【文档说明】湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考卷（四）数学试题（解析版）.docx，共(26)页，1.776 MB，由管理员店铺上传

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湖南师大附中2024届高三月考试卷（四）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12zi=+，其中i为虚数单位，则复数2z在复平面内对应的点的坐标为（）A.(

)4,5−B.()4,3C.()3,4−D.()5,4【答案】C【解析】【分析】根据题意得234iz=−+，再分析求解即可.【详解】根据题意得：()22212i14i4i34iz=+=++=−+，所以复数2z在复平面

内对应的点的坐标为：()3,4−.故选：C.2.若随机事件A，B满足()13PA=，()12PB=，()34PAB=，则()PAB=（）A.29B.23C.14D.16【答案】D【解析】【分析】先由题意计算出()PAB，再根据条件概率求出()PAB即可.【详解】由题意知：()3()(

)()4PABPAPBPAB==+−，可得1131()32412PAB=+−=，故()1()1121()62PABPABPB===.故选：D.3.设na是公比不为1的无穷等比数列，则“na为递减数列”是“存在正整

数0N，当0nN时，1na”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件.【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为na是公比不为1的无穷等比数列

，若na为递减数列，当11a，则01q，所以11nnaaq−=，令111nnaaq−=，则111nqa−，所以1111loglogqqnaa−=−，所以11logqna−时1na，当101a，则01q，所以111nnaaq−=恒成立，当11

a=，则01q，所以11nnaaq−=，当2n时1na，当10a，则1q，此时110nnaaq−=恒成立，对任意N*n均有1na，故充分性成立；若存在正整数0N，当0nN时，1na，当10a且

01q，则110nnaaq−=恒成立，所以对任意N*n均有1na，但是na为递增数列，故必要性不成立，故“na为递减数列”是“存在正整数0N，当0nN时，1na”的充分不必要条件；故选：A4.设π(0,)2，π(0,)2，且1tantancos

+=，则（）A.π22+=B.π22−=C.π22−=D.π22+=【答案】D【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由

1tantancos+=，得sinsin1coscoscos+=，于是sincoscossincos+=，即πsin()sin()2+=−，由π(0,)2，π(0,)2，得20π,0<ππ2+−，

则π2+=−或ππ2++−=，即π22+=或π2=（不符合题意，舍去），所以π22+=.故选：D5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)xaaxaxaxaxax−=+−+−+−+−+−，则下列结论

中正确的是（）A.01a=B.480a=C.50123453aaaaaa+++++=D.()()10024135134aaaaaa−++++=【答案】C【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由()5234

5012345(12)1(1)(1)(1)(1)xaaxaxaxaxax−=+−+−+−+−+−，对于A中，令1x=，可得01a=−，所以A错误；对于B中，55(12)12(1)xx−=−−−，由二项展开式的通项得44145C(2)(1)80a=−−=−，所以B错误；对于C

中，012345aaaaaa+++++与5(12(1))x+−的系数之和相等，令11x−=即50123453aaaaaa+++++=，所以C正确；对于D中，令2x=，则50123453aaaaaa+++

++=−，令0x=，则0123451aaaaaa−+−+−=，解得5024312aaa−+++=，5135312aaa−−++=，可得()()10024135314aaaaaa−++++=，所以D错误.故选：C.6.函数()(

)12cos2023π1fxxx=++−在区间[3,5]−上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【解析】【分析】根据()yfx=在3,5−的零点，转化为11yx=−的图象和函数2cosπyx=的

图象在3,5−交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线1x=对称，且()yfx=在3,5−上有8个交点，即可求出.【详解】因为()()112cos2023π2cosπ11fxxxxx=++=−−−，令()0fx=，则12cosπ1xx=−，则函数的零点就是函数11yx=−的

图象和函数2cosπyx=的图象在3,5−交点的横坐标，可得11yx=−和2cosπyx=的函数图象都关于直线1x=对称，则交点也关于直线1x=对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数11yx=−的图象和函数2cosπyx=的图象在3,5−上有

8个交点，即()fx有8个零点，且关于直线1x=对称，故所有零点的和为428=.故选：D7.点M是椭圆()222210xyabab+=上的点，以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F，圆M与y轴相交于P，Q，若PQM是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）

A.(0,23)−B.620,2−C.62,12−D.(23,1)−【答案】B【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为2ba，画出图形由PQM是钝角三角形可得222bcca−，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设F为右焦点，则

