【文档说明】专题01 数与代数-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（原卷版）.docx，共(30)页，1.776 MB，由管理员店铺上传

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考点目录1.实数的分类..................................................................72.数轴................................................................

........83.相反数......................................................................94.绝对值........................................................

..............95.科学记数法.................................................................106.近似数.......

..............................................................117.实数的大小比较.............................................................

128.平方根、立方根.............................................................129.实数的运算........................

.........................................1210.二次根式有意义的条件......................................................1311.最

简二次根式..............................................................1412.二次根式的性质与运算....................................

..................1513.列代数式及求值............................................................1514.整式的相关概念..............

..............................................1615.整式的运算................................................................1

716.幂的运算及整式乘除........................................................1717.乘法公式及其几何意义..............................................

........1818.整式的化简求值............................................................2019.因式分解....................

..............................................2020.分式的有关概念............................................................2121.分式的基本性质.........

...................................................2122.分式的运算................................................................212

3.分式的化简求值............................................................22聚焦1实数考点一实数的分类1．按实数的定义分类2．按正负分类实数正实数正有理数正整数正分数正无理数零(既不是正数也不

是负数)负实数负有理数负整数负分数负无理数考点二实数的有关概念1．数轴：实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是－a，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数a＋b＝0.3．倒数(1)实数a的倒数是1a(a≠0)；(2)a与b互为倒数ab＝

1.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a|＝a(a>0)，0(a＝0)，－a(a<0).考点三平方根、算术平方根、立方根1．平方根(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二

次方根)，数a的平方根记作±a(a≥0)．(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．算术平方根(1)如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a.零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术

平方根都是非负数，即a≥0(a≥0)．(3)(a)2＝a(a≥0)，a2＝|a|.(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)；ab＝ab(a≥0，b＞0)．3．立方根(1)定义：如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这

个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作3a.(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．考点四科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数法把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的

形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．2．近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所

有的数字都叫做这个近似数的有效数字．考点五非负数的性质1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，a≥0(a≥0)．2．非负数的性质：(1)非负数有最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.考点六实数的运算1．基本运算：加法、

减法、乘法、除法、乘方、开方．2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．3．运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)

如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．5．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a0＝1(a≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝1ap(a≠0，p为整数)．考点七实数的大小比较1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总

比左边的点表示的数大．2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．3．取差比较法(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．4．倒数比较法若1a＞1b，a＞0，b＞0

，则a＜B．5．平方法：因为由a＞b＞0，可得a＞b，所以我们可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．聚焦2整式及因式分解考点一整式的有关概念1．整式：整式是单项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系

数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数．考点二整数指数幂的

运算正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，aman＝am－n(m，n是正整数)．考点三同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同

的单项式叫做同类项．2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．考点四求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式的值的

基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．考点五整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去

括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则

连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nB．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除

，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.考点六因式分解1．因式分解的概

念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公

式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.聚焦3分式考点一分式1．分式的概念：形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．2．分式有意义、无意义

的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式值为零的条件：在分式AB中，当A＝0且B≠0时，分式AB的值为0.考点二分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式

子表示是：AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷M(其中M是不等于0的整式)．考点三分式的约分与通分1．约分分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．2．通分分式通分：将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．考点四分式的运算1．分式的加减法同

分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.2．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·cd＝acbd.分

式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.3．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式

．1.实数的分类【例题1】（2021•长沙模拟）古希腊有一位著名的数学家因发现“2”，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他就是希帕索斯．下面对2说法正确的是()A．2是有理数B．2可以在数轴上找到唯一点与之对应C

．2可以用两个整数的比表示D．21.414=【例题2】（2021•芦淞区模拟）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}、{2−，7，8，19}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当

实数a是集合的元素时，实数8a−也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．下列集合为好的集合的是()A．{1，2}B．{1，4，7}C．{1，7，8}D．{2−，6}【例题3】（2021•西陵区模拟）下列各数：1−，3，1.

