【文档说明】专题01 数与代数-【题型与技法】中考数学二轮复习金典专题讲练系列（通用版）（解析版）.docx，共(69)页，3.645 MB，由管理员店铺上传

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考点目录1.实数的分类..................................................................72.数轴................................

........................................93.相反数.....................................................................114

.绝对值.....................................................................125.科学记数法.......................................

..........................136.近似数.....................................................................157.实数的大小比较........................

.....................................178.平方根、立方根.......................................................

......189.实数的运算.................................................................1810.二次根式有意义的条件...........................

...........................1911.最简二次根式..............................................................2112.二

次根式的性质与运算......................................................2313.列代数式及求值............................................................2514.整

式的相关概念............................................................2715.整式的运算.............................................

...................3016.幂的运算及整式乘除........................................................3217.乘法公式及其几何意义.........

.............................................3318.整式的化简求值............................................................3819.因式分

解..................................................................3920.分式的有关概念................................................

............4121.分式的基本性质............................................................4222.分式的运算.........................................

.......................4323.分式的化简求值............................................................44聚焦1实数考点一实数的分类1．按实数

的定义分类2．按正负分类实数正实数正有理数正整数正分数正无理数零(既不是正数也不是负数)负实数负有理数负整数负分数负无理数考点二实数的有关概念1．数轴：实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是－a，

零的相反数是零；(2)a与b互为相反数a＋b＝0.3．倒数(1)实数a的倒数是1a(a≠0)；(2)a与b互为倒数ab＝1.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a|＝a(a>0)，0(a＝0)，－a(a<0).考点三平方根、算术平方

根、立方根1．平方根(1)定义：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作±a(a≥0)．(2)一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．算术平方根(1)如果一个正数x的平方等于a，即x

2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作a.零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a≥0(a≥0)．(3)(a)2＝a(a≥0)，a2＝|a|.(4)ab＝a·b(a≥0，b≥0)；ab＝ab(a≥0，b＞0)．3．立方根(1)定义：如果一个

数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作3a.(2)任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同．考点四科学记数法、近似数、有效数字1．科学记数

法把一个数N表示成a×10n(1≤a＜10，n是整数)的形式叫科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．2．近似数与有效数字一个

近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从左边第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．考点五非负数的性质1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，a≥0(a≥0)．2．非负数的性质：(1)非负数有最小值是零；(2)任意几个

非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.考点六实数的运算1．基本运算：加法、减法、乘法、除法、乘方、开方．2．基本法则：加法法则、减法法则、乘法法则、除法法则、乘方的符号法则．3．运算律：加法交换

律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．4．运算顺序：(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从左至右的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．5．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a0

＝1(a≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a－p＝1ap(a≠0，p为整数)．考点七实数的大小比较1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．3．取差比较法(

1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．4．倒数比较法若1a＞1b，a＞0，b＞0，则a＜B．5．平方法：因为由a＞b＞0，可得a＞b，所以我们可以把a与b的大小问题转化成比较a和b的大小问题．聚焦2整式及因式分解考点一整式的有关概念1．整式：整式是单

项式与多项式的统称．2．单项式单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项

式的次数．考点二整数指数幂的运算正整数指数幂的运算法则：am·an＝am＋n，(am)n＝amn，(ab)n＝anbn，aman＝am－n(m，n是正整数)．考点三同类项与合并同类项1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项．

2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．考点四求代数式的值1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值．2．求代数式

的值的基本步骤：(1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入；(2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果．考点五整式的运算1．整式的加减(1)整式的加减实质就是合并同类项；(2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括

号里各项的符号要变号．2．整式的乘除(1)整式的乘法①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mC．③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋

mb＋na＋nB．(2)整式的除法①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．②多项式除以单项式：(a＋b)÷m＝a÷m＋b÷m.3．乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2；(2)完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2.考点六因式分解1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解．2．因式分解的方法(

1)提公因式法公因式的确定：第一，确定系数(取各项整数系数的最大公约数)；第二，确定字母或因式底数(取各项的相同字母)；第三，确定字母或因式的指数(取各相同字母的最低次幂)．(2)运用公式法①运用平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．②运用完全平方公式：a2±2a

b＋b2＝(a±b)2.聚焦3分式考点一分式1．分式的概念：形如AB(A、B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子叫做分式．2．分式有意义、无意义的条件：因为0不能做除数，所以在分式AB中，若B≠0，则分式AB有意义；若B＝0，那么分式AB没有意义．3．分式

值为零的条件：在分式AB中，当A＝0且B≠0时，分式AB的值为0.考点二分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：AB＝A×MB×M，AB＝A÷MB÷

M(其中M是不等于0的整式)．考点三分式的约分与通分1．约分分式约分：将分子、分母中的公因式约去，叫做分式的约分．2．通分分式通分：将几个异分母的分式化为同分母的分式，这种变形叫分式的通分．考点四分式的运算1．分式

的加减法同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，即ac±bc＝a±bc.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即ab±cd＝ad±bcbd.2．分式的乘除法分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即ab·

cd＝acbd.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即ab÷cd＝ab·dc＝adbc.3．分式的混合运算在分式的加减乘除混合运算中，应先算乘除，进行约分化简后，再进行加减运算，遇到有括号的，先算括号里面的．运算结果必须是最简分式或整式．1

.实数的分类【例题1】（2021•长沙模拟）古希腊有一位著名的数学家因发现“2”，而改写了整部数学史，也因此付出了生命的代价，他就是希帕索斯．下面对2说法正确的是()A．2是有理数B．2可以在数轴上找到唯一

点与之对应C．2可以用两个整数的比表示D．21.414=【分析】根据无理数是无限不循环小数，它和有理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应相关概念即可解答．【解答】解：A、2是无理数，故此选项不合题意；B、实数和数轴上的点一一对应，2可以在数轴上找到唯一点与之对应，故此选项符合题意；C

、2不能用两个整数比表示，故此选项不合题意；D、2是无限不循环小数，21.414，故此选项不合题意．故选：B．【点评】本题解题的关键是理解掌握无理数的概念．【例题2】（2021•芦淞区模拟）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，3}、{2−，7，8，19}，我们称之为集合

，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当实数a是集合的元素时，实数8a−也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合．下列集合为好的集合的是()A．{1，2}B．{1，4，7}C．{1，7，8}D．{2−，6}【分析】根据题意，利

用集合中的数，进一步计算8a−的值即可．【解答】解：A、{1，2}不是好的集合，因为817−=，不是集合中的数，故错误；B、{1，4，7}是好的集合，这是因为871−=，844−=，817−=，1、4、7都是{1、4、7}中的数，正确；C、{1，7，8}不是好的集合，因为

880−=，不是集合中的数，故错误；D、{2−，6}不是好的集合，因为8(2)10−−=，不是集合中的数，故错误；故选：B．【点评】本题考查了有理数的加减的应用，要读懂题意，根据有理数的减法按照题中给出的判断条件进行求解即

可．【例题3】（2021•西陵区模拟）下列各数：1−，3，1.1212212221（每两个1之间增加1个2)，3.1415−，227，0.3−，其中无理数有()A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得

答案．【解答】解：1−是整数，属于有理数；3.1415−是有限小数，属于有理数；227是分数，属于有理数；0.3−是循环小数，属于有理数；无理数有3，1.1212212221（每两个1之间增加1个2)共2个．故选：B．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数

，无限不循环小数为无理数．如，2，0.8080080008（每两个8之间依次多1个0)等形式．【例题4】（2020•开平区一模）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法：①当输出值y为3时，输入值x为3或9；②当输入值x为16

时，输出值y为2；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y；④存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．其中错误的是()A．①②B．②④C．①④D．①③【分析】根据运算规则即可求解．【解答】解：①x的值不唯一．3x=或

9x=或81等，故①说法错误；②输入值x为16时，164=，42=，即2y=，故②说法正确；③对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入2，故③说法错误；④当1x=时，始终输不出y值．因为1的算术平方根是1，一定是有理数，故④原说法正确．其中错误的是①③．故选：D．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数．2.数轴【例题5】（2021•永定区模拟）在数轴上有不同的两点A、B，其中点A表示的数

是a−，点B表示的数是2aa−，如果A，B两点关于原点对称，那么a的值是()A．2−B．0C．2D．0或2【分析】利用A，B两点关于原点对称，得到关于a的一元二次方程，解方程检验即可．【解答】解：A，B两点关于原点对称，20aaa−+−=，解得0a=或2a=，A、B是不

同的两点，当0a=时，20aaa−=−=，不符合题意，舍去；a的值是2；故选：C．【点评】本题考查了数轴上关于原点对称的两点对应的数之间的关系，涉及到了相反数的概念和解一元二次方程等知识点，解决本题的关键是能正确列出方程并且正确求解，最后要检验结果是否符

合题意．【例题6】（2021•思明区校级二模）如图，数轴上O、A、B、C四点，若数轴上有一点M，点M所表示的数为m．且|5|||mmc+=−，则关于M点的位置，下列叙述正确的是()A．在A点左侧B．在线段AC上C．在线段OC上D．在线段OB上【分析】根据A、C、O、B四点在数轴

上的位置以及绝对值的定义即可得出答案．【解答】|5|m+表示点M与5−表示的点A之间的距离，||mc−表示点M与数c表示的点C之间的距离，|5|||mmc+=−，MAMC=．点M在线段AC上．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应的关系是解答此题的

关键．【例题7】（2021•海淀区校级模拟）如图，数轴上A，B两点对应的数分别是a和b，对于以下四个式子：①2ab−；②ab+；③||||ba−：④ba，其中值为负数的是()A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据图示，

可得3b−，03a，据此逐项判断即可．【解答】解：根据图示，可得3b−，03a，①20ab−；②0ab+；③||||0ba−；④0ba．故其中值为负数的是②④．故选：D．【点评】此题主要考查了绝对值的含义和求法，以及数轴的特征和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是

判断出a、b的取值范围．【例题8】（2020•武昌区校级自主招生）在数轴上和有理数a，b，c对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①220aa−−；②||||||abbcac−+−=−；③()()()0abbcca+++；④||1abc−．其中正确的结论有(

)个A．4B．3C．2D．1【分析】根据数轴上各数的位置得出101abc−，依此即可得出结论．【解答】解：根据题意得：101abc−，则①22(2)(1)0aaaa−−=−+；②|||

|abbcabbcac−+−=−+−+=−+，||acac−=−+，||||||abbcac−+−=−；③0ab+，0bc+，0ca+，()()()0abbcca+++；④||1a，11bc−，||1abc−；故正确的结论有②③，一共2个．故选：C．【点评】本题考查了数轴、

绝对值和有理数的大小比较；弄清数轴上各数的大小是解决问题的关键．【例题9】（2020•唐山一模）如图，数轴上A，B，C，D，E五个点表示连续的五个整数a，b，c，d，e，且0ae+=，则下列说法：①点C表示的数字是0；②0bd+=；③2e=−；④0abcde++++=．正

确的有()A．都正确B．只有①③正确C．只有①②③正确D．只有③不正确【分析】a，b，c，d，e表示连续的五个整数，且0ae+=，由他们在数轴上的位置可知，2a=−，1b=−，0c=，1d=，2e=，然后进行判断即可．【解答】解：a

，b，c，d，e表示连续的五个整数，且0ae+=，2a=−，1b=−，0c=，1d=，2e=，于是①②④正确，而③不正确，故选：D．【点评】考查数轴表示数的意义，理解相反数、绝对值的意义和性质，是正确解答的前提．【例题1

0】（2020•张家港市模拟）如图，点A、B、C、O在数轴上表示的数分别为a、b、c、0，且OAOBOC+=，则下列结论中：其中正确的有()①0abc．②()0abc+=③acb−=．④||||||1abcabc++=−，A．①③④B．①②④C．②③④D．①

