【文档说明】北京市海淀区北京交大附中2024届高三下学期3月开学诊断练习数学试题 Word版含解析.docx，共(27)页，2.131 MB，由小赞的店铺上传

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北京交大附中2023—2024学年度第二学期3月开学诊断练习高三数学命题人：马晓伟、李剑审题人：李运秋本试卷共4页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合51Axx=−，29Bxx=，则AB=（）A.)3,1−B.3,1−C.(5,3−D.3,3−【答案】C【解析】【分析】解2

9x得出集合B，然后根据并集的运算，即可得出答案.【详解】解29x可得，33x−≤≤，所以3|3Bxx=−.所以，51|3353ABxxxxxx=−−=−.故选：C.2.已知复数z满足(1)|13|zii+=−+，则复数z的共轭复数为（）A.1i−

+B.1i−−C.1+𝑖D.1−𝑖【答案】C【解析】【分析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得.【详解】由22(1)|13|(1)(3)2zii+=−+=−+=，得z=2(1)1(1)(1)21iiiii==+−+−−，∴1zi=+.故选：C.【点睛】

本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富.3.在数列na中，732,1aa==，若1na为等差数列，则5a=（）A.43B.32C.23D.34【答案】A【解析】【分析】利用

等差中项求解即可．【详解】解：由1na为等差数列得53721113122aaa=+=+=，解得543a=.故选：A4.已知抛物线C：28yx=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C得一个交点，

若4FPFQ=，则||QF=（）A.72B.3C.52D.2【答案】B【解析】【分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得3QFMQ==，从而可得正确的选项.【详解】设准线与x轴的交点为H，则4FH=，如图

所示，因为4FPFQ=，故34PQPF=，过点Q作QMl⊥，垂足为M，则//QMx轴，所以344MQPQPF==，所以3MQ=，由抛物线定义知，3QFMQ==，故选：B．5.过点()0,2−与圆22410xyx+−−=相切的两条直线的夹角为，则sin=（）A.1

B.154C.104D.64【答案】B【解析】【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得2810kk++=，利用韦达定理结合夹角公式运算求解.【

详解】方法一：因为22410xyx+−−=，即()2225xy−+=，可得圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，因为()222222PC=+−=，则223PAPCr=−=，可得51036sin,cos442222APCAPC===

=，则10615sinsin22sincos2444APBAPCAPCAPC====，22226101coscos2cossin0444APBAPCAPCAPC==−=−=−，即APB

为钝角，所以()15sinsinπsin4APBAPB=−==；法二：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，过点()0,2P−作圆C的切线，切点为,AB，连接AB，可得()222222PC=+−=，则223PAPBPCr==−=，因为22222cos2c

osPAPBPAPBAPBCACBCACBACB+−=+−且πACBAPB=−，则()336cos5510cosπAPBAPB+−=+−−，即3cos55cosAPBAPB−=+，解得1cos04

APB=−，即APB为钝角，则()1coscosπcos4APBAPB=−=−=，且为锐角，所以215sin1cos4=−=；方法三：圆22410xyx+−−=的圆心()2,0C，半径5r=，若切线斜率不存在，则切线方程为𝑥=0，则圆心到切点的距离2dr

=，不合题意；若切线斜率存在，设切线方程为2ykx=−，即20kxy−−=，则22251kk−=+，整理得2810kk++=，且644600=−=设两切线斜率分别为12,kk，则12128,1kkkk+=−=，可得()21212124215kkkkkk

−=+−=，所以1212tan151kkkk−==+，即sin15cos=，可得sincos15=，则2222sinsincossin115+=+=，且()0,π，则sin0，解得15sin4=.故选：B.6.如图，在平面四边形ABCD中，,,120,1,ABB

CADCDBADABAD⊥⊥===若点E为边CD上的动点，则AEBE的最小值为A.2116B.32C.2516D.3【答案】A【解析】【详解】分析：由题意可得ABD△为等腰三角形，BCD△为等边三角形，把

数量积AEBE分拆，设(01)DEtDCt=，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。详解：连接BD,取AD中点为O,可知ABD△为等腰三角形，而,ABBCADCD⊥⊥，所以BCD△为等边三角形，3BD=。设(01)DEtDCt=AEBE22

