【文档说明】河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.774 MB，由管理员店铺上传

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大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.

已知直线l的倾斜角为3π4，且l经过点()1,2−，则l的方程为（）A.30xy++=B.10xy+−=C.240xy−+=D.20xy+=【答案】B【解析】【分析】先求出直线的斜率，由点斜式方程可得直线方程.【详解】由题意，直线l的斜率为3πtan14=−，又过点()1,2−，故其方程为2(

1)yx−=−+，即10xy+−=.故选：B.2.椭圆22194xy+=与221(494xymmm+=−−，且0)m的（）A.长轴长相等B.短轴长相等C.焦距相等D.离心率相等【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的标准方程和几何性质，结合选

项计算即可求解.【详解】对应椭圆22194xy+=，3,2ab==，所以225cab=−=，所以该椭圆的长轴为6，短轴为4，焦距为25，离心率为53cea==；对于221(494xymmm+=−−且0

m），则90,40mm−−，该方程表示的是焦点在x轴上的椭圆，9,4ambm=−=−，所以225cab=−=，长轴为29m−，短轴为24m−，所以该椭圆的焦距为25，离心率为59ceam==−，所以两个圆锥

曲线的的焦距为25，故C正确.故选：C3.已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为()0,10，则C的方程为（）A.22128xy−=B.2214yx−=C.22146yx−=D.22182−=yx【答案】D【解析】【分析】由题意，判断双曲

线焦点位置，求出,ab的值，即得双曲线方程.【详解】由题意，双曲线的焦点在y轴上，且10c=，2ab=，即2ab=，利用222abc+=可联立求得22,2ab==，故双曲线C的方程为：22182−=yx.故选：D.4.在四面体ABCD中，M为棱CD的中点，E为线段AM的中点，

若BEaBCbBDcBA=++，则ca=（）A.12B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】根据空间向量的线性运算即可求解.【详解】如图，()()11112222BEBAAEBAAMBABMBABABDDMBA=+=+=+−=++−1111111111111()2222222224442

BABDDMBABDDCBABDBCBDBCBDBA=++=++=++−=++，又BEaBCbBDcBA=++，所以111,,442abc===，则2ca=.故选：C5.若直线:40laxby−−=与圆22:4

Oxy+=相离，则点(),Pab（）A.在圆O外B.在圆O内C.在圆O上D.位置不确定【答案】B【解析】【分析】利用点线距离公式及O到:40laxby−−=的距离2d，即可判断点与圆位置关系.【详解】由题意，O到:40laxby

−−=的距离2242dab=+，即224ab+，所以(),Pab在在圆O内.故选：B6.设P为椭圆221259xy+=上一动点，12,FF分别为椭圆的左､右焦点，()1,0Q−，则2||||PFPQ+的最小值为（）A.8B.7C.6D.4【答案】B【解析

】【分析】利用椭圆的定义式，将2||||PFPQ+转化为110||||PQQF+−，结合图形分析判断得出1||||PQPF−的最小值，即得2||||PFPQ+的最小值.【详解】如图，连接1PF,因21||||210

PFPFa+==，则21||||10||||PFPQPQPF+=+−，由图知，当1,,PQF三点共线，且点Q在1,PF之间时，1||||PQPF−的值最小，最小值为1||(14)3QF−=−−+=−,此时，2||||PFPQ+的最小值为1037−=.故选：B.7.已知F为抛物线()

2:20Expyp=的焦点，ABCV的三个顶点都在E上，且F为ABCV的重心.若FAFB+的最大值为10，则p=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】设112233(,),(,),(,)AxyBxyCxy，利

用抛物线的定义将FAFB+转化为12yyp++，再由三角形的重心性质和点C的坐标特征即可求得p值.【详解】如图，作抛物线的准线:2ply=−，分别过点,AB作11,AAlBBl⊥⊥，垂足为1A，1B，设112233(,

),(,),(,)AxyBxyCxy，则111212||||||||22ppFAFBAABByyyyp+=+=+++=++（*），因点(0,)2pF为ABCV的重心，则12332yyyp++=，即12332pyyy+=−，代入

（*），可得3335||||22ppFAFBypy+=−+=−，因点33(,)Cxy在抛物线()2:20Expyp=上，故30y，故5||||2pFAFB+，依题，5102p=，解得4p=.故选：

D.8.如图，在多面体EFABCD−中，底面ABCD是边长为1的正方形，M为底面ABCD内的一个动点（包括边界），AE⊥底面,ABCDCF⊥底面ABCD，且2AECF==，则MEMF的最小值与最大值分别为（）A.7,42B.3,4C.7,52D.57,22【答案】A