②③④【分析】根据图示，可得0ca，0b，||||||abc+=，据此逐项判定即可．【解答】解：0ca，0b，0abc，选项①符合题意．0ca，0b，||||||abc+=，0b

c+，()0abc+，选项②不符合题意．0ca，0b，||||||abc+=，abc−+=−，acb−=，选项③符合题意．||||||1111abcabc++=−+−=−，选项④符合题意．正确的有①③④．故选：A．【点评

】考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．【例题11】（2019•朝阳区模拟）如图，在单位长度为1的数轴上，点A、B表示的两个数互为相反数，那么点A表示的数是()A．2B．2−C．3D．3−

【分析】根据互为相反数的概念，原点应在AB的中点处，则可以推导得出原点的位置得到A所表示的数．【解答】解：点A、B表示的两个数互为相反数，从图观察可知6AB=，原点应在AB的中点处即原点到A点距离为3，点A在原点左侧，点A表示的数为3−．故选：D．【点评】本题考查数轴、互为相反数的

概念，解题的关键是判断出数轴原点位于AB的中点处，结合数轴的性质可得到答案．3.相反数【例题12】（2018•东营模拟）在左右一条直线共种有100棵树，从左数第35棵树，从最右边数这棵树是第a棵树，则a的相反数是()A．65−B．66−C．64−D．66【分析】根据有理数的减法，可得a

，根据相反数的意义，可得答案．【解答】解：由题意，得1003466a=−=，a的相反数是66−，故选：B．【点评】本题考查了相反数，利用有理数的减法得出a是解题关键．4.绝对值【例题13】（2020•原阳县校级自主招生）设x是有理数，

|1||1|yxx=−++，则下面四个结论中正确的是()A．y没有最小值B．只有一个x的值使y取最小值C．有有限个（不止一个）x的值使y取最小值D．有无数多个x的值使y取最小值【分析】根据非负数的性质，分别讨论x的取值范围，再判断y的最值问题．

【解答】解：由题意得：当1x−时，112yxxx=−+−−=−；当11x−剟时，112yxx=−+++=；当1x时，112yxxx=−++=；故由上得当11x−剟时，y有最小值为2；故选：D．【点评】本题主要考查利用非负数的性质求代数式的最值问题，注意按未知数的取值分情

况讨论．【例题14】（2016•通州区二模）随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站票，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用，新版站牌每一个站名上方都有一个相应的数字，将上下车站站名称对应数字相

减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参考票制规则计算票价，具体来说：乘车路程计价区段010−1115−1620−−对应票价（元)234−另外，一卡通刷卡实行5折优惠，小明用一卡通乘车上车时站名上对应的数字是5，下车时站名上对应的数字是22，那么小明乘车的

费用是()A．2元B．2.5元C．3.5元D．4元【分析】首先用下车时站名上对应的数字减去上车时站名上对应的数字，求出小明乘车的路程是多少，进而求出相应的票价是多少；然后用它乘以0.5，求出小明乘车的费用是多少元即可．【解答】解：因为小明乘车的路程是：22517−=，所以小明乘车的费

用是：40.52=（元)．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算，

解答此题的关键是求出小明乘车的路程、相应的票价是多少．【例题15】（2016•邵阳校级模拟）数轴上A、B、C三点所代表的数分别是a、1、c，且|1||1|||caac−−−=−．若下列选项中，有一个表示A、B、C三点在数轴上的位置关系，则此选项为()A．B．C．D．【分析】分别由四个选项的数轴上

判断出a，c，1的大小关系，然后化简，等式成立，故正确．【解答】解：A，由数轴得，1ac，左边|1||1|11cacaca=−−−=−−+=−，右边||acca=−=−，所以等式成立．故A正确；B，由数轴得，1ca，左边|1||1|11cacaca=−−−=−−+

=−，右边||acac=−=−，所以等式不成立．故B错误；C、由数轴得，1ca，左边|1||1|112cacaca=−−−=−−+=−−，右边||acac=−=−，所以等式不成立．故C错误；D、由数轴得，1ac

，左边|1||1|11cacaac=−−−=−−+=−，右边||acca=−=−，所以等式不成立．故D错误；故选：A．【点评】此题是绝对值题，主要考查绝对值的意义，分情况讨论是解本题的关键．5.科学记数法【例题16】（2022•官渡区校级模拟）电信网络诈骗是一种利用互联网实施的新型犯罪．2021

年4月26日公安部推出了国家反诈中心APP，充分利用新技术努力为人民群众构筑道防诈反诈的“防火墙”．自该APP推出以来，截至6月底，全国注册用户已超过6500万，将数据6500万用科学记数法表示为()A．36.510B．66510C．80.6510D

．76.510【分析】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中1||10a„，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：6500万765

0000006.510==．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．解决问题的关键是正确确定a的值以及n的值．【例题17】（2021•孝南区二模）2020年12月8日，国家主席习近平同尼泊尔总统班达里互致信函，共同宣布珠穆朗玛

峰最新高度8848.86米，其中8848.86用科学记数法表示为8.8488610n，则n为()A．3B．4C．5D．6【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10na，其中1||10a„，n为整数，且n比原来的整数位数少

1，据此判断即可．【解答】解：38848.868.8488610=，3n=．故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为10na，其中1||10a„，确定a与n的值是解题的关键．【例题18】（2022•商城县一模）新型冠状病毒呈球形或椭圆形，

有包膜，直径大约是100nm．新型冠状病毒是一种先前未在人类中发现的冠状病毒，显微镜下看呈皇冠形，所以称为冠状病毒．既往已知感染人的冠状病毒有六种，新型冠状病毒属于属的冠状病毒，属于第七种冠状病毒．将9100(110)nmnmm−=用科学记数法表示为()A．

7110m−B．8110m−C．9110m−D．6110m−【分析】首先把100nm化成以m为单位的量，然后根据：绝对值小于1的小数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10na−，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数

指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，将9100(110)nmnmm−=用科学记数法表示即可．【解答】解：9110nmm−=，9710010010110nmmm−−==．故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一

般形式为10na−，其中1||10a„，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【例题19】（2021•远安县一模）已知空气的单位体积质量为331.2410/gcm−，那么31cm空气的质量为()A．0.0012

4gB．0.0124gC．0.000124gD．0.00124−g【分析】根据题意，31cm空气的质量为31.2410g−，把1.24的小数点向左移动三位即可．【解答】解：空气的单位体积质量为331.2410/gcm−，31cm空气的质量为：31.24100.0012

4gg−=．故选：A．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为10na−，注意把一个用科学记数法表示的数转化成一个不用科学记数法表示的数时，把a的小数点向左移动n位即可．【例题20】（2021•安阳一

模）一次抽奖活动特等奖的中奖率为120000，把120000用科学记数法表示为()A．4510−B．4210−C．5510−D．5210−【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为

10na−，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：510.0000551020000−==．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较

小的数，一般形式为10na−，其中1||10a„，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【例题21】（2021•河北模拟）计算10100.03100.0110−−−，结果用科学

记数法表示为()A．100.0210−B．110.210−C．12210−D．8210−【分析】科学记数法的表示形式为10na的形式，其中1||10a„，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数

绝对值10…时，n是正整数，当原数绝对值1时，n是负整数．【解答】解：10100.03100.0110−−−10(0.030.01)10−=−100.0210−=12210−=．故选：C．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，

一般形式为10na，其中1||10a„，确定a与n的值是解题的关键．6.近似数【例题22】（2021•龙门县模拟）下列说法正确的是()A．近似数0.21与0.210的精确度相同B．小明的身高为161cm中的数是

准确数C．0.000109这个数用科学记数法可表示为41.0910−D．近似数41.310精确到十分位【分析】（1）用科学记数法10(110naa„，n是正整数）表示的数的有效数字应该由首数a来确定，首数a中的数字就是有效数字；

（2）用科学记数法10(110naa„，n是正整数）表示的数的精确度的表示方法是：先把数还原，再看首数的最后一位数字所在的位数，即为精确到的位数．【解答】解：A．近似数0.21精确度为百分位，0.210的精确度为千分位，

精确度不同，故A不符合题意；B．小明的身高为161cm中的数是近似数，故B不符合题意；C．0.000109这个数用科学记数法可表示为41.0910−，故C符合题意；D．近似数41.310精确到千位，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了科学记数法与近似数，正确理解科学记数法与近似

数是解题的关键．【例题23】（2020•潍坊三模）用科学记数法表示数字130542（精确到千位）是()A．131000B．60.13110C．51.3110D．413.110【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答】解：5130542131000

1.3110=（精确到千位）．故选：C．【点评】本题考查了近似数和有效数字，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．也考查了科学记数法．【例题24】（2017•霍邱县校级模拟）由四舍五入法得到的近似数36.810，下列说法中正确的是()

A．精确到十分位，有2个有效数字B．精确到个位，有2个有效数字C．精确到百位，有2个有效数字D．精确到千位，有4个有效数字【分析】310代表1千，那是乘号前面个位的单位，那么小数点后一位是百．有效数字是从左边第一个不是0的数字起后面所有的数字都是有

效数字，用科学记数法表示的数10na的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．【解答】解：个位代表千，那么十分位就代表百，乘号前面从左面第一个不是0的数字有2个数字，那么有效数字就是2个．故选：C．【点评】本题考

查了近似数与有效数字，较大的数用10na表示，看精确到哪一位，需看个位代表什么；有效数字需看乘号前面的有效数字．【例题25】（2016•海淀区校级模拟）下列说法正确的是()A．近似数3.5和3.50精确度相同B．近似数0.0120有3个有效数字C．近似数

47.0510精确到百分位D．近似数3千和3000的有效数字都是3【分析】近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．【解答】解：A、近似数3.5精确到十分位，3.50精确到百分位，故A错误；B

、近似数0.0120有3个有效数字，故B正确；C、近似数47.0510精确到百位，故C错误；D、近似数3千的有效数字是3，而3000的有效数字都是3，0，0，0，故D错误；故选：B．【点评】本题考查了近似数和有

效数字，对于用科学记数法表示的数，有效数字的计算方法以及与精确到哪一位是需要识记的内容，经常会出错．7.实数的大小比较【例题26】（2021•九原区模拟）当01a时，1a、2a、3a、a之间的大小关系是(

)A．231aaaaB．321aaaaC．321aaaaD．321aaaa【分析】利用特殊值法进行计算即可解答．【解答】解：01a，当14a=时，14a=，2116a=，3164a=，12

a=，111464162，321aaaa，故选：C．【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握特殊值法进行计算是解题的关键．【例题27】（2021•武进区校级自主招生）已知0mn且1101mnnm−−++，那么n，m，1n，1nm+的大小关系是()A．1

1mnnnm+B．11mnnmn+C．11nmnmn+D．11mnnmn+【分析】根据条件设出符合条件的具体数值，根据负数小于一切正数，两个负数比较大小，两个负数绝对值大的反而小即可解答．【解答】解：0mn，m，n异号，由1101mnnm−−++

，可知mn，1mn+−，0m，01n，||||mn，||2m，假设符合条件的4m=−，0.2n=则15n=，1110.2420nm+=−=−则140.2520−−故11mnnmn+．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，解答此题的关键根据已知条件分析出n，

m的符号，绝对值的大小，再设出符合条件的数值比较大小，以简化计算．【例题28】（2020•黄州区校级模拟）已知{minx，2x，}x表示取三个数中最小的那个数，例如：当9x=，{minx，2x，}{9xmin=，29，9}3=．当{minx，2x，