3()()()2ADDEBDDEADBDDEADBDDEBDDEDE=++=+++=++=233322tt−+(01)t所以当14t=时，上式取最小值2116，选A.点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把

其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。7.已知()1,0A，点B在曲线:G()ln1yx=+上，若线段AB与曲线:M1yx=相交且交点恰为线段AB的中点，则称B为曲线G关于曲线M的一个关联点．记曲线G关于曲线M的关联点的个数为a，则（）A.0

a=B.1a=C.2a=D.2a【答案】B【解析】【分析】根据题意，将问题转化为()004lg11xx+=+的解的个数，再构造函数()4lgfxxx=−，利用函数()fx的单调性与零点存在定理判断函数()fx的零点个数，从而得解.【详解】设点B的坐

标为()()00,lg1xx+，则线段AB的中点为()00lg11,22xxE++，由题意可知，点E在曲线1:Myx=上，所以()00lg1221xx+=+，即()004lg11xx+=+，构造函数()

4lgfxxx=−，其中0x，由于函数lgyx=与函数4yx=−在(0,+∞)上为增函数，所以函数()4lgfxxx=−在(0,+∞)上为增函数，因为()140f=−，()210105f=−，所以函数()4lgfxxx=−存在唯一零点，即()004l

g11xx+=+只有一个解，所以曲线G关于曲线M的关联点的个数为1a=.故选：B.8.“ABCV为锐角三角形”是“sinsinsincoscoscosABCABC++++”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【

分析】根据诱导公式可证充分性，再根据特例可判断必要性不成立，故可得正确的选项.【详解】充分性：若ABCV为锐角三角形，因为022BA−，所以sinsincos2ABB−=，同理可得sincosBC，sincosCA，故sinsin

sincoscoscosABCABC++++．必要性：当π2A=，π4BC==时，不等式成立，而此时ABCV并不是锐角三角形．故选：A9.已知函数()()sin2cos0,0fxAxxA=+的对称轴方程为()ππZ62kxk=+，且函数()()gxfxa=−在()*0,

πNnn内恰有2023个零点，则满足条件的有序实数对(),an（）A.只有2对B.只有3对C.只有4对D.有无数对【答案】B【解析】【分析】根据题意求得函数()π4sin26fxx=+，把函数()()gxfxa=−的零点个数转化为

方程()fxa=实根的个数，结合方程()fxa=在0,π内实根的个数，分类讨论，即可求解.【详解】由函数()()2sin2cos4sinfxAxxAx=+=++，因为函数()fx图象的对称轴方程为()ππZ62kxk=+，当0k=时，可得1π6x=，当1k=时，可

得22π3x=，即两个相邻的最高点与最低点间的距离为21π2xx−=，即1π22T=，则πT=，可得2=，因为()fx的图象关于直线π6x=对称，所以()π03ff=，即2π2π2sin2cos33A=+，解得23A=，则()π23sin22cos24si

n26fxxxx=+=+，所以函数()()gxfxa=−的零点个数等价于方程()fxa=实根的个数，先研究方程()fxa=在0,π内实根的个数，当4a=或4a=−时，方程()fxa=在0,π内实根的个数为1；当(

)()4,22,4a−时，方程()fxa=在0,π内实根个数为2；当2a=时，方程()fxa=在0,π内实根的个数为3，其中在(0,π内实根的个数为2，因为()fx是周期为π的函数，所以当()4,4a−时，在(((π,2π,2π,3

π,3π,4π,，(2022π,2023π内方程()fxa=实根的个数均为2，因为()()gxfxa=−在()*0,πNnn内恰有2023个零点，且2023为奇数，所以()()4,22,4a−，不合题意.当4a=时，2023n=；当2a=时，1011

n=；故满足条件的有序实数对(),an只有3对.故选：B.10已知1234,,,aaaa成等比数列，且1234123ln()aaaaaaa+++=++．若11a，则A.1324,aaaaB.1324,aaaaC.1324,aaaaD.1324,aaaa【答案

