【文档说明】建省泉州市泉港区第一中学2020-2021学年高二上学期12月月考试题 数学 含答案.docx，共(10)页，102.567 KB，由小赞的店铺上传

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1泉港区第一中学2020—2021学年第一学期12月月考高二数学试题试卷满分150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.经过点𝐴(−1,4)且在x轴上的截距为3的直线方程是()A.𝑥+𝑦+3=

0B.𝑥−𝑦+3=0C.𝑥+𝑦−3=0D.𝑥−𝑦−3=02.已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设𝑓(2)−𝑓(1)2−1=𝑎，则下列不等式正确的是()A.𝑓′(1)<𝑓′(2)<𝑎B.𝑓

′(1)<𝑎<𝑓′(2)C.𝑓′(2)<𝑓′(1)<𝑎D.𝑎<𝑓′(1)<𝑓′(2)3.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4√5,则椭圆的标准方程为()A.𝑥26+𝑦24=1B.𝑥216+

𝑦236=1C.𝑥236+𝑦216=1D.𝑥249+𝑦29=14.点𝑃(𝑥,𝑦)是直线l：𝑥+𝑦+3=0上的动点,点𝐴(2,1),则|AP|的最小值是()A.√2B.2√2C.3√2D.4√25.等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=

33，则a5+a8+a11的值为（）A.30B.27C.9D.1526.若等比数列{an}的前n项和Sn=3n+1+a，则a=（）A.1B.−1C.3D.−37.已知等比数列{an}满足a1=14，a3a5=4（a4-1），则a2=（）A.2B.1C.12D.188.过点M（2

，-2）以及圆x2+y2-5x=0与圆x2+y2=2交点的圆的方程是（）A.𝑥2+𝑦2−154𝑥−12=0B.𝑥2+𝑦2−154𝑥+12=0C.𝑥2+𝑦2+154𝑥−12=0D.𝑥2+𝑦2+154𝑥+12=09.如图，M是抛物线y2=4x上一点（M在x轴上方），F是抛物线的

焦点，若|FM|=4，则∠xFM=（）A.30○B..45○C.60○D.75○10.已知F1，F2是双曲线E：𝑥2𝑎2-𝑦2𝑏2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠M

F2F1=13，则E的离心率为（）A.2B.32C.√3D.√211.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥截面AB1C，则线段MP长度的取值范围是（）A.[√

2,√6]B.[√6,2√2]C.[√6,2√3]D.[√6,3]12.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,即杨辉三角,这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中,第n行的所有数字之和为2𝑛−1,若去除

所有为1的项,依次构成数列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5⋯,则此数列3的前55项和为().A.4072B.2026C.4096D.2048二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数f（x）=𝑙𝑛𝑥𝑥，f′（x）为f（x）的

导函数，则f′（1）的值为______．14.若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n=______时，{an}的前n项和最大．15.已知双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1的一条渐近线l的倾斜角为𝜋3，且C的一个焦点到l的距离为√3，则C的

方程为______．16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；④

M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是____________．(写出所有真命题的编号)三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，a2＝3，S4＝16，n∈N*

．（1）求数列｛an｝的通项公式；（2）设𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1，求数列｛bn｝的前n项和Tn．18.已知抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点𝐹,𝐶上一点(3,𝑚)到焦点的距离为5.4（1）求𝐶的方程；（2）过𝐹作直线𝑙，交𝐶于

𝐴,𝐵两点，若直线𝐴𝐵中点的纵坐标为−1，求直线𝑙的方程.19.在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，已知圆𝐶:𝑥2+𝑦2+8𝑥−4𝑦=0与圆𝑂:𝑥2+𝑦2=𝑟2(𝑟>0)关于直线𝑙对称．（1）求直线𝑙的方程；（2）设圆𝐶与圆𝑂交于点𝐴、𝐵，点𝑃为圆�

�上的动点，求𝛥𝐴𝐵𝑃面积的最大值．20.设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且𝑆𝑛=2−12𝑛−1，数列{𝑏𝑛}为等差数列，且𝑎1=𝑏1,𝑎2(𝑏2−𝑏1)=𝑎1．（Ⅰ）求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；（Ⅱ）设𝑐𝑛=𝑏𝑛𝑎𝑛

