【文档说明】吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高三上学期12月月考试题+数学+含解析.docx，共(27)页，1.526 MB，由管理员店铺上传

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高三数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|3170,{Z|24}MxxxNxx=−=−，则MN=（）A.1,2,3B.0,1,2C.0,1,2,3D.1,0,1,2,3−2.若复数2i

5iim−+−为纯虚数，则m=（）A.5B.5−C.3D.3−3.已知函数()22fxxax=+，则“()fx在区间1,2上单调递增”的一个充分不必要条件为（）A.4a−B.a<0C5a−D.4a4.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月

1号开始慢跑，第一天跑步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为（）A.8B.9C.13D.145.两直线330xy+−=与610xmy++=平行，则它们之间距离为（）A.105B.71020C.2105D

.213136.已知直线20kxyk−+=与直线20xky+−=相交于点P，点()4,0A，O为坐标原点，则tanOAP的最大值为（）A.23−B.33C.1D.37.设抛物线28yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，

与圆22430xyx+−+=交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2APQB+的最小值为（）A.223+B.225+C.425+D.423+8.设0.1a=，sin0.1b=，1.1ln1.1c=，则,,abc的大小

关系正确的是（）AbcaB.bacC.abcD.acb.的.二、多选题（每题5分，共计20分，少选2分，错选0分）9.下列命题正确的是（）A.已知点3(2,)A−，(3,2)B−−，若直线(1)1ykx=−+与线段AB有交点，则34k或4k−B.1m=是直线1l：10mxy

+−=与直线2l：()220mxmy−+−=垂直的充分不必要条件C.经过点()1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为20xy+−=D.已知直线1l：10axy−+=，2l：10xay++=，Ra，和两点

(0,1)A，(1,0)B−，如果1l与2l交于点M，则MAMB的最大值是1.10.设等差数列na的前n项和为nS，公差为d．已知36a=，160S，90a，则（）A.12111d−−B.数列nnSa的最大项为第9项C.0nS时，n的最小值为

17D.80a11.已知抛物线2:2(0)Cypxp=，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设PQ的中点为M，过M作PQ的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）A.PKFQKF=B.tansinPKF

PFD=C.PQ最小值为pD.2PQFD=12.如图，正方体1111ABCDABCD−中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，顶点1,,BCA到的距离分别为1,2,3，则（）A.BD平面B.平面1AAC⊥平面C.直线1AB与所成

角比直线1AA与所成角大D.正方体棱长为11三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合0,1,1Ma=+，若1M−，则实数=a________．14.在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,2,23,3ABCABACBCPA====，则三棱锥−PAB

C的内切球的表面积等于__________.15.已知函数()fx的定义域为R，且()fx的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个()fx的解析式为()fx=__________.①,Rmn

，()()()fmnfmfn+=+；②()fx为奇函数；③()fx在R上单调递减.16.已知()2810fxxx=−+，xR，数列na是公差为1的等差数列，若()()()123fafafa++的值最小，则1a=________．四、解答题；本题共6个

小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR=+−（1）求函数在,02p轾-犏犏臌的单调递减区间;（2）求函数()fx的最小正周期及在区间0,2上的最大

值和最小值.18.设数列na的前n项和为nS，已知()*214,21nnSaSnN+==+．数列nb是首项为1a，公差不为零的等差数列，且127,,bbb成等比数列．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若nnnbca=，数列nc的前n项和为nT，且nTm恒成

立，求m的取值范围．19.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y（单位：毫克/升）与时间t（

单位：小时）满足关系式15yat=−（0a，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y（单位：毫克/升）与时间t的（单位：小时）满足关系式22,01,45,14.ttytt=−现对小白鼠同时进行注射和口服该

种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若1a=，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在用药

后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．20.在①sinsin2ABbcB+=，②()3cossincAbaC−=−，③coscoscoscabCAB+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在A

BC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.（1）求C；（2）若ABC的面积为83，AC的中点为D，求BD的最小值.21.已知函数()()ln1fxxaxx=−−，其中aR．（1）当1a=时，求证：()fx在()0,+上单调递减；

（2）若()0fxx+=有两个不相等的实数根12,xx．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：212exx．22已知函数()()ln11axfxxx=+−+.（1）当1a=时，求()fx的极值；（2）若()0fx，求a的值；（3）求证：()*111sinsinsinln2N122nnnn

