【文档说明】湖南省名校联考联合体2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题 含解析.docx，共(20)页，991.947 KB，由envi的店铺上传

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名校联考联合体2022年高二元月期末联考数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集3,2,1,0,1,2,3U=−−−，集合2,1,0,1,2A=−−，3,0,2,3B=−，则UAB

=ð（）A.2,1−−B.2,1−C.1,1−D.2,1,1−−【答案】D【解析】【分析】根据集合的交集、补集运算可得选项.【详解】解：∵全集3,2,1,0,1,2,3U=−−−，

3,0,2,3B=−，∴U2,1,1B=−−ð，又集合2,1,0,1,2A=−−，∴()U2,1,1=−−ABð，故选：D.2.双曲线2216416yx−=上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一

个焦点的距离等于（）A.9B.17C.18D.34【答案】B【解析】【分析】利用双曲线的定义直接求解即可【详解】由2216416yx−=，得8a=，设点P与双曲线另一个焦点的距离为()0dd，由定义1216−==da，得17d=

，故选：B.3.“2334m”是“复数()()321izmm=−+−在复平面内对应的点位于第四象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由复数的几何意义求出实数m的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详

解】若复数()()321izmm=−+−在复平面内对应的点位于第四象限，则32010mm−−，解得213m，因为2334mm213mm，因此，“2334m”是“复数()()321

izmm=−+−在复平面内对应的点位于第四象限”的充分不必要条件.故选：A.4.如图，某桥是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m，水面宽4m，那么水下降1m后，水面宽为（）A.22mB.23mC.25mD.26m【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，

利用代入法，结合抛物线的方程进行求解即可.【详解】如图，以拱顶为原点，对称轴为y轴建立直角坐标系，则该拋物线方程为()220xpyp=−，依题点()2,2M−在其上，所以()422=−−p，1p=，拋物线方

程为22xy=−.设()0,3−Nx，则()2023=−−x，06=x，所以水面宽为26m，故选：D.5.如图所示，平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，1120BADBAA==，若线段1

2AC=，则1=DAA（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】【分析】根据空间向量模公式，结合空间向量数量积的定义进行求解即可.【详解】∵11ACABADAA=++，∴22221111222=++++

+ACABADAAABADABAAADAA111111211211211cos222=+++−+−+=DAA，∴11cos2=DAA，160DAA=，故选：C.6.

设0.72021=a，0.812021−=b，0.7log0.8c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】D【解析】【分析】根据指数幂的运算法则，结合指数函数的单调性和对数函数的单调

性进行判断即可.【详解】0.72021=a，0.80.8120212021−==b，则1ba，又0.70.7log0.8log0.71=，∴cab，故选：D.7.如图是最小正周期

为π的函数()()sin0,0π=+yx的部分图象，则=（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】C【解析】【分析】根据函数的最小正周期为π，求得，再根据函数过点,06求解.【详解】因为函数的最小正周期为π，即2ππT==，所以2=，又因为函数过点,06

，所以2,6kkZ+=，又因为0π，所以2π3=，故选：C.8.已知F为抛物线24yx=的焦点，过点F作两条直线1l，2l，直线1l与C交于A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，若0ABDE=，则四边形ADBE面积的最小值为（）A.48B.32C.16D.8

【答案】B【解析】【分析】依题意，12ll⊥，设直线1l的斜率为(0)kk，则直线2l的斜率为1k−，联立方程，结合抛物线定义得到两段弦长，进而表示面积，利用均值不等式求最值即可.【详解】依题意，12ll⊥，设直线1l的斜率为(0)kk，则直

线2l的斜率为1k−，设()11,Axy，()22,Bxy，()33,Dxy，()44,Exy，直线()1:1lykx=−，直线()21:1lyxk=−−.联立()24,1,yxykx==−消去y整理

得()2222240kxkxk−++=，所以2122224424AkxxpkBk+=++=+=+，同理223421242441+=++=+=+kDExxpkk，从而221182322==++SABDEkk，当且仅当1k=时等号成立，故选:B.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知平面上三条直线1:210lxy−+=，2:10−=lx，3:0+=lxky不能构成三角形，则

实数k的值可以为（）A.2−B.1−C.0D.1【答案】ABC【解析】【分析】即找三直线其中两条平行或三线交于一点时实数k的值,【详解】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线0xky+=经过直线210xy−+=与直线10x−=的交点()1,1时，

10k+=，解得1k=−.②当直线0xky+=与直线210xy−+=平行时，10121k=−，解得2k=−；当直线0xky+=与直线10x−=平行时，可得0k=，综上：2k=−或0k=或1k=−.故选:ABC.10.在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别是11

