【文档说明】北京市北京工业大学附属中学2025届高三上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(19)页，965.060 KB，由小赞的店铺上传

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2024年9月份高三数学试卷月考试卷一、选择题共10题，每题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.设复数()=2zii−，则z=（）A.3B.5C.3D.5【答案】B【解析】【分析】求得z后再求模长即可.【详解】()=221ziii−=

+,故22215z=+=.故选：B【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与模长运算等.属于基础题型.2.已知集合0,1,2A=，03Bxx=N，则AB=（）A.0,1B.1,2C.0,1

,2D.0,1,2,3【答案】C【解析】【分析】根据并集的定义即可求解.【详解】因为0,1,2A=，031,2Bxx==N，所以0,1,2AB=.故选：C3.下列函数中，在区间()0,+上单调递减的是（）A.2l

ogyx=B.2xy−=C.1yx=+D.3yx=【答案】B【解析】【分析】根据函数解析式直接判断单调性.【详解】A选项：函数2logyx=的定义域为()0,+，且在()0,+上单调递增，A选项错误；B选项：函数122xxy−=

=的定义域为R，且在R上单调递减，B选项正确；C选项：函数1yx=+的定义域为)1,−+，且在)1,−+上单调递增，C选项错误；D选项：函数3yx=的定义域为R，且在R上单调递增，D选项错误；故选：B.4.“0ab”是“33ab”的（）A.充分而不

必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合指数函数的单调性即可得出答案.【详解】因为指数函数3xy=单调递增，由0ab可得：33ab，充分性成立，当33ab时，ab，但不一定0

ab，必要性不成立，故选：A5.已知球O的半径为2，球心到平面的距离为3，则球O被平面截得的截面面积为（）A.B.3C.3D.23【答案】A【解析】【分析】根据球的性质可求出截面圆的半径即可求解.【详解】设截面圆半径为r，由球的性质

可知：则截面圆的半径222(3)1r=−=，所以球O被平面截得的截面面积为2Sr==，故选：A.6.在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，其终边过点()4,

3P，则tan4+的值为（）A.7−B.17−C.1D.7【答案】D【解析】【分析】由终边经过点的坐标可求tan，再利用两角和的正切公式即可求解.【详解】由终边过点()4,3P，可得3tan4=，所以3tantan144tan7341tantan144+

++===−−.故选：D7.已知()fx为定义在R上的函数，()22f=，且()()22gxfxx=+为奇函数，则()2f−=（）A.4−B.2−C.0D.2【答案】A【解析】【分析】根据奇函数的性质，进行赋值求解即可.【详解】因为2()(2)

gxfxx=+是奇函数，所以有(1)(1)(2)1(2)10ggff-+=-+++=即(2)4f−=−.故选：A8.木楔在传统木工中运用广泛.如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为2的正方形，且,ADEBCF均为等

边三角形，//EFCD，4EF=，则该木楔的体积为（）A.2B.22C.223D.823【答案】D【解析】【分析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接,DGCH，取AD的中点O，连接GO，求出2ADGBCHSS==△△，结合三棱锥和三棱

柱的体积公式计算即可.【详解】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接,DGCH，则由题意等腰梯形ABEF全等于等腰梯形CDEF，则22421,2132EGHFAGGDBHHC−=======−=.取AD的中

点O，连接GO，因为AGGD=，所以GOAD⊥，则()22312GO=−=，∴12222ADGBCHSS===△△.因为//ABEF，AGEF⊥，所以ABAG⊥，因为四边形ABCD为正方形，所以ABAD⊥，又因为ADAGA

=，,ADAG平面ADG，所以AB⊥平面ADG，所以⊥EF平面AGD，同理可证⊥EF平面BCH，∴多面体的体积2EADGFBCHAGDBHCEADGAGDBHCVVVVVV−−−−−=++=+三棱锥三棱锥三棱柱三棱锥三棱柱1822122233