1}16x=时，则x的值为()A．116B．18C．14D．12【分析】本题分别计算116x=，2116x=，116x=的x值，找到满足条件的x值即可．首先从x的值代入来求，由0x…，则0x=，1，2，3，4，5，则可知最小值是0，最大值是6．【解答】解：当

116x=时，1256x=，xx，不合题意；当2116x=时，14x=，当14x=−时，2xx，不合题意；当14x=时，12x=，2xxx，符合题意；当116x=时，21256x=，2xx，不合题意．故选：C．【点评】本题主要考查实数大小

比较，算术平方根及其最值问题，解决此题时，注意分类思想的运用．8.平方根、立方根9.实数的运算【例题29】（2022•随州模拟）我们知道，一元二次方程21x=−没有实数根，即不存在一个实数的平方等于1−，若我们规定

一个“新数”，使其满足21i=−（即方程21x=−有一个根为)i，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有1ii=，21i=−，32iiii==−，4222()(1)1ii==−=．从而对任意正整数n，我们可得到4144()

nnniiiiii+===，同理可得421ni+=−，43nii+=−，41ni=，那么，23420162017iiiiii++++++的值为()A．0B．1C．1−D．i【分析】1ii=，21i=−，32(1

)iiiii==−=−，4222()(1)1ii==−=，54iiii==，651iii==−，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．【解答】解：由题意得，1ii=，21i=−，3

2(1)iiiii==−=−，4222()(1)1ii==−=，54iiii==，651iii==−，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，201745041=，23420162017iiiiiii++++++=

．故选：D．【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．【例题30】（2021•荆州模拟）定义新运算“*ab”：对于任意实数a，b，都有*3abab=+，其中等式右边是通常的加法和

乘法运算．例如：3*434315=+=．若关于x的方程*(2)0xkx+=有两个实数根，则实数k的取值范围是()A．13kB．13k„C．13k，且0kD．13k„，且0k【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列

不等式组求解．【解答】解：*(2)0xkx+=，(2)30xkx++=，整理可得2230kxx++=，又关于x的方程*(2)0xkx+=有两个实数根，202430kk−…，解得：13k„且0k，故选：D．【点评】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，理解一元二次方程2

0(0)axbxca++=的根的判别式△24bac=−：当△0，方程有两个不相等的实数根；当△0=，方程有两个相等的实数根；当△0，方程没有实数根．【例题31】（2022•金华模拟）计算：101()|3|(33)2cos

452−+−−−+．【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．【解答】解：101()|3|(33)2cos452−+−−−+223122=+−+2312=+−+42=+．【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简

各式是解题的关键．10.二次根式有意义的条件【例题1】（2022•红花岗区一模）式子√𝑥+1𝑥有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣1B．x≥﹣1且x≠0C．x＞﹣1且x≠0D．x≠0【分析】根据分式有意义，二次根式有意义的条件进行判断即可．【解

答】解：由题意得，x+1≥0且x≠0，即x≥﹣1且x≠0，故选：B．【点评】本题考查二次根式、分式有意义的条件，掌握被开方数大于或等于0，分母不为0分别是二次根式和分式意义的条件是正确判断的前提．【例题2】（

2021•安徽模拟）使代数式√𝑥−1𝑥2−4有意义的x的取值范围是（）A．x＞1B．x≥1且x≠±2C．x≥1且x≠2D．x≥1【分析】根据√𝑎（a≥0），以及分母不能为0，进行计算即可．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0且x2﹣4≠

0，∴x≥1且x≠±2，∴x≥1且x≠2，故选：C．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握√𝑎（a≥0），以及分母不能为0是解题的关键．【例题3】（2021•罗庄区模拟）等式√𝑥+2𝑥−2=√𝑥+2√𝑥−2成立的条件是（）A．x≠2B．x≥﹣2C．x≥﹣2

且x≠2D．x＞2【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列不等式组求解．【解答】解：由题意可得{𝑥+2≥0𝑥−2＞0，解得：x＞2，故选：D．【点评】本题考查二次根式和分式有意义的条件，理解二次根式有意

义的条件（被开方数为非负数）和分式有意义的条件（分母不能为零）是解题关键．【例题4】（2022•南召县模拟）式子√𝑥−1𝑥−2在实数范围内有意义，则x的范围是x≥1且x≠2．【分析】先根据二次根式及

分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵式子√𝑥−1𝑥−2在实数范围内有意义，∴{𝑥−1≥0𝑥−2≠0，解得x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．11

.最简二次根式【例题5】（2020•顺德区三模）“分母有理化”是根式运算的一种化简方法，如：2+√32−√3=(2+√3)(2+√3)(2+√3)(2−√3)=7+4√3；除此之外，还可以用先平方再开方的方法化

简一些有特点的无理数，如要化简√4+√7−√4−√7，可以先设x=√4+√7−√4−√7，再两边平方得x2＝（√4+√7−√4−√7）2＝4+√7+4−√7−2√(4+√7)(4−√7)=2，又因为√4+√7＞√4−√7，故x＞0，解得x=√2，√4+√7−√4−√7=√2，

根据以上方法，化简√6−√3√6+√3+√8+4√3−√8−4√3的结果是（）A．3﹣2√2B．3+2√2C．4√2D．3【分析】直接利用有理化因式以及二次根式的性质、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：设x=√8+4√3−√8−4√3，两边平方得x

2=(√8+4√3−√8−4√3)2=8+4√3+8−4√3−2√(8+4√3)(8−4√3)=8，∵√8+4√3＞√8−4√3，∴x＞0，∴x＝2√2，原式=√6−√3√6+√3+2√2=(√6−√3)2(√6+√3)(√6−√3)+2√2=9−6√23+2√2＝3﹣

2√2+2√2＝3．故选：D．【点评】此题主要考查了分母有理数，正确化简二次根式是解题关键．【例题6】（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：2+√32−√3=(2+√3)(2+√3)(2

−√3)(2+√3)=7+4√3，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于√3+√5−√3−√5，设x=√3+√5−√3−√5，易知√3+√5＞√3−√5，故x＞0

，由x2＝（√3+√5−√3−√5）2＝3+√5+3−√5−2√(3+√5)(3−√5)=2，解得x=√2，即√3+√5−√3−√5=√2．根据以上方法，化简√3−√2√3+√2+√6−3√3−√6+3√3后的

结果为（）A．5+3√6B．5+√6C．5−√6D．5﹣3√6【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：设x=√6−3√3−√6+3√3，且√6+3√3＞√6−3√3，∴x＜0，∴x2＝6﹣3√3−2√(6−3√3)(6+3√3)+6+3√3，∴x2＝12﹣2×3＝6

，∴x=−√6，∵√3−√2√3+√2=5﹣2√6，∴原式＝5﹣2√6−√6＝5﹣3√6，故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于较难题型．【例题7】（2019•五通桥区一模）如图，△ABC中，∠A＝60°，AB和AC两

边的长度分别是关于x的方程x2+mx+√21=0的两根．若这个方程的有一个根为√3，则△ABC的面积为（）A．√34B．√74C．√214D．3√74【分析】由根与系数的关系求出AB•AC，再利用∠A的正弦列出面积的算式，然后根据二次根式的乘法运算进行

计算即可得解．【解答】解：由题意得，AB•AC=√21，所以，△ABC的面积=12AB•ACsin60°=12×√21×√32=3√74．故选：D．【点评】本题考查了二次根式的应用，根与系数的关系，难点在于利用三角函数表示一边上的高．【例题8】（2021•临沂模拟）化简1√2+1=√2−1．【分析

】根据分母分子同乘以或除以同一个代数式，式子的值不变，可得答案．【解答】解：1√2+1=√2−1(√2+1)(√2−1)=√2−1，故答案为：√2−1．【点评】本题考查了分母有理化，利用二次根式的乘法．【例题9

】（2020•昆山市一模）设a=√7，b＝2+√3，c=1√3−√2，则a、b、c从小到大的顺序是a＜c＜b．【分析】将c分母有理化再进行比较即可．【解答】解：c=1√3−√2=√3+√2(√3−√2)(√3+√2)=√3+√2；∵2=√4＞√2，∴b＞c，又∵a2＝（√7）2＝7，c2

＝（√3+√2）2＝5+2√6，且√6＞1，∴a2＜c2，∴a＜c，∴a＜c＜b．故答案为a＜c＜b．【点评】本题考查了分母有理化，找到有理化因式是解题的关键．【例题10】（2019•阳江一模）将1√3+1化简得√3−1

2．【分析】先分母有理化，再求出即可．【解答】解：1√3+1=1×(√3−1)(√3+1)×(√3−1)=√3−12，故答案为：√3−12．【点评】本题考查了分母有理化，能找出分母的有理化因式是解此题的关键．12.二次根式的

性质与运算【例题11】（2021•金东区校级模拟）已知非零实数a，b满足√(2−𝑎)𝑏2+√(3𝑎−6)2+|𝑏+1|+3𝑎=6，则ab＝12．【分析】首先将式子化为：√(2−𝑎)𝑏2+|3𝑎−6|+|𝑏+1|=6−3𝑎，可知6﹣3a≥0，

进而可得：√(2−𝑎)𝑏2+|𝑏+1|=0．根据此式子可求出a，b的值，即可求出最后的结果．【解答】解：由题意得：√(2−𝑎)𝑏2+|3𝑎−6|+|𝑏+1|=6−3𝑎，∴6﹣3a≥0，∴|3a﹣6|＝6﹣3a，∴√(

2−𝑎)𝑏2+6−3𝑎+|𝑏+1|=6−3𝑎，∴√(2−𝑎)𝑏2+|𝑏+1|=0．∴a＝2，b＝﹣1，∴ab＝2﹣1=12，故答案为：12．【点评】本题考查二次根式的运算与性质，根据二次根式的性质将式子进行化简运算是解题关键．【例题12】（2022•陕西模拟）计算：|−

√3|+(13)−1−√2×√6．【分析】先算绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，再算加减即可．【解答】解：|−√3|+(13)−1−√2×√6=√3+3﹣2√3＝3−√3．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．【例题13】（2022•宝鸡模拟）计算：

−√3×√8+|2−√6|﹣（12）﹣2．【分析】先根据二次根式的乘法法则，绝对值和负整数指数幂进行计算，再算加减即可．【解答】解：−√3×√8+|2−√6|﹣（12）﹣2＝﹣2√6+√6−2﹣4=−√6−6．【点评】本题考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂等知识点

，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．13.列代数式及求值【例题1】（2021•五华区二模）二十四节气，是我国古人根据地球在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置变化而制定的，每一个节气分

别相对应于地球在黄道上每运转15所到达的一定位置，反映了太阳对地球产生的影响．它凝聚着中华文明的历史文化精华，在国际气象界，二十四节气被誉为“中国的第五大发明”．如图是地球绕太阳公转的轨道图，若将其近似看作圆形，其半径为Rkm，则从每年的立春到立夏，地球绕太阳公转的路程是()A．

2RkmB．3RkmC．4RkmD．512Rkm【分析】可得从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90，根据扇形的弧长公式计算即可求解．【解答】解：从每年的立春到立夏地球绕太阳公转的圆心角度数为90，地球绕太阳公转的路程是90()1802RRkm=．故选：A．【点评】

本题考查了列代数式，关键是熟练掌握扇形的弧长公式．【例题2】（2018•永州）甲从商贩A处购买了若干斤西瓜，又从商贩B处购买了若干斤西瓜．A、B两处所购买的西瓜重量之比为3:2，然后将买回的西瓜以从A、B两处购买单价的平

均数为单价全部卖给了乙，结果发现他赔钱了，这是因为()A．商贩A的单价大于商贩B的单价B．商贩A的单价等于商贩B的单价C．商贩A的单价小于商贩B的单价D．赔钱与商贩A、商贩B的单价无关【分析】本题考查一元一次不等式组的应用，

将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．【解答】解：设商贩A的单价为a，商贩B的单价为b，可得：利润=总售价−总成本5(32)0.50.52ababba+=−+=−，赔钱了说明利润00.50.