(),Mcy，由圆Ｍ与x轴相切于焦点F，M在椭圆上，易得2bya=或2bya=−，则圆的半径为2ba.过M作MNy⊥轴垂足为N，则PNNQ=，MNc=，如下图所示：PM，MQ均为半径，则PQM为等腰三角形，∴222bPNNQca==−，∵PMQ为钝角，∴45PMNQMN=

，即PNNQMNc==，所以得222bcca−，即4222bcca−，得()222222aacc−，得222acac−，故有2210ee+−，从而解得6202e−.故选：B8.已知函

数22,0,()414,0,xxfxxx=−++…若存在唯一的整数x，使得()10fxxa−−成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A.{2,1,0,1}−−B.{2,1,0}−−C.{1,0,1}−D.{2

,1}−【答案】A【解析】【分析】作出()fx的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(,1)a连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a范围.【详解】作出()fx的函数图象如图所示：()10fxxa−−表示点()(),xfx与点(),1a所在直线的斜率，可得

曲线()fx上只有一个点()(),xfx（x为整数）和点(),1a所在直线的斜率小于0，而点(),1a在动直线1y=上运动，由()20f−=，()14f−=，()00f=，可得当21a−−时，只有点()0,0满足()10fxxa−−；当01a时，只有点()1,4−满足()10fxxa−

−.又a为整数，可得a的取值集合为2,1,0,1−−.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线C过点()3,2，且渐

近线方程为33yx=，则下列结论正确的是（）A.C的方程为2213xy−=B.C的离心率为3C.曲线21xye−=−经过C的一个焦点D.直线210xy−−=与C有两个公共点【答案】AC【解析】【分析】由双曲线的渐近线为33yx=，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲

线方程判断A；再求出双曲线的焦点坐标判断B，C；联立方程组判断D．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33yx=，可设双曲线方程为223xy−=，把点(3,2)代入，得923−=，即1=．双曲线C的方程为2213x

y−=，故A正确；由23a=，21b=，得222cab=+=，双曲线C的离心率为22333=，故B错误；取20x−=，得2x=，0y=，曲线21xye−=−过定点(2,0)，故C正确；联立2221013xyxy−−=−=，化简得2

2220,0yy−+−==，所以直线210xy−−=与C只有一个公共点，故D不正确．故选：AC．10.已知向量a，b满足2aba+=，20aba+=且2=a，则（）A.2b=B.0ab+=C.26ab−=D.4ab=

【答案】ABC【解析】【分析】由2aba+=，得20abb+=，又20aba+=且2=a，得2b=，4ab=−，可得cos,1ababab==−，,πab=，有0ab+=，26ab−=，可判断各选项.【详解】因为2aba+=，所以222aba+=

，即22244aabba++=，整理可得20abb+=，再由20aba+=，且2=a，可得224ab==，所以2b=，4ab=−，A选项正确，D选项错误；cos,1ababab==−，即向量a，b的夹角,πab=，故向量

a，b共线且方向相反，所以0ab+=，B选项正确；()2222244416166ababaabb−=−=−+=++=，C选项正确.故选：ABC11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点M是其侧面11ADDA上的一个动点（含边界），点

P是线段1CC上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点,PM，使得二面角−−MDCP大小为23B.存在点,PM，使得平面11BDM与平面PBD平行C.当P为棱1CC的中点且22PM=时，则点M的轨迹长度为23D.当M为1AD中点时，四棱锥MABCD−外接球的体积为

22π3【答案】BC【解析】【分析】由题意，证得1,CDMDCDDD⊥⊥，得到二面角−−MDCP的平面角1π0,2MDD，可得判定A错误；利用线面平行的判定定理分别证得11//BD平面BDP，1//MB平面BDP，结合面

面平行的判定定理，证得平面//BDP平面11MBD，可判定B正确；取1DD中点E，证得PEME⊥，得到222MEPMPE=−=，得到点M在侧面11ADDA内运动轨迹是以E为圆心、半径为2的劣弧，可判定C正确；当M为1AD中点时，连接AC与BD交于点O，求得OMOAO

BOCOD====，得到四棱锥MABCD−外接球的球心为O，进而可判定D错误.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，可得CD⊥平面11ADDA，因为MD平面11ADDA，1DD平面11ADDA

，所以1,CDMDCDDD⊥⊥，所以二面角−−MDCP的平面角为1MDD，其中1π0,2MDD，所以A错误；如图所示，当M为1AA中点，P为1CC中点时，在正方体1111ABCDABCD−中，可得11//BDBD，因为11BD平面BDP