1212212221（每两个1之间增加1个2)，3.1415−，227，0.3−，其中无理数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【例题4】（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入

值x为3或9；②当输入值x为16时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是()A．①②B．②④C．①④D．①③2.数轴【

例题5】（2021•永定区模拟）在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数是a−，点B表示的数是2aa−，如果A，B两点关于原点对称，那么a的值是()A．2−B．0C．2D．0或2【例题6】（2021•思明区校级二模）如图，数轴上O

、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|5|||mmc+=−，则关于M点的位置，下列叙述正确的是()A．在A点左侧B．在线段AC上C．在线段OC上D．在线段OB上【例题7】（2021•海淀区校级模拟

）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2ab−；②ab+；③||||ba−：④ba，其中值为负数的是()A．①②B．③④C．①③D．②④【例题8】（2020•武昌区校级自主招生）在数轴上和有理数a，

b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①220aa−−；②||||||abbcac−+−=−；③()()()0abbcca+++；④||1abc−．其中正确的结论有()个A．4B．3C．2D．1【例题9】（2020•唐山一模）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点表示连

续的五个整数a，b，c，d，e，且0ae+=，则下列说法：①点C表示的数字是0；②0bd+=；③2e=−；④0abcde++++=．正确的有()A．都正确B．只有①③正确C．只有①②③正确D．只有③不正确【例题10】（2020•张家港市模拟）如图，点A、B、C、O在数轴上表示的数分别为a、b

、c、0，且OAOBOC+=，则下列结论中：其中正确的有()①0abc．②()0abc+=③acb−=．④||||||1abcabc++=−，A．①③④B．①②④C．②③④D．①②③④【例题11】（2019•朝阳区模拟）如

图，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的两个数互为相反数，那么点A表示的数是()A．2B．2−C．3D．3−3.相反数【例题12】（2018•东营模拟）在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是()A．65−B．66−C．64

−D．664.绝对值【例题13】（2020•原阳县校级自主招生）设x是有理数，|1||1|yxx=−++，则下面四个结论中正确的是()A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有

无数多个x的值使y取最小值【例题14】（2016•通州区二模）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站票，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考

票制规则计算票价，具体来说：乘车路程计价区段010−1115−1620−−对应票价（元)234−另外，一卡通刷卡实行5折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么小

明乘车的费用是()A．2元B．2.5元C．3.5元D．4元【例题15】（2016•邵阳校级模拟）数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|1||1|||caac−−−=−．若下列选项中，有一个表

示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则此选项为()A．B．C．D．5.科学记数法【例题16】（2022•官渡区校级模拟）电信网络诈骗是一种利用互联网实施的新型犯罪．2021年4月26日公安部推出了国家反诈中心APP，充分利用新技术努

力为人民群众构筑道防诈反诈的“防火墙”．自该APP推出以来，截至6月底，全国注册用户已超过6500万，将数据6500万用科学记数法表示为()A．36.510B．66510C．80.6510D．76.5

10【例题17】（2021•孝南区二模）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛峰最新高度8848.86米，其中8848.86用科学记数法表示为8.8488610n，则n为()A．3B．4C．5D．6【例题18】（2022•商城县

一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形，有包膜，直径大约是100nm．新型冠状病毒是一种先前未在人类中发现的冠状病毒，显微镜下看呈皇冠形，所以称为冠状病毒．既往已知感染人的冠状病毒有六种，新型冠状病毒属于属的冠状病毒，属于第七种冠状病毒．将9100(110)nmnmm−=用科学记数法

表示为()A．7110m−B．8110m−C．9110m−D．6110m−【例题19】已知空气的单位体积质量为331.2410/gcm−，那么31cm空气的质量为()A．0.00124gB．0.0124gC．0.000124gD．0.00124−g【例题

20】一次抽奖活动特等奖的中奖率为120000，把120000用科学记数法表示为()A．4510−B．4210−C．5510−D．5210−【例题21】（2021•河北模拟）计算10100.03100.0

110−−−，结果用科学记数法表示为()A．100.0210−B．110.210−C．12210−D．8210−6.近似数【例题22】（2021•龙门县模拟）下列说法正确的是()A．近似数0.21与0.210的精确度相同B．小明的身高

为161cm中的数是准确数C．0.000109这个数用科学记数法可表示为41.0910−D．近似数41.310精确到十分位【例题23】（2020•潍坊三模）用科学记数法表示数字130542（精确到千位）是()A．13

1000B．60.13110C．51.3110D．413.110【例题24】（2017•霍邱县校级模拟）由四舍五入法得到的近似数36.810，下列说法中正确的是()A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C

