【文档说明】山东省“学情空间”区域教研共同体2022-2023学年高二下学期5月数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.090 MB，由小赞的店铺上传

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“学情空间”2023年高二5月份质量检测数学试题考试时间：120分钟分值：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合lnAxyx==，

20Bxxx=−，则AB=（）A.(,0−B.)0,1C.(0,1D.)1,+【答案】D【解析】【分析】先整理集合,AB，再根据集合运算求AB详解】ln0Axyxxx===，2

00Bxxxxx=−=或1x，故1ABxx=，故选：D2.命题“,e0xxx+R”的否定是（）A.,e0xxx+RB.,e0xxx+RC.,e0xxx+RD.,e0xxx+R【答案】

A【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为,e0xxx+R.故选：A.3.已知事件,AB，若()()()111,,342PAPBPBA===，则()PAB=（）．A.12B.23C.14D.13【【答案】B【解析】【分

析】利用条件概率的公式即可求解.【详解】因为()()11,32PAPBA==，所以()()()()1123PABPABPBAPA===,解得()16PAB=,又()14PB=，所以()()()126134PABPABPB===.故选

：B.4.为研究变量,xy的相关关系，收集得到如下数据：x56789y98643若由最小二乘法求得y关于x的经验回归方程为1.6axy=−+，则据此计算残差为0的样本点是（）A.()5,9B.()6,8C.()7,6D.()8,4【答案】C【解析】【分析】先求出回归方程的样本中心点，从而可求得1

.617.2yx=−+$，再根据残差的定义可判断.【详解】由题意可得：()()11567897,98643655xy=++++==++++=，即样本中心点为()7,6，可得1.676a=−+$，解得17.2a=$，所以1.617.2yx

=−+$，可得x56789y98643y9.27.664.42.8yy−0.2−0.400.4−0.2所以残差为0的样本点是()7,6.故选：C.5.关于实数x的一元二次不等式20axbxc++的解集为()2,

1−，则不等式()()2113axbxcax++++的解集为（）A.()0,2B.(),0−C.()2,+D.()(),02,−+【答案】D【解析】【分析】根据三个二次之间的关系结合韦达定理可得2baca==−，且a<0，代入所求不

等式运算求解即可.【详解】由题意可得：20axbxc++=的解为2,1−，且a<0，可得12baca−=−=−，解得2baca==−，则不等式()()2113axbxcax++++，即为()

()21123axaxaax+++−，且a<0，则()()21123xxx+++−，整理得220xx−，解得0x或2x，即解集为()(),02,−+.故选：D.6.已知函数()24lnfxaxaxx=−+，则()fx单调递增的一个充分不必要条件可以是（）A.10,2

aB.10,4aC.1,2a+D.1,4a−【答案】B【解析】【分析】对函数求导，根据()fx单调递增有2()2410gxaxax=−+在,()0x+上恒成立，结合二次函数性质求参数范围，最

后由充分必要性定义，即可得答案.【详解】由21241()24axaxfxaxaxx−+=−+=且,()0x+，令2()241gxaxax=−+，要使()fx单调递增，即()0gx恒成立，当0a=时()10gx=满足题设；当220Δ1680aaa=

−，可得0(21)0aaa−，则102a，满足题设；综上，使()fx单调递增，则102a≤≤，A为充要条件，B为充分不必要条件，C、D既不充分也不必要条件.故选：B7.已知偶函数()yfx=满足()()cossin0xfxxfx−对π0,2x

恒成立，下列正确是（）A.ππ243ffB.π6π426ff−C.π3π633ff−D.()π204ff−【答案】A【解析】【分析】令()()cosgxxfx=，即可判断()gx的奇偶性与单调

性，再根据奇偶性与单调性比较函数值的大小.【详解】因为()yfx=为偶函数，则()()fxfx−=，令()()cosgxxfx=，则()()()()coscosgxxfxxfx−=−−=，所以()()cosgxxfx=为偶函数，又()()()cossing

xxfxxfx=−，则当π0,2x时()0gx，所以()gx在π0,2上单调递增，则()πππ0643gggg，的所以c3ππππcosos443ff，即ππ243ff

，故A正确；ππππcoscos6446ff，即3π2π2624ff，则π6π426ff，即π6π426ff−

，故B错误；ππππcoscos6336ff，即33π1π262ff，则π3π633ff，即π3π633ff−

，故C错误；()ππcos00cos44ff，即()2π024ff，则()π204ff，即()π204ff−，故D错误；故选：A8.已知221xy+=，且0xy，则（）A.2xy+B.12xyC.22loglog1xy+−D