，且BD平面BDP，所以11//BD平面BDP，又因为1//MBDP，且1MB平面BDP，且DP平面BDP，所以1//MB平面BDP，因为1111BDMBB=，且111,BDMB平面11MBD，所

以平面//BDP平面11MBD，所以B正确；如图所示，取1DD中点E，连接PE，ME，PM，在正方体1111ABCDABCD−中，CD⊥平面11ADDA，且//CDPE，所以PE⊥平面11ADDA，因为ME平面11ADDA，可得PEME⊥，则2222(

22)22=−=−=MEPMPE，则点M在侧面11ADDA内运动轨迹是以E为圆心、半径为2的劣弧，分别交AD，11AD于2M，1M，如图所示，则121π3DEDMME==，则21π3MME=，劣弧12MM的长为π3π223=，所以C正确当M为1AD中点

时，可得AMD为等腰直角三角形，且平面ABCD⊥平面11ADDA，连接AC与BD交于点O，可得2OMOAOBOCOD=====，所以四棱锥MABCD−外接球球心即为AC与BD的交点O，所以四棱锥MABCD−外接球的半径为2，其外接球的体积为3482(2)33ππ

=，所以D错误.故选：BC.的12.若存在实常数k和b，使得函数()Fx和()Gx对其公共定义域上的任意实数x都满足：()Fxkxb+和()Gxkxb+恒成立，则称此直线ykxb=+为()Fx和()Gx的“隔离直线”，已知函数(

)()2fxxRx=，()()10gxxx=，()2lnhxex=（e为自然对数的底数），则（）A.()()()mxfxgx=−在31,02x−内单调递增；B.()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4−；C.()fx和()gx之间存在“隔离直线”，且k

的取值范围是4,1−；D.()fx和()hx之间存在唯一的“隔离直线”2yexe=−.【答案】ABD【解析】【分析】令()()()mxfxgx=−，利用导数可确定()mx单调性，得到A正确；设()fx，()gx的隔离直线为ykxb=+

，根据隔离直线定义可得不等式组22010xkxbkxbx−−+−对任意(),0x−恒成立；分别在0k=和0k两种情况下讨论b满足的条件，进而求得,kb的范围，得到B正确，C错误；根据隔离直线过()fx和

()hx的公共点，可假设隔离直线为ykxkee=−+；分别讨论0k=、0k和0k时，是否满足()()ee0fxkxkx−+恒成立，从而确定2ke=，再令()()2eeGxxhx=−−，利用导数可证得()0Gx恒成立，由此可确定隔离直线，则D正确.【详解】对于A，()()()21mxfx

gxxx=−=−，()212mxxx=+，()3321221mxxx=−=−，当31,02x−时，()0mx，()mx单调递增，()223333312422022mxm−=−+=−+=

，()mx在31,02x−内单调递增，A正确；对于,BC，设()fx，()gx的隔离直线为ykxb=+，则21xkxbkxbx++对任意(),0x−恒成立，即22010xk

xbkxbx−−+−对任意(),0x−恒成立.由210kxbx+−对任意(),0x−恒成立得：0k.⑴若0k=，则有0b=符合题意；⑵若0k则有20xkxb−−对任意(),0x−恒成立，2yxkxb=−−的对称轴为02kx=，2140kb+

=，0b；又21ykxbx=+−的对称轴为02bxk=−，2240bk=+；即2244kbbk−−，421664kbk−，40k−；同理可得：421664bkb−，40b−；综上所述：40k−，40b−，B正

确，C错误；对于D，函数()fx和()hx图象在xe=处有公共点，若存在()fx和()hx的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为()yekxe−=−，即ykxkee=−+，则()(

)ee0fxkxkx−+恒成立，若0k=，则()2e00xx−不恒成立.若0k，令()()20uxxkxkeex=−+−，对称轴为02kx=()2uxxkxkee=−+−在()0,e上单调递增，的又()0ueekekee=−+−=，故0k

时，()()ee0fxkxkx−+不恒成立.若0k，()ux对称轴为02kx=，若()0ux恒成立，则()()223420kkeeke=−−=−，解得：2ke=.此时直线方程为：2yexe=−，下面证明()2hxexe−，令()()222lnGxexehxexeex=−

−=−−，则()()2exeGxx−=，当xe=时，()0Gx=；当0ex时，()0Gx；当xe时，()0Gx；当xe=时，()Gx取到极小值，也是最小值，即()()min0GxGe==，()()20Gxexehx=−−，即()2h

xexe−，函数()fx和()hx存在唯一的隔离直线2yexe=−，D正确.故选：ABD.【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，

