【文档说明】黄金卷05（2024新题型）备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用） 含解析.docx，共(15)页，1.443 MB，由小赞的店铺上传

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【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（新题型地区专用）黄金卷05（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合要求的。1．某校高一年级18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：91，89，90，92，94，87，93，96，91，85，则这组数据的80%分位数为（）A．93

B．93.5C．94D．94.5【答案】B【解析】将比赛得分从小到大重新排列：85，87，89，90，91，91，92，93，94，96，因为1080%8=，所以这组数据的80%分位数第8个数与第9个数的平均值，即939493.52+

=，故选B.2．若()(),1,2,,3abababm+=−==，则实数m=（）A．6B．6−C．3D．3−【答案】B【解析】因为abab+=−，所以()()22abab+=−，即222222abababab++=+−，所以0ab=，即60+=m，解得6m

=−，故选B.3．各项为正的等比数列na中，1241,81aaa==，则na的前4项和4S=（）A．40B．121C．27D．81【答案】A【解析】设等比数列公比为q,31241,81,81,0,0,naaaqqaq===

()44113803,40.132qS−−====−−故选A.4．“函数()tanyx=−的图象关于π,04对称”是“ππ4k=−+，Zk”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当函数()tanyx=−

的图象关于π,04对称时，有ππ42k−=，Zk，得()1ππππ4242kk−+=−=−+，Zk，易知ππ4k=−+ππ42k=−+，Zk所以“函数tan()yx=−的图象关于π,04对称”是“

ππ4k=−+，Zk”的必要不充分条件．故选B．5．某小组两名男生和两名女生邀请一名老师排成一排合影留念，要求两名男生不相邻，两名女生也不相邻，老师不站在两端，则不同的排法共有（）A．48种B．32种C

．24种D．16种【答案】B【解析】当老师从左到右排在第二或第四位时，共有112242CCA16=种排法，当老师从左到右排在第三位时，共有112422CCA=16种排法，于是共有161632+=种排法.故

选：B.6．设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，以下是真命题的为（）A．若⊥，//m，则m⊥B．若n⊥，n⊥，则//C．若⊥，m⊥，则//mD．若m⊥，mn⊥，则//n【答

案】B【解析】对于A,如上图正方体中，设平面11ABBA为，平面1111DCBA为，CD为m，满足⊥，//m，此时//m，故A错误；对于B，因为n⊥，n⊥，α、β是不同的平面，则必有//，故B正确；对于C，如上图正方体中，设平面11ABBA为，平

面1111DCBA为，11AD为m，满足⊥，m⊥，此时m，故C错误；对于D，如上图正方体中，设平面11ABBA为，11AD为m，11AB为n，则满足m⊥，mn⊥，此时n，故D错误.故选:B.7．已知函数cos()xfxx=，若A，B是锐角ABC的两

个内角，则下列结论一定正确的是（）A．(sin)(sin)fAfBB．(cos)(cos)fAfBC．(sin)(cos)fAfBD．(cos)(sin)fAfB【答案】D【解析】因为cos()xfxx=，所以2sin

cos()xxxfxx−−=，当π0,2x时，sin0,cos0xx，所以2sincos0xxxx−−，即()0fx，所以()fx在π0,2上单调递减.因为A，B是锐角ABC的两个内

角，所以π2AB+，则ππ022AB−，因为cosyx=在π0,2上单调递减，所以ππ0coscossin122ABB−=，故(cos)(sin)fAfB，故D正确.同理可得(

cos)(sin)fBfA，C错误；而,AB的大小不确定，故sinA与sinB，cosA与cosB的大小关系均不确定，所以(sin)fA与(sin)fB，(cos)fA与(cos)fB的大小关系也均不确定，AB不能判断.故选：D8．已知椭圆C：

()222210xyabab+=的焦点分别为1F，2F，点A在C上，点B在y轴上，且满足11AFBF⊥，2223AFFB=，则C的离心率为（）A．12B．22C．33D．55【答案】D【解析】如图，C：()222210xya

bab+=的图象，则()1,0Fc−，()2,0Fc，其中222cab=−，设()00,Axy，()0,By，则()002,AFcxy=−−，()2,FBcy=−()100,AFcxy=−−−，()1,BFcy=−−，

2200221xyab+=，因2223AFFB=，得()0200203333322,2,22FFcxxyBycA==−−=−−，故00332232ccxyy−=−=−，得005332xcyy==−