+++++..高三数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2|3170,{Z|24}MxxxNxx=−=−，则MN=（）A.1,2,3B.0,1

,2C.0,1,2,3D.1,0,1,2,3−【答案】C【解析】【分析】根据题意，求得集合17|03Mxx=，2,1,0,1,2,3N=−−，结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解

】由题意，集合217|3170|03Mxxxxx=−=，{Z|24}2,1,0,1,2,3Nxx=−=−−，根据集合交集的概念及运算，可得0,1,2,3MN=.故选：C.2.若复数2i5ii

m−+−为纯虚数，则m=（）A.5B.5−C.3D.3−【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的概念列方程即可得解.【详解】2i5i2i5i53iimmm−+−=−−+−=−−，所以50m−=，解得5m=，故选：

A.3.已知函数()22fxxax=+，则“()fx在区间1,2上单调递增”的一个充分不必要条件为（）A.4a−B.a<0C.5a−D.4a【答案】D【解析】【分析】借助导数研究函数的单调性并运用充分不必要条件的定义即可得到.【

详解】()fx在区间1,2上单调递增等价于()4xfxa=+在区间1,2上大于等于0恒成立，即4ax−在1,2x上恒成立，即()max44ax−=−，故4a是4a−的充分不必要条件，故D正确.故选：D.4.老张为锻炼身体，增强体质，计划从下个月1号开始慢跑，第一天跑

步3公里，以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里，则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为（）A.8B.9C.13D.14【答案】B【解析】【分析】由已知可得这20天日跑步量成等差数列，再根据等差数列的通项公式求解.【详解】由已知可得

这20天日跑步量成等差数列，记为na，设其公差为d，前n项和为nS，且13a=则()20120201202Sad−=+，即()20201203982d−+=，解得15d=，所以()()1114131555nnaandn=+−=+−=+，由5na，得14555n+，解得

11n，所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20119−=天，故选：B.5.两直线330xy+−=与610xmy++=平行，则它们之间距离为（）A.105B.71020C.2105D.21313【答案】B【解析】的【分析】根据

两直线平行求得m的值，利用平行线间距离公式求解即可.【详解】330xy+−=与610xmy++=平行,63m=,即2m=直线为6210xy++=,即1302xy++=2217371022201031d−−===+故选：B6.已知直线20kxyk−+=与直线20xky

+−=相交于点P，点()4,0A，O为坐标原点，则tanOAP的最大值为（）A.23−B.33C.1D.3【答案】B【解析】【分析】根据给定条件求出点P的轨迹，再借助几何图形，数形结合求解作答.【详解】直线20kxyk−+=恒过定点(2

,0)M−，直线20xky+−=恒过定点(2,0)N，而1(1)0kk+−=，即直线20kxyk−+=与直线20xky+−=垂直，当P与N不重合时，PMPN⊥，0PMPN=，当P与N重合时，0PMPN=，令点(,)Pxy，则(2,)PMxy=−−−

，(2,)PNxy=−−，于是得224xy+=，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆（除点M外），如图，观察图形知，射线AP绕点A旋转[0,)2OAP，当旋转到与圆O：224xy+=相切时，OAP最大，tanOAP最大，因||4OA=

，AP为切线，点P为切点，||2OP=，90OPA=，则30OAP=，所以OAP最大值为30，max(3tan)tan303OAP==o.故选：B【点睛】思路点睛：涉及在垂直条件下求动点的轨迹问题，可以借助向量垂直的坐标表示求解，以简

化计算，快捷解决问题.7.设抛物线28yx=的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆22430xyx+−+=交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则2APQB+的最小值为（）A.223+B.225+C.425+D.423+【答案】D【解析】【分析】根据抛物线与圆的位置关系

，利用抛物线的焦半径公式，将2APQB+表示为焦半径与半径的关系，然后根据坐标,ABxx的特点结合基本不等式求解出2APQB+的最小值.【详解】如图所示：因为圆的方程为22430xyx+−+=即为()2221xy−+=，

所以圆心为()2,0即为抛物线28yx=的焦点且半径1R=因为()()22APQBAFRBFR+=−+−，所以223APQBAFBF+=+−，又因为22AApAFxx=+=+，22BBpBFxx=+=+，所以223ABAPQBxx+=++，设