属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()yfx=的图像在点()()11Mf，处的切线方程是122yx=+，则()()11ff+＝______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的几何意义

，可得'(1)f的值，根据点M在切线上，可求得(1)f的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，'1(1)2kf==，又()()11Mf，在切线上，所以15(1)1222f=+=，则()()11ff+=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，

属基础题.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF拼成的一个较大的等边三角形ABC，若3AF=，33sin14ACF=，则DEF的面积为________．【答案】3【解析】【分析】利用正

弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD△为等边三角形，所以60EFD=，则120EFA=，在AFC△中，由正弦定理，则sinsinAFACACFAFC=，解得33sin7sin233

14AFACAFCACF===，由余弦定理，则2222cosACAFFCAFFCAFC=+−，整理可得：21499232FCFC=+−−，则23400FCFC+−=，解得5FC

=或8−（舍去），等边EFD△边长为532−=，其面积为122sin6032=o.故答案为：3.15.已知数列na的首项132a=，且满足1323nnnaaa+=+．若123111181naaaa+++

+，则n的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为12312133nnnnaaaa++==+，所以1112,3nnaa+=+，即11123nnaa+−=，且1123a=，所以数列1na

是首项为23，公差为23的等差数列.可求得()12221333nnna=+−=，所以()()1232211111212222333nnnnnnaaaa+++++++++===，即()()181

,12433nnnn++且()*1,Nnnn+单调递增,1516240,1617272==.则n的最大值为15.故答案为:15.16.在棱长为3的正方体1111ABCDABCD−中，点E满足112AEEB=，点F在平面1BCD内，则|1||AFEF+的最小值为____

_______.【答案】6【解析】【分析】以点D为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得1AC⊥平面1BCD，记1AC与平面1BCD交于点H，连接11AC，1,CO，AC，得到12AHHC=，结合点()13,0,3A关于平面1BCD对称的点为()1,4,

1G−−，进而求得1AFEF+的最小值.【详解】以点D为原点，1,,DADCDD所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示，则()13,0,3A，()3,2,3E，()0,3,0C，因为BDAC⊥，1BDAA⊥，且1ACAAA=，则BD⊥平面1

AAC，又因为1AC平面1AAC，所以1BDAC⊥，同理得1BC⊥平面11ABC，因为1AC平面11ABC，所以11BCAC^，因为1BDBCB=，且1,BDBC平面1BCD，所以1AC⊥平面1BCD，记1AC与平面1BCD交于点H，连接

11AC，1CO，AC，且ACBDO=，则11121AHACHCOC==，可得12AHHC=，由得点()13,0,3A关于平面1BCD对称的点为()1,4,1G−−，所以1AFEF+的最小值为222(31)(24)(31)6EG=++−++=.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分

.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()23sin2cos2xfxxm=++的最小值为2−.（1）求函数()fx的最大值；（2）把函数()yfx=的图象向右平移6个单位，可得函数()ygx=的图象，且函数()ygx=在0,8上

为增函数，求的最大值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）化简函数为()2sin16fxxm=+++，再根据函数()fx的最小值为2−求解；（2）利用平移变换得到()2singxx=的图象，再由()ygx=在0,8上为增函数求解.【小问1详解】

解：()23sin2cos2xfxxm=++，3sincos1xxm=+++，2sin16xm=+++，函数()fx的最小值为2−212m−++=−，解得1m=−，则()2sin6fxx=+，函数()fx的最大值为2.【小问2详解】由（1）可

知：把函数()2sin6fxx=+向右平移6个单位，可得函数()2sinygxx==的图象.()ygx=在0,8上为增函数，函数()gx的周期22T=…4„，即的最大值为4.18

.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B采

取领先3局者获胜。每局不存在平局.假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为12，在项目B中甲班每一局获胜的概率为23，且每一局之间没有影响.（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）若第二个比赛项目B进行了7

局，仍然没有人领先3局，比赛结束，领先者也获胜.现比赛已经进行了2局，甲班2局全输.设甲班在第二个比赛项目B中参加总局数为X、求随机变量X的分布列及期望.【答案】（1）12（2）分布列见解析，()14927EX=【

解析】【分析】（1）根据甲班在项目A中获胜对应的事件，利用互斥事件的加法公式和独立事件的乘法公式计算即可；（2）由总局数X可能的取值，计算相应的概率，列出分布列，计算期望.【小问1详解】记“甲班在项目A中获胜”为事件A，比分有3:0，3:

1，3:2三种情况，则()34522341111CC2222PA=++=，所以甲班在项目A中获胜的概率为12.【小问2详解】甲班在第二个比赛项目B中参加比赛总局数3,5,7X，

3X=表示乙班3:0获胜，5X=表示乙班4:1获胜，7X=表示甲班5:2获胜或乙班5:2获胜或没有人领先3局，()133PX==，()221253327PX===，()()()16713527PXPXPX==−=−==，所以X的分布列如下：X357

()PX132271627所以()12161493573272727EX=++=.19.如图，已知四棱台1111ABCDABCD−的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，14AA=，且1AA⊥底面ABCD，点P，Q分别在棱1DD、

BC上.（1）若P是1DD的中点，证明：1ABPQ⊥；（2）若//PQ平面11ABBA，二面角PQDA−−的余弦值为49，求四面体ADPQ的体积.【答案】（1）证明见解析（2）83【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明异面直线的垂直；（2）求平面法

向量，由二面角PQDA−−的余弦值为49和//PQ平面11ABBA，解得P点坐标，可求四面体ADPQ的体积.【小问1详解】以A为坐标原点，AB，AD，1AA所在直线分别为x，y，x轴建立空间直角坐标系，则()0

,0,0A，()12,0,4B，()0,4,0D，()10,2,4D，设()4,,0Qm，其中mBQ=，04m，若P是1DD的中点，则()0,3,2P，()12,0,4AB=，()4,3,2PQm=−−，于是1880ABPQ

=−=，∴1ABPQ⊥，即1ABPQ⊥.【小问2详解】由题设知，()4,4,0DQm=−，()10,2,4DD=−是平面PDQ内的两个不共线向量.设()1,,nxyz=是平面PDQ的一个法向量，则()1

11440,240,nDQxmynDDyz=+−==−+=取4y=，得()14,4,2nm=−ur.又平面AQD的一个法向量是()20,0,1n=，∴121222221222cos,(4)42(4)20nnnnnnmm===−++−+，而二面角PQDA−−的余弦值为49

，因此2249(4)20m=−+，解得72m=或92m=（舍去），此时74,,02Q.设1DPDD=（01），而()10,2,4DD=−，由此得点()0,42,4P−，14,2,42

PQ=−−，∵//PQ平面11ABBA，且平面11ABBA的一个法向量是()30,1,0n=，∴30PQn=，即1202−=，解得14=，从而70,,12P.将四面体ADPQ视为以ADQ△为底面的

三棱锥PADQ−，则其高1h=，故四面体ADPQ的体积11184413323ADQVSh===.20.如图，曲线C由上半椭圆22122:1(0,0)yxCabyab+=和部分抛物线22:1(0)Cyxy=−

+连接而成，1C与2C的公共点为A，B，其中1C的离心率为32.（1）求a，b值；（2）过点B的直线l与1C，2C分别交于点P，Q（均异于点A，B），是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方

程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2a=，1b=（2）存在，8330xy++=【解析】【分析】（1）根据曲线12,CC的方程，令0y=，求得1b=，再结合椭圆的几何性质，求得a的值，即可求解；的（2）根据题意，设其方程为()1ykx=−，分别与曲线12,CC的方程，联

立方程组，求得点22248,44kkPkk−−++和点()21,2Qkkk−−−−，结合APAQ⊥，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：由曲线22122:1(0,0)yxCabyab+=和曲线22:1(0)Cyxy

=−+，令0y=，可得1b=，且()1,0A−，()10B,是上半椭圆1C左、右顶点.设1C的半焦距为c，由32ca=及2221acb−==，可得2a=，所以2a=，1b=.【小问2详解】解：由（1）知，上半椭圆1C的方程为221(0)4yxy

+=，由题意知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为()1ykx=−（0k），代入1C的方程，整理得()22224240kxkxk+−+−=.（*）设点P的坐标为(),PPxy，因为直线l过点B，可得1x=是方程（*）的一个根，由根与系数

的关系得2244Pkxk−=+，从而284Pkyk−=+，所以点P的坐标为22248,44kkkk−−++，同理可得，由2(1)(0)1(0)ykxkyxy=−=−+，可得点Q的坐标为()21,2kkk−