50ba−，ab．故选：A．【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式．【例题3】（2021•贺州）如{1M=，2，}x，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如1x，2)x，无序性

（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合{Nx=，1，2}，我们说MN=．已知集合{1A=，0，}a，集合1{Ba=，||a，}ba，若AB=，则ba−的值是()A．1−B．0C．1D．2【分析】根据集

合的定义和集合相等的条件即可判断．【解答】解：AB=，0a，10a，0ba=，11a=，||aa=或0ba=，1aa=，||1a=，0b=，1a=（舍去）或0b=，1a=−，0(1)1ba−=−−=，故选：C．【点评】本题以集合为背景考查了代数式

求值，关键是根据集合的定义和性质求出a，b的值．【例题4】（2020•蠡县一模）已知332(1)xaxbxcxd−=+++，则abcd+++的值为()A．1−B．0C．1D．不能确定【分析】令1x=，即可求出原式

的值．【解答】解：把1x=代入332(1)xaxbxcxd−=+++，得0abcd+++=．故选：B．【点评】此题考查代数式求值，根据式子的特点，巧取x的数值求得答案是解决问题的关键．14.整式的相关概念【例题5】（2021•邵阳模拟）如果12ax

y−与32bxy−是同类项，那么ab的值是()A．34B．43C．1D．3【分析】根据所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项可得a，b的值，再代入所求式子计算即可．【解答】解：由题意得：13a−=，21b−=，解得：4a=，3b=，则43ab=，故选：B．【点评】此题主要

考查了同类项，关键是掌握同类项定义．【例题6】（2020•宁波模拟）小文在计算某多项式减去2235aa+−的差时，误认为是加上2235aa+−，求得答案是24aa+−（其他运算无误），那么正确的结果是

()A．221aa−−+B．2356aa−−+C．24aa+−D．234aa−+−【分析】先根据加减互逆运算关系得出这个多项式为22(4)(235)aaaa+−−+−，去括号、合并同类项可得此多项式，再根据题意列出算式22(21)(235)aaaa−−+−+

−，进一步计算可得．【解答】解：根据题意，这个多项式为22(4)(235)aaaa+−−+−224235aaaa=+−−−+221aa=−−+，则正确的结果为22(21)(235)aaaa−−+−+−2221235aaaa=−

−+−−+2356aa=−−+，故选：B．【点评】本题主要考查多项式，解题的关键是掌握整式的加减运算顺序和运算法则及根据加减互逆运算关系求出原来这个多项式．【例题7】（2017•玉林）若2214nab+与3mab是同类项，则mn+=3．【分析】根据同类项的定义，列出方程组

即可解决问题．【解答】解：2214nab+与3mab是同类项，2213mn=+=，21mn==，3mn+=，故答案为3．【点评】本题考查同类项，方程组等知识，解题的关键是记住同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指

数也相同，这样的项叫做同类项．【例题8】（2021•阳东区模拟）若单项式23413mxy−−与513nxy+的和仍是单项式，则mn=12．【分析】根据同类项的概念列出方程，解方程求出m、n，计算即可．【解答】解：单项式23413mxy−−与513nxy+的和仍是单项式，单项式2341

3mxy−−与513nxy+是同类项，235m−=，14n+=，解得：4m=，3n=，3412mn==，故答案为：12．【点评】本题考查的是合并同类项，掌握同类项的概念是解题的关键．【例题9】（2021•姑苏区校级二模）单项

式223xy−的次数是3．【分析】根据一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，即可得出答案．【解答】解：单项式223xy−的次数是：123+=．故答案为：3．【点评】此题主要考查了单项式，正确掌握单项式的次数确定方法是解题关键．【例题10】（2

021•广州模拟）单项式234ab−的系数是34−，次数是．【分析】利用单项式系数和次数定义进行解答即可．【解答】解：单项式234ab−的系数是34−，次数是3，故答案为：34−；3．【点评】此题主要

考查了单项式，关键是掌握单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．【例题11】（2020•黄冈一模）单项式232xy−的系数是32−，次数分别是．【分析】根据单项式的次数系数定义可得答案；单

项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．【解答】解：单项式232xy−的系数是32−，次数是3，故答案为：32−；3．【点评】此题主要考查了单项式，关键是掌握

单项式的定义．【例题12】（2021•泰兴市二模）多项式232xyxy+的次数为3．【分析】多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，据此可得答案．【解答】解：多项式232xyxy+的最高次项为23xy，其次数是3，多项式232xyxy+的次数是3．故答案为：3．【

点评】此题主要考查了多项式，解题的关键是掌握多项式次数的计算方法．15.整式的运算【例题13】（2021•嘉峪关）对于任意的有理数a，b，如果满足2323abab++=+，那么我们称这一对数a，b为“相随数对”，记为(,)ab．若

(,)mn是“相随数对”，则32[3(21)](mmn++−=)A．2−B．1−C．2D．3【分析】根据(,)mn是“相随数对”得出940mn+=，再将原式化成942mn+−，最后整体代入求值即可．【解答】解：(,)mn是“相随

数对”，2323mnmn++=+，3265mnmn++=，即940mn+=，32[3(21)]mmn++−32[321]mmn=++−3642mmn=++−942mn=+−02=−2=−，故选：A．【点评】本题考查代数式求值，理解“相随数对”的意义是正确计算的

关键．【例题14】（2021•济南模拟）若23a=，24b=，则322ab+等于()A．7B．12C．432D．108【分析】根据同底数幂的运算性质的逆用和幂的乘方的性质的逆用计算即可．【解答】解：32323232222

(2)(2)34432ababab+====．故选：C．【点评】本题利用同底数幂的乘法，幂的乘方的性质的逆用求解，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．【例题15】（2021•福州模拟）下列计算正确的是()A．2222aa−

=B．236()aa−=C．231aaa−=D．236aaa=【分析】根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法计算即可．【解答】解：A选项，原式2a=，故该选项不符合题意；B选项，原式6a=−，故该选项不符合题意；C选项

，原式1a−=，故该选项符合题意；D选项，原式5a=，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘除法，C选项可以用同底数幂的除法法则计算，也可以用约分的方法得到11aa−=．【例题16】（2022•安庆一模）计算21()22aa−的结果

是()A．3aB．212a−C．312aD．2a【分析】根据积的乘方和单项式乘单项式法则计算即可．【解答】解：21()22aa−2124aa=312a=．故选：C．【点评】本题考查积的乘方和单项式乘单项式，解题关键是熟

知积的乘方和单项式乘单项式法则．【例题17】（2021•兰州）计算：22(2)(aab+=)A．34aab+B．322aab+C．24aab+D．324aab+【分析】根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

进而得出答案．【解答】解：22(2)aab+2222aaab=+324aab=+．故选：D．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．【例题18】（2021•开平区一模）已知等式2()()36

(xpxqxmxp++=++，q为正整数），则m的值不可能是()A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：2()()()xpxqxpqxpq++=++

+，2()()36xpxqxmx++=++，pqm+=，36pq=，3649=，则13pq+=，36136=，则37pq+=，36218=，则20pq+=，36312=，则15pq+=，3666=，

则12pq+=，pq+不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【点评】本题主要考查多项式乘多项式，解答的关键是理解清楚题意，求得m与pq+，pq的关系．16.幂的运算及整式乘除【例题19】（2021•中山市校级模拟）计算：2019202

033()()55=40393()5．【分析】同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．据此计算即可．【解答】解：201920202019202040393333()()()()5555+==．故答案为：

40393()5．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，掌握幂的运算法则是解答本题的关键．【例题20】（2020•博兴县模拟）若2mx=，3nx=，则2mnx+的值为18．【分析】先把2mnx+变形为2()mnxx，再把2mx=，3

nx=代入计算即可．【解答】解：2mx=，3nx=，2222()232918mnmnmnxxxxx+=====；故答案为：18．【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【例题21】

（2021•澄海区模拟）已知232xx+=−，则代数式5(3)xx++的值为3．【分析】将原式先去括号进行计算，然后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式253xx=++，232xx+=−，原式523=−=，故答案为：3．【点评】本题考查整式的化简求值，掌握单项式乘多项

式的运算法则，利用整体思想代入求值是解题关键．【例题22】（2021•江西模拟）计算：2(2)abab−+=2232abab−+．【分析】直接利用单项式乘多项式运算法则计算得出答案．【解答】解：2(2)abab−+22(2)abaabb=−+22

32abab=−+．故答案为：2232abab−+．【点评】此题主要考查了单项式乘多项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【例题23】（2021•大荔县一模）若2(1)(23)2xxxmxn+−=++，则mn+=4−．【分析】先根据多项式乘多项式的法则展开，再根

据对应项的系数相等求得m，n，再代入计算即可求解．【解答】解：22(1)(23)232323xxxxxxx+−=−+−=−−，又2(1)(23)2xxxmxn+−=++，1m=−，3n=−，134mn+=−−=−．故答案为：4−．【点评】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，熟练掌

握运算法则，根据对应项的系数相等求解是解题的关键．17.乘法公式及其几何意义【例题24】（2021•永嘉县校级模拟）如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD=12AB＝a．延长CB至点E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD．连接并延长

DB，交FE的延长线于点G，连接CF，AG．《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，则𝐴𝐺𝐶𝐹的值为（）A．√2B．2C．32√2D．2√2【分析】在直角三角形中，运用勾股定理分别计算出AG，CF，即可求出其比值．【解答】解：∵点

C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD=12AB＝a；∴AC＝a，CB＝a；∴AD＝DB=√2a；∵BE＝b，BE垂直于FG；∴BG=√2b；∴AG2＝AD2+DG2；∴AG2＝（√2a）2+（√2a+√2b）2＝2a2+2a2+2b2+4ab＝4a2+4ab+2b2；∴CF2＝（a+b）2

+a2＝2a2+2ab+b2；∴AG2＝2CF2；∴AG=√2CF；∴则𝐴𝐺𝐶𝐹的值为√2．故选：A．【点评】本题考查了线段平分线的性质及勾股定理的计算，难度不大．【例题25】（2020•枣庄）图（1）是一个长为2a，宽

为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（）A．abB．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2【分析】中间部分

的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．【解答】解：中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．故选：C．【点评】本题考查了列代数式，正确表示出小正方形的边长是关键

．【例题26】（2021•上城区一模）对于代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6，甲同学认为：当x＝1时，该代数式的值与k无关；乙同学认为：当该代数式是一个完全平方式时，k只能为5．则下列结论正确的是（）A．只有甲正

确B．只有乙正确C．甲乙都正确D．甲乙都错误【分析】要判断甲说法是否正确，把x＝1代入原方程解答即可；根据完全平方公式可得2（k﹣1）=±2√2𝑘+6，据此即可求出k的值，进而判断乙的说法是否正确．【解答】解：（1）当x＝1时，该代数式＝1﹣2（k﹣1）+2k+6＝

9，∴当x＝1时，该代数式的值与k无关，故甲同学的结论正确；当代数式x2﹣2（k﹣1）x+2k+6是一个完全平方式时，2（k﹣1）=±2√2𝑘+6，即k﹣1=±√2𝑘+6，（k﹣1）2＝2k+6，k2﹣2k+1＝2k+6，k2﹣4k﹣5＝0，（k﹣5）（k+1）＝0，k＝5或k＝﹣1，当k