，由11AFBF⊥得()()()()11000AFBFcxcyy=−−−+−−=，得2000ccxyy++=即222053032ccy+−=，得220169yc=由2200221xyab+=，得2222511639ccab

+=，又222bac=−，cea=，化简得42255090ee−+=，又椭圆离心率()0,1e，所以215e=，得55e=.故选：D二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求

，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知1z，2z为复数，则下列说法正确的是（）A．若1zR，则11zz=B．若12=zz，则12zz=C．若12zz=，则12=zzD．若121zzz−

=，则10z=或212zz=【答案】AC【解析】A：根据共轭复数的定义，本选项正确；B：取11z=，2iz=，满足12=zz，但12zz，故本选项错误；C：设1izab=+，2izcd=+，,,,abcdR，由12zz=，得i

iabcd+=+，即ac=，bd=，所以2222+=+abcd，即12=zz，故本选项正确；D：取12z=，213iz=+，则1213izz−=−，1212zzz−==，此时10z且212zz，故D不正确．故选：AC10．如图，

点,,ABC是函数()()sin(0)fxx=+的图象与直线32y=相邻的三个交点，且ππ,0312BCABf−=−=，则（）A．4ω=B．9π182f=C．函数()fx在ππ,32上单调递减D．若将函数(

)fx的图象沿x轴平移个单位，得到一个偶函数的图像，则的最小值为π24【答案】ACD【解析】令()()3sin2fxx=+=得，π2π3xk+=+或2π2π3xk+=+，Zk，由图可知：π2π3Axk+=+，π2π+2π3Cxk+=+，2π2π3Bxk+=+，所

以1π2π3CBBCxx=−=−+，1π3BAABxx=−=，所以π12π2π33BCAB=−=−+，所以4ω=，故A选项正确，所以()()sin4fxx=+，由π012f−=

得πsin03−+=，所以ππ2π3k−+=+，Zk，所以4π2π3k=+，Zk，所以()4π4ππsin42πsin4sin4333fxxkxx=++=+=−+，9π9ππ1sin8232f=

−+=−，故B错误.当ππ,32x时，π5ππ4,2π333x++，因为sinyt=−在5ππ,2π33t+为减函数，故()fx在ππ,32上单调递减，故C正确；将函数()fx的图象沿x轴平移个单位得()πsin44

3gxx=−++，（0时向右平移，0时向左平移），()gx为偶函数得ππ4π32k+=+，Zk，所以ππ244k=+，Zk，则的最小值为π24，故D正确.故选：ACD.11．已知定义在R上的函

数()fx满足(2)()(2026)fxfxf++=，且(1)1fx+−是奇函数.则（）A．(1)(3)2ff+=B．(2023)(2025)(2024)fff+=C．(2023)f是(2022)f与

(2024)f的等差中项D．20241()2024ifi==【答案】ACD【解析】因为(2)()(2026)fxfxf++=，所以(4)(2)(2026)fxfxf+++=，两式相减得(4)()fxfx+=，所以()fx的周期为4.因为(1)1fx+−是奇函数，

所以(1)1(1)1fxfx−+−=−++，所以(1)(1)2fxfx−+++=，即()(2)2fxfx−++=，令=1x−，得(1)1f=.因为(2)()(2026)(2)fxfxff++==，令2x=，得(4)(2)(2)fff+=，所以(4)0f=，即(0)0f=.

因为()(2)2fxfx−++=，令0x=，得(0)(2)2ff+=，所以(2)2f=，所以(2)()2fxfx++=，所以(3)(1)2ff+=，故A正确.因为()(2)2fxfx−++=，所以(1)(3)2ff−+=，即

(3)(3)2ff+=，所以(3)1f=.因为(2023)(2025)(3)(1)2ffff+=+=，(2024)(0)0ff==，所以B错误.因为(2022)(2024)(2)(0)2ffff+=+=，(2023

)(3)1ff==，所以(2022)(2024)2(2023)fff+=，所以(2023)f是(2022)f与(2024)f的等差中项，故C正确.因为(1)(2)(3)(4)ffff+++()(1)(3)(2)(4)ffff=+++2204=++=，所以20241()506

[(1)(2)(3)(4)]50642024ififfff==+++==，故D正确.故选：ACD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合|12Mxx=+，21xNx=，则MN=【答案】|01xx

【解析】因为|12|31Mxxxx=+=−，|21|0xNxxx==，所以|01MNxx=.13．已知多项式5625601256(2)(1)xxaaxaxaxax−+−=+++++，则1a=.【答案】74【解析】对于5(2)x-，其二项展开式的通项为515C