．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字【例题25】（2016•海淀区校级模拟）下列说法正确的是()A．近似数3.5和3.50精确度相同B．近似数0.0120有3个有效数字C．近似数47.0510精确到百分位D．近

似数3千和3000的有效数字都是37.实数的大小比较【例题26】（2021•九原区模拟）当01a时，1a、2a、3a、a之间的大小关系是()A．231aaaaB．321aaaaC．321aaaaD．321aaaa【例题27】（2021•武进区校级自主招生）已知0m

n且1101mnnm−−++，那么n，m，1n，1nm+的大小关系是()A．11mnnnm+B．11mnnmn+C．11nmnmn+D．11mnnmn+【例题28】（2020•黄州区校级模拟）已知{minx，2x，}x表示取三个数中最小的那个数

，例如：当9x=，{minx，2x，}{9xmin=，29，9}3=．当{minx，2x，1}16x=时，则x的值为()A．116B．18C．14D．128.平方根、立方根9.实数的运算【例题29】（20

22•随州模拟）我们知道，一元二次方程21x=−没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1−，若我们规定一个“新数”，使其满足21i=−（即方程21x=−有一个根为)i，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且

原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有1ii=，21i=−，32iiii==−，4222()(1)1ii==−=．从而对任意正整数n，我们可得到4144()nnniiiiii+===，同理可得421ni+=−，43nii+=−，41n

i=，那么，23420162017iiiiii++++++的值为()A．0B．1C．1−D．i【例题30】（2021•荆州模拟）定义新运算“*ab”：对于任意实数a，b，都有*3abab=+，其中等式右边是通常的加法和乘

法运算．例如：3*434315=+=．若关于x的方程*(2)0xkx+=有两个实数根，则实数k的取值范围是()A．13kB．13k„C．13k，且0kD．13k„，且0k【例题31】（2022•金华模拟）计算：101()|3|(33)2cos452−+−−−+．10.二

次根式有意义的条件【例题1】（2022•红花岗区一模）式子√𝑥+1𝑥有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0【例题2】（2021•安徽模拟）使代数式√𝑥−1𝑥2−4有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1且x≠±2

C．x≥1且x≠2D．x≥1【例题3】（2021•罗庄区模拟）等式√𝑥+2𝑥−2=√𝑥+2√𝑥−2成立的条件是（）A．x≠2B．x≥﹣2C．x≥﹣2且x≠2D．x＞2【例题4】（2022•南召县模拟）式子√𝑥−1𝑥−

2在实数范围内有意义，则x的范围是．11.最简二次根式【例题5】（2020•顺德区三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+√32−√3=(2+√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3；除此之外，还可以用先平方再开

方的方法化简一些有特点的无理数，如要化简√4+√7−√4−√7，可以先设x=√4+√7−√4−√7，再两边平方得x2＝（√4+√7−√4−√7）2＝4+√7+4−√7−2√(4+√7)(4−√7)=2，又因为√4+√7＞√4−√7，故x＞0，解得x=√2，√4+√

7−√4−√7=√2，根据以上方法，化简√6−√3√6+√3+√8+4√3−√8−4√3的结果是（）A．3﹣2√2B．3+2√2C．4√2D．3【例题6】（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2

+√32−√3=(2+√3)(2+√3)(2−√3)(2+√3)=7+4√3，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于√3+√5−√3−√5，设x=√3+√5−√3−√5，易知√3+√

5＞√3−√5，故x＞0，由x2＝（√3+√5−√3−√5）2＝3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=2，解得x=√2，即√3+√5−√3−√5=√2．根据以上方法，化简√3−√2√3+√2+√

6−3√3−√6+3√3后的结果为（）A．5+3√6B．5+√6C．5−√6D．5﹣3√6【例题7】（2019•五通桥区一模）如图，△ABC中，∠A＝60°，AB和AC两边的长度分别是关于x的方程x2+mx+√21=0的两根．若这个方程的有一个根为√3，则△ABC的面积为（）A．√34B．

√74C．√214D．3√74【例题8】（2021•临沂模拟）化简1√2+1=．【例题9】（2020•昆山市一模）设a=√7，b＝2+√3，c=1√3−√2，则a、b、c从小到大的顺序是．【例题10】（2019•阳江一模