=+=，故选：D.9.已知ABCV是边长为2的等边三角形，点D在线段AB上，2ADDB=，点E在线段CD上，且CAE与CDB△的面积相等，则AEBC的值为（）A.23−B.13−C.13D.23【答案】C【解析】【分析】由

CAE与CDB△的面积相等以及2ADDB=可得2ACDCAESS=，从而E是CD的中点，再根据数量积的定义即可求得AEBC.【详解】如图所示：2ADDB=，2ACDCDBSS=，而△△=CAECDBSS，2ACDCAESS=，所以E是CD的中点，43AD=，23BD=，111

()222AACADBCACBAEBCCDBC=+=+11coscos()22ACBCCADBCB=+−111411222()222323=+−=.故选：C10.现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电

线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e0,e2.71828exxabfxab+==来表示.下列结论正确的是（）A.若0ab，则函数(

)fx为奇函数B.若0ab，则函数()fx有最小值C.若0ab，则函数()fx为增函数D.若0ab，则函数()fx存在零点【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判

断和选择.【详解】对A：取1ab==，满足0ab，此时()eexxfx−=+，其定义域为R，关于原点对称，且()()fxfx=−，此时()fx为偶函数，故A错误；对B：()eexxfxab−=+，令e,0xtt=，

故bayatt=+若存在最小值，则()fx有最小值，因为0ab，故0ba，根据对勾函数的单调性可知，,0bayttt=+有最小值，无最大值，故当0a时，,0bayattt=+有最大值没有最小值，故B错误；对C：当0,0

ab时，满足0ab，又exya=是单调减函数，exyb−=是单调减函数，故()eexxfxab−=+是单调减函数，故C错误；对D：令()0fx=，即ee0xxab−+=，则2exba=−，因为0ab，故0ba−，解得1ln2bx

a=−，故当0ab，1ln2ba−即为函数零点，故D正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.二、填空题共5题，

每题5分，共25分．11.函数()121fxxx=+++的定义域是_______________.【答案】)()2,11,−−−+【解析】【分析】列出需满足的不等式，再取交集即为函数定义域.【详解】由题意，2010xx++，解得2x−且1x−，

所以()fx的定义域为)()2,11,−−−+，故答案为：)()2,11,−−−+12.已知向量()1,am=−，()2,1b=r，且ab⊥，则m=______.【答案】2【解析】【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因为()1,am=−，(

)2,1b=r，且ab⊥，所以0ab=，即1210m−+=，解得2m=..故答案为：213.将函数()()πcos06fxx=+的图象向左平移π个单位长度后得到函数()gx的图象，则()πg−=____

__；若()gx为偶函数，则的最小值是______.【答案】①.32②.56【解析】【分析】根据三角函数的图象变换关系求出()gx的解析式，从而可得()πg−的值；再利用函数是偶函数建立方程进行求解即可．【详解】解：将函数()()πcos06fxx=+的图象向左平移π个单

位长度后得到函数()gx的图象，即()()ππcosπcosπ66gxxx=++=++，所以()ππ3πcosππcos662g−=−++==；若函数()gx为偶函数，则πππ6k+=，Zk，得16k

=−+，Zk0，当1k=时，取得最小值为56，故答案为：32；56．14.已知函数()()2ln,1,,1,xxfxxax=+其中aR.若0a=，则函数()fx的值域是______；若函数(

)1yfx=−有且仅有2个零点，则a的取值范围是______.【答案】①.[0,)+②.(2,0]−【解析】【分析】（1）由分段函数分别求值域即可；（2）易知在1x和1x时，()1yfx=−分别有一个零点，由二次函数的零点分布情况即可求解.【详解】（1）0a=时，()2ln

,1,1xxfxxx=，当1x时，()lnln10fxx==，当1x时，2()0fxx=，综上：()0fx，即函数()fx的值域是[0,)+.（2）()()2ln1,111,1xxyfxxax−=−=+−

，当1x时，令ln10x−=，得ex=，故在[1,)+上，函数()1yfx=−有一个零点ex=，当1x时，设()2()1xgxa=+−，由题意可知：()2()1xgxa=+−在(,1)−上有且仅有一个零点，所以1(1)0ag−=或(1)0g，解得0a=或