】B【解析】【分析】先证不等式ln1xx+，再确定公比的取值范围，进而作出判断.【详解】令()ln1,fxxx=−−则1()1fxx=−，，令()0,fx=得1x=，所以当1x时，()0fx，当的

.01x时，()0fx，因此()(1)0,ln1fxfxx=+，若公比0q，则1234123123ln()aaaaaaaaaa+++++++，不合题意；若公比1q−，则212341(1)(1)0,aaaaaqq+++=++但212311ln()ln[(1)]ln

0aaaaqqa++=++，即12341230ln()aaaaaaa+++++，不合题意；因此210,(0,1)qq−，22113224,0aaqaaaqa==，选B.【点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方

法.如ln1,xx+2e1,e1(0).xxxxx++第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.621xx−展开式的常数项为______.【答案】15【解析】【分析】利用二项式的

展开式通项公式求解.【详解】展开式的通项公式为66316621C(1)CkkkkkkkTxxx−−+=−=−，令630k−=，解得2k=，所以常数项为236C15T==，故答案为：15.12.已知双曲线221xym+=的渐近线方程为3yx=，则m=________

__.【答案】13−【解析】【分析】根据双曲线的方程结合渐近线方程分析求解，注意焦点所在位置.【详解】因为221xym+=表示双曲线，可知0m，且焦点在y轴上，则1,abm==−，又因为渐近线方程为3yx=，则13=−m，解得13m=−.故答案为：13−.13

.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，且圆柱的体积与内切球的体积之比及圆柱的表面积与内切球的表面积之比均为3:2．若圆柱的体积为16，则该球的内接正方体的体积为__________．【答案】64

39【解析】【分析】根据两图形的关系可得圆柱的底面半径与球的半径相等，再根据正方体是球内接正方体即得正方体的棱长，进而可得体积.【详解】设圆柱的内切球的半径为R，因为圆柱的体积为16，所以2216RR=，解得2R=，设该球的内接正方体的棱长为a，则()22222aaaR++=，即433a

=，所以该球的内接正方体的体积为334333649a==．故答案为：643914已知函数()221xxmfx+=+.①当0m=时，()fx的值域为______；.②若对于任意,,abcR，()fa，()fb，()fc的值总可作为

某一个三角形的三边长，则实数m的取值范围是______.【答案】①.()0,1；②.122m.【解析】【分析】①当0m=时，先利用分离常数法整理函数，再利用20x逐步计算101112x−+，即得值域；②先分析知()fa+()fb()fc

恒成立，再利用定义法讨论函数单调性，并结合单调性求得值域，根据恒成立关系列关于参数的不等关系，解得参数范围即可.【详解】①当0m=时，函数()2211212112xxxxxmfx+===−+++，定义域为R，由20x知，121x

+，则10112x+，即11012x−−+，故101112x−+，()fx的值域为()0,1；②依题意，作为某一个三角形的三边长，()fa+()fb()fc恒成立，函数()221111212112

xxxxxmmmfx+++−−===++++，定义域为R，任取1212,,xxRxx，则()()121211111212xxmmfxfx−−−=+−+++()121111212xxm=−−++()()()2112221

1212xxxxm−=−++，由12xx可知12022xx，即21220xx−，故()()21122201212xxxx−++，当10m−，即1m时，()()120fxfx−，即()()12fxfx

，()fx在R上单调递减，又10112x+，则10112xmm−−+，11112xmm−++，即()fx的值域为()1,m，故()()1,1affb，则()()2fafb+，又()fcm，要使()fa+()fb()fc恒成立，则需2m，故m的取值范围是12

m；当10m−=，即1m=时，()1fx=，()fa+()112fb=+=，()1fc=，显然()fa+()fb()fc恒成立，故1m=符合题意；当10m−，即1m时，()()120fxfx−，即()()1

2fxfx，()fx在R上单调递增，又10112x+，则11012xmm−−+，11112xmm−++，即()fx的值域为(),1m，故()()2fafbm+，()1fc，要使()fa+()fb()fc恒成立，则21m，即12m，故m的取值范围是112m；综上所述：m

