【文档说明】湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2023-2024学年高三上学期月考卷（一）数学试题+含解析.docx，共(15)页，1.008 MB，由小赞的店铺上传

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大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（一）数学时量：120分钟满分：150分得分：______一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设13Axxx=+，29Bxx=

，则AB中整数个数为（）A.2B.3C.4D.52.已知母线长为5的圆锥的侧面积为20，则这个圆锥的体积为（）A.12B.16C.24D.483.若A，B是锐角ABC△的两个内角，则复数()()cossinisincos

zBABA=−+−在复平面内所对应的点位于（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知OAa=，OBb=，OCc=，ODd=，且四边形ABCD为平行四边形，则（）A.0abcd−+−=B.0abcd−−+=C.0abcd+−−=D.0abcd

+++=5.已知数列na的前n项和为nS，若11a=，()12*nnaSn+=N，则有（）A.na为等差数列B.na为等比数列C.nS为等差数列D.nS为等比数列6.为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：汽车驾驶员血液中

的酒精含量不得超过0.09mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%，那么此人在开车前至少要休息（参考数据：lg20.301，lg30.477）（）A.4.1小时B.4.2

小时C.4.3小时D.4.4小时7.已知函数()fx的定义域为R，设()fx的导数是()fx，且()()sin0fxfxx+恒成立，则（）A.22ff−B.22ff−

C.22ff−D.22ff−8.若正三棱锥PABC−满足1ABACAP++=，则其体积的最大值为（）A.172B.184C.196D.1108二、选择题：本题共4小题，每小

题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若ab，且11ab，则0abB.若0ab，则22aabbC.

若0cab，则abcacb−−D.若0abc，则aacbbc++10.设正方体1111ABCDABCD−中11AB，1BB，BC的中点分别为E，F，G，则（）A.4EFGEGF=B.平面EGF与正方体各面夹角相等

C.E，F，G，1D四点共面D.四面体CEFG−，1DEFG−体积相等11.已知函数()()()sin0fxx=+满足()()00212fxfx=+=，且()fx在()00,1xx+上有最大值，无最小值，则下列结论正确的是（）A.0112fx+=B.若00x=，

则()sin4fxx=+C.()fx的最小正周期为4D.()fx在()0,2024上的零点个数最少为1012个12.已知直线ya=与曲线exxy=相交于A，B两点，与曲线lnxyx=相交于B，C两点，A，B，C的横坐标分别为1x，2x，3x.则（）A.2

2exxa=B.21lnxx=C.23exx=D.1322xxx+选择题答题卡题号123456789101112得分答案三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.曲线()()exfxxa=+在点()(

)0,0f处的切线与直线12yx=−垂直，则a=______.14.若圆()()22112xy−+−=关于直线3ykx=+对称，则k的值是______.15.如图，正四棱锥PABCD−的每个顶点都在球M的球面上，侧面P

AB是等边三角形，若半球O的球心为四棱锥的底面中心，且半球与四个侧面均相切，则半球O的体积与球M的体积的比值为______.16.已知数列na的各项均为非零实数，其前n项和为nS，11a=，且对于任意

的正整数n均有211nnnSSa+++=.（1）若32a=−，则2a=______；（2）若20232022a=−，则满足条件的无穷数列的一个通项公式可以是na=______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小

题满分10分）如图，在梯形ABCD中，ABCD∥，135BCD=，510BDCD==.（1）求sinCBD的值；（2）若ABD△的面积为4，求AD的长.18.（本小题满分12分）已知数列na满足112a

=，当2n时，111nnnaan−+=+.（1）求数列na的通项公式；（2）证明：3121234nnaaanaaa+++++.19.（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，AF⊥平面ABCD，AFDE∥，22A

BAFDE===，M是线段BF上的一动点，过点M和直线AD的平面与FC，EC分别交于P，Q两点.（1）若M为BF的中点，请在图中作出线段PQ，并说明P，Q的位置及作法理由；（2）线段BF上是否存在点M，使得直线AC与平面所成角的正弦值为1

010？若存在，求出MB的长；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分12分）面对芯片进口的限制和困境，自研芯片可以减少对外部供应的依赖，提高产品的竞争力和安全性，许多厂商需要通过加大研发投入和人才培养来提高自身实力.某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元()0a

，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员x名（xN且100275x），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x，技术人员的年人均投入调整为225xam−万元.（1）若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前400名技术人员的年总投入，求

调整后的研发人员的人数最少为多少人？（2）为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入；②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样

的实数m满足以上两个条件？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知椭圆C的中心在坐标原点，两焦点1F，2F在x轴上，离心率为12，点P在C上，且12PFF△的周长为6.（1）求椭圆C