20a−，所以a的取值范围是(2,0]−.故答案为：[0,)+；(2,0]−.15.已知na是各项均为正数的无穷数列，其前n项和为nS，且()111N*nnnaS+=.给出下列四个结论：①1322SSS+；②1322aaa+；

③对任意的Ν*n，都有11nan+；④存在常数1A，使得对任意的*nN，都有naA，其中所有正确结论的序号是______.【答案】①②③【解析】【分析】首先由题设条件分析出数列na与nS的增减性，根据na和nS随着n增大的变化情

况可以判断①；然后分析1322aaa+，发现其实际上为，3221aaaa−−，即可以想到判断112nnnnaaaa−−−−−是否成立，可建立关于()112nnnnaaaa−−−−−−的代数式，通过此对代数式正负的判断，即可判断112nnnnaaaa−−−−−，即可判断②；我们

可以将③中的题设转化为判断1nSn−是否成立，我们发现na的每一项都是大于1的，而n个大于1的数相加大于n个1相加，而当1n=时，1111211Sa−=−=−=，即可判断1nSn−，即可判断③；而根据前面的研究，可以较易对④作出判断.【详解】由题

意知：0na，∴0nS，∵()111N*nnnaS+=，∴1111nnaS=−，∴1na，1nS，又11111111121aSaaa+=+==，∴12a=，∵1111nnnnSaSS−=−=，∴1nnnS

aS=−，∴()()()()()()1111111111111111nnnnnnnnnnnnnnnnSSSSSSSSaaSSSSSS−−−−−−−−−−−−−=−==−−−−−−，∵nS随着n的增大而增大，

∴10nnSS−−，∴()()11011nnnnSSSS−−−−−，∴10nnaa−−，即1nnaa−，∴na随着n增大而减小，故：na为正项单调递减无穷数列，且112naa=，∴1311231213121222SSaaaaaaaaaaaaS+=+++=++++++=，故①正确

；∵()()11111nnnnnnSSaaSS−−−−−=−−，∴()()21121211nnnnnnSSaaSS−−−−−−−−=−−，∴()()()()()1211121121111nnnnnnnnnnnnSSSSaaaaSSSS−−−−−−−−−−−−−−=−−−−−()(

)()()()()()12211211111nnnnnnnnnSSSSSSSSS−−−−−−−−−−−=−−−()()()()()()()()12111211111nnnnnnnnnnnSSSSaSaSSSS−−−−−−−−−−−−−=−

−−()()()()()()()()12111211111nnnnnnnnnnnSSSSSaaSSSS−−−−−−−−−−+−−=−−−的()()()()()()()()()121112111111nnnnnnnnnnnnSSSSSSaaSSSS

−−−−−−−−−−−−−−=−−−()()()()()()()121121111nnnnnnnnnnSSSSaaSSSS−−−−−−−−−−=−−−，∵nS随着n的增大而增大，∴10nnSS−−，20nnSS−−，∴()()120nnnnSS

SS−−−−，na随着n的增大而减小，∴10nnaa−−，10nS−，∴()()110nnnaaS−−−，∴()()()()()()()1211210111nnnnnnnnnnSSSSaaSSSS−−−−−−−−−−−−−，∴()1120nnnnaaaa

−−−−−−，∴112nnnnaaaa−−−−−，∴3221aaaa−−，即：1322aaa+，故②正确；∵1111111nnnnnnSSaSSS−+===+−−−，∴要判断11nan+，即判断：11111nSn

++−，即判断：111nSn−，即判断：1nSn−，而1222112111nnnnSaaaaaaann−=−+++=−+++=+++=，当且仅当1n=时取等号，∴1nSn−对任意的Ν*n都成立，∴对任意的

Ν*n，都有11nan+，故③正确；根据以上分析可以得出：na为12na，随着n的增大而减小的递减数列，且随着n的增大，na的值无限接近1，∴存在常数1A，对任意的Ν*n，当n足够大时，总会有1naA，故④错误.故答案为：①②