:2lxmy=+，所以228xmyyx=+=，所以()224840xmx−++=，所以4ABxx=，所以223223423ABABAPQBxxxx+=+++=+，取等号时2,22ABxx==.综上可知：()min2423APQB+=+.故选：D.【

点睛】本题考查抛物线与圆的综合应用，着重考查了抛物线的焦半径公式的运用，难度较难.(1)已知抛物线()220ypxp=上任意一点()00,Mxy以及焦点F，则有02pMFx=+；(2)当过焦点的直线l与抛物线()220ypxp=相交

于()()1122,,,AxyBxy，则有221212,4pxxyyp==−.8.设0.1a=，sin0.1b=，1.1ln1.1c=，则,,abc的大小关系正确的是（）A.bcaB.bacC.abcD.acb【答案】B【解析】【分析】根

据给定条件，构造函数()sinfxxx=−比较a，b，构造函数()(1)ln(1)gxxxx=++−比较a，c作答.【详解】令函数()sinfxxx=−，[0,)2x，当02x时，()cos10fxx=−，即()fx在(0,)2上递减，则当02x时

，()(0)fxf，即sinxx，因此sin0.10.1，即ba；令函数()(1)ln(1)gxxxx=++−，01x，当01x时，()ln(1)0gxx=+，则()gx在(0,1)上单调递增，则当01x时，()(0)0gxg=，即(1)

ln(1)xxx++，因此0.11.1ln1.1，即ac，所以,,abc的大小关系正确的是bac.故选：B【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解

题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.二、多选题（每题5分，共计20分，少选2分，错选0分）9.下列命题正确的是（）A.已知点3(2,)A−，(3,2)B−−，若直线(1)1ykx=−+与线段AB有交点，则34k或4k−B.1m=是直线1l：10mxy+−=与直

线2l：()220mxmy−+−=垂直的充分不必要条件C.经过点()1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为20xy+−=D.已知直线1l：10axy−+=，2l：10xay++=，Ra，和两点(0,1)A，(1,0)B−，如果1l与2l交于点M，则MAMB的最大值是1.

【答案】ABD【解析】【分析】利用数形结合可判断A，利用两条直线垂直的条件及充分条件必要条件的定义可判断B，可求出过点()1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程判断C，利用条件可得两直线垂直，再利用基本不等式可求最值判断D.【详解】对于A，∵直线(1)1ykx=−+过定点(1

,1)P，又点3(2,)A−，(3,2)B−−，∴131234,12134PAPBkk++==−==−+，如图可知若直线(1)1ykx=−+与线段AB有交点，则4,PAkk=−或34PBkk=，故A正确；对

于B，由直线1l：10mxy+−=与直线2l：()220mxmy−+−=垂直得，(2)0mmm−+=，解得0m=或1m=，故1m=是直线1l：10mxy+−=与直线2l：()220mxmy−+−=垂直的充分

不必要条件，故B正确；对于C，当直线过原点时，直线为xy=，当直线不过原点时，可设直线为1xyaa+=，代入点()1,1，得2a=，所以直线方程为20xy+−=，故经过点()1,1且在x轴和y轴上的截距都相等的直线的方程为20xy

+−=或xy=，故C错误；对于D，∵直线1l：10axy−+=，2l：10xay++=，又110aa−=，所以两直线垂直，∴2222MAMBAB+==，∴2212MAMBMAMB+=，当且仅当MAMB=时取等号，故D正确.故选：ABD10.设等差数列na的前n项和为nS，公差为d

．已知36a=，160S，90a，则（）A.12111d−−B.数列nnSa的最大项为第9项C.0nS时，n的最小值为17D.80a【答案】ACD【解析】【分析】求得1,ad的关系式，然后对选项进行分析，从而确定正确选项.【

详解】依题意等差数列na满足36a=，160S，90a，11168992600adaaaaa+=+=+，111892678000adadadaa+=+++，118926215000adadaa+=+，1111262

1507080adadadad+=+++，()26215062706280dddddd−+−+−+，12110650660ddd+++，12111d−−，则AD正确.160S，()(