的标准方程；（2）过点()4,0M的动直线l与C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为D，直线AD与x轴的交点为E，求ABE△的面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数()()()e1xfxxa=−+，()()2lnegxaxxxa−=++R，设max,m

n表示m，n的最大值，设()()()max,Fxfxgx=.（1）讨论()fx在()0,+上的零点个数；（2）当0x时()0Fx，求a的取值范围.大联考湖南师大附中2024届高三月考试卷（

一）数学参考答案题号123456789101112答案DBBADBDCADABDACACD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.D【解析】集合B中元素包含的整数有3−，2−，1

−，0，1，2，3，以上整数满足集合A中不等式的有3−，2−，1−，1，2，故AB中整数个数为5，故选D.2.B【解析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，由已知，520r=，则4r=，从而2253hr=−

=，所以211631633Vrh===，选B.3.B【解析】∵0A，90180BAB+，∴90900AB−，sincosAB，cossinAB，故cossin0BA−，sincos0BA−，即点Z位于第二象限

.选B.4.A【解析】在平行四边形ABCD中，OAa=，OBb=，OCc=，ODd=，∴0abcdBADC−+−=+=.故选：A.5.D【解析】由题意，数列na的前n项和满足()12*nnaSn+=N，当2n时，12

nnaS−=，两式相减，可得()1122nnnnnaaSSa+−−=−=，可得13nnaa+=，即()132nnana+=，又由11a=，当1n=时，2122aS==，所以212aa=，所以数列na的通项公式为21,1,23,2,nnn

an−==故数列na既不是等差数列也不是等比数列.当2n时，11132nnnSa−+==，又由1n=时，111Sa==，适合上式，所以数列na的前n项和为13nnS−=；又由13n

nSS+=，所以数列nS为公比为3的等比数列，综上可得选项D是正确的.6.B【解析】设经过x小时，血液中的酒精含量为y，则()0.3125%0.30.75xxy=−=.由0.30.750.09x，得0.750.3x，则lg0.75lg

0.3x.因为lg0.750，则lg0.3lg310.47715234.1844.2lg0.75lg3lg40.4770.602125x−−===−−，所以开车前至少要休息4.2小时，选B.7.D【解析】设()()22cosgxfxx=−，则

()()()22sin0gxfxfxx=+，故()ygx=在定义域上是增函数，所以22gg−，即2222ff−，所以22ff

−，故选D.8.C【解析】设正三棱锥的底边长为a，侧棱长为b，22222222215ABACAPaabaaaab=++=+++++=+，又2224611311316334312PABCABC

VShabaaa−==−=−△.设()()463160fxxxx=−，()()353212961218fxxxxx=−=−，()yfx=在30,4上存在唯一的极值点24x=，且在24x=

时取得最大值为164.故正三棱锥PABC−体积的最大值为196，故选C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.AD【解析】对于A，110baabab−−=，又0ba−，故0ab，

A正确.对于B，若0ab，则22ab，故B错误.对于C，()()()()()abcabacabbcabcacbcacbcacb−−−+−==−−−−−−，∵0cab，∴0ca−，0cb−，0ab−，∴()()()0abccacb−−−，∴abcacb

−−，所以C错误.对于D，()()()abcaacabacabbcbbcbbcbbc−++−−−==+++，∵0abc，∴0ab−，0bc+，∴()()0abcbbc−+，∴aacbbc++，所以D正确.10.ABD【解析】不妨设正方体的棱长为

2a，则2FGa=，2EFa=，6EGa=，从而120EFG=，30EGF=，故4EFGEGF=，选项A正确.由于平面EGF∥平面11CDB，又平面11CDB的法向量之一1CA与正方体各面的夹角相等，即平面EGF与正方体各面夹角相等，选项B正确.由于FG与1ED异面，故选项C错

误.由于1CD∥平面EFG，C、1D到平面EFG距离相等，故选项D正确.11.AC【解析】对于A项，由题意得，()fx在()00,1xx+的区间中点处取得最大值，即0112fx+=，所以A正确；对于B项，假设若00x=，则()sin4fxx=+

成立，由A项知，112f=，而12sin12242f=+=，故假设不成立，则B项错误；对于C项，()()00212fxfx=+=，且()fx在()00,1xx+上有最大值，无最小值，不妨令024xk+=+，()0

3124xk++=+，kZ，则两式相减，得2=，即函数的最小正周期24T==，故C项正确；对于D项，因为4T=，所以函数()fx在区间()0,2024上的长度恰好为506个周期，当()00f=，即k=

，kZ时，()fx在区间()0,2024上的零点个数至少为506211011−=个，故D项错误.故选AC.12.ACD【解析】设()exxfx=，得()1exxfx−=，则()()max11efxf==.设()lnxgxx=，得()21lnxgxx−=，则