，求数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和𝑇𝑛;（Ⅲ）若对任意正整数𝑛，不等式𝑇𝑛⩾𝑡·2𝑛−9均成立，求𝑡的最大值．521.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F分别为A1C1、BC的中点，AB=BC=2，C1F⊥AB．（1）求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）若直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于√1010，求二面角A-BE-C的余弦值．22.已知椭圆C：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1（a＞b＞0）的离心率𝑒=√22，且与直线l：y=x+3相切．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆上点A

（2，1）作椭圆的弦AP，AQ，若AP，AQ的中点分别为M，N，若MN平行于l，则OM，ON斜率之和是否为定值？6答案和解析1.C2.B3.C4.C5.D6.D7.C8.A9.C10.D11.B12.A1

3.114.815.x2-𝑦23=116.①③④17.解：（1）设数列｛an｝的公差为d，∵𝑎2＝3，𝑆4＝16，∴{𝑎1+𝑑=34𝑎1+4×32𝑑=16,∴解得𝑎1=1,𝑑=2,∴𝑎𝑛=2𝑛−1；（2）∵由题意，𝑏𝑛=1𝑎𝑛𝑎𝑛+1,=1(2𝑛−1)(

2𝑛+1),=12(12𝑛−1−12𝑛+1),∴𝑇𝑛=𝑏1+𝑏2+⋯+𝑏𝑛,=12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12𝑛−1−12𝑛+1)],=12(1−12𝑛+1),=𝑛2𝑛+1

.18.解：（1）抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的准线方程为𝑥=−𝑝2,由抛物线的定义可知3−(−𝑝2)=5，解得𝑝=4.∴𝐶的方程为𝑦2=8𝑥；（2）由（1）得抛物线C的方程为𝑦2=8𝑥，焦点𝐹(2,0)，设𝐴,𝐵

两点的坐标分别为𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，则{𝑦12=8𝑥1𝑦22=8𝑥2.两式相减整理得𝑦2−𝑦1𝑥2−𝑥1=8𝑦2＋𝑦1，∵线段AB中点的纵坐标为−1，7∴直线𝑙的斜率𝑘𝐴𝐵

=8𝑦2＋𝑦1=8(−1)×2=−4.直线𝑙的方程为𝑦−0=−4(𝑥−2)，即4𝑥＋𝑦−8=0.19.解：（1）把圆𝐶:𝑥2＋𝑦2＋8𝑥−4𝑦=0的方程化为(𝑥＋4)2＋(𝑦−2)2=20，所以圆心𝐶(

−4,2),半径为2√5.因为𝑂(0,0),所以𝑂𝐶的中点为(−2,1),𝑘𝑂𝐶=−12.由已知条件得,直线𝑙经过点(−2,1),且斜率𝑘𝑙=2,所以直线𝑙的方程为𝑦−1=2(𝑥＋2),即2𝑥−𝑦＋5=0.（2）由（1）得:直线𝐴𝐵的方程为2𝑥−

𝑦＋5=0，圆心𝑂(0,0)到直线𝐴𝐵的距离为𝑑=5√5=√5.由条件可得圆𝑂的半径与圆𝐶的半径相等,都是2√5，所以弦长𝐴𝐵=2√20−5=2√15.要使𝛥𝐴𝐵𝑃的面积最大,则须𝑃𝑂⊥𝐴𝐵.此时点�

�到𝐴𝐵的距离为2√5＋√5=3√5,此时𝛥𝐴𝐵𝑃的面积为12×2√15×3√5=15√3．所以𝛥𝐴𝐵𝑃面积的最大值为15√3.20.解：（Ⅰ）当𝑛=1时，𝑎1=𝑆1=1；当𝑛⩾2时，𝑎𝑛=𝑆�

�−𝑆𝑛−1=12𝑛−1，此式当𝑛=1时也成立.∴𝑎𝑛=12𝑛−1(𝑛∈𝑁∗).8∴𝑎1=1,𝑎2=12.∵𝑎1=𝑏1,𝑎2(𝑏2−𝑏1)=𝑎1，∴𝑏1=1,𝑏2=3，公差d=b2-b1=2,易得𝑏𝑛=2𝑛−1；（Ⅱ）由（

Ⅰ）𝑐𝑛=(2𝑛−1)·2𝑛−1.𝑇𝑛=1＋3⋅2＋5⋅22＋⋅⋅⋅＋(2𝑛−1)⋅2𝑛−1，2𝑇𝑛=2＋3⋅22＋5⋅23＋⋅⋅⋅＋(2𝑛−3)2𝑛−1＋(2𝑛−1)⋅2𝑛.𝑇�

�=2𝑇𝑛−𝑇𝑛=−1−2·2−2·22−⋯−2·2𝑛−1+(2𝑛−1)·2𝑛=−1−2·2(1−2𝑛−1)1−2+(2𝑛−1)·2𝑛=3+(2𝑛−3)·2𝑛；（Ⅲ）𝑇𝑛⩾𝑡·2𝑛−9,得𝑡⩽122𝑛＋2𝑛−3.令𝐴𝑛=122𝑛+2�

�−3，则𝐴𝑛+1−𝐴𝑛=(122𝑛+1+2𝑛−1)−(122𝑛+2𝑛−3)=2−62𝑛.当𝑛⩾2时，𝐴𝑛＋1>𝐴𝑛.而𝐴1>𝐴2，{𝐴𝑛}从第2项起是递增的，故�

�𝑛=122𝑛＋2𝑛−3⩾𝐴2=4，𝑡⩽4，𝑡的最大值为4.21.（1）证明：由直三棱柱ABC-A1B1C1，∴BB1⊥底面ABC，∴BB1⊥AB，又C1F⊥AB，BB1与C1F相交，∴AB⊥平面ABE，又AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面B1BCC1

；（2）解：由（2）可知：AB⊥BC．因此可建立如图所示的空间直角坐标系．F（0，1，0），设C1（0，2，t）（t＞0），𝐹𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=（0，1，9t）．由题意可取平面ACC1A1的法向量为𝑎⃗⃗=（1，1，0）．∵直线C1F和平面ACC1A1所成角的正弦值等于

√1010，∴√1010=|cos＜𝑎⃗⃗，𝐹𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗＞|=|𝑎⃗⃗⋅𝐹𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝑎⃗⃗|⋅|𝐹𝐶1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1√2⋅√1+𝑡2，解得t=2．∴E（1，1，2），A（2，0，0），C（0，2，0），𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

=（2，0，0），𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=（1，1，2），𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=（0，2，0）．设平面ABE的法向量为𝑚⃗⃗⃗=（x，y，z），则𝑚⃗⃗⃗⋅𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚⃗⃗⃗•𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0，可得：x=0，x+y

+2z=0，取y=2，可得：𝑚⃗⃗⃗=（0，2，-1）．同理可得平面CBE的法向量为𝑛⃗⃗=（2，0，-1）．∴cos＜𝑚⃗⃗⃗，𝑛⃗⃗＞=𝑚⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑚⃗⃗⃗|⋅|𝑛⃗⃗|=1√5×√5=

15．∴二面角A-BE-C的余弦值为15．22.解：（Ⅰ）∵𝑒=√22，∴𝑏2𝑎2=𝑎2−𝑐2𝑎2=1−𝑒2=12，即a2=2b2，由{𝑦=𝑥+3𝑥22𝑏2+𝑦2𝑏2=1，得3x2+12x+18-2b2=0，𝛥=144-4×3（18-2b2）

=0，得b2=3，则a2=6，所以椭圆方程为𝑥26+𝑦23=1；（Ⅱ）因为AP，AQ的中点分别为M，N，直线MN平行于l，所以KMN=KPQ=1，设直线PQ的方程y=x+t，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立方程组{𝑦=𝑥+𝑡𝑥26+𝑦23=1，得

3x2+4tx+2t2-6=0，𝑥1+𝑥2=−4𝑡3，𝑥1𝑥2=2𝑡2−63，由题意得，𝑀(𝑥1+22,𝑦1+12)，𝑁(𝑥2+22,𝑦2+12)，𝑘𝑂𝑀+𝑘𝑂𝑁=𝑦1+1𝑥1+2+𝑦2+1𝑥2+210=𝑥1+𝑡+1𝑥1+2+�

�2+𝑡+1𝑥2+2=2𝑥1𝑥2+(𝑡+1+2)(𝑥1+𝑥2)+4(𝑡+1)(𝑥1+2)(𝑥2+2)=2×2𝑡2−63+(𝑡+1+2)×−4𝑡3+4(𝑡+1)(𝑥1+2)(𝑥2+2)=0，所以OM，ON斜率之和是为定值0．