【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第14讲 导数的概念及运算 Word版含解析.docx，共(9)页，548.407 KB，由小赞的店铺上传

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第14讲导数的概念及运算思维导图知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx

→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y

＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初

等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝lo

gax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝1xlnaf(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)

＋f(x)g′(x)．(3)f（x）g（x）′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数

的乘积．题型归纳题型1导数的运算【例1-1】（2020春•房山区期末）已知函数3()1xfxxe=−，则它的导函数()fx等于()A．23xxeB．2xxe(3)x+C．2(3)1xxex+−D．231xxe−【分析】根据题意，有导数的计算公式可得数3()()xfxxe=

−（1）33()()xxxexe=+，化简变形即可得答案．【解答】解：根据题意，函数3()1xfxxe=−，其导数3()()xfxxe=−（1）33232()()3xxxxxxexexexexe=+=+=(3)x+；故选：B．【例1-2】（2020春•南阳期末）已知：函

数()cosfxxx=，其导函数()cossinfxxxx=−．若函数()gx的导函数()singxxx=，且()02g=，则()g的值为()A．1−B．1C．1−D．1+【分析】求出函数()gx的解析式，计算()g的值即可．【解答】解：由题意设()sincosg

xxxxc=−+，则()coscossinsingxxxxxxx=−+=，符合题意，故()102gc=+=，解得：1c=−，故()sincos1gxxxx=−−，()sincos11g=−−=−，故选：C．【跟踪训练1-1】（2020•新课标Ⅲ）设函数(

)xefxxa=+，若f（1）4e=，则a=．【分析】先求出函数的导数，再根据f（1）4e=，求得a的值．【解答】解：函数()xefxxa=+，2(1)()()xxaefxxa+−=+，若f（1）2(1)4a

eea==+，21(1)4aa=+，则1a=，故答案为：1．【跟踪训练1-2】（2020春•金凤区校级期末）已知32()fxxxf=+（1）2x+，则f（1）的值为．【分析】根据题意，求出函数的导数，令1x=

，可得f（1）32f=+（1）2+，变形解可得f（1）的值．【解答】解：根据题意，32()fxxxf=+（1）2x+，其导数2()32fxxf=+（1）2x+，令1x=，得f（1）32f=+（1）2+，所以f（1）5=−，故答案为：5−【名师指导】1．求函数导数的总原

则：先化简解析式，再求导．2．常见形式及具体求导6种方法连乘形式先展开化为多项式形式，再求导三角形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导分式形式先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导根式形式先化为分数指数幂的形式，再求导对数形式先化为和、差形式，再求导复合函数先确定复合关

系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型2求切线方程【例2-1】（2020春•蓝田县期末）曲线sincos1yxx=+在点(0,1)处的切线方程为()A．220xy−+=B．220xy+−=C．10xy+−=D．10xy−+=【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x=

处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由sincos1yxx=+，得22cossincos2yxxx=−=，0|cos01xy===．曲线sincos1yxx=+在点(0,1)处的切线方程为1yx=+．即10xy−+=．故选：D．【例2-2】已知函数f(x)＝xlnx，

若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【解析】因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以直线

l的方程为y＋1＝(1＋lnx0)x.所以由y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.【跟踪训练2-1】（2020•海东市模

拟）已知函数2sin()1xfxx=+，则曲线()yfx=在点(0,0)处的切线的方程为．【分析】求出原函数的导函数，得到函数在0x=处的导数，再由直线方程的斜截式得答案．【解答】解：由2sin()1xfxx=+，得22(1)cos2sin()(1)xxxfxx+−=+，(0)2f

=，则曲线()yfx=在点(0,0)处的切线的方程为2yx=．故答案为：2yx=．【跟踪训练2-2】(2020·江西吉安一模)过点P(1,1)且与曲线y＝x3相切的直线的条数为()A．0B．1C．2D．3【解析】当点P为切点时，∵y′＝3x2，∴

y′|x＝1＝3，则曲线y＝x3在点P处的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.当点P不是切点时，设直线与曲线切于点(x0，y0)(x0≠1)，则k＝y0－1x0－1＝x30－1x0－1＝x20＋x0＋1.∵y′＝3x2，∴y′|x＝x

0＝3x20，∴2x20－x0－1＝0，∴x0＝1(舍)或x0＝－12，∴过点P(1,1)与曲线y＝x3相切的直线方程为3x－4y＋1＝0.综上，过点P的切线有2条，故选C.【名师指导】求曲线过点P的切线方程的方法(1)

当点P(x0，y0)是切点时，切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．(2)当点P(x0，y0)不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过点P′(x

1，f(x1))的切线方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．题型3求切点坐标【例3-1】（2020

春•大兴区期末）过点(0,2)P作曲线1yx=的切线，则切点坐标为()A．(1,1)B．1(2,)2C．1(3,)3D．(0,1)【分析】设切点的坐标为(,)mn，求得函数1yx=的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由

