【文档说明】新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(17)页，969.762 KB，由小赞的店铺上传

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乌鲁木齐市第101中学2022-2023学年上学期期中测试卷高二数学（选择性必修第一册）总分100分考试时间120分钟姓名：___________班级：___________一、选择题（12题每题4分共48分）1.点()2,0P关于直线:10lxy++

=的对称点Q的坐标为（）A.()1,3−−B.()1,4−−C.()4,1D.()2,3【答案】A【解析】【分析】根据点关于线对称的特点，利用中点坐标公式及两直线垂直的斜率的关系即可求解.【详解】设点()2,0P关于直线10xy++=的对称点的坐标为(),ab，则()

011221022baab−−=−−+++=，解得13ab=−=−.所以点Q的坐标为()1,3−−故选：A.2.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A.16B.23C.2

121D.42121【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的线性运算性质，结合空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】设该正面体的棱长为1，因为M为BC中点，N为AD中点，所以22131(1)22BNDM==−=，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有

12BNBAANABAD=+=−+，1111(),2222DMDBBMDAABBCADABACABADABAC=+=++=−++−=−++2222111()()22211111222441111111111111

1111112222242421,2BNDMABADADABACABADABABACADABADACAD=−+−++=−−−++=−−−++=−122cos,33322BNDMBNDMBNDM−===−，根据异面直线所成角

的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为23，故选：B3.已知F是椭圆22:143xyC+=的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点Q坐标为(1,1)，则||||PQPF+的最大值为（）A.3B.5C.4

1D.13【答案】B【解析】【分析】由22PQPFPQaPFQFa+=+−+，结合图形即得.【详解】因为椭圆22:143xyC+=，所以2,3,1abc===，()1,0F−，则椭圆的右焦点为()1,0F，由椭圆的定义得：225P

QPFPQaPFQFa+=+−+=，当点P点P处，取等号，所以PQPF+的最大值为5，故选：B.4.圆222460xyxy++−−=圆心和半径分别是（）A.()1,2−−，11B.()1,2-

，11C.()1,2−−，11D.()1,2-，11【答案】D【解析】【分析】先化为标准方程，再求圆心半径即可.【详解】先化为标准方程可得()()221211xy++−=，故圆心为()1,2-，半径为11.故选：D.5.在

正方体1111ABCDABCD−中，P为11BD的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】D【解析】【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角

，解三角形即可.【详解】如图，连接11,,BCPCPB，因为1AD∥1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB⊥平面1111DCBA，所以11BBPC⊥，又111PCBD⊥，1111BBBDB=，所以1PC⊥平面1PBB，所以1PCPB

⊥，在的设正方体棱长2，则1111122,22BCPCDB===，1111sin2PCPBCBC==，所以16PBC=.故选：D6.已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率为（）A.72B.13

2C.7D.13【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PFPF，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PFPF=，由双曲线的定义可得12222PFPFPFa−==，所以2PFa=，13PF

a=；因为1260FPF=,由余弦定理可得2224923cos60caaaa=+−，整理可得2247ca=，所以22274ace==，即72e=.故选：A【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,ac间的等量关系是求解的关

键.7.下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（）A.OAOBOCOP++=−uuruuuruuuruuurB.OAOBOCOP++=uuruuuruuuruuurC.2OAOBOCOP++=uuruuuruuuruuurD.3OAOBOCOP++=

【答案】D【解析】【分析】要使空间中的P、A、B、C四点共面，只需满足OPxOAyOBzOC=++uuuruuruuuruuur，且1xyz++=即可.【详解】对于A选项，OPOAOBOC=−−−uuuruuru

uuruuur，()()(1)1131−+−+−=−，所以点P与A、B、C三点不共面；为对于B选项，OPOAOBOC=++，11131++=，所以点P与A、B、C三点不共面；对于C选项，111222OPOAOBOC=++，111312222++=，所以点P与A、B、C三点不共面；对于D

选项，111333OPOAOBOC=++，1111333++=,所以点P与A、B、C三点共面.故选：D8.已知直线l的倾斜角为60，且经过点()0,1，则直线l的方程为（）A.3yx=B.32yx=−C.31yx=+D.33yx=+【答案】C【解析】【分析】先求出斜率，再由