AD和11CD的中点，则下列结论错误的是（）A.11//AC平面CEFB.1BD⊥平面CEFC.112=+−CEDADDDCD.点D与点1B到平面CEF的距离相等【答案】BD【解析】【分析】A选项，线线平行证明线面平行；B选项，建立空间直角坐标系，利用向量解决线面关系；C选项，利用空间向量计

算验证；D选项，得到点D与点1B中点O在11AACC，从而证明点D与点1B的中点O不在平面CEF，进而证明出点D与点1B到平面CEF的距离不相等.【详解】对选项A，因为E，F分别是11AD和11CD的中点，故11EFAC∥，且EF

平面CEF，11AC平面CEF，故11AC∥平面CEF成立.选项B，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体1111ABCDABCD−边长为2，则()12,2,2BD=−−−，()0,1,2FC=−.故102420=−+=BDFC.故1BD，FC不互相垂直.又CF

平面CEF，故1BD⊥平面CEF不成立；对选项C，利用B选项建立的空间直角坐标系有()1,2,2CE=−，()()()()1112,0,00,0,20,2,01,2,222DADDDC+−−=+=−，故112=+−CEDADDDC成

立，选项D，若点D与点1B到平面CEF的距离相等，则点D与点1B的中点O在平面CEF上，连接AC，AE易得平面CEF即平面CAEF.又点D与点1B中点O在11AACC上，故点O不在平面CEF上，故D不成立.故选：BD11.已知双曲线()2222:10

,0xyCabab−=经过点()3,2M，并且它的一条渐近线被圆()2224xy−+=所截得的弦长为23，则下列结论正确的是（）A.C的离心率为233B.C的渐近线为3yx=C.C的方程为2213xy−=D.直线210xy−−=与C有两个公共点

【答案】AC【解析】【分析】由已知结合圆的弦长公式及点到直线的距离可知3ab=，2cb=，再利用双曲线的性质依次判断各个选项.【详解】双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线方程为0bxay=，圆心()2,0到渐

近线距离为()22231d=−=，则点()2,0到渐近线的距离为222021+===+babdcab，于是3ab=，2cb=，对于A，双曲线C的离心率233cea==，故A正确；对于B，由3ab=，所以C的渐近线为33yx=，故B错误；对于C，由22

3ab=，双曲线C化为222213xybb−=，又点()3,2在双曲线上，所以229213−=bb，所以21b=，23a=.所以双曲线方程为2213xy−=，故C正确；对于D，联立221,3210xyxy−=−−=，消去x

得22220yy−+=，因为0=，故D错误.故选：AC12.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理.椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹

，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.伯努利将这种曲线称为lemniscate，为拉丁文中“悬挂的丝带”之意.双纽线在数学曲线领域的地位占有至关重要的地位.双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称

、和谐、简洁、统一的美，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线()()22222:4Cxyxy+=−是双纽线，则下列结论正确的是（）A.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）B.曲

线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2C.曲线C关于直线yx=对称的曲线方程为()()222224xyyx+=−D.若直线ykx=与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(),11,−−+【答案】BCD【解析】【分析】A，曲线C经过整点（2，0），（﹣2，0），（0，0）；

B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，即可判定；C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程；D，利用x2≥y2，比较直线y＝kx的斜率即可判定；【详解】解：对于A，令0y=，解得：0x=或2x=或2x=−，当0y时，x无解.所以曲线C经过整

点（2，0），（﹣2，0），（0，0），故A错；对于B，根据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知22≥x2+y2，所以双曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2，故B正确；对于C，曲线方程中x，y互换可得曲线C关于直线y＝x对称的曲线方程为（x2+y2）2＝4（

y2﹣x2），故C正确；对于D，据据曲线C：（x2+y2）2＝4（x2﹣y2），可知x2≥y2，可得若直线y＝kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），故D正确；故选：BCD．三､填空题：本题共

4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()1,2a=r，()2,bx=，若4ab=−，则2ab+=rr___________.【答案】17【解析】【分析】由4ab=−求得x，再利用求模公式求解.【详解】因为224=+

=−abx，解得3x=−，所以()2,3b=−，()24,1+=ab，所以217+=ab.故答案为：1714.一个圆经过椭圆221164xy+=的三个顶点，且圆心在x轴的负半轴上，则该圆的标准方程为___________.【答案】2232524++=xy【解析】【

分析】根据题意，确定圆经过的三个顶点，设圆心为()0m,，半径为r,利用点在圆上求解.【详解】由题意得：圆经过()()()4,0,0,2,0,2−−，设圆心为()0m,，半径为r，则()222244mrmr+=+=，解得232254mr=−=

，所以圆的方程为2232524++=xy.故答案为：2232524++=xy15.一动圆与圆22650xyx+++=外切，同时与圆226910xyx+−−=内切，则动圆圆心的轨迹方程为___________.【答案】221