()()max1eegxf==，从而可得12301exxx.由22exxa=，得22exxa=，故A正确；由1122lnexxxx=，得1212lnlneexxxx=，即()()12lnfxfx=，

又1201exx，得20ln1x，则12lnxx=，故B错误；由2323lnexxxx=，得2233lnlneexxxx=，即()()23exggx=.又由231exx，即2eex，则23exx=，故C正确；由前面知12lnxx=，23exx=，得2132el

nxxxx=，又由2222lnexxxax==，得22exxa=，22lnxax=，则2132xxx=，1313222xxxxx+=.故D正确.综上选ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1

【解析】()()1exfxxa=++，因为()fx在点()()0,0f处的切线与直线12yx=−垂直，故切线的斜率为2，所以()012fa=+=，解得1a=.14.2−【解析】由题意知直线3ykx=+过圆心()1,1，即13k=+，解

得2k=−.15.318【解析】如图，连接PO，BD，取CD的中点E，连接PE，OE，过点O作OHPE⊥于点H.易知PO⊥底面ABCD，设4AB=，则2242BDBABC=+=，1222BOBD==，2222POBPBO=

−=，则O为球M的球心，设球M的半径为R，半球O的半径为0R，则22R=.易知0ROH=.在等边三角形PCD中，224223PE=−=，由RtRtPHOPOE∽△△，则013ROHOERPOPE===

，故3030341132342183OMRVRRVR===半球球.16.（1）2（2）()()()12022,202212023nnnn−（答案不唯一）（第一空2分，第二空3分）【解析】（1）当2n=时，2123322aaaa++=，又

11a=，32a=−，代入上式可求得22a=.（2）已知211nnnSSa+++=，得2112nnnSaa++=−，当2n时，()()()2211122nnnnnnnaSSaaaa−++=−=−−−，即()()1

110nnnnaaaa+++−−=，所以1nnaa+=−或11nnaa+=+，又11a=，20232022a=−，所以()()()12022,202212023nnnnna=−（答案不唯一）.四、解答题：本题共6小题，共7

0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）在BCD△中，由正弦定理知，sinsinBDCDBCDCBD=，所以sinsinBDCBDCDBCD=，……（2分）因为135BCD=，510BD

CD==，所以10sin10CBD=.……（4分）（2）在BCD△中，135BCD=，则CBD为锐角，因为10sin10CBD=，所以310cos10CBD=，……（6分）在梯形ABCD中，ABCD∥，135BCD=，则45CBA=，所以()5sinsin455A

BDCBD=−=，显然ABD为锐角，所以25cos5ABD=，……（8分）因为1sin42ABDSABBDABD==△，所以42AB=，所以2222cos10ADABBDABBDABD=+−

=，所以10AD=.……（10分）18.【解析】（1）由已知，()111nnnana−+=+，即()()1112nnnanan−+−=，则数列()1nna+是公差为1的等差数列.……（3分）又()111121aa+==，则()1nnan+=，

所以数列na的通项公式是1nnan=+.……（5分）（2）因为1nnan=+，则()()()()2112111112222nnnnnaannnnnn++++===+−+++.……（8分）所以31212111111111112324351

12nnaaanaaannnn++++=+−+−+−++−+−−++（10分）1111311131221242124nnnnnn

n=++−−=+−++++++.……（12分）19.【解析】（1）如图，取P为FC的中点，Q为EC靠近点E的三等分点.……（2分）理由如下：由四边形ABCD为正方形得，ADBC∥，又B

C平面FBC，AD平面FBC，所以AD∥平面FBC.……（3分）又平面ADM平面FBCMP=，M为FB的中点，得ADMP∥，且P为FC的中点.由题意知，平面ABF∥平面DCE，平面ADM平面DCEDQ=

，AM平分FAB，得DQ平分EDC，……（5分）又12EDDC=，得到Q为EC的三等分点，且2QCEQ=，从而作出线段PQ.……（6分）（2）由题意，可建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()

0,0,0A，()2,2,0C，()0,0,2F，()2,0,0B，()0,2,0D，于是()2,0,2BF=−，()0,2,0AD=，()2,2,0AC=，……（7分）设()01BMBF=，

则M的坐标为()22,0,2−.设平面DAM的法向量为(),,mxyz=，则由0,0,mAMmAD==得()2220,20,xzy−+==令1x=，得平面APQ的一个法向量为11,0,1m=−.……（9分）设直线AC与平面所成角为

，则sincos,mACmACmAC==，假设存在点M使得直线AC与平面所成角的正弦值为1010，则有22101012211mACmAC==+−，解得13=，223MB=.……（11分）所以线段BF上存在点M，位于靠近点B的三等分点处