的取值范围是122m.故答案为：()0,1；122m.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于讨论函数的单调性来确定值域，才能将()fa+()fb()fc恒成立的问题转化到取值范围上，以突破难点.15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为线

段1BDAD,上的动点，给出下列四个结论：①当M为线段BD的中点时，,MN两点之间距离的最小值为2；②当N为线段1AD的中点时，三棱锥11NMBD−的体积为定值；③存在点M，N，使得MN⊥平面1ABC；④当M为靠近点B的三等分点时，平面1DAM截该正方体所得截面的周长为25222++.其中所有正确

结论的序号是___________.【答案】②③【解析】【分析】对于①，根据垂线段最短，结合等边三角形图形特点进行计算即可；对于②，根据三棱锥体积公式进行判断即可；对于③，根据线面垂直的判定定理得到1BD⊥平面1ABC，进而判断

即可；对于④，根据正方体图形特点找到截面，进而求解周长即可.【详解】对于①，当M为线段BD的中点时，连接1,ACCD，如图所示，则M为线段AC的中点，1ACD△是边长为22的正三角形，,MN两点之间距离的最小值为M到1AD的垂线段长度，此时1

136sin60222222MNAC===，故①错误；对于②，当N为线段1AD的中点时，连接1111,,MDBDMB，如图所示，显然，N到平面11DDBB的距离为定值，11MBD面积为定值，结合三棱锥体积公式可知，三棱锥11NMBD

−的体积为定值，故②正确；对于③，当N与1D重合，M与B重合时，如图所示，由正方体1111ABCDABCD−可知1DD⊥平面ABCD，ACBD⊥，因AC平面ABCD，所以1DDAC⊥，又因为1,BDDD平面1BDD，1BDDDD=，所以AC⊥平面1BDD，为因为1BD平面1BD

D，所以1ACBD⊥，同理，11BCBD⊥，又因为1,ACBC平面1ABC，1ACBCC=，所以1BD⊥平面1ABC，即MN⊥平面1ABC，所以存在点M，N，使得MN⊥平面1ABC，故③正确；对于④，当M为靠近点B的三等分点时，延长AM交BC

于点P，取1CC中点Q，连接11,,PQBCDQ，如图所示，由1111//,ABCDABCD=得四边形11ABCD是平行四边形，所以1111//,ADBCADBC=，由ADMPBM△∽△可知12BPBMADDM==，即1122

BPADBC==，所以P是BC中点，又因为Q是1CC中点，所以1122PQBC==,11////PQBCAD，所以平面1DAM截该正方体所得截面为等腰梯形1APQD，在直角ABP中，2222215APABBP=+=+=，同理15DQ=，所以截面的周长为1

1225252532ADDQPQAP+++=+++=+,即当M为靠近点B的三等分点时，平面1DAM截该正方体所得截面的周长为2532+，故④错误.故答案为：②③【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几

何问题的常见方法有：（1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解；（2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解；（3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解.三、解答题共6小题，共85分．解答写出文字说明、演算步骤或证明过

程．16.在ABCV中，已知sin3sin,30BCA==，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）c的值；（2）ABCV的面积．条件①：23=ab；条件②：sin6aB=．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.【解析】【分析】选择条件①，结合正弦定理求得3bc

=，2ac=，再由余弦定理可得出2c=，进而可求面积．选择条件②，由正弦定理可得12b=，进而可得43c=，进而可求面积．【详解】选择条件①23=ab，（1）由正弦定理可得3bc=，23223abaabc===.由余弦定理可得2222222433cos

302223ccbcacbcc+−+−===，解得2c=.（2）由（1）可得6,2ba==，所以1113sin622222ABCSbcA===△.选择条件②sin6aB=，（1）6sin6sinaBBa==，由正弦定理可得22126sin30sinsin6

6abbbabbabBBa======，12sin3sin3433BCbcc====.（2）111sin1243123222ABCSbcA===△.17.已知三棱锥PABC−（如图1）的平面展开图（如图2）

中，四边形ABCD为边长为2的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥PABC−中：(I)证明：平面PAC⊥平面ABC;(Ⅱ)求二面角APCB−−的余弦值；(Ⅲ)若点M在棱PC上，满足CMCP=，12[,]33，点N在棱BP上，且BMAN⊥，