直线的点斜式方程求解即可.【详解】由题意知：直线l的斜率为3，则直线l的方程为31yx=+.故选：C.9.已知点()Pxy，在直线10xy−−=上的运动，则()()2222xy−+−的最小值是（）A.12B.22C.14D.34【答案】A【解析】【分析】()()2222xy−+−表示点()Pxy，

与()22，距离的平方，求出()22，到直线10xy−−=的距离，即可得到答案.【详解】()()2222xy−+−表示点()Pxy，与()2,2距离的平方，因为点()2,2到直线10xy−−=的距离1222d==，所以()2,2的最小值为212d=．故选：A10.已知四棱锥P

ABCD−，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，13CMCB=，PNND=，设ABa=，ADb=，cAP=，则向量MN用,,abc为基底表示为（）.A.1132abc++B.1162abc

−++C.1132abc−+D.1162abc−−+【答案】D【解析】【分析】由图形可得MNMCCDDN=++，根据比例关系可得13MCAD=，12DNDP=，再根据向量减法DPAPAD=−，代入整理并代换为基底向量．

【详解】()111111323262MNMCCDDNADABDPADABAPADABADAP=++=−+=−+−=−−+即1162MNabc=−−+故选：D．11.设12,FF是椭圆2211224xy+=的两个焦点，P是椭圆上一点，且1213cosFPF=.则12PFF△的面积为（）

A.6B.62C.8D.82【答案】B【解析】【分析】利用椭圆的几何性质，得到12246PFPFa+==，12243FFc==，进而利用1213cosFPF=得出1218PFPF=，进而可求出12SPFF【详

解】解：由椭圆2211224xy+=的方程可得2224,12ab==，所以22212cab=−=，得26,23ac==且12246PFPFa+==，12243FFc==，在12PFF△中，由余弦定理可得222221212121

212121212||||||(||||)2||||||cos2||||2||||PFPFFFPFPFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−+−−==22212121212442||||42||||2||||2||||acPFPFbPFPFPFPFPFPF−−−==12124

122||||2||||PFPFPFPF−=，而121cos3FPF=，所以，1218PFPF=，又因为，121cos3FPF=，所以1222sin3FPF=，所以，1212121122sin1862223SPFFPFPFFPF==

=故选：B12.设B是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的上顶点，若C上的任意一点P都满足||2PBb，则C的离心率的取值范围是（）A.2,12B.1,12C.20,2D.10,2【

答案】C【解析】【分析】设()00,Pxy，由()0,Bb，根据两点间的距离公式表示出PB，分类讨论求出PB的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,Pxy，由()0,Bb，因为2200221xyab+=，222abc=+

，所以()()2223422222220000022221ycbbPBxybaybyabbbcc=+−=−+−=−++++，因为0byb−，当32bbc−−，即22bc时，22max4PBb=，即max

2PBb=，符合题意，由22bc可得222ac，即202e；当32bbc−−，即22bc时，42222maxbPBabc=++，即422224babbc++，化简得，()2220cb−，显然该不等式不成立．故选：C．【点睛】本题解题关键是如何求出PB的最

大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．二、填空题（共五题每题2分共10分）13.在平面内，一只蚂蚁从点(2,3)A−−出发，爬到y轴后又爬到圆22:(3)(2)2Cxy++−=上，则它爬到的最短

路程是______．【答案】42【解析】【分析】求得点(2,3)A−−关于y轴的对称点为(2,3)A−，结合圆的性质，即可求解.【详解】由圆22:(3)(2)2Cxy++−=，得圆心坐标(3,2)C−，半径为2，求得点(2,3)A−−关

于y轴对称点为(2,3)A−，可得22(32)(23)242APACr=−=−−++−=.如图所示，可得爬到的最短路程为42.故答案为：42的14.若圆221xy+=与圆()()22416xay−+−=有3条公切线，则正数a=_________

__.【答案】3【解析】【分析】根据两圆外切半径之和等于圆心距即可求解.【详解】两圆有三条公切线，则两圆外切，∴2245a+=∴3,0,3aaa==又故答案为：315.已知1F、2F分别是双曲线()2222:

10,0xyEabab−=的左、右焦点，2F也是抛物线()2:20Cypxp=的焦点，点P是双曲线E与抛物线C的一个公共点，若112PFFF=，则双曲线E的离心率为___________.【答案】23+##32+【解析】【分