＝5时，原式＝x2﹣8x+16＝（x﹣4）2，当k＝﹣1时，原式＝x2+4x+4＝（x+2）2，∴k＝5或k＝﹣1均符合题意，故乙同学的结论错误．故选：A．【点评】本题主要考查了代数式求值以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解答本题的关键．【例题27】（2020•厦门

模拟）若多项式x2+2x+n是完全平方公式，则常数n是（）A．﹣1B．14C．12D．1【分析】利用完全平方公式得到x2+2x+n＝（x+1）2，从而得到n的值．【解答】解：∵多项式x2+2x+n是一个完全平方式，∴x2+2x+n＝（x+1）2，∴n＝

1故选：D．【点评】本题考查了完全平方式：记住完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2．【例题28】（2017•包河区二模）若不论x取何值，不等式（x+3a﹣1）（x﹣a）≥0都成立，则a的值为（）A．0

B．12C．13D．14【分析】当（x+3a﹣1）（x﹣a）为完全平方式时，不等式（x+3a﹣1）（x﹣a）≥0恒成立，从而得到3a﹣1＝﹣a，然后解关于a的方程即可．【解答】解：∵不论x取何值，不等式（x+3a﹣1）（x﹣a）≥0都成立，∴（x+3a﹣1）（x﹣a）为

完全平方式，即3a﹣1＝﹣a，解得a=14．故选：D．【点评】本题考查了完全平方式：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A＝B2，则称A是完全平方式．【例题29】（2020•百色）计算（a+b﹣3）（a+b+3）的结果是（）A．a2+b2﹣9B．a2﹣b2+6b﹣9

C．a2+2ab+b2﹣9D．a2﹣b2﹣6b+9【分析】原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可得到结果．【解答】解：原式＝（a+b）2﹣9＝a2+2ab+b2﹣9．故选：C．【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，

熟练掌握公式是解本题的关键．【例题30】（2020•资兴市二模）一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如27＝62﹣32，63＝82﹣12，故27，63都是“创新数”，下列各数中，不是“

创新数”的是（）A．31B．41C．16D．54【分析】根据数字的特点，分别将31、41和16写成两个正整数的平方差的形式，而54不能写成两个正整数数的平方差的形式，则问题得解．【解答】解：∵31＝（16+15）（16﹣15）＝162﹣152，41＝（21+20）（21﹣20）＝2

12﹣202，16＝（5+3）（5﹣3）＝52﹣32，54不能表示成两个正整数的平方差．∴31、41和16是“创新数”，而54不是“创新数”．故选：D．【点评】本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关

键．【例题31】（2020•河北模拟）若a＝（−23）2019×（32）2020，b＝2018×2020﹣20192，c＝（−13）﹣1+（﹣1）2﹣20190．则a，b，c的大小关系正确的是A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．c＜a＜b【分析】分别根据积的乘方运算法则，平方差

公式以及负整数指数幂的定义，任何非0数的0次幂等于1，求出各个式子结果，即可作出判断．【解答】解：a＝（−23）2019×（32）2020＝（−23）2019×（32）2019×32=(−23×32)2019×32=(−1)2019×32=(−1)×32=−32；b＝2018×2020﹣

20192＝（2019﹣1）×（2019+1）﹣20192＝20192﹣1﹣20192＝﹣1；c＝（−13）﹣1+（﹣1）2﹣20190＝﹣3+1﹣1＝﹣3．∴c＜a＜b．故选：D．【点评】此题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，零指数

幂、负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【例题32】（2022•随州模拟）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a

﹣b）2＝a2﹣b2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【解答】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【点评】本题主要考查对平方差公式的知识点的理解和掌握，能根据在边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小

正方形是解此题的关键．【例题33】（2018•古冶区一模）如图，从边长为（a+3）的正方形纸片中剪去一个边长为3的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个如图所示的长方形（不重叠，无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是（）A．a+

3B．a+6C．2a+3D．2a+6【分析】依图可知，拼成的长方形的另一条边是由原来正方形的边长（a+3）+剪去正方形的边长3，可得答案是：a+6．【解答】解：长方形的另一边长是：（a+3）+3＝a+6，故选：B．【点评】本题主要考查了图形的变换，及变换后边的组成．18.整式的化简求值

【例题34】（2021•盐都区二模）先化简，再求值：（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣2）+x（x﹣4），其中x2﹣6x+7＝0．【分析】利用多项式乘多项式，平方差公式，单项式乘多项式的运算法则先计算乘法，然后合并同类项进行化简，最后利用整体思想代入求值．【解答】解：原式＝x2﹣3x

+x﹣3﹣（x2﹣4）+x2﹣4x＝x2﹣3x+x﹣3﹣x2+4+x2﹣4x＝x2﹣6x+1，∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，∴原式＝﹣7+1＝﹣6．【点评】本题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式（a±b

）2＝a2±2ab+b2和平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题关键．【例题35】（2021•洛阳三模）先化简，再求值：（2x﹣3y）2﹣（2x+y）（2x﹣y）+5y（x﹣2y），其中x，y满足√𝑥−15+|y+3|＝0．【分析】直接利用乘法公式化简

，再合并同类项，再结合非负数的性质得出x，y的值，代入求出答案．【解答】解：原式＝4x2﹣12xy+9y2﹣（4x2﹣y2）+5xy﹣10y2＝4x2﹣12xy+9y2﹣4x2+y2+5xy﹣10y2＝﹣7xy，∵√𝑥−15+|y+3|＝0，∴x−15

=0，y+3＝0，∴x=15，y＝﹣3，∴原式＝﹣7×15×（﹣3）=215．【点评】此题主要考查了整式的混合运算—化简求值以及非负数的性质，正确运用乘法公式是解题关键．19.因式分解【例题36】（2020•滨城区二模）下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．ma+mb﹣c＝

m（a+b）﹣cB．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a+3b﹣1）C．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3D．4x2﹣25y2＝（2x+5y）（2x﹣5y）【分析】因式分解是指将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本题按照因式分解的定义

及其分解方法，逐个选项分析即可．【解答】解：A、没将一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、提公因式变号错误，不是正确的因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，是整式的乘法，故本选项不符合题意；D、符合因式分解定义，是因式

分解，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义及其分解方法，明白因式分解的定义及其分解方法，是解题的关键．【例题37】（2021•合肥模拟）把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．﹣3x2

y2B．﹣2x2y2C．6x2y2D．﹣x2y2【分析】直接利用公因式的定义分析得出答案．【解答】解：﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3＝﹣x2y2（6x+3﹣8y）．故把﹣6x3y2﹣3x2y2+8x2y3因式分解时，应提

的公因式是：﹣x2y2．故选：D．【点评】此题主要考查了提取公因式，正确掌握公因式的定义是解题关键．【例题38】（2021•宜兴市校级二模）若4x2+kx+25＝（2x+a）2，则k的值可以是（）A．20B．

﹣20C．±10D．±20【分析】直接利用完全平方公式分解因式求出答案．【解答】解：4x2+kx+25＝（2x+a）2，当a＝5时，k＝20，当a＝﹣5时，k＝﹣20，∴k的值可以是：20或﹣20．故选：D．【

点评】本题主要考查了完全平方公式分解因式，正确应用公式是解题关键．【例题39】（2020•定兴县一模）计算：1252﹣50×125+252＝（）A．100B．150C．10000D．22500【分析】直接利

用完全平方公式分解因式，进而计算得出即可．【解答】解：1252﹣50×125+252＝（125﹣25）2＝10000．故选：C．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．【例题40】（2021•平泉市一模）若(102−1)(122−1)𝑘=9×11×13，则k＝（）A

．12B．11C．10D．9【分析】先将等式左边的分子分解因式，再根据等式的性质可得答案．【解答】解：(102−1)(122−1)𝑘=9×11×13，（10+1）（10﹣1）（12+1）（12﹣1）＝9×11×13k，11×9×13×11＝9×11×13k，∴k＝11．故

选：B．【点评】本题考查了平方差公式的应用，关键是根据a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）分解因式．20.分式的有关概念【例题1】（2021•罗湖区校级模拟）下列各式：3𝑎2，𝑎+𝑏𝑎，x2+𝑦𝑥，76，𝑥2𝑥+1，𝑥8𝜋中，分式有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【

分析】根据分式的定义即可求出答案．【解答】解：𝑎+𝑏𝑎，x2+𝑦𝑥，𝑥2𝑥+1是分式，故选：C．【点评】本题考查分式的定义，解题的关键是熟练运用分式的定义，本题属于基础题型．【例题2】（2021•黄石模拟）要使式子√𝑚+13𝑚

−1有意义，则m的取值范围是（）A．m≥﹣1且m≠1B．m≠1C．m＞1D．m＞﹣1【分析】分别根据分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：要使式子√𝑚+13𝑚−1有意义，则m﹣1≠0，解得m≠1，故选：B．【点评】本题考查的是分式有意义的条

件，熟知分式的分母不为零是解答此题的关键．【例题3】（2021•锡林浩特市模拟）如果分式|𝑥−2|−1𝑥−3的值为0，那么x的值为（）A．1B．3C．﹣1或2D．1或3【分析】根据分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0即

可得出答案．【解答】解：∵|x﹣2|﹣1＝0，x﹣3≠0，∴|x﹣2|＝1，x≠3，∴x＝1，故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件，掌握分式的值为零的条件是分子等于0且分母不等于0是解题的关键．【例题4】（2020•黄石模拟）使分式𝑥2−5𝑥+6𝑥−2的值等于零的x的

值是（）A．1或6B．2或3C．3D．2【分析】根据分式的值为零的条件即可求出答案．【解答】解：由题意可知：𝑥2−5𝑥+6𝑥−2=0，∴{𝑥2−5𝑥+6=0𝑥−2≠0，∴x＝3，故选：C．

【点评】本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．21.分式的基本性质【例题5】（2021•阳西县模拟）如果把分式2𝑦𝑥+𝑦中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．不变B．缩小为原来

的12C．扩大为原来的2倍D．扩大为原来的4倍【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：2⋅2𝑦2𝑥+2𝑦=4𝑦2(𝑥+𝑦)=2𝑦𝑥+𝑦，所以如果把分式2𝑦𝑥+𝑦中的x和y都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变，故选：A．【点评

】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．【例题6】（2021•合肥模拟）若把分式3𝑥𝑦𝑥−𝑦（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则原分式的值是（）A．扩大3倍

B．缩小至原来的13C．不变D．缩小至原来的16【分析】按照分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个数（0除外），分式的值不变，但本题的分子的x和y都扩大3倍，则分子扩大了9倍，而分母按照只扩大了3倍，据此可解．【解答】解：若把分式3

𝑥𝑦𝑥−𝑦（x，y均不为0）中的x和y都扩大3倍，则分子扩大了3×3＝9倍，分母的x和y均扩大3倍，可用提取公因数法将3提到前面，9÷3＝3故原分式的值扩大了3倍．故选：A．【点评】本题考查了分式的基本性质的变式应用，牢固掌握分式的基本性质，是解题的关键．22.分式的运算【例题7】（2

021•福建）已知非零实数x，y满足y=𝑥𝑥+1，则𝑥−𝑦+3𝑥𝑦𝑥𝑦的值等于4．【分析】由y=𝑥𝑥+1得：x﹣y＝xy，整体代入到代数式中求值即可．【解答】解：由y=𝑥𝑥+1得：xy+y＝x，∴x﹣y＝xy，∴原式=𝑥𝑦+3𝑥𝑦𝑥𝑦=4𝑥𝑦𝑥𝑦＝4．故