③.三、解答题共6题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.已知函数()2sin22cosfxxx=−.（1）求()fx的最小正周期及值域；（2）求()fx的单调递增区间.【答案】（1）最小正周期为，值域为21,21−−−；（2）3,,88kkkZ

−+.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换将()fx化为标准型，再求其性质即可；（2）根据（1）中所求，结合正弦函数的单调增区间，列出不等式，即可求得结果.【小问1详解】()2sin22co

sfxxx=−sin2cos212sin214xxx=−−=−−，故()fx的最小正周期22T==，()fx的值域为21,21−−−.【小问2详解】根据（1）中所求，()2sin214fxx=−−，令222,242kxkkZ

−−+，解得3,,88xkkkZ−+.故()fx的单调增区间为：3,,88kkkZ−+.17.已知等差数列na和等比数列nb满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求na的通项公式；（Ⅱ）求

和：13521nbbbb−++++…．【答案】（1）an=2n−1.（2）312n−【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，代入建立方程进行求解；（Ⅱ）由nb是等比数列，知21nb−依然是等比数列，并且公比是2

q，再利用等比数列求和公式求解.试题解析：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d.因为a2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n−1.（Ⅱ）设等比数列的公比为q.因为b2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以2212113

nnnbbq−−−==.从而21135213113332nnnbbbb−−−++++=++++=.【名师点睛】本题考查了数列求和，一般数列求和的方法：（1）分组转化法，一般适用于等差数列+等比数列的形式；（2）裂项相消法

求和，一般适用于，,等的形式；（3）错位相减法求和，一般适用于等差数列等比数列的形式；（4）倒序相加法求和，一般适用于首末两项的和是一个常数，这样可以正着写和与倒着写和，两式相加除以2即可得到数列求和.18.在ABCV中，2a=，π6B=．再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选

择一个作为已知，使ABCV存在且唯一，并求（1）c的值；（2）ABCV的面积．条件①：1b=；条件②：2b=；条件③：14cos4A=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）

6142c+=（2）374ABCS+=【解析】【分析】（1）若选①，根据sin2aBb，由作圆法知满足条件的ABCV有两个，不合题意；若选②，根据2sinbaB，由作圆法知满足条件的ABCV有且仅有一个，利用余弦定理可构造方程求得c的

值；若选③，利用正弦定理可求得b，由余弦定理可构造方程求得c的值；（2）利用三角形面积公式可直接求得结果.【小问1详解】若选条件①，π2sin2sin62aB==，sin2aBb，满足条件的ABCV有两个，不合题意，不能选择条件①；若选条件②，π2sin2sin62aB==，2s

inbaB，满足条件的ABCV有且仅有一个，由余弦定理得：22222cos264bacacBcc=+−=+−=，解得：6142c+=或6142c−=（舍），6142c+=；若选条件③，()0,πA，14cos4A=，22sin1c

os4AA=−=；由正弦定理得：π2sinsin62sin24aBbA===，由余弦定理得：22222cos264bacacBcc=+−=+−=，解得：6142c+=或6142c−=（舍），则满足条件的ABCV有且仅有一个，6142c+=.【小问2详解】由（1）知：6142c+=，116141

37sin222224ABCSacB++===.19.已知函数()ecosxfxxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)1y=；（Ⅱ）最大值1；最小值2

−.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式()()()000yffx¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()hxfx=，求()hx，根据()0hx确定函数()hx的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h=，

从而可以知道()()0hxfx=恒成立，所以函数()fx是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()ecosxfxxx=−，所以()()()ecossin1,00xfxxxf−=−=.又因为()01f=，所以曲线𝑦=

𝑓(𝑥)在点()()0,0f处的切线方程为1y=.（Ⅱ）设()()ecossin1xhxxx=−−，则()()ecossinsincos2esinxxhxxxxxx=−−=−−.当π0,2x时，()0hx，所以()hx在区间