析】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，求出PA，求出1APF、12PFF的余弦值，由题意可知112APFPFF=，可得出关于a、c的齐次等式，结合1e可解得e的值.【详解】过点P作抛物线准线的垂线，垂足为点A，则2PAPF=，

因为1122PFFFc==，则21222PFaPcFa=−=−，则22PAca=−，因为1PAAF⊥，则11cosPAcaAPFPFc−==，由余弦定理可得2222211221221122cos22PFFFPFcaacPFFPFFFc+−−+==，因为12//PAFF，所以，

112APFPFF=，所以，22222cacaaccc−−+=，整理可得2240caca−+=，即2410ee−+=，因为1e，解得23e=+.故答案为：23+.16.从圆222210xyxy+−−+=外

一点()2,3P向圆引切线，则此切线的长为______．【答案】2【解析】【分析】作图，利用圆心到定点的距离、半径、切线长满足勾股定理可得.【详解】将圆化为标准方程：22(1)(1)1xy−+−=，则圆心()1,1C，半径1，如图，设()2,3P，5PC=，切线长512PA=−=．故答

案为：217.若斜率为3的直线与y轴交于点A，与圆()2211xy+−=相切于点B，则AB=____________．【答案】3【解析】【分析】设直线AB的方程为3yxb=+，则点()0,Ab，利用直线AB与圆()2211xy+−=相切求出b

的值，求出AC，利用勾股定理可求得AB.【详解】设直线AB的方程为3yxb=+，则点()0,Ab，由于直线AB与圆()2211xy+−=相切，且圆心为()0,1C，半径为1，则112b−=，解得1b=-或3b=，

所以2AC=，因为1BC=，故223ABACBC=−=.故答案为：3.三、解答题（四题共42分）18.已知点()0,1A，________，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．（1）求直线1l的方

程；（2）求直线2l：220xy-+=关于直线1l的对称直线的方程．条件①：点A关于直线1l的对称点B的坐标为()2,1-；条件②：点B的坐标为()2,1-，直线1l过点()2,1且与直线AB垂直；条件③点C的坐标为()2,3，直线1l过点()

2,1且与直线AC平行．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）10xy−−=（2）250xy−−=【解析】【分析】（1）计算直线的斜率，根据直线的平行或垂直关系得到斜率，代入点得

到直线方程.（2）计算直线的交点，在直线2l上取一点，求其关于1l对称的点，根据交点和对称点得到直线方程.【小问1详解】选择条件①：因为点A关于直线1l的对称点B的坐标为()2,1-，所以1l是线段AB的垂直平分线

．因为11120ABk−−==−−，所以直线1l的斜率为1，又线段AB的中点坐标为()1,0，所以直线1l的方程为1yx=−，即10xy−−=．选择条件②：因为11120ABk−−==−−，直线1l与直线AB垂直，所以直线1l的斜率为1，又直线1l过点()2,1，所

以直线1l的方程为12yx−=−，即10xy−−=．选择条件③，因为31120ACk−==−，直线1l与直线AC平行，所以直线1l的斜率为1，又直线1l过点()2,1，所以直线1l的方程为12yx−=−，即10xy−−=

．【小问2详解】10220xyxy−−=−+=，解得43xy==，故1l，2l的交点坐标为()4,3，因为()0,1A在直线2l：220xy-+=上，设()0,1A关于1l对称的点为(),Mxy，则1111022yxxy−=−+−−=，解得21xy==−，直线

2l关于直线1l对称的直线经过点()2,1-，()4,3，代入两点式方程得123142yx+−=+−，即250xy−−=，所以2l：220xy-+=关于直线1l的对称直线的方程为250xy−−=．19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，120,1

,4,15ABCABBCPA====，M，N分别为,BCPC的中点，,PDDCPMMD⊥⊥.（1）证明：ABPM⊥；（2）求直线AN与平面PDM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）156．