）将1√3+1化简得．12.二次根式的性质与运算【例题11】（2021•金东区校级模拟）已知非零实数a，b满足√(2−𝑎)𝑏2+√(3𝑎−6)2+|𝑏+1|+3𝑎=6，则ab＝．【例题12】（2022•陕西模拟）计算：|−√3|

+(13)−1−√2×√6．【例题13】（2022•宝鸡模拟）计算：−√3×√8+|2−√6|﹣（12）﹣2．13.列代数式及求值【例题1】（2021•五华区二模）二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地

球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分别相对应于地球在黄道上每运转15所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作

圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是()A．2RkmB．3RkmC．4RkmD．512Rkm【例题2】（2018•永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3:2，然后将买回

的西瓜以从A、B两处购买单价的平均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为()A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价C．商贩A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关【例题3】（20

21•贺州）如{1M=，2，}x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如1x，2)x，无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{Nx=，1，2}，我们说MN=．已知集合{1A=，0，}a，集合1{Ba=，||a，}ba，若AB=

，则ba−的值是()A．1−B．0C．1D．2【例题4】（2020•蠡县一模）已知332(1)xaxbxcxd−=+++，则abcd+++的值为()A．1−B．0C．1D．不能确定14.整式的相关概念【例题5】（202

1•邵阳模拟）如果12axy−与32bxy−是同类项，那么ab的值是()A．34B．43C．1D．3【例题6】（2020•宁波模拟）小文在计算某多项式减去2235aa+−的差时，误认为是加上2235aa+−，求得答案是24aa+−（其他运算无误），那么正确的结果是()A．221aa−−+

B．2356aa−−+C．24aa+−D．234aa−+−【例题7】（2017•玉林）若2214nab+与3mab是同类项，则mn+=．【例题8】（2021•阳东区模拟）若单项式23413mxy−−与513nxy+的和

仍是单项式，则mn=．【例题9】（2021•姑苏区校级二模）单项式223xy−的次数是．【例题10】（2021•广州模拟）单项式234ab−的系数是，次数是．【例题11】（2020•黄冈一模）单项式2

32xy−的系数是，次数分别是．【例题12】（2021•泰兴市二模）多项式232xyxy+的次数为．15.整式的运算【例题13】（2021•嘉峪关）对于任意的有理数a，b，如果满足2323abab++=+，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为

(,)ab．若(,)mn是“相随数对”，则32[3(21)](mmn++−=)A．2−B．1−C．2D．3【例题14】（2021•济南模拟）若23a=，24b=，则322ab+等于()A．7B．12C．432D．108【例题15】（

2021•福州模拟）下列计算正确的是()A．2222aa−=B．236()aa−=C．231aaa−=D．236aaa=【例题16】（2022•安庆一模）计算21()22aa−的结果是()A．3aB．212a

−C．312aD．2a【例题17】（2021•兰州）计算：22(2)(aab+=)A．34aab+B．322aab+C．24aab+D．324aab+【例题18】（2021•开平区一模）已知等式2()

()36(xpxqxmxp++=++，q为正整数），则m的值不可能是()A．37B．13C．20D．3616.幂的运算及整式乘除【例题19】（2021•中山市校级模拟）计算：2019202033()()55=．【例题20】（2020•博兴县模拟）若2mx=，3nx=，则2mnx+的

值为．【例题21】（2021•澄海区模拟）已知232xx+=−，则代数式5(3)xx++的值为．【例题22】（2021•江西模拟）计算：2(2)abab−+=．【例题23】（2021•大荔县一模）若2(1)(23)2xxxmxn+−=++，则mn+=．17.乘法公式及其几何意义【例题24】（

2021•永嘉县校级模拟）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD=12AB＝a．延长CB至点E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD．连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接CF，AG．《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）

2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，则𝐴𝐺𝐶𝐹的值为（）A．√2B．2C．32√2D．2√2【例题25】（2020•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）

那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【例题26】（2021•上城区一模）对于代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6，甲同学认为：当x＝1时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5．则下列结论

正确的是（）A．只有甲正确B．只有乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误【例题27】（2020•厦门模拟）若多项式x2+2x+n是完全平方公式，则常数n是（）A．﹣1B．14C．12D．1【例题28】（2017•包河区二模）若不论x取何值，不等式（x+3a﹣1）（x﹣a）≥0都成立，则a的