(2)rrrrTx−+=−，令51r−=，得4r=，故4455C(2)80Txx=−=，对于6(1)x−，其二项展开式的通项为616C(1)kkkkTx−+=−，令61k−=，得5k=，故5566C(1)6Txx=−=−，所以()180674

a=+−=.14．在正三棱台111ABCABC-中，2AB=，11ABAB，侧棱1AA与底面ABC所成角的正切值为2．若该三棱台存在内切球，则此正三棱台的体积为．【答案】7212【解析】如图，取BC和11BC的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为1O，2O，设11ABx=，内切球半径为r

，因为12tan2AAO=，棱台的高为2r，所以()()22111226AABBCCrrr===+=，211333323OPAPAB===，同理136OQx=．因为内切球与平面11BCCB相切，切点在PQ上，所以()21326PQOPOQx=+=+①，在等腰梯形11BBCC中，()22226

2xPQr−=−②，由①②得()222226212xxr+−−=．在梯形1AAQP中，()22233236PQrx=+−③，由②③得26xr−=，代入得1x=，则棱

台的高623hr==，所以棱台的体积为133367243442312V=++=．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（本小题满分13分）已知函数()3

2393afxxxx=−−(1)当3a=时，求()fx在区间0,4上的最值；(2)若直线:1210lxy+−=是曲线()yfx=的一条切线，求a的值.【解】（1）当3a=时，()3239xxfxx−−=，则()()()2369331fx

xxxx=−−=−+，当)0,3x时，()0fx；当(3,4x时，()0fx¢>；()fx\在)0,3上单调递减，在(3,4上单调递增，()()min327fxf==−，()()()m

axmax0,4fxff=，又()00f=，()464483620f=−−=−，()max0fx=.（2）由题意知：()269fxaxx=−−，设直线l与()fx相切于点320000,393axxxx−−，则2003200006912391123axxaxxxx−−=−−

−=−，消去a得：200210xx−+=，解得：01x=，则6912a−−=−，解得：3a=.16．（本小题满分15分）如图，AB是半球O的直径，4AB=，,MN依次是底面AB上的两个三等分点，P是半球面上一点，且60PON=．(

1)证明：PBPM⊥；(2)若点P在底面圆上的射影为ON中点，求直线PM与平面PAB所成的角的正弦值．【解】（1）连接,,,AMOMMNPN，因为,MN依次是底面AB上的两个三等分点，所以四边形OMNB是菱形，设MBONQ=，则Q为ON中

点，且ONMB⊥，又因为,60OPONPON==∠，故OPN是等边三角形，连接PQ，则ONPQ⊥，又因为,MBPQ面PMB，MBPQQ=，所以ON⊥面PMB，因为PB面PMB，所以ONPB⊥，因为,MN依次是底面AB上

的两个三等分点，所以//ONAM，所以AMPB⊥，又因为AB是半球O的直径，P是半球面上一点，所以PBPA⊥，因为,AMPA面PAM，AMPAA=，所以PB⊥面PAM，又因为PM面PAM，所以PBPM⊥（2）因为点P在底面圆上的射影为ON中点，所以PQ⊥面AMB，因为,QMQ

N面AMB，所以,PQQMPQQN⊥⊥，又因为QMQN⊥，所以以,,QMQNQP为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，所以()()()()0,0,3,3,0,0,3,0,0,3,2,0PMBA−−，所以()()()3,0,3,3,2,3,23,2,0PMPABA=−=−−=−，设平面PA

B的法向量(),,nxyz=，则32302320nPAxyznBAxy=−−==−=，令1x=，则()1,3,1n=−，设直线PM与平面PAB所成角为π02，则2310sincos,565PMnPMnPMn====所以直线PM与平面PA

B所成角的正弦值为10517．（本小题满分15分）“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.