【解析】【分析】由题意可得,,ADABAE两两垂直，所以以,,ADABAE所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，设(,,0)(01,01)Mabab，然后表示出MEMF化简可求得结果.【详解】因为AE⊥底面,,ABCDADAB平面ABCD，所以,AEADAEAB⊥⊥

因为四边形ABCD为正方形，所以ADAB⊥，所以,,ADABAE两两垂直，所以以,,ADABAE所在的直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则(0,0,2),(112)EF，，，设(,,0)(01,01)M

abab，则(,,2),(1,1,2)MEabMFab=−−=−−，所以22(1)(1)44MEMFaabbaabb=−−−−+=−+−+22117222ab=−+−+，因为01,

01ab，所以当12ab==时，MEMF取得最小值72；当0a=或1，0b=或1时，MEMF取得最大值4.故选：A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程(

)()22:251Cmxmy−+−=，则（）A.当25m时，方程C表示椭圆B.当5m时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线,C.存在m，使得方程C表示两条直线D.存在m，使得方程C表示抛物线【答案】BC【解析】【分析】根据椭

圆、双曲线和抛物线的标准方程，结合选项依次验证即可.【详解】当2m且5m时，方程C为2211125xymm+=−−，若1125mm=−−，即72m=，此时方程C表示圆；若1125mm−−，即72m，当25m或5

m时，110,025mm−−，方程C表示焦点在x轴的双曲线，故A错误；当2m时，110,025mm−−，方程C表示焦点在y轴的双曲线，故B正确；当2m=时，方程C为213y=，表示两条直线；当5m=时，方程C为212xm=−，表示两条直线；故C正确；方程C

不可能表示抛物线，故D错误.故选：BC10.已知直线l的方程为()()0,1,1,3,3axyaMN−−=−，则下列结论正确的是（）A.点M不可能在直线l上B.直线l恒过点()1,0C.若点,MN到直线l的距离相等，则2a=D.直线l上恒存在点Q，满足0

MQNQ=【答案】ABD【解析】【分析】当1x=时0y=，即可判断A；将线l方程可化为(1)yax=−，即可判断B；利用点线的距离公式计算即可判断C；利用平面向量的坐标表示求出点Q的轨迹方程，证明点(1,0)在圆的内部即可判断D.【详解】A：当1x=时，0y=，所以点M不可

能在直线l上，故A正确；B：直线l方程可化为(1)yax=−，所以直线l恒过定点(1,0)，故B正确；C：因为点,MN到直线l的距离相等，所以2212311aaaaa+−−=++，解得1a=或2，故C错误；D：设(,)Qxy，则(1,1),(3,3)

MQxyNQxy=−+=−−，所以(1)(3)(1)(3)0MQNQxxyy=−−++−=，整理得22(2)(1)5xy−+−=，即点Q的轨迹方程为22(2)(1)5xy−+−=.又直线l恒过定点(1,0)，且22(12)(01)5−+−，所以点(1,0)在圆的内部，所以直线l与圆22(2

)(1)5xy−+−=恒有公共点，即直线l上恒存在点Q，满足0MQNQ=，故D正确.故选：ABD11.如图，在三棱锥ABCD−中，,BDBCAB⊥⊥平面,2,,,,BCDABBCBDEFGH===分别为,,,ABBDBCCD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，则（）A.存在0,

0ab，使得GMaGHbGE=+B.不存在点N，使得MNEH⊥C.MN的最小值为52D.异面直线AG与EF所成角的余弦值为105【答案】BCD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图

建立空间直角坐标系，则()1,0,0G，()1,1,0H，𝐸(0,0,1)，110,,22M，()0,1,0F，()0,0,2A，所以111,,22GM=−，()0,1,0GH=，()1,0,1GE=−，因为GMaGHbGE=+，则11212bab−=−=

=，方程无解，故不存在a、b使得GMaGHbGE=+，故A错误；因为N是线段GH上的动点，设()1,,0Nb()01b，所以111,,22MNb=−−，()1,1,1EH=−，所以1111022MNEHbb=+−+=+，所以不存在点N，

使得MNEH⊥，故B正确；因为25142MNb=+−，所以当12b=时MN取得最小值，即min52MN=，故C正确；因为()1,0,2AG=−，()0,1,1EF=−，所以210cos,552AGEF==，所以异面直线AG与EF所成角的余弦值为105，故D正确.故选：BCD三､填空题

：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在空间直角坐标系Oxyz中，点(),0,23Pab−与(),0,Qab关于原点O对称，则点Q的坐标为__________..【答案】(0,0,1)【解析】【分析】根据给定条件，利用对称性列式

计算得解.【详解】依题意，20,330ab=−=，解得0,1ab==，所以点Q的坐标为(0,0,1).故答案为：(0,0,1)13.若圆22:(2)(1)1Cxy−+−=关于直线220axby++=对称，则点(),ab与圆心C的距离的最小值是_____