【解析】【分析】（1）要证ABPM⊥，可证DCPM⊥，由题意可得，PDDC⊥，易证DMDC⊥，从而DC⊥平面PDM，即有DCPM⊥，从而得证；（2）取AD中点E，根据题意可知，,,MEDMPM两两垂直，所以以点M为坐标原点，建立空间直角坐标系，再分别求出向量AN和平面PDM的一

个法向量，即可根据线面角的向量公式求出．【详解】（1）在DCM△中，1DC=，2CM=，60DCM=，由余弦定理可得3DM=，所以222DMDCCM+=，DMDC⊥．由题意DCPD⊥且PDDMD=，DC⊥平面PDM，而PM平面P

DM，所以DCPM⊥，又//ABDC，所以ABPM⊥．（2）由PMMD⊥，ABPM⊥，而AB与DM相交，所以PM⊥平面ABCD，因为7AM=，所以22PM=，取AD中点E，连接ME，则,,MEDMPM两两垂直，以点M为坐标原点，如图所示，建立空间直角坐标系,则(3,2,0),(0

,0,22),(3,0,0)APD−,(0,0,0),(3,1,0)MC−又N为PC中点，所以31335,,2,,,22222NAN−=−.由（1）得CD⊥平面PDM，所以平面PD

M的一个法向量(0,1,0)n=从而直线AN与平面PDM所成角的正弦值为5||152sin6||2725244ANnANn===++‖．【点睛】本题第一问主要考查线面垂直的相互转化，要证明ABPM⊥，可以考虑DCPM⊥，题中与DC有垂直关系的直线较多，易证D

C⊥平面PDM，从而使问题得以解决；第二问思路直接，由第一问的垂直关系可以建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式即可计算得出．20.已知点(0,1)A、(1,1)B，设过点(0,1)P−的直线l与AOB的边AB交于点M（其中点

M异于A、B两点），与边OB交于N（其中点N异于O、B两点），若设直线l的斜率为k．（1）试用k来表示点M和N的坐标；（2）求OMN的面积S关于直线l的斜率k的函数关系式；（3）当k为何值时，S取得最大值？并求此最大值．【答案】（1）2,1Mk(2)k；11,

11Nkk−−(2)k.（2）()()2221kSkkk−−=（3）当22k=+时，，S取得最大值，最大值为3222−.【解析】【分析】（1）联立直线方程组可解得结果；（2）利用两个三角形面积

相减可得结果；（3）换元，令2tk=−，0t，再根据基本不等式可求出结果.【小问1详解】由已知得直线l斜率存在，设:1(0)lykxk=−．由11yykx==−，得2,1Mk；又201k，所以2

k.由1yxykx==−，得11,11Nkk−−．【小问2详解】()()2222211111121OPMOPNkSSSkkkkk=−−−=−=−△△.【小问3详解】设2tk=−，则0t．()()()1132222212222323tStttt−===+++++

，当且仅当2222ttkt===+时，等号成立．21.已知圆C经过坐标原点O，圆心在x轴正半轴上，且与直线3480xy+−=相切．（1）求圆C的标准方程；（2）直线:2lykx=+与圆C交于A，B两点．①求k的取值范围；②证明：直线OA与直线OB的斜率之和为定值．【答

案】（1）()2211xy−+=；（2）（ⅰ）3,4−−；（ⅱ）具体见解析.【解析】【分析】（1）设出圆心，进而根据题意得到半径，然后根据圆与直线相切求出圆心，最后得到答案；（2）（ⅰ）联立

直线方程和圆的方程并化简，根据判别式大于零即可得到答案；（ⅱ）设出两点坐标，进而通过根与系数的关系与坐标公式进行化简，即可得到答案.【详解】（1）由题意，设圆心为(),0(0)Caa，因为圆C过原点，所以半径r=a，又圆C与直线3480xy+−=相切，所以圆心C到

直线的距离|38|15adaa−===（负值舍去），所以圆C的标准方程为：()2211xy−+=.（2）（ⅰ）将直线l代入圆的方程可得：()()2214240kxkx++−+=，因为有两个交点，所以()()22342161

04kkk=−−+−，即k的取值范围是3,4−−.（ⅱ）设()()1122,,,AxyBxy，由根与系数的关系：12212242141kxxkxxk−+=−++=+，获得

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