值为（）A．0B．12C．13D．14【例题29】（2020•百色）计算（a+b﹣3）（a+b+3）的结果是（）A．a2+b2﹣9B．a2﹣b2+6b﹣9C．a2+2ab+b2﹣9D．a2﹣b2﹣6b+9【例题30】（2020•资兴市二模）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为

“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是（）A．31B．41C．16D．54【例题31】（2020•河北模拟）若a＝（−23）2019×（32）2020，b＝2018×2020﹣20192，c＝

（−13）﹣1+（﹣1）2﹣20190．则a，b，c的大小关系正确的是A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b【例题32】（2022•随州模拟）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形

，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【例题33】（2018•古冶区一模）如图

，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．a+3B．a+6C．2a+3D．2a+618.整式的化简求值【例题34】（2021•盐都区二模）先化简，再求值：（x+1）（x﹣3）﹣

（x+2）（x﹣2）+x（x﹣4），其中x2﹣6x+7＝0．【例题35】（2021•洛阳三模）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+5y（x﹣2y），其中x，y满足√𝑥−15+|y+3|＝0．19.因式分解【例题36】（2020•滨城区二模）下列从左到右的变形是因式分

解的是（）A．ma+mb﹣c＝m（a+b）﹣cB．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a+3b﹣1）C．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3D．4x2﹣25y2＝（2x+5y）（2x﹣5y）【例题37】（2021•合肥模拟）把﹣6x3y2﹣3x2y2+

8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．﹣3x2y2B．﹣2x2y2C．6x2y2D．﹣x2y2【例题38】（2021•宜兴市校级二模）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k的值可以是（）A．20B．﹣20C．±10D．±20【例题39】（2020•

定兴县一模）计算：1252﹣50×125+252＝（）A．100B．150C．10000D．22500【例题40】（2021•平泉市一模）若(102−1)(122−1)𝑘=9×11×13，则k＝（）A．12

B．11C．10D．920.分式的有关概念【例题1】（2021•罗湖区校级模拟）下列各式：3𝑎2，𝑎+𝑏𝑎，x2+𝑦𝑥，76，𝑥2𝑥+1，𝑥8𝜋中，分式有（）A．1个B．2个C．3个

D．4个【例题2】（2021•黄石模拟）要使式子√𝑚+13𝑚−1有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1且m≠1B．m≠1C．m＞1D．m＞﹣1【例题3】（2021•锡林浩特市模拟）如果分式|𝑥−2|−1𝑥−3的值为0，那么x的值

为（）A．1B．3C．﹣1或2D．1或3【例题4】（2020•黄石模拟）使分式𝑥2−5𝑥+6𝑥−2的值等于零的x的值是（）A．1或6B．2或3C．3D．221.分式的基本性质【例题5】（2021•阳西县模拟）

如果把分式2𝑦𝑥+𝑦中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不变B．缩小为原来的12C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍【例题6】（2021•合肥模拟）若把分式3𝑥𝑦𝑥−𝑦（x，

y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则原分式的值是（）A．扩大3倍B．缩小至原来的13C．不变D．缩小至原来的1622.分式的运算【例题7】（2021•福建）已知非零实数x，y满足y=𝑥𝑥+1，则𝑥−𝑦+3𝑥𝑦𝑥𝑦的值

等于．【例题8】（2019•大庆二模）已知1𝑎+1𝑏=2，求5𝑎+3𝑎𝑏+5𝑏𝑎−𝑎𝑏+𝑏=．【例题9】（2019•福州二模）若分式−𝑚+6𝑚−5的值是负整数，则整数m的值是．【例题

10】（2018•思明区校级二模）设a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，则𝑎+𝑏𝑏−𝑎=．23.分式的化简求值【例题11】（2022•陕西模拟）先化简(𝑚+2−5𝑚−2)÷𝑚−32𝑚−4，然后选择一个合适的整数作为m的值代入求值．

【例题12】（2022•碑林区校级二模）先化简(3𝑎+1−𝑎+1)÷𝑎2−4𝑎2+2𝑎+1，再从﹣1，2，3中选择一个合适的数代入求值．【例题13】（2022•本溪模拟）先化简，再求值：(1−5𝑎+2)÷(5𝑎+2−𝑎+2)，

其中a＝2sin60°﹣3tan45°【例题14】（2022•南岗区模拟）先化简，再求代数式𝑎−32𝑎−4÷(5𝑎−2−𝑎−2)的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．【拓展训练1】（2020•遂宁）下列各数3.1415926，9，1.

