,+．①当0a时，()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增；②当0a时，令()0fx=，得xa=（舍去负值），当()

0,xa时，()0fx，()fx单调递减；当(),xa+时，()0fx，()fx单调递增．综上，当0a时，()fx在()0,+上单调递增；当0a时，()fx在()0,a上单调递减，在(),a+上单调递增．【小问2详解】由题意

得23()ln2agxxxx=+−，可知2233133()axxagxxxxx−+==−+，因为1x，()212xxx是()gx的极值点，所以1x，2x是方程230xxa−+=的两个不等的正实数根，所以123xx+=，120xxa=，则()()()1

222121211221222121212121233lnln22lnln32aaxxgxgxaxxxxxxxxxxxxxxxxxx+−−+−−+−==−+−−−12121212lnlnl

nln33322xxxxxxaaxxa−−=−+=−−−．要证()()121232gxgxxxa−−成立，只需证1212lnln3xxxxa−−，即证12121212lnlnxxxxxxxx−+−，即证()22121212lnlnxxxxxx−−，即证11222

1lnxxxxxx−，设12xtx=，则01t，即证1lnttt−．令()1()ln01httttt=−+，则222111()10tthtttt−+−=−−=，所以()ht在()0,1上单调递减，则()(1)0hth=，所以1lnttt

−，故()()121232fxfxxxa−−．【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性

问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡

的功效.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com