)11799171717022aaaaS++==，C选项正确.由上述分析可知，()()0116,017nnSnSn，()()018,09nnanan，所以91190,0SSaa，数列nnSa的最大项不是第9项，B选项错误.故选：ACD11.已知抛物

线2:2(0)Cypxp=，C的准线与x轴交于K，过焦点F的直线l与C交于P、Q两点，设PQ的中点为M，过M作PQ的垂线交x轴于D，下列结论正确的是（）A.PKFQKF=B.tansinPKFPFD=C.PQ最小值为pD.2PQFD=【答案】ABD【解析】【分析】求

出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出直线l的方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理、斜率坐标公式逐项分析判断作答.【详解】抛物线2:2(0)Cypxp=焦点(,0)2pF，准线方程为2px=−，则(,0)2pK−，显然直线l不垂直于坐标轴，设直线l的方程为

2pxmy=+，0m，由222pxmyypx=+=消去x得：2220ypmyp−−=，设1122(,),(,)PxyQxy，则有21212,2yypmyyp+==−，21212(21())xxmyypmp+=++=+，对于A，直线PK斜率11112PKyykpmypx==

++，直线QK斜率22222QKyykpmypx==++21222121211112111222yypppppyypmyypypympympyyyyy−===−=−=−=−++−−−−+111122211112222

2()2pypyyypyppxpmypmyp=−=−=−=−+++++，即PKQKkk=−，因此PKFQKF=，A正确；对于B，11||tan2yPKFpx=+，则111||||sin||2tanyyPFDpPFxF

PK==+=，B正确；对于C，显然212||||||2222ppPQPFQFxxmpp=+=+++=+，C错误；对于D，显然点21((),)2Mmppm+，直线MD的方程为2()2pypmmxpm−=−−−，令0y=，得232pxmp=

+，即点23(,0)2pDmp+，因此2231||()(1)||222ppFDmpmpPQ=+−=+=，D正确.故选：ABD12.如图，正方体1111ABCDABCD−中，顶点A在平面内，其余顶点在的同侧，

顶点1,,BCA到的距离分别为1,2,3，则（）A.BD平面B.平面1AAC⊥平面C.直线1AB与所成角比直线1AA与所成角大D.正方体的棱长为11【答案】ABD【解析】【分析】根据点到面的距离的性质，结合线面垂直的判定定理、线面角的定义、面面相交的性质进

行求解判断即可.【详解】解：设,ACBD的交点为O，显然O是AC、BD的中点，因为平面ABCDA=，C到平面的距离为2，所以O到平面的距离为1，又B到平面的距离为1，所以//BO平面，即//BD平面，即A正确；设平面ABCDl

=，所以//BDl，因为ABCD是正方形，所以ACBD⊥，又因为1AA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，所以1AABD⊥，因为11,,AAACAAAAC=平面1AAC，所以BD⊥平面1AAC，因此有l⊥平面1AAC，而l，所以平面1A

AC⊥平面，因此选项B正确；设1B到平面的距离为d，因为平面11AABBA=，11AABB是正方形，点1A，B到的距离分别为3，1，所以有31422dd+==，设正方体1111ABCDABCD−的棱长为a，设直线1A

B与所成角为，所以14422sin2ABaa===，设直线1AA与所成角为，所以133sinAAa==，因为322，所以sinsin，因此选项C不正确；因为平面1AAC⊥平面，平面1AAC平面A=，所以1,CA在平面的射影,EF与

A共线，显然1112,3,2,,CEAFACaAAaAAAC====⊥，如图所示：由11ECACAECAEAAFECAAAF+=+=，111cos,sinAFCEECAAAFACAA==，由2212249cossin11112ECAAAFaaa+=+==

（负值舍去），因此选项D正确，故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知集合0,1,1Ma=+，若1M−，则实数=a________．【答案】2−【解析】【分析】利用元素与集合的关系可得

出关于a的等式，解之即可.【详解】因为集合0,1,1Ma=+，若1M−，则11a+=−，解得2a=−.故答案为：2−.14.在三棱锥−PABC中，PA⊥平面,2,23,3ABCABACBCPA====，则三棱锥−PABC的内切球的表面积等于__________.【答案】

12π25【解析】【分析】首先利用等体积法求出内切球半径，再利用球的表面积公式求答案即可.【详解】如图，由已知，得ABC的面积为123132=，因为三棱锥−PABC的高为3PA=，所以7PBPC==，等腰三角形PBC底边BC上的高为732−=，