212212221，17，2−，2020−，34中，无理数的个数有个．【拓展训练2】（2021•南开区三模）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且212da−=，则bc+的值为．【拓展训练3】

（2020•滦州市二模）将数轴按如图所示从某点开始折出一个正ABC，设点A表示数为3x−，点B表示的数是21x+，点C表示的数是7x−−，则x的值等于；若将ABC向右滚动，数字2020对应的点将与ABC的顶点

重合．【拓展训练4】（2017•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若2BCAB=，则点C表示的数是．【拓展训练5】（2017•福建模拟）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点1

A，第2次从点1A向右移动6个单位长度至点2A，第3次从点2A向左移动9个单位长度至点3A，，按照这种移动方式进行下去，如果点nA与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．【拓展训练6】（2019•包头模拟

）若34a+与26b−互为相反数，则46ba+的值为．【拓展训练7】（2021•湘西州模拟）已知||5a=，||3b=，且||abab+=+，那么ab−=．【拓展训练8】（2017•浦东新区校级自主招生）已知实数x满足|1||4|7xx++−=．则x的值是．【拓展训练

9】（2020•鲤城区校级模拟）某市今年参加中考的学生人数大约49.8910人，这个近似数精确到位．【拓展训练10】（2021•肇源县二模）对于三个互不相等的数a，b，c，我们规定用{Ma，b，}c表示这三个数的平均数，用{meda，b，

}c表示这三个数中从小到大排中间的数．例如：{1M−，2，43}3=，{2med，3，1}2−=，则{5,3,0}med−=，如果{3M，21x+，41}{4xmed−=，3x−+，6}x，那么x=．【拓展训练11】（2021•昆明模拟）比较大小关系512+1.5（填“”、“=

”或“”)．【拓展训练12】（2020•莲湖区模拟）比较两数的大小：154+64．（用“”、“”、“=”填空）．【拓展训练13】（2020•青白江区模拟）比较大小：512+98（填“”，“”，或“=”)．【拓展训练14】（2020•成都模拟）比较大小：352−3

8（填“”“”或“=”)．【拓展训练15】（2022•随州模拟）计算：11()123tan30|32|3−−++−=．【拓展训练16】（2021•卧龙区二模）计算：1028()(3.14)2cos452−−−−−=．【拓展训练17】（2

021•娄星区模拟）定义：形如abi+的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定21)i=−，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数，例如：2222(13)1213(3)169169(1)16986iiiiiii

i+=++=++=++−=+−=−+，因此，2(13)i+的实部是8−，虚部是6．已知复数2(3)mi−的虚部是6，则它的实部是(m为实数）．【拓展训练18】（2021•前郭县校级模拟）小淇将2(20212022)x+展开后得到2111axbxc++

，小尧将2(20222021)x−展开后得到2222axbxc++，若两人计算过程无误，则12cc−的值为()A．2021B．2022C．4043D．1【拓展训练19】（2021•鸡泽县模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中

，用下图的三角形解释二项和()nab+的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．0()ab+①1()ab+①①2()ab+①②①3()ab+①③③①4()ab+①④⑥④①5()ab+①⑤⑩⑩⑤①根据“杨辉三角”请计算20()ab+

的展开式中第三项的系数为()A．2017B．2016C．191D．190【拓展训练20】（2021•福建）下列运算正确的是()A．22aa−=B．22(1)1aa−=−C．632aaa=D．326(2)4aa=【拓展训练21】（2021•包河区一模）已知a，b为实数，且满足0a

b，20ab+−=，当ab−为整数时，ab的值为()A．34或12B．14或1C．34或1D．14或34【拓展训练22】（2021•洛阳二模）公元9世纪，阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来

寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程()的解．A．21025xx+=B．210

64xx+=C．21039xx+=D．21099xx+=【拓展训练23】（2022•陕西模拟）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是4CH，乙烷的化学式是26CH，丙烷的化学式是38CH，设碳原子的数目为(

nn为正整数），则它们的化学式都可用式子来表示．【拓展训练24】（2021•厦门模拟）用《九章算术》中记载的“更相减损术”求168和72的最大公约数，运算步骤如下：第一步：1687296−=；第二步：96722