求BNBP的取值范围．【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）33;（Ⅲ）12[,]45BNBP.【解析】【详解】第一问取AC中点O，根据等腰三角形的性质求得POAC⊥，根据题中所给的边长，利用勾股定理求得POOB⊥，利用线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理得到结果；第二问根据题

中所给的条件建立空间直角坐标系，写出相应的点的坐标，求得面的法向量，利用法向量所成角的余弦值得出结果；第三问利用向量间的关系，利用向量垂直的条件，利用向量的数量积等于0，得出所求的比值与的关系式，利用函数的有关知识求得结果.（Ⅰ）方法1：设AC的中点为

O，连接BO，PO.由题意2PAPBPC===，1PO=，1AOBOCO===因为在PAC中，PAPC=，O为AC的中点所以POAC⊥，因为在POB中，1PO=，1OB=，𝑃𝐵=√2所以POOB⊥因为ACOBO=，,ACOB平面ABC所以⊥PO平面ABC因为PO平面

PAC所以平面PAC⊥平面ABC方法2：设AC的中点为O，连接BO，PO.因为在PAC中，PAPC=，O为AC的中点所以POAC⊥，因为PAPBPC==，POPOPO==，AOBOCO==所以POA≌POB≌P

OC所以90POAPOBPOC===所以POOB⊥因为ACOBO=，,ACOB平面ABC所以⊥PO平面ABC因为PO平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC方法3：设AC的中点为O，连接PO，因

为在PAC中，PAPC=，所以POAC⊥设AB中点Q，连接PQ，OQ及OB.因为在OAB中，OAOB=，Q为AB的中点所以OQAB⊥.因为在PAB中，PAPB=，Q为AB的中点的所以PQAB⊥.因为PQOQQ=，,P

QOQ平面OPQ所以AB⊥平面OPQ因为OP平面OPQ所以OPAB⊥因为ABACA=，,ABAC平面ABC所以⊥PO平面ABC因为PO平面PAC所以平面PAC⊥平面ABC（Ⅱ）由⊥PO平面ABC，OBAC⊥，如图建立空间直角

坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0C，()0,1,0B，()1,0,0A−，()0,0,1P由OB⊥平面APC，故平面APC的法向量为()0,1,0OB=由()1,1,0BC=−，()1,0,1PC=−设平面PBC的

法向量为(),,nxyz=，则由00nBCnPC==得：00xyxz−=−=令1x=，得1y=，1z=，即()1,1,1n=13cos,331nOBnOBnOB===由二面角APCB−−是锐

二面角，所以二面角APCB−−的余弦值为33（Ⅲ）设BNBP=，01，则()()()1,1,01,0,11,1,BMBCCMBCCP=+=+=−+−=−−()()()1,1,00,1,11,1,ANABBNABBP

=+=+=+−=−令0BMAN=得()()()11110−+−−+=即1111==−++，μ是关于λ的单调递增函数，当12,33时，4512,，所以12,45BNBP18.在测试中，客观题难度的计算公式

为iiRPN=，其中iP为第i题的难度，iR为答对该题的人数，N为参加测试的总人数.现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题.测试前根据对学生的了解，预估了每道题的难度，如表所示：题号12

345考前预估难度iP0.90.80.70.60.4测试后，随机抽取了20名学生的答题数据进行统计，结果如下：题号12345实测答对人数161614144（1）根据题中数据，估计这240名学生中第5题的实测答对人数；（2）从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中

第5题答对的人数为X，求X的分布列和数学期望；（3）试题的预估难度和实测难度之间会有偏差.设iP为第i题的实测难度，请用iP和iP设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．【答案】（1）48（2）3895（3）合理【解

析】【分析】（1）因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=，于是可求出240人中实测答对第5题的人数．（2）X的可能取值是0,1,2，根据超几何分布即可求出概率和分布列，进而求出期望

；（3）将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．定义统计量()()()22211221nnSPPPPPPn=−+−++−，其中iP为第i题的预估难度.并规定：若