_____.【答案】22【解析】【分析】根据题意得到10ab++=，再利用数形结合思想将问题转化为圆心到直线10ab++=的距离.【详解】由题意可知直线经过圆心，所以2220ab++=，即10ab++=，点(),ab到圆心距离最小值就是圆心到直线10ab++=的距离的最小值，又

圆心到直线10ab++=的距离211222d++==.故答案为：2214.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆()2222Ω:10xyabab+=

及其蒙日圆,ΩO的离心率为63，点,,,ABCD分别为蒙日圆O与坐标轴的交点，,,,ABBCCDAD分别与Ω相切于点,,,EFGH，则四边形ABCD与四边形EFGH的面积的比值为__________.【答案】83##223【解析】【分析】根据蒙

日圆定义得到点,AD的坐标，即可得到直线AD的方程，然后联立直线和椭圆的方程得到点H，最后计算面积求比值即可.【详解】由题意得蒙日圆O为2222xyab+=+，则()220,Aab+，()22,0Dab+，直线AD

的方程为：22yxab=−++，联立2222221yxabxyab=−+++=得()222222420abxaabxa+−++=，()()2422422440aabaab=+−+=，解得222Haxab=+，222Hbyab=+，所以()()()()222222222422424222

24222222222214244448222222324ABCDEFGHababacSaacceeabSabaaceaacabab++−−+−+======−−−++.故答案为：83.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字

说明､证明过程或演算步骤.15.已知圆C的圆心在直线2yx=和直线240xy+−=的交点上，且圆C过点()1,1−.（1）求圆C的方程；（2）若圆B的方程为224430xyxy+−++=，判断圆B与圆C的位置关系.【答案】（1）22

(1)(2)5xy−+−=（2）圆C与圆B相交.【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知B的圆心为()2,2B−，半径25r=，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】的由

2240yxxy=+−=，得12xy==，即圆心坐标为()1,2.()22[11](21)5−−+−=，圆C的方程为22(1)(2)5xy−+−=.【小问2详解】由（1）知，圆C的圆心为()1,2C，半径15r=.圆B的方程224430xyxy+−++=可化为22(

2)(2)5xy−++=，则圆B的圆心为()2,2B−，半径25r=.22(12)(22)17CB=−++=，1212025rrCBrr=−+=，圆C与圆B相交.16.如图，在四棱锥PABCD−中，四边形ABCD是矩形，2,4,22,25,PAAB

ADPBPDN=====为CD的中点.（1）证明：PABN⊥；（2）求直线AB与平面PBN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43333.【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得PAAD⊥，PAAB⊥，然后利用线面垂直的判定定理得PA⊥平面ABCD，再由线面

垂直的性质可证得结论；（2）由题意可得,,ABADAP两两垂直，所以以A为坐标原点，直线,,ABADAP分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：2,25,4PAPDAD===，222PDPAAD=+，PAAD

⊥.2,22PAABPB===，222PBPAAB=+，PAAB⊥.,,ABADAABAD=平面ABCD，PA⊥平面ABCD，又BN平面ABCD，PABN⊥.【小问2详解】解：四边形ABCD是矩形，ABAD⊥，P

A⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD，,PAABPAAD⊥⊥，所以以A为坐标原点，直线,,ABADAP分别为x轴､y轴､z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,1,4,0,0,0,2ABNP，()()()2,0,0,1,4,0,2,0,2AB

BNBP==−=−.设平面PBN的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则40220nBNxynBPxz=−+==−+=，令1y=，可得4,4xz==，平面PBN的一个法向量为()4,1,4n=.设直线AB与平面PBN所成的角为

，则222240104433sin332414ABnABn++===++，直线AB与平面PBN所成角的正弦值为43333.17.已知F是抛物线2:2(03)Cypxp=的焦点，()0,4Px是C上一点，且P在C的准线

上的射影为,5QPQ=.（1）求C的方程；（2）过点P作斜率大于43的直线l与C交于另一点M，若PFM△的面积为3，求l的方程.【答案】（1）24yx=；（2）240xy−−=.【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上得08xp=，

结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；（2）设直线()3:4404lxtyt−=−，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t，即可得结果.【小问1详

解】()0,4Px是C上一点，2042px=，则01682xpp==，由抛物线的定义，知852pPQp=+=，03p，则2p=，C的方程为24yx=.【小问2详解】由（1），知()()1,0,4,4FP.设直线()3:4404lxtyt−=−

，即44xtyt=−+，代入24yx=，整理得2416160ytyt−+−=，4161644MPMMyyytyt==−=−，()22211444421MPPMtyytttt=+−=+−−=−+，又点F到l的距离为2211044341()1tttdtt−+−−==+−+，()2