，使得直线AC与平面所成角的正弦值为1010.……（12分）20.【解析】（1）某企业原有400名技术人员，年人均投入a万元()0a，现为加大对研发工作的投入，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人

员x名（xN且100275x），调整后研发人员的年人均投入增加()4%x，技术人员的年人均投入调整为225xam−万元，可得调整后研发人员的年人均投入为()14%xa+万元，则()()4001

4%400xxaa−+，()0a，……（2分）整理得20.04150xx−，解得0375x，因为xN且100275x，所以100275x，故125400300x−，所以要使这()400x−名研发人员的年总投入不低于

调整前400名技术人员的年总投入，调整后的研发人员最少为125人.……（5分）（2）由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得()()240014%25xxxaxma−+−，……（6分）上式两边同除以ax得4002112

525xxmx−+−，整理得4001525xmx++；由条件②由技术人员年人均投入不减少，得225xama−，解得2125xm+；……（8分）假设存在这样的实数m，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，即()240011

51002752525xxmxx+++恒成立，因为40040015215232525xxxx+++=，……（10分）当且仅当40025xx=，即100x=时等号成立，所以23m，又因为100275x，当

275x=时，2125x+取得最大值23，所以23m，所以2323m，即23m=，即存在这样的m满足条件，其范围为23m.……（12分）21.【解析】（1）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a，b，c，因为12cea==，则2ac=.……（1分）因为12126PFPFFF++

=，则226ac+=，即3ac+=.……（2分）于是23cc+=，解得1c=，从而2a=，223bac=−=.……（3分）因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程是22143xy+=.……（4分）（2）设直线l的方程为()40

xtyt=+，代入椭圆方程，得()2234412tyy++=，即()223424360tyty+++=.设点()11,Axy，()22,Bxy，则1222434tyyt+=−+，1223634yyt=+.……（6分）因为点B，D关于x轴对称，则()22,Dxy−.设点()0,

0Ex，因为A，E，D三点共线，则AEDEkk=，即121020yyxxxx−=−−，即()()120210yxxyxx−=−−，即()1221012yxyxxyy+=+，得()()()12211212122

1120121212124424223644124ytyytytyyyyyxyxtyytxyyyyyyyyt++++++====+=−+=++++.所以，点()1,0E为定点，3EM=.……（9分）()212121213

422ABEAMEBMESSSEMyyyyyy=−=−=+−△△△222223244361842343434ttttt−=−=+++.令()240tmm−=，则()221818189331631643441633ABEmmSmmmmmm====++++△.

…（11分）当且仅当433m=时取等号，所以ABE△的面积的最大值为334.……（12分）22.【解析】（1）()()1e1xfxxa=−++，令()()1e1xmxxa=−++，则()()2exmxxa=−+，当2xa−时，()0mx；当2xa−时，()0mx，∴()

mx在(),2a−−上单调递减，在()2,a−+上单调递增.……（2分）①当2a时，()mx在()0,+上单调递增，()()020mxma=−，()fx无零点；……（3分）②当2a时，(

)mx在()0,2a−上单调递减，在()2,a−+上单调递增.∴()()2min21e0amxma−=−=−，而()020ma=−，()e10ama=+，∴()02,xaa−，使得()00mx=，∴()mx在()0,+上

有且只有一个零点.……（4分）综上所述，当2a时，()fx在()0,+上无零点；当2a时，()fx在()0,+上有且只有一个零点.……（5分）（2）①当0a时，()0fx在()0,+上恒成立，显然()0Fx；②当0a时，若0xa，()0fx

；若xa，()0fx.∴()0Fx等价于()0gx在()0,a上恒成立.……（6分）∵()2lnegxaxxx−=++，∴()ln1gxaxa=++.令()0gx，则11eax−−；令()0gx，则11

0eax−−.∴()gx在110,ea−−上单调递减，在11e,a−−+上单调递增，……（8分）不妨令11ta=−−，则()111att=−−+，则()111e11ee11tta

tatt−−++−=+=++.……（10分）令()()1e1tptt=++，()()2etptt=+，易得()pt在(),2−−上单调递减，在()2,1−−上单调递增，∴()()22e10ptp−−=−+，∴11eaa−−，∴()gx在110,ea−−上单调递减，在1

1e,aa−−上单调递增，∴()111122mineeeee1taagxgat−−−−−−==−+=++.令()()2ee11tqttt−=+−+，∴()()2e01ttqtt=+，∴()

qt在(),1−−上单调递减，而()20q−=，∵()0gx在()0,a上恒成立，∴()0qt，∴2t−，即112a−−−，∴01a，综上所述，a的取值范围为1a.……（12分）获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com