π0,2上单调递减.所以对任意π0,2x有()()00hxh=，即()0fx.所以函数()fx在区间π0,2上单调递减.因此()fx在区间π0,2上的最大值为()01f=，最小值为22f=−.【名师点睛】这道导

数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()fx不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()hxfx=，再求()hx，一般这时就可求

得函数()hx的零点，或是()0hx(()0hx)恒成立，这样就能知道函数()hx的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()yfx=的单调性，最后求得结果.20.已知()e1xfxax=−−，aR，e是自然对数的底数.（1）当1a=时，求函数()yfx=的极值；（2

）若关于x方程()10fx+=有两个不等实根，求a的取值范围；（3）当0a时，若满足()()()1212fxfxxx=，求证：122lnxxa+.的【答案】（1）极小值为0，无极大值.（2）()e,+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）把1a=代入函数()fx中，并求

出𝑓′(𝑥)，根据𝑓′(𝑥)的正负得到()fx的单调性，进而求出()fx的极值.（2）()10fx+=等价于ya=与()exgxx=的图象有两个交点，求导得到函数𝑦=𝑔(𝑥)的单调性和极值，画出𝑦=𝑔(𝑥)的大致图象，数形结合求解即可

.（3）求出𝑓′(𝑥)，并得函数𝑦=𝑓(𝑥)在(),lna−上单调递减，在()ln,a+上单调递增，可得则()1,lnxa−，()2ln,xa+，要证122lnxxa+，只需证122lnxax−，只需证()()122l

nfxfax−，即证()()222lnfxfax−，令()()()2lnhxfxfax=−−，对ℎ(𝑥)求导证明即可.小问1详解】当1a=时，()e1xfxx=−−，定义域为R，求导可得()e1xfx=−，令(

)0fx=，得0x=，当0x时，𝑓′(𝑥)<0，函数()fx在区间(),0−上单调递减，当0x时，𝑓′(𝑥)>0，函数()fx在区间(0,+∞)上单调递增，所以𝑦=𝑓(𝑥)在0x=处取到极小值为0，无极大值.【小

问2详解】方程()1e0xfxax+=−=，当0x=时，显然方程不成立，所以0x，则exax=，方程有两个不等实根，即ya=与()exgxx=的图象有2个交点，【()()21exxgxx−=，当0x或01x时，()0gx，()gx在区间(),0−和(0,1)上单调

递减，并且(),0x−时，𝑔(𝑥)<0，当𝑥∈(0,1)时，𝑔(𝑥)>0，当1x时，()0gx，()gx在区间(1,+∞)上单调递增，0x时，当1x=时，()gx取得最小值，()1eg=，作出函数𝑦=𝑔(𝑥)的图象

，如图所示：因此ya=与()exgxx=有2个交点时，ea，故a的取值范围为()e,+.【小问3详解】证明：0a，由()e0xfxa=−=，得lnxa=，当lnxa时，()0fx，当lnxa时，()0fx，所以函数𝑦=𝑓(𝑥)在(),ln

a−上单调递减，在()ln,a+上单调递增.由题意12xx，且()()12fxfx=，则()1,lnxa−，()2ln,xa+.要证122lnxxa+，只需证122lnxax−，而122lnlnxaxa−，且函数()fx在(),lna−上单调递减，故只需证()()122ln

fxfax−，又()()12fxfx=，所以只需证()()222lnfxfax−，即证()()222ln0fxfax−−，令()()()2lnhxfxfax=−−，即()()2ln2e1e2ln1ee22lnxaxxxhxax

aaxaaxaa−−=−−−−−−=−−+，()2ee2xxhxaa−=+−，由均值不等式可得()22ee22ee20xxxxhxaaaa−−=+−−=，当且仅当2eexxa−=，即lnxa=时，等号成立

.所以函数ℎ(𝑥)在𝑅上单调递增.由2lnxa，可得()()2ln0hxha=，即()()222ln0fxfax−−，所以()()122lnfxfax−，又函数()fx在(),lna−上单调递减，所以122lnxax