所以三棱锥−PABC的表面积为1122322335322S=++=，.体积13313V==.又三棱锥−PABC的体积13VSr=（其中r为三棱锥−PABC内切球的半径），所以35r=，所以三棱锥−PABC的内切球的表面积为212π4π25r=.故答案为：12π25.15.已知函数()

fx的定义域为R，且()fx的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个()fx的解析式为()fx=__________.①,Rmn，()()()fmnfmfn+=+；②()fx为奇函数；③()fx在R上单调递减.【答案】x−（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数的性质直接得解

.【详解】由题意()fx为奇函数，且()fx在R上单调递减，可假设()fxx=−，此时,Rmn，()()()()fmnmnmnfmfn+=−+=−−=+，即①成立，故答案为：x−（答案不唯一）.16.已知()2810fxxx=−+，xR，数列na是公差为1的等差数列

，若()()()123fafafa++的值最小，则1a=________．【答案】3【解析】【分析】结合等差数列的通项公式，转化为二次函数的最值问题可解.【详解】∵数列na是公差为1的等差数列，可设：11naan=+−.∴()()()

()()()12311112fafafafafafa++=++++()()()()()2221111118101811028210aaaaaa=−+++−++++−++21131811aa=−+∴当11

8323a−=−=时，()()()123fafafa++的值最小.故答案为：3四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知函数2()23sincos2co

s1()fxxxxxR=+−（1）求函数在,02p轾-犏犏臌单调递减区间;（2）求函数()fx的最小正周期及在区间0,2上的最大值和最小值.【答案】（1）,23−−；（2）最小正周期为；最大值为2和最小值为-1.【解析】【分析】（

1）由题可得()2sin26fxx=+，求得函数()fx的单调减区间，进而求得函数在,02p轾-犏犏臌的单调递减区间即可；（2）根据2T=求得最小正周期即可；由0,2x求得()fx的取值范围即可求得区间0,2上的最大值和最小值.【详解】解：（1）

2()23sincos2cos13sin2cos22sin26fxxxxxxx=+−=+=+，由3222,262kxkkZ+++，得2,63kxkk++Z，当0k=时，2,63x，当1k=

−时，563x−−所以，函数在,02p轾-犏犏臌单调递减区间为,23−−.（2）22T==.因为0,2x时，72,666x+，所以1sin2,162x+−

，所以2sin21,26x+−，的的所以在区间0,2上的最大值为2和最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦型函数的最小正周期，单调性，最值，考查学生的计算能力，属于中档题.18.设数列na的前n项和为nS

，已知()*214,21nnSaSnN+==+．数列nb是首项为1a，公差不为零的等差数列，且127,,bbb成等比数列．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若nnnbca=，数列nc的前n项和为nT，且nTm恒成立，求m的取值范围．【

答案】（1）13nna−=，43nbn=−；（2）9+2，.【解析】【分析】（1）运用数列的递推式和等比数列的通项公式可得na，再由等差数列的通项公式以及等比的定义，解方程可得公差，进而得到所

求通项公式；（2）利用错位相减法求出()34391223nnnT+=−，易得92nT，进而可得结果.【详解】（1）∵()*121nnaSnN+=+，当2n时，121nnaS−=+，两式相减化简可得：13nnaa+=,即数

列na是以3为公比的等比数列，又∵24S=，∴1134aa+=，解得14a=，即13nna−=，设数列nb的公差为d，111ba==，∵127,,bbb成等比数列，∴()()21161dd+=+，解得4d=或0d=（舍去），即43nbn=−，∴数列na和

nb的通项公式为13nna−=，43nbn=−.（2）由（1）得1433nnnnbnca−−==，∴()0121111159433333nnTn−=++++−，

()12311111594333333nnTn=++++−，两式相减得：()1212111114444333333nnnTn−=++++−−()1

3433nn=−+∴()34391223nnnT+=−，即有92nT恒成立，nTm恒成立，可得92m，即m的范围是9+2，.【点睛】一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，

可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解．19.1.某科研机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行科学试验．研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同．若使用注射方式给药，则在注射