211344213221PMFtSPMdttt−==−+=+，即2(2)(34)3tt−−=，解得12t=或94t=（舍去），直线l的方程为()1442xy−=−，即240xy−−=.18.如图，在斜三棱柱

111ABCABC−中，平面11AACC⊥平面,ABCABC△是边长为2的等边三角形，11,AAACO=为AC的中点，且12,AOD=为1AC的中点，E为AD的中点，114BFBB=.（1）设向量a为平面ABC的法向量，证明：0EFa=；（2

）求点A到平面BCD的距离；（3）求平面BCD与平面1BDC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）45719（3）1119【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出1AO⊥平面

ABC，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量()0,2,0,AC=应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接BO.111,AAACAOAC=

⊥，平面11AACC⊥平面ABC，平面11AACC平面1,ABCACAO=平面11AACC，1AO⊥平面ABC.ABC是边长为2的等边三角形，,3BOACBO⊥=.以O为坐标原点，直线1,,OBOCOA分别为x轴､y轴､z轴建立空间直角坐标系，则()()0,0,0,0,1,0OA−

，()()()()111113,0,0,0,1,0,0,0,2,3,1,2,0,,1,0,,242BCABDE−.()10,0,2OA=是平面ABC的一个法向量，令1aOA=.()1

11110,1,2,0,,442BBBFBB===，1113,,,3,,0422FEF=，13000202EFa=++=.【小问2详解】()()10,2,0,3

,1,0,0,,12ACBCCD==−=−.设平面BCD的法向量为(),,mxyz=，则30,10,2mBCxymCDyz=−+==−+=令2x=，可得23,3z=，平面BCD的一个法向量为()2,23,3m=，点A到平面BCD的距离为222022

2303457192(23)(3)ACmdm++===++.【小问3详解】()13,0,2CB=.设平面1BDC的法向量为(),,nabc=，则1320,10,2nCBacnCDbc=+==−+=令2a=，可得23,3bc=−=−，平面1BDC的一个法向量为()

2,23,3n=−−.由（2）可知平面BCD的一个法向量为()2,23,3m=.设平面BCD与平面1BDC的夹角为，则2222222223233311cos192(23)(3)2(23)(3)nmnm−−===+−+−++，平面BCD与平面1BDC夹角的

余弦值为1119..19.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=离心率为2，左､右焦点分别是12,,FFP是C的右支上一点，1PF的中点为Q，且11QFQO−=（O为坐标原点），A是C的右顶点，,MN是C上两点（均与点A不重合）

.（1）求C的方程；（2）若,MN不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H，证明：直线OH与直线MN的斜率之积为定值；（3）若,MN不关于y轴对称，且AMAN⊥，证明：直线MN过定点.【答案】（1）2213yx−=；

（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题设及双曲线定义得1a=，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；（2）设()()()(1122000,,,,,0MxyNxyHxyx且)00

y，应用点在双曲线上、中点公式得0121203xyyxxy−=−，即可证结论；（3）设直线MN的方程为()1xmytt=+，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t，即可证结论.【小问1详解】设()()()12,0,,00FcFcc−，连接2PF.Q是1

PF的中点，O是12FF的中点，//QO221,2PFQOPF=，1212222aPFPFQFQO=−=−=，则1a=.又e222ccaa====.22222213bca=−=−=，C的方程为2213yx−=.的【小问2详解

】设()()()(1122000,,,,,0MxyNxyHxyx且)00yMN的中点为H，则1201202,2xxxyyy+=+=，,MN是C上的两点，221113yx−=①，222213yx−=②，①−②，得2222121203yyxx−−−=，即()()

()()1212121203yyyyxxxx+−+−−=，即()()0120122203yyyxxx−−−=，可得0121203xyyxxy−=−，012120030MNOHyyykkxxx−−==−−，直线OH与直线MN的斜率之积为定值3.【小问3详解】易知()1,0A，且,MN不关于

y轴对称，直线MN的斜率不为0，设直线MN的方程为()1xmytt=+，代入2213yx−=，整理得()222316330mymtyt−++−=，()()()222222310,Δ(6)4313312310,mmtmtmt−=−−−=+−

2121222633,3131mttyyyymm−+=−=−−，AMAN⊥，()()()()112212121,1,11AMANxyxyxxyy=−−=−−+()()()()()22121212121111(1)mytmytyymyymtyyt=+−+−+=+

+−++−.()()()2222213361(1)3131mtmtmttmm+−−=−+−−−22222222222223333663632131mtmtmtmtmtmtmttm−+−−++−+−+−=−22224031ttm+−==−，解得2t

=−或1t=（舍去），直线MN过定点()2,0−.【点睛】关键点点睛：第二问，应用点差法找到()()()112200,,,,,MxyNxyHxy之间坐标关系，第三问，设直线并联立双曲线，应用韦达定理和向量垂直坐标表示求参数

.