−，即122lnxxa+得证.21.给定正整数2n，设数列12,,...,naaa是1,2,...,n的一个排列，对1,2,...,in，ix表示以ia为首项的递增子列的最大长度，iy表示以ia为首项的递减子列的最大长度.（1）若4n=，11a=，24a=，32a=，43a=

，求1x和2y；（2）求证：1,2,...,1in−，()()22110iiiixyxy++−+−；（3）求1niiixy=−的最小值.【答案】（1）13x=，22y=（2）证明见解析（3）当n为偶数时，1niiixy=−的最小值

是2n；当n为奇数时，1niiixy=−的最小值是12n−.【解析】【分析】（1）直接根据定义求解；（2）分情况讨论证明11iiiixyxy++−−，故可推知iixy−和11iixy++−不能同时为零，进而得到结论；（3）对

n的奇偶性分情况讨论，并利用小问2得到的结果即可.【小问1详解】以1a为首项的最长递增子列是134,,aaa，以2a为首项的最长递减子列是23,aa和24,aa.所以13x=，22y=.【小问2详解】对1,2,...,1i

n−，由于12,,...,naaa是1,2,...,n的一个排列，故1iiaa+.若1iiaa+，则每个以1ia+为首项递增子列都可以在前面加一个ia，得到一个以ia为首项的更长的递增子列，所以1iixx+；而每个以ia为首项的递减

子列都不包含1ia+，且1iiaa+，故可将ia替换为1ia+，得到一个长度相同的递减子列，所以1iiyy+.这意味着11iiiixyxy++−−；若1iiaa+，同理有1iiyy+，1iixx+，故11iiiixyxy++−−.总之有11iiiixyxy++−−，从而i

ixy−和11iixy++−不能同时为零，故()()22110iiiixyxy++−+−.【小问3详解】根据小问2的证明过程知iixy−和11iixy++−不能同时为零，故111iiiixyxy++−+−.

情况一：当n为偶数时，设2nk=，则一方面有()21212211112nkkiiiiiiiiinxyxyxyk−−===−=−+−==；另一方面，考虑这样一个数列12,,...,naaa：2121iiakiaki−=−+=+，1,2,...,ik=.则对1

,2,...,ik=，有21221iixkixki−=−+=−+，21211iiykiyki−=−+=−+.故此时212111112nkkiiiiiiinxyxyk−−===−=−===.结合以上两方面，知1niiixy=−的最

小值是2n.情况二：当n为奇数时，设21nm=−，则一方面有的()11121212211111112nnmmiiiiiiiiiiiinxyxyxyxym−−−−−====−−−=−+−=−=；另一

方面，考虑这样一个数列12,,...,naaa：1221iiamamiami+==+=−，1,2,...,1im=−.则对1,2,...,1im=−，有1221iixmxmixmi+==−=−，12211iiymymiymi+==

−+=−.故此时11221111112nmmiiiiiiinxyxym−−===−−=−==−=.结合以上两方面，知1niiixy=−的最小值是12n−.综上，当n为偶数时，1niiixy=−的最小值是2n；当n为奇数时，1niiix

y=−的最小值是12n−.【点睛】关键点点睛：求最小（或最大）值的本质在于，先证明所求的表达式一定不小于（或不大于）某个数M，再说明该表达式在某种情况下能取到M，就得到了最小（或最大）值是M，这便是“求最小（或最大）值”的本质.而在这个过程中，“想到M的具体取值”这个过程并不存在绝

对的逻辑性，可以穷尽各种手段，包括直觉、大胆猜测、高观点等，去猜出M的值，这些内容也无需在证明过程中呈现.只要证明合乎逻辑，“如何想到M的取值”无需交代，不影响解答的正确性.换言之，所谓“求”，便是“猜出结果，再证明结果

正确”，与“算出”、“得出”本就是无关的.在高考范围内，大多数最小值和最大值问题都能够直接化为某个显而易见，容易刻画的模型，然后“直接算出”，但不可将此作为万能法宝，忘记了最小值最大值的原始定义和本质.