0.05S，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．计算S值即可判断.【小问1详解】因为20人中答对第5题的人数为4人，因此第5题的实测难度为40.220=，所以估计240人中有2400.248=人实测答对第5题．【小问2详解】X

的可能取值是0,1,2，()216220C120C19PX===；()11164220CC321C95PX===；()24220C32C95PX===．X的分布列为：X012P1219329539512

3233801219959595EX=++=．【小问3详解】将抽样的20名学生中第i题的实测难度，作为240名学生第i题的实测难度．定义统计量()()()22211221nnSPPPPPPn=−+−++−，其中iP为第i题的预估

难度.并规定：若0.05S，则称本次测试的难度预估合理，否则为不合理．()()()()()2222210.80.90.80.80.70.70.70.60.20.40.0125S=−+−+−+−+−=.因为0.0120

.05S=，所以该次测试的难度预估是合理的．19.已知椭圆22:12xGy+=，与x轴不重合的直线l经过左焦点1F，且与椭圆G相交于AB、两点，弦AB的中点为M，直线OM与椭圆G相交于CD、两点．（1）若直线l的斜率为1，求直线OM的斜率；（2）是否存在直线l，使得2AMCMDM=成立

？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）12−；（2）存在，直线方程为：21xy=−或21xy=−−.【解析】【分析】（1）利用点差法计算即可；（2）设直线AB，与AB、坐标，根据弦长公式及中点坐标公式求|𝐴𝐵|与M坐标，再表示直线CD方程

，根据对称性求C、D坐标，根据弦长公式计算解方程即可.【小问1详解】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则𝑀(𝑥1+𝑥22,𝑦1+𝑦22)，由A、B在椭圆上有221122221212xyxy+

=+=，作差得：()()()()121212121212121210022xxxxyyyyyyyyxxxx+−+−++−=+=+−，易知12121AByykxx−==−，1212121222OMy

yyykxxxx++==++，即11022ABOMOMkkk+==−，所以直线OM的斜率为12−；【小问2详解】假设存在直线AB满足题意，不妨设其方程为1xky=−，设()()1111,,,AxyBxy，由()222212210220xk

ykykyxy=−+−−=+−=，则1221222212kyykyyk+=+=−+，所以()()()22222121222222124141222kkABkyyyykkkk+=++−=++=+++

，且()12122422xxkyyk+=+−=−+，则222,22kMkk−++，易得:2CDklyx=−，由椭圆对称性可设()00,Cxy，则()00,Dxy−−，由20222422

220kyxxkxy=−=++−=，所以22222000111444MMMkkkCMDMxxxxxx=+−++=+−()()()2222412kkk++=+，易知()()()2

222222222212212442kkkABABAMAMk+++====+，则()()()()()()()22222222222141214222kkkkkkkk+++=+=+=++，即存在直线21xy=−或21xy=−−满足题意

.20.已知函数1()ln(0)fxaxax=+.（1）求函数()fx的单调区间；（2）若存在两条直线1yaxb=+、2yaxb=+12()bb都是曲线()yfx=的切线，求实数a的取值范围；（3）若()0xfx(0,1)，求实数a的取值

范围.【答案】(1)详见解析；(2)4a；(3)()0,+.【解析】【分析】（1）分类讨论，利用导数与单调性的关系即得；（2）由题可得()fxa=至少有两个不等的正实根，然后利用二次方程根的分布即得；（3）当0a时，由1(e)0af−可得不合题意，当0a时，分0ea，ea=，e

a讨论即得.【详解】（1）由题可得2211()(0)−=−=aaxfxxxxx，当0a时，()0fx，则函数()fx的单调递减区间是(0,)+．当0a时，令()0fx=，得1xa=，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下：x1(0,)a1a1(,)

a+()fx−0+()fx↘极小值↗所以()fx的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a+；综上，当0a时，函数()fx的单调递减区间是(0,)+；当0a时，函数()fx的单调递减区间是1(0,)a，单调递增区间是1(,)a+；（2）因为存在两条