后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式15yat=−（0a，a为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y（单位：毫克/升）与时间t（单位：小时）满足关系式22,01,45,14.ttytt

=−现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，且注射药物和口服药物的吸收与代谢互不干扰．假设同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和．（1）若1a=，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若要使小白鼠在

用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于4毫克/升，求正数a的取值范围．【答案】（1）当2t=时血液中药物的浓度最高，最大值为6（2）504a【解析】【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）讨论01t和14t两种情况，小问1详

解】当1a=时，药物在白鼠血液内的浓度y与时间t的关系为1225,01,410,14.tttyyyttt−++=+=−+①当01t时，225(1)66yttt=−++=−−+．②当14t时，因

为44tt+（当且仅当2t=时，等号成立），所以max1046y=−=．故当2t=时血液中药物的浓度最高，最大值为6．【小问2详解】由题意得25,01,410,14.atttyattt−++=−+①当01t时，2125421attattatt

−++++，设1ut=，则()22211auuu+=+−，()1,u+，则()()2113,u+−+，故3a；②当14t时，44410466atatatttt−++−，由14t，得246att−+，令1vt=，则2239464

44avvv−+=−−+，1,14v，则239594,4444v−−+，故54a．综上，504a．20.在①sinsin2ABbcB+=，②()3cossincAbaC−=−，③cosc

oscoscabCAB+=+这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足________.（1）求C；【（2）若ABC的面积为83，AC的中点

为D，求BD的最小值.【答案】（1）3C=（2）4【解析】【分析】（1）选①，利用正弦定理的边角互化以及诱导公式可求解；选②，利用正弦定理的边角互化即可求解；选③，利用正弦定理的边角互化以及两角差的正弦公式即可求解.（2）利用三角形的面积公式可得32ab=，再由余弦定理以及基本不等式即可

求解.【小问1详解】选①sinsin2ABbcB+=，由正弦定理可得sinsinsinsin2ABBCB+=，又因为0B，可得sinsin2ABC+=，即sincos2CC−=，所以cos2sincos222CCC=，又因为022C，所以1sin22C=，所以2

6C=，解得3C=.②()3cossincAbaC−=−，由正弦定理可得()3sincossinsinsinCABAC−=−，即()3sincossinsinsinCAACAC−+=−，整理可得3sin

cossinsinACAC−=−，又因为0A，解得tan3C=，因为0C，所以3C=.③coscoscoscabCAB+=+，由正弦定理可得sinsinsincoscoscosCABCAB+=+，整理可得sincossincossi

ncossincosCACBACBC+=+，即sincossincossincossincosCAACBCCB−=−，即()()sinsinCABC−=−，所以CABC−=−或CABC−+−=（舍），即2ABC+=，即2CC−=，解得3C=.【小问2详解】113sin83222ABC

SabCab===，解得32ab=，由余弦定理可得22222112cos2162234222bbbbBDaaaabaab=+−=+−−=，所以4BD，当且仅当2ba=时，即4,8ab==取等号，所以BD的最小值为4.2

1.已知函数()()ln1fxxaxx=−−，其中aR．（1）当1a=时，求证：()fx在()0,+上单调递减；（2）若()0fxx+=有两个不相等的实数根12,xx．（ⅰ）求实数a的取值范围；（ⅱ）求证：212exx

．【答案】（1）证明见详解（2）（i）()e,+，（ii）证明见详解【解析】【分析】（1）当1a=时，利用导数可证明函数单调性；（2）（i）方程()0fxx+=有两个不等的实数根，即ln0axx−=有两个不等的实数根，令()lngxaxx=−，利用导数研究单调性，

求出最值可得解；（ii）要证212exx，即证12lnln2xx+，又111lnxxa=，221lnxxa=，即证122xxa+，可得1212122lnlnxxxxxx+−−，令21xtx=，即证()21ln01ttt−−+，构造函数()()21ln

1thttt−=−+，利用导数可证明.【小问1详解】当1a=时，()()ln1fxxxx=−−，()ln2fxxx=−，令()()ln2xfxxx==−，()12xxx−=，令()0x，得10,2

x，()0x，得1,2x+，所以函数()x在10,2上单调递增，在1,2+上单调递减，()11ln1022x=−，即()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递减.【小问2详解】（i）()0f

xx+=有两个不相等的实数根1x，2x，即方程ln0axx−=有两个不相等的实数根1x，2x，令()lngxaxx=−，0x，()axgxx−=，当0a时，()0gx，即函数()gx在()0,+上单调递减，函数()gx至多一个零点，不合题意；当0a时，(