−−−，可得()22,44kAPkk=−+，()1,2AQkk=−+，假设存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，所以APAQ⊥，可得0APAQ=，即()2224204kkkk−−+=+，因为0k，所以()420kk−+=，解得83k=−，的

经检验，83k=−符合题意，所以直线方程为8330xy++=.【点睛】知识题型：解答直线与圆锥曲线的存在性与探究型问题的注意事项：对于直线与圆锥曲线的存在性与探究型问题，通常先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确，则不存在.1、当条件和结论不唯一时，要分类讨论

求解；2、当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；3、当条件和结论都未知时，按常规方法解题很难时，可先采取特殊点、特殊位置进行探究结论，再结合一般情况推理、论证.21.已知函数()ln1fxxmx=++，()(e1)xgxx=−．（1）若()fx的最大值是0，求m的值；（2）若对

任意0x，()()fxgx恒成立，求m的取值范围．【答案】（1）1−（2）(,0−【解析】【分析】（1）根据题意对m分类讨论，结合导数与函数的知识直接求解；（2）根据题意转化为ln11exxmx++−在(0,)+上恒成立，进而求解ln1()e

xxxx+=−函数的最小值，通过同构的方法直接求解即可.【小问1详解】()fx的定义域为()0,+，1()fxmx=+．若0m，则()0fx，()fx在定义域内单调递增，无最大值；若0m，则当10,xm−时，()0fx

，函数()fx单调递增，当1,xm−+时，()0fx，函数()fx单调递减，所以当1xm=−时，()fx取得极大值，也是最大值，为11()ln()0fmm−=−=，解得1m=−，显然10m=−＜符合题意，所以m的值为1−【小问2详解】对任意()()0,fxgxx

恒成立，即ln11exxmx++−在(0,)+上恒成立．设ln1()exxxx+=−，则22eln()xxxxx+=．设2()elnxqxxx=+，则21()(2)e0xqxxxx=++，所以()qx在(0,)+上单调递增，且

1()02q，(1)0q，所以()qx有唯一零点01(,1)2x，且0200eln0xxx+=，所以00ln0000lnelnexxxxxx−=−=−．构造函数()exhxx=，则00()(ln)hxhx=−.又函数()exhxx=在(

0,)+上是增函数，所以00lnxx=−．由()x在0(0,)x上单调递减，在0(,)x+上单调递增，得()0000000ln111()e1xxxxxxxx+−=−=+=，所以11,0mm+

，所以m的取值范围是(,0−【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),,ygxxcd=（1）若1,xab，2,xcd，总有()()12fxgx成立，故()()2ma

xminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2minmi

nfxgx；（4）若若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子集．22.设数列na的前n项之积为nT，满足21nnaT+=（*nN）.（1）设11nn

bT=+，求数列nb的通项公式nb；（2）设数列na的前n项之和为nS，证明：11111121ln22222214nnnnnnS+++−++−−.【答案】（1）11422nnnb−+==（2）证明见解析【解析】【分析】（1）2n时，有1nnnTaT−

=，21nnaT+=变形为111121nnTT−+=+，可得数列nb为等比数列，可利用首项和公比求通项公式；（2）利用数列求和的放缩法，结合函数单调性求最值，证明不等式.【小问1详解】∵数列na的前n项之积为nT，满足21nnaT+=（*nN），1n=时

，1121aa+=，解得113a=.∴2n时，121nnnTTT−+=，化为11121nnTT−=+，变形为111121nnTT−+=+，又11nnbT=+，∴12nnbb−=，11114ba=+=，数列nb是首项为4公比为2的等比数列，∴1

1422nnnb−+==.【小问2详解】先证明左边：即证明111222nnnS+−+，由（1）可得：1112nnT++=，解得1121nnT+=−，又由21nnaT+=，解得12121nnna+−

=−，又11121211121222nnnnnna+++−−==−−，所以123111142111111111222222222212nnnnnnS++−−+−++−=−=−+

−，再证明右边：11221111112122122nnnnna+++−==−−−−.∴342211111111111821222222224212nnnnnnS++−

−+−++−=−=−+−，下面证明121112ln2221nnn+++−，即证明111121ln22nnn+++−−，设11212nnt++−=，()0,1t，则1112nt+−=−，即证明1lntt−，()0,1t.

设()ln1fttt=+−，()0,1t，()110ftt=−，则函数()ft在()0,1t上单调递增，∴()()10ftf=，即1lntt−，()0,1t，∴11121ln22214nnnnS+++−−.∴11111121ln22222214nnnnnnS+++

−++−−.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com