两点的斜率公式，解方程可得切点．【解答】解：设切点的坐标为(,)mn，1yx=的导数为21yx=−，可得切线的斜率为21km=−，又切线过(0,2)P，可得2121mmm−=−，解得1m=，则切点为(1,1)．故选：A．【跟踪训练3-1】（2020•沈阳三模）过点(

0,1)−作曲线()(0)fxlnxx=的切线，则切点坐标为．【分析】由已知结合直线的斜率公式及导数的几何意义即可求解．【解答】解：因为()(0)fxlnxx=，所以2()2fxlnxlnx==，设切点为0(x

，0)y，2()fxx=，根据题意可得00012yxx+=，01y=，0xe=即切点坐标(,1)e．故答案为：(,1)e．【名师指导】求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出

切点的纵坐标．题型4由曲线的切线（斜率）求参数取值范围【例4-1】（2020春•海淀区校级期末）曲线421yxax=++在点(1,2)a−+处的切线斜率为8，则实数a的值为()A．6−B．6C．12D．12−【分析】求得421yxax=++的导

数，由导数的几何意义，可得切线的斜率，解方程可得a的值．【解答】解：421yxax=++的导数为342yxax=+，可得在点(1,2)a−+处的切线斜率为428a−−=，解得6a=−．故选：A．【例4-2

】（2020春•渭滨区期末）函数231()(0)3fxaxxx=−的图象存在与直线20xy−+=平行的切线，则实数a的取值范围是()A．(−，1]−B．[1，)+C．(−，1][1−，)+D．(−，

1)(1−，)+【分析】易知切线斜率为1，由题意可知，只需()fx的值域中含有1即可．由此构造a的不等式，解出a的范围．【解答】解：2()2fxaxx=−，(0)x．由题意，只需2()21fxaxx=−=，(0)x有解

，则只需()(0)yfxx=的值域中包含1即可．当0a„时，()0fx，显然不符合题意；当0a时，()fx的开口向下，在对称轴1xa=处取得最大值，故2111()21faaaa=−…，即21a…，结合0a得，1a…即为所求．故选：B．【跟踪训练4-1】（2020春•未央区校

级期末）直线1yx=−+与曲线xaye−=−相切，则a的值为．【分析】求出原函数的导函数，设直线1yx=−+与曲线xaye−=−相切于00(,)xaxe−−，得到函数在0xx=处的导数，再由题意列关于0x与a的方程组求解．【解答】解：由xaye−=−，得xaye−==−，设直线

1yx=−+与曲线xaye−=−相切于00(,)xaxe−−，则00|xaxxye−==−．00011xaxaeex−−−=−−=−+，解得022xa==．a的值为2．故答案为：2

．【名师指导】1．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点(1)注意曲线上横坐标的取值范围；(2)谨记切点既在切线上又

在曲线上．题型5两曲线的公切线问题【例5-1】（2020•上饶三模）已知1()xfxe+=与22()(21)4egxxx=++有相同的公切线:lykxb=+，设直线l与x轴交于点0(Px，0)，则0x的值为()A．1B．

0C．eD．e−【分析】分别设出切点，然后利用导数表示出切线方程，再利用是公切线，列出方程，求出切点，问题即可获解．【解答】解：对于()fx，设切点为1(,)mme+，因为1()xfxe+=，故1()mfme+=．故切线方程为：11()mmy

eexm++−=−．即11(1)mmyexem++=+−；对于()gx，设切点为(n，22(21))4enn++．2()(22)4egxx=+，2()(22)4egnn=+．故切线为：222(21)(22)()44eeynnnxn−++=+−，即222(22)(1)44eeynxn=++

−．根据为公切线得：21212(22)4(1)(1)4mmeeneemn++=+−=−，解得1mn==．故切线为2yex=．令0y=得00x=．故选：B．【跟踪训练5-1】（2020•遂宁模拟）若存在0a，使得函数2()64fxalnxax=+

与2()gxxb=−在这两函数图象的公共点处的切线相同，则b的最大值为()A．21eB．212eC．213eD．23e【分析】设公共点为(,)xy，然后根据公共点处函数值相等、导数值相等，列出关于公共点满足的方程组，将x消去，得到关于b

，a的等量关系式，整理成bh=（a）的形式，求函数的最值即可．【解答】解：设公共点为(,)xy，(0)x，且26()4,()2afxagxxx=+=．所以22264(0)642alnxaxxbaaaxx+=−+=①②，由②得22230xaxa−−=，解得3xa=或a−（舍)．将

3xa=代入①式整理得：2236(3)baalna=−−，(0)a令h（a）2236(3)aalna=−−，(0)a，23()6[12(3)6]12[(3)1]3haaalnaaalnaa=−−+=−+，令h（a）0=得，13ae=，且()110,,0

;,33xhaxee+时时，h（a）0．故h（a）在1(0,)3e上递增，在1(,)3e+上递减．故h（a）211()33maxhee==．故b的最大值为213e．故选：C．【名师指导】解决此类问题通常有两种方法：一是利用其中

一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；二是设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，则f′(x1)＝g′(x2)＝1212()()fxgxxx−−.