直线1yaxb=+，212()yaxbbb=+都是曲线()yfx=的切线，所以()fxa=至少有两个不等的正实根．令21axax−=得210axax−+=，记其两个实根分别为12,xx．则212Δ4010aaxxa=−=，解得4a，当4a时，曲线()yfx=在点1

122(,()),(,())xfxxfx处的切线分别为11()yaxfxax=+−，22()yaxfxax=+−，令()()(0)Fxfxaxx=−，由()()0Fxfxa=−=，得12,xxxx==（不妨设12xx），且当12xxx时，()0Fx

，即()Fx在12[,]xx上是单调函数，所以12()()FxFx，所以11()yaxfxax=+−，22()yaxfxax=+−是曲线()yfx=的两条不同的切线，所以实数a的取值范围为(4,)+

；（3）当0a时，函数()fx是(0,)+内的减函数．因为1111111(e)ln(e)1e10eeaaaaafa−−−−=+=−+=−，而1e(0,1)a−，不符合题意，当0a时，由上知：()fx的最小值是()1()ln1lnfaaaaaa=−+=−，（ⅰ）若1()0fa，

即0ea时，{|()0}(0,1)xfx=，所以，0ea符合题意，（ⅱ）若1()0fa=，即ea=时，1{|()0}(0,1)exfx=，所以，ea=符合题意．（ⅲ）若1()0fa，即ea时，有101a，因为

(1)10f=，函数()fx在1(,)a+内是增函数，所以当1x时，()0fx．又因为函数()fx的定义域为(0,)+，所以|()0(0,1)xfx．所以ea符合题意．综上所述，实数a的取值范围为{|0}aa．21.数列123:,,,,

(2)nnAaaaan的各项均为整数，满足：1(1,2,,)iain−=，且123123122220nnnnnaaaaa−−−−+++++=，其中10a．（1）若3n=，写出所有满足条件的数

列3A；（2）求1a的值；（3）证明：1230naaaa++++．【答案】（1）1,1,6−−；1,0,4-；1,1,2−；1,2,0−；（2）11a=−;（3）证明见解析．【解析】【分析】(1)根据3n=得2123

220aaa++=并结合已知条件即可写出满足条件的数列3A；(2)11a=−，利用反证法即可证出；(3)先利用反证法证明{1,2,3,,1}kn−，必有12122220nnnkkaaa−−−+++，然后对此不等式中k赋1,2,3,,1n−，可得1n

−个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知123123122220nnnnnaaaaa−−−−+++++=即可证得结果．【详解】(1)当3n=时，2123220aaa++=，又1(1,2,3)iai−=，10a，故满足条件的数列3A为：1

,1,6−−；1,0,4-；1,1,2−；1,2,0−．(2)11a=−．否则，假设11a−，因为10a，所以11a．又23,,,1naaa−，因此有12312312222nnnnnaaaaa−−−−+++++()()()

()12321212121nnn−−−+−+−++−+−12322221nnn−−−=−−−−−122(122)nn−−=−+++111(12)212nn−−−=−−1=，这与123123122220nnnnnaaaaa−−−−++++

+=矛盾，所以11a=−．(3)先证明如下结论：{1,2,3,,1}kn−，必有12122220nnnkkaaa−−−+++．否则，假设12122220nnnkkaaa−−−+++，注意左式是2nk−的的整数倍，因此12122222nnnknkkaa

a−−−−+++，所以有12312312222nnnnnaaaaa−−−−+++++122(1)2(1)2(1)2(1)nknknk−−−−−+−+−++−+−1222221nknknk−−−−−=−−−−

−1=这与123123122220nnnnnaaaaa−−−−+++++=矛盾．所以12122220nnnkkaaa−−−+++．因此有10a，1220aa+，2223220aaa++，……121212220kkkkaaaa−−−++++，……23122122

20nnnnaaaa−−−−++++，将上述1n−个不等式相加得12121(21)(21)(21)0nnnaaa−−−−+−++−，①又123123122220nnnnnaaaaa−−−−+++++=，②②－①得1230naa

aa++++．【点睛】本题考查数列的应用，等比数列求和以及反证法的应用，不等式的应用，考查转化与化归思想以及运算能力．