答案为：4．【点评】本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到x﹣y＝xy，把x﹣y看作整体，代入到代数式求值是解题的关键．【例题8】（2019•大庆二模）已知1𝑎+1𝑏=2，求5𝑎+3𝑎𝑏+5𝑏𝑎−𝑎𝑏+𝑏=13．【分析】由1𝑎+1𝑏=2得a+b＝2

ab，代入原式整理、约分即可得．【解答】解：∵1𝑎+1𝑏=2，∴𝑎+𝑏𝑎𝑏=2，则a+b＝2ab，∴原式=5(𝑎+𝑏)+3𝑎𝑏𝑎+𝑏−𝑎𝑏=10𝑎𝑏+3𝑎𝑏2𝑎𝑏−𝑎𝑏=

13，故答案为：13．【点评】本题主要考查分式的值，解题的关键是掌握整体代入思想的运算和分式加法法则．【例题9】（2019•福州二模）若分式−𝑚+6𝑚−5的值是负整数，则整数m的值是4．【分析】根据分式的加法法则

把原式变形，根据题意计算即可．【解答】解：−𝑚+6𝑚−5=−𝑚+5+1𝑚−5=−(𝑚−5)+1𝑚−5=−1+1𝑚−5，由题意得，m﹣5＝﹣1，解得：m＝4，故答案为：4．【点评】本题考查的是求分式的值，把分式化为整数与分式的和的形式是解题的关键．【例题10

】（2018•思明区校级二模）设a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，则𝑎+𝑏𝑏−𝑎=−√3．【分析】原式利用完全平方公式变形，开方表示出a+b与b﹣a，代入原式计算即可求出值．【解答】解：∵a＞b＞0，a2+b2﹣4ab＝0，∴（a﹣b）2＝2ab，（a+b）2＝6ab，∴a﹣b=

√2𝑎𝑏，a+b=√6𝑎𝑏（负值舍去），则𝑎+𝑏𝑏−𝑎=−√3，故答案为：−√3【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23.分式的化简求值【例题11】（2022•陕西模拟）先化简(𝑚+2−5𝑚−2)÷𝑚−32𝑚

−4，然后选择一个合适的整数作为m的值代入求值．【分析】先将括号内通分，把除化为乘，再分子、分母分解因式约分，再将原式有意义的值代入计算即可．【解答】解：原式=𝑚2−9𝑚−2•2(𝑚−2)𝑚−3=(𝑚+3

)(𝑚−3)𝑚−2•2(𝑚−2)𝑚−3＝2m+6，∵m＝2和m＝3时，原式无意义，∴把m＝0代入，原式＝2×0+6＝6．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式通分、约分，把分式化简．【例

题12】（2022•碑林区校级二模）先化简(3𝑎+1−𝑎+1)÷𝑎2−4𝑎2+2𝑎+1，再从﹣1，2，3中选择一个合适的数代入求值．【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据分式有意义的条件

求出a的值，最后代入原式即可求出答案．【解答】解：原式=3−(𝑎−1)(𝑎+1)𝑎+1÷(𝑎−2)(𝑎+2)(𝑎+1)2=3−𝑎2+1𝑎+1÷(𝑎−2)(𝑎+2)(𝑎+1)2=4−𝑎2�

�+1•(𝑎+1)2(𝑎+2)(𝑎−2)=(2−𝑎)(2+𝑎)𝑎+1•(𝑎+1)2(𝑎+2)(𝑎−2)＝﹣a﹣1，当a＝3时，原式＝﹣3﹣1＝﹣4．【点评】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运

用分式的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型．【例题13】（2022•本溪模拟）先化简，再求值：(1−5𝑎+2)÷(5𝑎+2−𝑎+2)，其中a＝2sin60°﹣3tan45°【分析】根据特殊角锐角三角函数以及分式的运算法

则即可求出答案．【解答】解：当a＝2sin60°﹣3tan45°时，＝2×√32−3=√3−3∴原式=𝑎−3𝑎+2÷9−𝑎2𝑎+2=−1𝑎+3=−1√3=−√33【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．【例题1

4】（2022•南岗区模拟）先化简，再求代数式𝑎−32𝑎−4÷(5𝑎−2−𝑎−2)的值，其中a＝tan60°﹣6sin30°．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出a的值，代入计算即

可求出值．【解答】解：原式=𝑎−32(𝑎−2)÷5−(𝑎−2)(𝑎+2)𝑎−2=−𝑎−32(𝑎−2)•𝑎−2(𝑎+3)(𝑎−3)=−12𝑎+6，当a＝tan60°﹣6sin30°=√3−3时，原式=−12√3−6+6=−√36．【

点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【拓展训练1】（2020•遂宁）下列各数3.1415926，9，1.212212221，17，2−，2020−，34中，无理数的个数有3个．【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数，找

出无理数的个数．【解答】解：在所列实数中，无理数有1.212212221，2−，34这3个，故答案为：3．【点评】本题考查了无理数的知识，解答本题的掌握无理数的三种形式：①开方开不尽得到的无限不循环小数，②无限不循环小数，③含或由构造的无限不循环小数．【拓展训练2

】（2021•南开区三模）如图，数轴上有若干个点，每相邻两点相距1个单位长度．其中点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且212da−=，则bc+的值为3−．【分析】根据各点在数轴上的位置，把b，c，d都用含a的式子表示出来，根据212da

−=求出a的值，再求出bc+的值即可．【解答】解：由图可知：3ba=+，4ca=+，7da=+．272712daaaa−=+−=−=，5a=−，34273bcaaa+=+++=+=−．故3bc+=−．【点评】本题主要考查数轴的知识，把b，c，d

都用含a的式子表示解此题的关键．这里用到了消元的思想．【拓展训练3】（2020•滦州市二模）将数轴按如图所示从某点开始折出一个正ABC，设点A表示数为3x−，点B表示的数是21x+，点C表示的数是7x−−，则x的值等于3−；若将ABC向右滚动，数字2

020对应的点将与ABC的顶点重合．【分析】根据题意和数轴的特点可以求得x的值和数字2020对应的点将与ABC的哪个顶点重合．【解答】解：由题意可得，(21)(3)(7)(21)xxxx+−−=−−−+

，解得3x=−，[2(3)1](33)1AB=−+−−−=，点A表示的数为：6−，点B表示的数为5−，点C表示的数为4−，[2020(6)]36751−−=，数字2020对应的点将与ABC的顶点B重合，故答案为：

3−，B．【点评】本题考查数轴，解答本题的关键是明确数轴的特点，利用数形结合的思想解答．【拓展训练4】（2017•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若2BCAB=，则点C表示的数是7．【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出B

C，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数．【解答】解：点A，B表示的数分别是1，3，312AB=−=，24BCAB==，1247OCOAABBC=++=++=，点C表示的数是7．故答案为7．【点评】本题

考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．)【拓展训练5】（2017•福建模拟）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个

单位长度至点1A，第2次从点1A向右移动6个单位长度至点2A，第3次从点2A向左移动9个单位长度至点3A，，按照这种移动方式进行下去，如果点nA与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．【分析】序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点

在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到13A表示的数为17320−−=−，12A表示的数为16319+=，则可判断点nA与原点的距离不小于20时，n的最小值是13．【解答】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点1A，则1A表示的数，132−=−；第2次从点1A向右移动6个单位长度至点2

A，则2A表示的数为264−+=；第3次从点2A向左移动9个单位长度至点3A，则3A表示的数为495−=−；第4次从点3A向右移动12个单位长度至点4A，则4A表示的数为5127−+=；第5次从点4A向左移动15个单位长度至点

5A，则5A表示的数为7158−=−；；则7A表示的数为8311−−=−，9A表示的数为11314−−=−，11A表示的数为14317−−=−，13A表示的数为17320−−=−，6A表示的数为7310+=，8A表示的数为10313+=，10A表示的数为133

16+=，12A表示的数为16319+=，所以点nA与原点的距离不小于20，那么n的最小值是13．故答案为：13．【点评】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键．【拓展训练6】（2019•包头模拟）若34a+与26b−

互为相反数，则46ba+的值为4．【分析】直接利用相反数的性质得出34260ab++−=，进而得出答案．【解答】解：34a+与26b−互为相反数，34260ab++−=，322ab+=，462(23)4baba+=+=．故答案为：4．【点评】此题主要考查了相反数，正确掌握相反数的定义

是解题关键．【拓展训练7】（2021•湘西州模拟）已知||5a=，||3b=，且||abab+=+，那么ab−=2或8．【分析】已知||5a=，||3b=，根据绝对值的性质先分别解出a，b，然后根据||abba+=+，判断a与b的大小，从而求出ab−．【解答】解：||5a=

，||3b=，5a=，3b=，||abab+=+，0ba+…，①当3b=，5a=时，2ab−=②当3b=−，5a=时，8ab−=故答案为：2或8．【点评】本题考查了绝对值的性质及其应用，解题关键是判断a与b的大小

．【拓展训练8】（2017•浦东新区校级自主招生）已知实数x满足|1||4|7xx++−=．则x的值是2−或5．【分析】分三种情况：1x−；14x−剟；4x；去绝对值后解方程即可求解．【解答】解：1x−时，147xx−−−+=，解得2x=−；14x−剟时，147xx+−+=，方程无

解；4x时，147xx++−=，解得5x=．故答案为：2−或5．【点评】考查了绝对值，注意分类思想的运用，是中档题型．【拓展训练9】（2020•鲤城区校级模拟）某市今年参加中考的学生人数大约49.8910

人，这个近似数精确到百位．【分析】将原数字还原后，看数字9在哪一位即可．【解答】解：49.891098900=，这个近似数精确到百位，故答案为：百．【点评】此题主要考查了近似数，经过四舍五入得到的数称为近似数．【拓展训练10】（2021•肇源县二模）对于三

个互不相等的数a，b，c，我们规定用{Ma，b，}c表示这三个数的平均数，用{meda，b，}c表示这三个数中从小到大排中间的数．例如：{1M−，2，43}3=，{2med，3，1}2−=，则{5,3,0}med−=0，如果{3M，21x+，41}{4xmed−=，3x−+

，6}x，那么x=．【分析】由题目定义可得{5,3,0}0med−=；对{3M，21x+，41}4x−=，{3M，21x+，41}3xx−=−+，{3M，21x+，41}6xx−=分情况讨论计算可得32x=．【解答】解：503−，{5,3,0}0med−=，当3(3)643xx+−++

=时，解得32x=，则333322x−+=−+=，36692x==，3492，32x=满足题意；当3(3)633xxx+−++=−+时，解得23x=，则273333x−+=−+=，26643x=

=，而7443=，23x=不合题意；当3(3)663xxx+−++=时，解得14x=，则1333244x−+=−+=，136642x==，而332424，14x=不合题意，故答案为：0，32．【点评】此题考查了方程与不等式、分类讨论思想解决问题的能力，关键是能分情况计算、

讨论出正确结果．【拓展训练11】（2021•昆明模拟）比较大小关系512+1.5（填“”、“=”或“”)．【分析】先估算出5的范围，再求出512+的范围即可．【解答】解：253，3514+，

351222+，即511.52+，故答案为：．【点评】本题考查了估算无理数的大小和实数的大小比较，能估算出5的范围是解此题的关键．【拓展训练12】（2020•莲湖区模拟）比较两数的大小：154+64．（用“”、“”、“

=”填空）．【分析】直接得出无理数15的取值范围，进而判断两数大小即可．【解答】解：3154，648=，71548+，15464+．故答案为：．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是得出无理数的取值范围．【拓

展训练13】（2020•青白江区模拟）比较大小：512+98（填“”，“”，或“=”)．【分析】先利用算术平方根的性质得出52，再利用不等式的性质得出4(51)129+，两边同时除以8，即可得出结论．【解答】解：52，