3627xy+=【解析】【分析】求出两个圆的圆心与半径，设出动圆的圆心与半径，判断动圆的圆心轨迹，推出结果即可．【详解】圆x2+y2+6x+5＝0的圆心为A（﹣3，0），半径为2；圆x2+y2﹣6x﹣91＝0的圆心为B（3，0），半径为10；设动圆圆心为M（x，y），半径为x；则MA＝2+r，

MB＝10﹣r；于是MA+MB＝12＞AB＝6所以，动圆圆心M的轨迹是以A（﹣3，0），B（3，0）为焦点，长轴长为12的椭圆．a＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；所以M的轨迹方程为2213627xy

+=故答案为2213627xy+=【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查椭圆定义的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用．16.某公司购置了一台价值220元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值

会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5％，设备将报废，则d的取值范围为____．【答案】(19,20.9]【解析】【分析】由题意可知，问题可看作一

个递减的等差数列，只需保证用了10年还正常，用了11年就报废.【详解】由题意，该设备的价值是以220为首项，d−为公差的等差数列，由题意可知：220102200.0520.91920.9220112200.0519ddddd−−故答案为：(19

,20.9]四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.高考数学特别强调要增加对数学文化的考查，为此某校高三年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（试卷满分为100分），并对整个高三年级的学生进行了测试.

现从这些学生中随机抽取了50名学生的成绩，按照成绩为)50,60、)60,70、L、)90,100分成了5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于50分）.（1）求频率分布直方图中的x的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间

的中点值代表）；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的三组学生中抽取6人，再从这6人中随机抽取3人参加这次考试的考后分析会，试求后两组中至少有1人被抽到的概率.【答案】（1）0.2x=，平均数为74分，位数为2203分；（2）192

0.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得x的值，将每个矩形的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全部相加可得平均数，根据中位数左边的矩形面积之和为0.5可求得中位数的值；（2）分析可知后三组中所抽取的人数分别为3、2

、1，将这6人进行标记，列举出所有的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：由已知可得()0.0120.032101x++=，解得0.02x=，所抽取的50名学生成绩的平均数为550.1650.3750.3850.2950.174++++

=（分），由于前两组的频率之和为0.10.30.4+=，前三组的频率之和为0.10.320.7+=，所以，中位数()70,80a，由题意可得()0.4700.030.5a+−=，解得2203a=（分）.【小问2详解】解：由（1）可知，后三组中的人数分别为15、10、5，故这三

组中所抽取的人数分别为3、2、1，记成绩在)70,80这组的3名学生分别为a、b、c，成绩在)80,90这组的2名学生分别为d、e，成绩在(90,100这组的1名学生为f，则从中任抽取3人的所有可能结果为(),,abc、(),,abd、(),,abe、(),,abf、(

),,acd、(),,ace、(),,acf、(),,ade、(),,adf、(),,aef、(),,bcd、(),,bce、(),,bcf、(),,bde、(),,bdf、(),,bef、(),,cde、(),,c

df、(),,cef、(),,def，共20种.其中后两组中至少有1人被抽到包含19种结果，故所求概率为1920P=.18.已知函数()11xxefxe−=+.（1）判断函数()fx的奇偶性并加以证明；（2）xR，不等式()()2120++faxfx成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）

奇函数，证明见解析（2）()1,+.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的定义证明，先判断函数定义域，再判断()fx−与()fx的关系；（2）将不等式转化为()()212faxfx+−，再根据复合函数单调性的判断方法判断出函数()e121e1

e1xxxfx−−==+++为R上的增函数，根据函数的单调性求解不等式，再转化为一元二次不等式恒成立问题求解.【小问1详解】函数()fx是奇函数.证明如下：函数()fx的定义域为R，∵()e1e1xxfx−=+，∴()()e11ee11ex

xxxfxfx−−−−−===−++，所以函数()fx是R上的奇函数.【小问2详解】由（1）知，()()2120++faxfx等价于()()212faxfx+−，因为()e121e1e1xxxfx−−==+++为R上的增函数，所以212axx+−，即2210axx++恒成立，所以

0Δ440aa=−，解得1a，所以a的取值范围为()1,+.【点睛】利用函数单调性求解不等式时，一般需要注意先利用奇偶性将不等式变形，再判断对应函数的定义域与单调性，从而化简不等式求解.1

9.在数列na中，首项11a=，且满足()121+=+Nnnaan，其前n项和为nS.（1）证明数列1na+为等比数列；（2）求数列na的通项公式，并判断n，na，nS是否成等差数列？【答案】（1）证明见解析；（2）21nn

a=−，n，na，nS成等差数列.【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义，结合已知递推公式进行证明即可；（2）结合（1）的结论，根据等比数列的通项公式、前n项和公式，利用等差数列的性质进行求解即可.【小问1详解】∵121nnaa+=+，

()1121nnaa++=+，又1120a+=，∴1na+是首项为112a+=，公比为2的等比数列；【小问2详解】由（1）知，12nna+=，∴21nna=−，∴()12122212nnnSnn+−=−=−−−，∴()()12222210nnnnnSann++−=+−−−−

=，∴2nnnSa+=.即n，na，nS成等差数列.20.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知30A=.（1）若3bc=，ABC的面积为34，求a；（2）若23abc+=，求C.【答案】（1）1a=；（2）75C=°.