)0,xa，()0gx，(),xa+，()0gx，所以函数()gx在()0,a上单调递增，在(),a+上单调递减，()()lngxgaaaa=−，函数()gx有两个零点，则ln0aaa−，解得ea，又()1

10g=−，()ee0ga=−，不妨设12xx，121exx，所以实数a的取值范围为()e,+.（ii）要证212exx，即证12lnln2xx+，又11lnaxx=，22lnaxx=，121

xex，即证122xxa+，将11lnaxx=，22lnaxx=两式相减可得，()2121lnlnxxaxx−=−，只需证()1221212122lnlnlnlnxxaxxaxxxx+=−−−，即证212211121lnxx

xxxx+−，令211xtx=，即证()21ln01ttt−−+；设函数()()21ln1thttt−=−+，1t，则()()()()()()222212111011ttthtttt+−−−=−=++，所以函数

()ht在()1+¥，上单调递增，则()()10hth=，即()21ln01ttt−−+，所以原不等式得证.【点睛】方法点睛：本题第二问的第2小问是双变量不等式问题，利用导数解决的方法如下：（1）变更主

元法：对于题目涉及到的两个变元1x，2x，已知其中一个变元在题设给定的范围内任意变动，求另一外变元的取值范围问题，可以构造关于1x（或2x）的一元函数，利用导数判断单调性，最值求解证明.（2）换元法转化为单变量：通过对所要证明式子结构特征的分析，做适当的变形，通过换元将双变量

问题转化为单变量问题来解决，如指数型函数构造差值，对数型函数构造比值化双变量为单变量问题，从而构造函数求解；（3）放缩法：通过巧妙的放缩变换，将给定的不等式转化为更易证明的形式，常见的放缩有加减放缩，乘除，取对数，去倒数，切线放缩等.22.已知函数()()ln11axfxxx=+−+.（1）

当1a=时，求()fx的极值；（2）若()0fx，求a的值；（3）求证：()*111sinsinsinln2N122nnnn+++++.【答案】（1）()fx在0x=处取得极小值0，无极大值（2）1a=（

3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值；（2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值；（3）利用放缩法，由()sin0xxx，可知若证111sinsinsinln2

122nnn+++++，即证111ln2122nnn+++++，再根据11ln1nnn++，可得证.【小问1详解】当1a=时，()()ln11xfxxx=+−+，1x−，则()()()2211111xfxxxx+=−=++，当()1,0x−时，()0fx，()fx单

调递减，当()0,x+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()fx在0x=处取得极小值0，无极大值；【小问2详解】由题意得()()()()2211111xaafxxxx−−=−=+++，①当0a时，()0fx¢>，所以()fx在()1,−+上单调

递增，所以当()1,0x−时，()()00fxf=，与()0fx矛盾；②当0a时，当()1,a1x−−时，()0fx，()fx单调递减，当()1,xa−+时，()0fx¢>，()fx单调递增，所以()()()min1l

n1fxfaaa=−=−−，因为()0fx恒成立，所以()ln10aa−−，记()()ln1gaaa=−−，()111agaaa−=−=，当()0,1a时，()0ga，()ga单调递增，当(

)1,a+时，()0ga，()ga单调递减，所以()()max10gag==，所以()ln10aa−−，又()ln10aa−−，所以()ln10aa−−=，所以1a=；【小问3详解】证明：先证()sin0xxx，设

()()sin0hxxxx=−，则()cos10hxx=−，所以()hx在区间()0,+上单调递减，所以()()00hxh=，即sinxx，所以111111sinsinsin122122nnnnnn+++++

+++++，再证11ln1nnn++，由（2）可知()ln11xxx++，当0x=时等号成立，令()1Nxnn=，则11ln111nnn++，即()11lnln1ln1nnnnn+=+−+，

所以()()1ln2ln12nnn+−++，，()()1ln2ln21nnnn−−+，累加可得()111ln2lnln2122nnnnn+++−=++，所以111sinsinsinln2122nnn+++++.【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方

法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公

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