513+，4(51)129+，51928+．故答案为：．【点评】本题考查了实数大小的比较，不等式的性质，用到的知识点：两个正数，被开方数较大，相应的算术平方根的值也较大．【拓展训练14】（2020•成都模拟）比较大小：352−38

（填“”“”或“=”)．【分析】先通分得出12458−，再估算出5的范围，最后比较分子大小，即可得出答案．【解答】解：35312453945028888−−−−=−=，35328−，故答案是：．【点评】本题考查了实数的大小比较．注

意两个无理数的比较方法：统一根据二次根式的性质，把根号外的移到根号内，只需比较被开方数的大小．【拓展训练15】（2022•随州模拟）计算：11()123tan30|32|3−−++−=523−．【分析】直接利用负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值、绝对值的性

质分别化简得出答案．【解答】解：原式33233233=−++−323323=−++−523=−．故答案为：523−．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．【拓展训练16】（2021•卧龙区二模）计算：1028()(3.14)2cos452−−−−

−=1−．【分析】先化简二次根式，负整数指数幂，零指数幂，代入特殊角三角函数值，然后再计算．【解答】解：原式2222122=−−−22212=−−−1=−，故答案为：1−．【点评】本题考查二次根式的运算，理解二次根式的性质，01(0)aa=，1(0)ppaaa

−=，熟记特殊角三角函数值是解题关键．【拓展训练17】（2021•娄星区模拟）定义：形如abi+的数称为复数（其中a和b为实数，i为虚数单位，规定21)i=−，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数，例如：22

22(13)1213(3)169169(1)16986iiiiiiii+=++=++=++−=+−=−+，因此，2(13)i+的实部是8−，虚部是6．已知复数2(3)mi−的虚部是6，则它的实部是(m为实数）8．【分析】先利用完全平方公式得出222(3)96mimimi−=−+，再根据

新定义得出复数2(3)mi−的实部是29m−，虚部是6m−，由2(3)mi−的虚部是6得出1m=−，代入29m−计算即可．【解答】解：22222222(3)323()969696mimimimimimimimmi−=−+=−+=+−=−−，复数2(3)mi−的实部是29m−，虚部是6

m−，66m−=，1m=−，2299(1)918m−=−−=−=．故答案为：8．【点评】本题考查了新定义，完全平方公式，理解新定义是解题的关键．【拓展训练18】（2021•前郭县校级模拟）小淇将2(20212022)x+展开后得到2111axbxc++，小尧将2(2

0222021)x−展开后得到2222axbxc++，若两人计算过程无误，则12cc−的值为()A．2021B．2022C．4043D．1【分析】根据完全平方公式展开求出1c，2c，根据平方差公式求值即可．【解答】解：2(20212022)x+展开后得到211

1axbxc++，212022c=，2(20222021)x−展开后得到2222axbxc++，222021c=，12cc−2220222021=−(20222021)(20222021)=+−40431=4043=．故选：C．【点评】本题考查了完全平方公式，平方差公式，

掌握222()2abaabb=+，22()()ababab+−=−是解题的关键．【拓展训练19】（2021•鸡泽县模拟）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数宁家杨辉（约13世纪）所

著的《详解九章算术》一书中，用下图的三角形解释二项和()nab+的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”．0()ab+①1()ab+①①2()ab+①②①3()ab+①③③①4()ab+①④⑥④①5()ab+①⑤⑩⑩⑤①根据“杨辉三角”请计算20(

)ab+的展开式中第三项的系数为()A．2017B．2016C．191D．190【分析】根据图形中的规律即可求出20()ab+的展开式中第三项的系数．【解答】解：找规律发现3()ab+的第三项系数为312=+；4()

ab+的第三项系数为6123=++；5()ab+的第三项系数为101234=+++；不难发现()nab+的第三项系数为123(2)(1)nn++++−+−，20()ab+第三项系数为12319190++++=，故选：D．【点评】此题考查了通

过观察、分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题的能力．【拓展训练20】（2021•福建）下列运算正确的是()A．22aa−=B．22(1)1aa−=−C．632aaa=D．326(2)4aa=【分析

】分别根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂的除法法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．【解答】解：.2Aaaa−=，故本选项不合题意；B．22(1)21aaa−=−+，故本选项不合题意；C．633aaa=，故本选项不合题意；D．326(2)4aa

=，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，完全平方公式，同底数幂的乘法以及幂的乘方，掌握相关公式与运算法则是解答本题的关键．【拓展训练21】（2021•包河区一模）已知a，b为实数，

且满足0ab，20ab+−=，当ab−为整数时，ab的值为()A．34或12B．14或1C．34或1D．14或34【分析】根据完全平方公式求解即可．【解答】解：由20ab+−=得2ab+=，222()24abaabb+=++=，设222()2abaabbt−=−

+=，则44abt=−，404tab−=，44abt−，又ab−为整数，0t=，1，2，3，当0t=时，1ab=，0ab−=，满足题意；当1t=时，34ab=，1ab−=，满足题意；当2t=时，1

2ab=，2ab−=，不满足题意；当3t=时，3ab−=，不满足题意；ab的值为1或34．故选：C．【点评】本题主要考查了完全平方公式，熟记公式的结构特征是解答本题的关键．【拓展训练22】（2021•洛阳二模）公元9世纪，阿拉伯数学家花

拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解的方法：先构造边长为x正方形ABCD，再分别以BC，CD为边作另一边长为5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方形，如图所示，花拉子米寻找的是下列哪个一元二次方程()的解

．A．21025xx+=B．21064xx+=C．21039xx+=D．21099xx+=【分析】根据正方形的面积得出方程，再整理即可．【解答】解：四边形AIFH是面积为64的正方形，2(5)64x+=，整理得：21039xx+=，故选：C．【点评】本题考查了解一元

二次方程和列方程，能根据题意列出方程是解此题的关键．【拓展训练23】（2022•陕西模拟）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是4CH，乙烷的化学式是26CH，丙烷的化学

式是38CH，设碳原子的数目为(nn为正整数），则它们的化学式都可用式子22nnCH+来表示．【分析】设碳原子的数目为(nn为正整数）时，氢原子的数目为na，列出部分na的值，根据数值的变化找出变化规律“22nan=+”，依此规律即可解决问题．【解答】解：设碳原子的数

目为(nn为正整数）时，氢原子的数目为na，观察，发现规律：14212a==+，26222a==+，38232a==+，，22nan=+．碳原子的数目为(nn为正整数）时，它的化学式为22nnCH+．故答案为：22nn

CH+．【点评】本题考查了列代数式，规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“22nan=+”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据碳原子的变化找出氢原子的变化规律是关键．【拓展训练24】（2021•厦门模拟）用《九章算术》中记载的“更相减损术”求

168和72的最大公约数，运算步骤如下：第一步：1687296−=；第二步：967224−=；第三步：722448−=；第四步：482424−=．如果继续操作，可得24240−=，因此，经过上述四步运算，求

得的结果24是168和72的最大公约数．若两个正整数经过“更相减损术”的三步运算，所求得的最大公约数为a，且这两个数中的一个大于另一个的2倍，则这两个正整数分别为4a，a或5a，2a．（用含a的代数式表示）【分析】令较大的数为x，较小的数为y，则2

xy，然后分三步进行解答即可得到答案．【解答】解：令较大的数为x，较小的数为y，则2xy，xyy−，第一步，xyxy−=−，此时剩xy−和y；第二步，()2xyyxy−−=−，此时剩2xy−和y；第三步：①当2xyy−时

，2xyya−−=，此时ya=，解得，4xa=，ya=，②当2xyy−时，(2)yxya−−=，此时2xya−=，即32yxaxya−=−=，解得，5xa=，2ya=，综上得，这两个正整数分别为4a，a或5a，2a．故答案为：4a，a或5

a，2a．【点评】此题考查的是列代数式，掌握其数量关系是解决此题关键．【拓展训练25】（2021•广东模拟）当2021x=−时，代数式7533axbxcx+++的值为7，其中a、b、c为常数，当2021x=时，这个代数式的值是1−．【分析】由当2021x=−时，代数式7533axbxcx+++的

值为7，可求出关于a、b、c的多项式的值，将2021x=代入代数式，再整体代入．【解答】解：当2021x=−时，代数式7533axbxcx+++的值为7，75337axbxcx+++=，即：753(2021)(2021)(2021)4abc−+−+−=，7532021

202120214abc−−−=，7532021202120214abc++=−，当2021x=时，75375332021202120213431axbxcxabc+++=+++=−+=−．故答案为：1−．【点评】本题主要考查代数式求值，关键在于通过解方程求出753202120

2120214abc++=−．【拓展训练26】（2021•吉安模拟）我国宋朝数学家杨辉在公元1261年的著作《详解九章算术》中提到如图所示的“杨辉三角”，由图中第四行可得公式：33223()33abaab

abb+=+++．若3ab+=，1ab=，运用该公式，计算33ab+的值为18．【分析】根据题意可得333()3()abababab+=+−+，再将3ab+=，1ab=整体代入即可求解．【解答】解：3ab+=，1ab=，33ab+322()33ababab=+−−3

()3()ababab=+−+，2733=−279=−18=．故答案为：18．【点评】考查了数学常识，“杨辉三角”，关键是由题意得到333()3()abababab+=+−+，注意整体思想的应用．【拓展训练27】（2018•武汉模拟）我市某个商场出售A、B两种商品并开展优

惠促销活动，其中A商品标价90元、B商品标价100元．活动方式如下两种：活动一：A商品每件7折；B商品每件八五折；活动二：所购商品累计少于100件没有优惠，达到或超过100件全部八折．（1）某客户购买A商品30件，B商品100件，选择哪种活动便宜？能便宜多少钱

？（2）某客户购买B商品的件数比A商品件数的2倍多4件，若购A商品x件(x为正整数）．①B商品购进了24x+件（用含x的代数式表示）②问：该客户如何选择才能获最大优惠？请说明理由．【分析】（1）根据题意列式计算即可解答；（2）①根据题意列出

代数式；②根据①的结论，令24100xx++=．解得：32x=，再分类讨论即可．【解答】解：（1）活动一：300.7901000.810010390+=（元)；活动二：(3090100100)0.810160+

=（元)．选择活动二更便宜，能便宜230元．（2）①根据题意得，24x+；故答案为：24x+；②由题意令24100xx++=．解得：32x=．Ⅰ．当总件不足100，即32x时，只能选择方案一的优惠方式：Ⅱ．当总件数达到或超过100，即32x…

时，活动一需付款：900.71000.85(24)(233340)xxx++=+元活动二需付款：900.81000.85(24)(232340)xxx++=+元233340232340xx++选方案二优惠更大．【

点评】此题主要考查了列代数式，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出代数式，再求解．【拓展训练28】（2020•北碚区模拟）阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J．Napier，1550年1617

−年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler，1707年1783−年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若(0,1)xaNaa=，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN=．比如指数式4216=

可以转化为24log16=，对数式52log25=可以转化为2525=．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log()loglog(0aaMNMNa=+，1a，0M，0)N．理由如下：设logaMm=，logaNn=，所以mMa=，nNa=，所以mnmnMNaaa+==，由对数的定义得

log()amnMN+=+，又因为loglogaamnMN+=+，所以log()loglogaaaMNMN=+．解决以下问题：（1）将指数35125=转化为对数式：53log125=．（2）仿照上面的材料，试证明：logloglog(0aaaMMNaN=−，1a，

0M，0)N．（3）拓展运用：计算333log2log18log4+−=．【分析】（1）根据题意可以把指数式4381=写成对数式；（2）先设logaMm=，logaNn=，根据对数的定义可表示为指数式为：mMa=，nNa=，计算