【解析】【分析】（1）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可；（2）根据正弦定理，结合特殊角的三角函数值进行求解即可.【小问1详解】∵ABC的面积21113sin32224SbcAc===，∴1c=，3b=，由余弦定理：22232cos30312312abc

b=+−=+−=，∴1a=.【小问2详解】由已知150BC=−，由正弦定理得()2sinsin1503sinACC+−=，即213cossin3sin222CCC++=，可得()2sin302C−

=.由于0150C，所以3030120C−−，故3045C−=，75C=°.21.如图1，平面图形PABCD由直角梯形ABCD和RtPAD△拼接而成，其中1ABBC==，BCAD∥､ABAD⊥，2PAP

D==，PAPD⊥，PC与AD相交于O，现沿着AD折成四棱锥PABCD−（如图2）.（1）当四棱锥PABCD−的体积最大时，求点B到平面PCD的距离；（2）在（1）的条件下，线段PD上是否存在一点Q，使得二面角QACD−−的余弦值为63？若存在，求

出PQQD的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）33；（2）存在，12PQQD=.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用空间距离公式进行求解即可；（2）利用空间夹角公式进行求解即可.【小问1详解】在图1中，在PAD△中，PAPD⊥，2PAPD==，

∴2AD=.易知四边形ABCO为正方形，∴1AO=，即O为AD的中点，在图2中，当四棱锥PABCD−的体积最大时，侧面PAD⊥底面ABCD，此时PO⊥平面ABCD，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则

()0,0,1P，()0,1,0A−，()1,1,0B−，()1,0,0C，()0,1,0D，∴()1,1,1PB=−−，()1,0,1CP=−，()0,1,1PD=−.设平面PCD的一个法向量为(),,uxyz=r，则0,0

.uCPxzuPDyz=−+==−=取1z=，得()1,1,1u=.则B点到平面PCD的距离33PBudu==.【小问2详解】假设存在，且设()01PQPD=.∵()0,1,1PD=−，∴()0,,OQOPPQ−==−，∴()

0,,1OQ=−，∴()0,,1Q−.设平面CAQ的一个法向量为()111,,mxyz=，又()1,1,0AC=，()0,1,1AQ=+−，则()()11110,·110.mACxymAQyz=+==++−=取11z=

+，得()1,1,1m=−−+.又易知平面CAD的一个法向量为()0,0,1n=，∵二面角QACD−−的余弦值为63，∴()()()2226cos,311111mnmnmn===−+−+++，整理化简，得231030−+=，解得13

=或3=（舍去）.∴线段PD上存在满足题意的点Q，且12PQQD=.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=经过点31,2M，离心率32e=.（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l不

经过点()0,1P且与C相交于A，B两点.若直线PA与直线PB的斜率的和为1−，证明：直线l过定点.【答案】（1）2214xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）点的坐标代入方程，结合离心率椭圆基本量关系，可得解.（2）设():1lykxmm=+，

代入椭圆方程，运用韦达定理及斜率关系找到,km的关系即可.【小问1详解】由223324cea==，2214ba=，椭圆C的方程可化为：222214xybb+=，又31,2M，在C上，所以2213144bb+=，解得21b=.故C的方程为2214xy+=.【

小问2详解】设直线PA与直线PB的斜率分别为1k，2k，如果l与x轴垂直，设l：xt=，由题设知0t，且2t，可得A，B的坐标分别为24,2tt−，24,2tt−−.则22124242122ttkktt−−−++=−=−，得2t=，不符合题设

.从而可设():1lykxmm=+，设()11,Axy，()22,Bxy，将ykxm=+代入2214xy+=，得()222418440kxkmxm+++−=，由题设可知()2216410km=−+.则122841kmxxk+=

−+，21224441mxxk−=+.而12121211yykkxx−−+=+121211kxmkxmxx+−+−=+()()12121221kxxmxxxx+−+=.由题设121kk+=−，故()()()12122110kxxm

xx++−+=.即()()22244821104141mkmkmkk−−++−=++.解得12mk+=−，代入()2216410km=−+，解得1m−，此时1:2mlyxm+=−+，即11(2)2myx++=−−.所以l过定点()2,1

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