某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生20女生15合计100附：()()()(

)22()nadbcabcdacbd−=++++.0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828(1)根据所给数据完成上表，依据0.005=的独立性检验，能否有99.5%的把握认为该中

学学生喜欢足球与性别有关？(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数X的分布列和数学期望.【解】（1）依题意，22列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计

男生302050女生153550合计4555100零假设0H：该中学学生喜欢足球与性别无关，2的观测值为()22100303515201009.0915050455511−==，0.0059.0917.879x

=，根据小概率值0.005=的独立性检验，推断0H不成立，所以有99.5%的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意，X的所有可能取值为0,1,2,3，()()2212211221215011,1C11132183323218PXPX==−

−===−−+−=，()()221222121842122C11,333232189329PXPX==−+−=====

所以X的分布列为：X0123P1185184929数学期()15421101231818996EX=+++=.18．（本小题满分17分）已知点P（非原点）在抛物线C：2yx=上，点P处的切线分别交x，y轴于点Q，R．(1)若PQPR=，求实数的值．(2)定义：过抛物线上

一点，且垂直于在该点处切线的直线称为抛物线的法线．若抛物线C在点P处的法线交抛物线C于另一点S，求PSR面积的最小值．【解】（1）不妨设()211,Pxx，1>0x，由2yx=得2yx=，所以点P处的切线方程为()21112yxxxx

−=−．令0x=，得21Ryx=−，所以PRyy=−．所以点Q为线段PR的中点．所以12=．（2）设()222,Sxx，由法线定义得SPPR⊥，所以0SPPR=，又()()222121211,,,2SPxxxxPRxx=−−=−−，即()()2221

1211220xxxxxx−+−=．因为12xx，1>0x，所以()11212xxx+=−，21112xxx=−−．因为12122111111112442SPxxxxxx=+−=++，2211111414PRxxxx=+=+，所以31111122

8PSRSSPPRxxx==++．设()3128fxxxx=++，0x，则()221618fxxx=+−．令()0fx=，得36x=．当30,6x时，()0fx，()fx单调递减；当3,6x+

时，()0fx，()fx单调递增．所以当36x=时，()min439fx=．故PSR面积的最小值为439．19．（本小题满分17分）已知1,11,21,2,12,22,,1,2,(2)mmmmmmmaaaaaaAmaaa=是

2m个正整数组成的m行m列的数表，当1,1ismjtm时，记(),,,,,,,ijstijsjsjstdaaaaaa=−+−．设*nN，若mA满足如下两个性质：①,1,2,3;,(1,2,,;1,2,,)ijanimjm==；②对任意1,2,3,,kn，存在1

,2,,,1,2,,imjm，使得,ijak=，则称mA为Γn数表．(1)判断3123231312A=是否为3数表，并求()()1,12,22,23,3,,daadaa+的值；(2)若2数表4A满足(),1,1,1(1,2,3;1,2,3)ijijd

aaij++===，求4A中各数之和的最小值；(3)证明：对任意4数表10A，存在110,110isjt，使得(),,,0ijstdaa=．【解】（1）3123231312A=是3数表，()()1,12,22,23,3,,235.daa

daa+=+=（2）由题可知(),,,,,,,1ijstijsjsjstdaaaaaa=−+−=(1,2,3;1,2,3)ij==.当1,1ija+=时，有(),1,1,1,1,(1)(1)1ijijijijdaaaa++++=−−=，所以,1,1

3ijijaa+++=.当1,2ija+=时，有(),1,1,1,1,(2)(2)1ijijijijdaaaa++++=−−=，所以,1,13ijijaa+++=.所以,1,13(1,2,3;1,2,3).ijijaaij+++===所以1,12,23,34,4336,aaaa+++=+=

1,32,43,14,23,3.aaaa+=+=1,22,33,4314aaa++=+=或者1,22,33,4325aaa++=+=，2,13,24,3314aaa++=+=或者2,13,24,3325aa

a++=+=，1,41a=或1,42a=，4,11a=或4,12a=，故各数之和633441122++++++=，当41111122212111212A=时，各数之和取得最小值22.（3）由于4数表10A中

共100个数字，必然存在1,2,3,4k，使得数表中k的个数满足25.T设第i行中k的个数为(1,2,,10).iri=当2ir时，将横向相邻两个k用从左向右的有向线段连接，则该行有1ir−条有向线段，所以横向有向线段的起点总数1210(1)(1)10.iiii

rRrrT==−−=−设第j列中k的个数为(1,2,,10)jcj=.当2jc时，将纵向相邻两个k用从上到下的有向线段连接，则该列有1jc−条有向线段，所以纵向有向线段的起点总数1210(1)(1

)10.jjjjcCccT==−−=−所以220RCT+−,因为25T,所以220200RCTTTT+−−−=−.所以必存在某个k既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的终点，即存在110110,uvpq

，使得,,,upvpvqaaak===，所以(),,,,,,,0upvqupvpvpvqdaaaaaa=−+−=，则命题得证.