MN的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；（3）根据公式：log()loglogaaaMNMN=+和logloglogaaaMMNN=−的逆用，将所求式子表示为：3log(2184)，计算可得结论．【解答】解：（1）将指数35125=转化为对数式：53log12

5=．故答案为：53log125=；（2）证明：设logaMx=，logaNy=，xMa=，yNa=，xxyyMaaNa−==，由对数的定义得logaMxyN=−，又loglogaaxyMN−=−，logloglog(0,1,0,0)aaaMMNaaMNN=−；（

3）33333log2log18log4log(2184)log92+−===．故答案为：2．【点评】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系．【拓展训练29】（2017•南平模拟）

有A、B、C三种不同型号的卡片，每种卡片各有7张，其中A型卡片是边长为2的正方形，B型卡片是长为2、宽为1的矩形，C型卡片是边长为1的正方形，从其中取出若干张卡片，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不能有重合部

分），可以拼成5种面积不同的正方形．【分析】应该有五种，最大是七张都取，面积为49，最小是各取一张，面积为7，7到49之间完全平方数有9、16、25、36、49；【解答】解：A型卡片的面积为22，B型卡片的面积为2×1，C型卡片的面积为12．应该有五种，最大是七张

都取，面积为49，最小是各取一张，面积为7，7到49之间完全平方数有9、16、25、36、49故答案为5．【点评】此题考查了作图﹣应用与设计作图，涉及到整式的混合运算，对几何图形的整体分析，对完全平方公式的灵活应用，本题难度适中

．【拓展训练30】（2018•长春二模）如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形，然后把剩下部分沿图中虚线剪开后拼成如图②所示的梯形、通过计算图①、图②中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式为a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．【分析】分别计算这两个图形阴

影部分面积，根据面积相等即可得到．【解答】解：第一个图形的阴影部分的面积＝a2﹣b2；第二个图形是梯形，其面积是：12（2a+2b）•（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）．则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故答案为：a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b）．【点评】本题考查了平方差

公式的几何背景，正确表示出两个图形中阴影部分的面积是关键．【拓展训练31】（2021•东港区校级二模）对于多项式x3+8x2+4x﹣48，有一种分解方法，如果我们把x＝2代入多项式，发现多项式x3+8x2+4x﹣48＝0，这时可以断定多项式中有因式x﹣2（注：把x＝a代入多项式能使多

项式的值为0，则多项式含有因式x﹣a），于是我们可以把多项式写成：x3+8x2+4x﹣48＝（x﹣2）（x2+mx+n）．可求得m＝10，n＝24，这种因式分解的方法叫做试根法，请用试根法将多项式x3﹣6x2+3x+10因式分解的结果为（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．【分析】当x＝2时，

代数式的值为0，则多项式含有因式（x﹣2），于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），展开对照，求出m，n的值，用十字相乘法分解因式即可．【解答】解：把x＝2代入多项式，x3﹣6x2+3x+10＝23﹣6×22+3×2+10＝8﹣6×4+6+10＝8﹣24+6+10＝

0，于是x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2+mx+n），∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n，∴x3﹣6x2+3x+10＝x3+（m﹣2）x2+（n﹣2m）x﹣2

n，∴m﹣2＝﹣6，n﹣2m＝3，﹣2n＝10，∴m＝﹣4，n＝﹣5，∴x3﹣6x2+3x+10＝（x﹣2）（x2﹣4x﹣5）＝（x﹣2）（x﹣5）（x+1），故答案为：（x﹣2）（x﹣5）（x+1）．【点评】本题考查了有理数的混合运算，多项式乘多项式，十字相乘法，掌握x2+（p+

q）x+pq＝（x+p）（x+q）是解题的关键．【拓展训练32】（2022•安徽一模）因式分解：x（x﹣y）+y（y﹣x）＝（x﹣y）2．【分析】直接提取公因式（x﹣y）分解因式，即可得出答案．【解答】解：x（x

﹣y）+y（y﹣x）＝x（x﹣y）﹣y（x﹣y）＝（x﹣y）（x﹣y）＝（x﹣y）2．故答案为：（x﹣y）2．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【拓展训练33】（2022•雁塔区校级

二模）因式分解：x4﹣16y4＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．【分析】利用平方差公式分解即可求得答案，注意因式分解要彻底．【解答】解：x4﹣16y4＝（x2+4y2）（x2﹣4y2）＝（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．故答案为：（x2+4y2）（x+2y）（x﹣2y）．【点评

】此题考查了平方差公式分解因式．此题比较简单，注意因式分解要彻底．【拓展训练34】（2021秋•广饶县期中）分解因式：（x2+y2）2﹣4x2y2＝（x﹣y）2（x+y）2．【分析】首先利用平方差公式进行因式分解，再利用完全平方公式进行二次分解即可．【解答】解：原式＝

（x2+y2﹣2xy）（x2+y2+2xy）＝（x﹣y）2（x+y）2．故答案为：（x﹣y）2（x+y）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是熟练掌握平方差公式与完全平方公式，注意分解要彻底．【拓展训

练35】（2019•石家庄二模）已知y2+my+121＝（y+n）2，则n＝±11．【分析】直接利用完全平方公式计算得出答案．【解答】解：∵y2+my+121＝（y+n）2＝y2+2ny+n2，∴n2＝121，解得：n＝±11．故答案为

：±11．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．【拓展训练36】（2022•建湖县一模）将x3﹣4x2y+4xy2因式分解为x（x﹣2y）2．【分析】先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解

即可解答．【解答】解：x3﹣4x2y+4xy2＝x（x2﹣4xy+4y2）＝x（x﹣2y）2，故答案为：x（x﹣2y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．【拓展训练37】（2022•合肥模拟）因式

分解：﹣3m2n+6mn2﹣3n3＝﹣3n（m﹣n）2．【分析】原式提取公因式﹣3n，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：﹣3m2n+6mn2﹣3n3＝﹣3n（m2﹣2mn+n2）＝﹣3n（m﹣n）2．故答案是：﹣3n（m﹣n）2．【点

评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．【拓展训练38】（2022•南岗区模拟）因式分解：4ax2+16axy+16ay2＝4a（x+2y）2．【分析】原式提取公因式，再利用

完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝4a（x2+4xy+4y2）＝4a（x+2y）2，故答案为：4a（x+2y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【拓展训练39】（2021•南岗区校级二模）把多项式x3﹣2

x2y+xy2分解因式的结果是x(x﹣y)2．【分析】直接提取公因x，再利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2＝x(x2﹣2xy+y2)＝x(x﹣y)2．故答案为：x(x﹣y)2．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式分

解因式是解题关键．【拓展训练40】（2021•长丰县模拟）分解因式：x2﹣10x2y+25x2y2＝x2（1﹣5y）2．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：x2﹣10x2y+25x2y2＝x2（1﹣10y+25

y2）＝x2（1﹣5y）2．故答案为：x2（1﹣5y）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．

【拓展训练41】（2021•费县二模）在数的学习过程中，我们总会对其中一些具有某种特性的数充满好奇，如学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数﹣﹣“好数”．定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与十位

数字之和恰好能被个位数字整除，则称这个自然数n为“好数”．例如：426是“好数”，因为4，2，6都不为0，且4+2＝6，6能被6整除；643不是“好数”，因为6+4＝10，10不能被3整除．问百位数字比十位数字大5的所有“

好数”有7个．【分析】设十位数数字为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），得出百位数字和十位数字的和为2a+5，再分别取a＝1，2，3，4，计算判断即可得出结论．【解答】解：611，617，721，723，729，831，941共7个，理由：设十位数数字

为a，则百位数字为a+5（0＜a≤4的整数），∴a+a+5＝2a+5，当a＝1时，2a+5＝7，∴7能被1，7整除，∴满足条件的三位数有611，617，当a＝2时，2a+5＝9，∴9能被1，3，9整除，∴

满足条件的三位数有721，723，729，当a＝3时，2a+5＝11，∴11能被1整除，∴满足条件的三位数有831，当a＝4时，2a+5＝13，∴13能被1整除，∴满足条件的三位数有941，即满足条件的三位自然数为611，617，721，723，729，831，941共7个．故答

案为：7．【点评】此题主要考查了数的整除问题，新定义，理解并灵活运用新定义是解本题的关键．【拓展训练42】（2019•曲靖二模）在实数范围内因式分解：2x3+8x2+8x＝2x（x+2）2【分析】原式提取公因式，再利用完全

平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2x（x2+4x+4）＝2x（x+2）2，故答案为：2x（x+2）2【点评】此题考查了实数范围内分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【拓展训练43】（2019•锡山区校级二模）在实数范围内分解因式：2x2

﹣32＝2（x+4）（x﹣4）．【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝2（x2﹣16）＝2（x+4）（x﹣4），故答案为：2（x+4）（x﹣4）【点评】此题考查了实数范围内分解因式，

熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．【拓展训练44】（2019•芜湖三模）观察以下等式：第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…按照以上

规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；（3）请利用上述规律，确定22

019+22018+…+2+1的个位数字是多少？【分析】（1）仿照阅读材料中的等式写出第4个等式即可；（2）归纳总结得到一般性规律，写出即可；（3）利用得出的规律化简，计算即可求出值．【解答】解：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝x5﹣1；（2）（x﹣1）（xn+

xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；（3）原式＝（2﹣1）（22019+22018+…+2+1）＝22020﹣1，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，∴2的个位数2，4，8，6循环，∵2020＝505×4，∴22020

的个位数为6，则原式的个位数为5．故答案为：（1）x5﹣1；（2）xn+1﹣1【点评】此题考查了平方差公式，尾数特征，规律型：数字的变化类，以及多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【拓展训练45】（2021•平顶山模拟）先化简，再求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣3

）2+x（x﹣6），其中x=√2+2．【分析】先根据完全平方公式，平方差公式和单项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x﹣3）2+x（x﹣6）＝4x2﹣9﹣x2+6x﹣9+x2﹣6x＝4x2﹣18

，当x=√2+2时，原式＝4×（√2+2）2﹣18＝4×（2+4√2+4）﹣18＝8+16√2+16﹣18＝16√2+6．【点评】本题考查了整式的混合运算与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．【拓展训练46】（2021•吉安县模拟）若a＝2

021，b＝2020，c＝2019，求a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值．【分析】利用完全平方公式对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac进行分解，代入求值即可．【解答】解：∵a＝2021，b＝2020，c＝2019，∴a2+b2+c2﹣

ab﹣bc﹣ac=12（a2﹣2ab+b2）+12（a2﹣2ac+c2）+12（b2﹣2bc+c2）=12（a﹣b）2+12（a﹣c）2+12（b﹣c）2=12×（2021﹣2020）2+12×（2021﹣2019）

2+12×（2020﹣2019）2=12+12×4+12＝3．【点评】本题以代数式求值为背景考查了用完全平方公式因式分解，关键是能够用完全平方公式分解化简．【拓展训练47】（2021•江油市模拟）要使式子11−1𝑥有意义，则x取值

范围x≠0且x≠1．【分析】根据分式有意义可得x≠0，根据二次根式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可．【解答】解：要使式子11−1𝑥有意义，则x≠0且x﹣1≠0，所以x≠0且x≠1．故答案为：x≠0且x≠1．【点评】此题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握

分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．【拓展训练48】（2022•信阳一模）当分式𝑥2−92𝑥−6=0时，x的值为﹣3．【分析】依据分式的值为零的条件进行计算即可．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等

于零．【解答】解：当分式𝑥2−92𝑥−6=0时，{𝑥2−9=02𝑥−6≠0，解得{𝑥=±3𝑥≠3，∴x＝﹣3，即x的值为﹣3，故答案为：﹣3．【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件的运用，解题时注意：“分母不为零”这个条件不能少．获得更

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