4−=；第三步：722448−=；第四步：482424−=．如果继续操作，可得24240−=，因此，经过上述四步运算，求得的结果24是168和72的最大公约数．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个

正整数分别为．（用含a的代数式表示）【拓展训练25】（2021•广东模拟）当2021x=−时，代数式7533axbxcx+++的值为7，其中a、b、c为常数，当2021x=时，这个代数式的值是．【拓展训练26】（2021•吉安模拟）我国宋朝数学家杨辉在公元1261年的著作《详解九

章算术》中提到如图所示的“杨辉三角”，由图中第四行可得公式：33223()33abaababb+=+++．若3ab+=，1ab=，运用该公式，计算33ab+的值为．【拓展训练27】（2018•武汉模拟）我

市某个商场出售A、B两种商品并开展优惠促销活动，其中A商品标价90元、B商品标价100元．活动方式如下两种：活动一：A商品每件7折；B商品每件八五折；活动二：所购商品累计少于100件没有优惠，达到或超过100件全部八折．（1）某客户购买A商品30件，

B商品100件，选择哪种活动便宜？能便宜多少钱？（2）某客户购买B商品的件数比A商品件数的2倍多4件，若购A商品x件(x为正整数）．①B商品购进了件（用含x的代数式表示）②问：该客户如何选择才能获最大优惠？请说明理由．【拓展训练28】（2020•北碚区模拟）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学

家纳皮尔(J．Napier，1550年1617−年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707年1783−年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，

若(0,1)xaNaa=，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN=．比如指数式4216=可以转化为24log16=，对数式52log25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log()loglog(0

aaMNMNa=+，1a，0M，0)N．理由如下：设logaMm=，logaNn=，所以mMa=，nNa=，所以mnmnMNaaa+==，由对数的定义得log()amnMN+=+，又因为loglogaa

mnMN+=+，所以log()loglogaaaMNMN=+．解决以下问题：（1）将指数35125=转化为对数式：．（2）仿照上面的材料，试证明：logloglog(0aaaMMNaN=−，1a，0M，0)

N．（3）拓展运用：计算333log2log18log4+−=．【拓展训练29】（2017•南平模拟）有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有7张，其中A型卡片是边长为2的正方形，B型卡片是长为2、宽为1的矩形，C型卡片

是边长为1的正方形，从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部分），可以拼成种面积不同的正方形．【拓展训练30】（2018•长春二模）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿

图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为．【拓展训练31】（2021•东港区校级二模）对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定

多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式

x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为．【拓展训练32】（2022•安徽一模）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝．【拓展训练33】（2022•雁塔区校级二模）因式分解：x4﹣16y4＝．【拓展训练

34】（2021秋•广饶县期中）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝．【拓展训练35】（2019•石家庄二模）已知y2+my+121＝（y+n）2，则n＝．【拓展训练36】（2022•建湖县一模）

将x3﹣4x2y+4xy2因式分解为．【拓展训练37】（2022•合肥模拟）因式分解：﹣3m2n+6mn2﹣3n3＝．【拓展训练38】（2022•南岗区模拟）因式分解：4ax2+16axy+16ay2＝．【拓展训练39】（2021•南岗区校级二模）把多项式x3﹣2x2y+xy2分解因式的结

果是．【拓展训练40】（2021•长丰县模拟）分解因式：x2﹣10x2y+25x2y2＝．【拓展训练41】（2021•费县二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，

我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不

能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“好数”有个．【拓展训练42】（2019•曲靖二模）在实数范围内因式分解：2x3+8x2+8x＝【拓展训练43】（2019•锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣32＝．【拓展训练44】（2019•芜湖三模）观察以下等式：第1个等式：（x﹣1

）（x+1）＝x2﹣1；第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝；（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn

+xn﹣1+…+x+1）＝；（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？【拓展训练45】（2021•平顶山模拟）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣3）2

+x（x﹣6），其中x=√2+2．【拓展训练46】（2021•吉安县模拟）若a＝2021，b＝2020，c＝2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．【拓展训练47】（2021•江油市模拟）要使式子11−1𝑥有意义，则x取值范围．【拓展训练48】（2022

•信阳一模）当分式𝑥2−92𝑥−6=0时，x的值为．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com