.112xy+【答案】C【解析】【分析】根据题意利用基本不等式以及对数函数单调性逐项分析判断.【详解】对于选项A：因为()()22222xyxy++=，当且仅当xy=时，等号成立，所以2xy+，故A错误；对于选项B：因为222xxyy+，当且仅当x

y=时，等号成立，所以12xy，故B错误；对于选项C：因为12xy，且()2logfxx=在定义域内单调递增，则22221loglogloglog12xyxy+==−，故C正确；对于选项D：因为111122xyxyxy

+=，当且仅当xy=时，等号成立，因为102xy，当且仅当xy=时，等号成立，则202xy，所以112222xyxy+，故D错误；故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错

的得0分．9.已知某学校高二年级男生人数是女生人数的2倍，该年级全部男、女学生是否喜欢徒步运动的等高堆积条形图如下，下列说法正确的是（）A.参加调查的学生中喜欢徒步的男生比喜欢徒步的女生多B.参加调查的学生中不喜欢徒步的男生比不喜欢徒步的女生少C.若参加

调查的学生总人数为300，则能根据小概率0.01=的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关D.无论参加调查的学生总人数为多少，都能根据小概率0.01=的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关【答案】AC【解析】【分析】对AB，设该学校高二年级男生人数为2a，女生人数为a，再计算喜

欢与不喜欢徒步的男生与女生人数判断即可；对CD，计算卡方，对照表格判断即可.【详解】对AB，设该学校高二年级男生人数为2a，女生人数为a，则学生中喜欢徒步的男生为20.71.4aa=，喜欢徒步的女生为0.4a，故A正确；不喜欢徒步的男生为20.30.

6aa=，不喜欢徒步的女生为0.6a，故B错误；对C，若参加调查的学生总人数为300，则男生200人，女生100人，列联表可得：是否喜欢徒步性别合计男生女生喜欢14040180不喜欢6060120合

计200100300则()2223001406060403006256.63520010018012021812−===，故能根据小概率0.01=的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故C正确；对D，设该学校高二年级男生人数为2a，女生人数

为a，列联表可得：是否喜欢徒步性别合计男生女生喜欢1.4a0.4a1.8a不喜欢0.6a0.6a1.2a合计2aa3a则()()222230.631.40.60.40.60.2521.81.221.81.2aaaaaaa

aaaaaaaaa−===，不能判断与6.635的大小关系故不能根据小概率0.01=的独立性检验，推断喜欢徒步和性别有关，故D错误；故选：AC10.现有一场流水席，共有6荤4素2汤共十二道菜品在长桌上摆成一排，下列说法正确的

是（）A.两份汤相邻的摆法共有101102AC种B.每道素菜不相邻的摆法共有8489AA种C.若十二道菜品的顺序已经固定，现又上了四道主食，有416A种不同摆法D.两汤不摆在首尾的摆法共有2101010AA种【答案】BCD【解析】【分析】对于A，利用捆绑法即

可判断；对于B，利用插空法即可判断；对于C，利用定序倍缩法即可判断；对于D，利用分步计数原理即可判断.【详解】对于A，先将两份汤捆绑在一起，看作一个整体，有22A种摆法；再与其余十道菜品排列在一起，有1111A种摆法；所以两份汤相邻的摆法共有211211AA种，故A错误；对于B，先将6荤2汤共

八道菜品进行排列，有88A种摆法；再利用插空法将4道素菜插到上述八道菜品共9个空中，有49A种摆法；所以每道素菜不相邻的摆法共有8489AA种，故B正确；对于C，先将十六道菜品进行排列，有1616A种摆法；其中十二道菜品的顺序已经固定，利用定序倍缩法可知有164161612

12AAA=种不同摆法，故C正确；对于D，将十二道菜品看作12个空，去掉首尾两个空还有10个空，在其中任选两个空将两份汤放进去，共有210A种方法；再将剩余的十道菜品排列到剩余的10个空中，共有1010A种方法；所以两汤不摆在首尾的摆法共有2101010AA种，故D正确.故选：

BCD.11.某大学文学院有AB、两个自习室，小王同学每天晩上都会去自习室学习.假设他第一天去自习室A的概率为13；他第二天去自习室B的概率为14；如果他第一天去自习室A，则第二天去自习室B的概率为12.下列说法正确的是（）A.小王两天都去自习室A的概率为14B.小王两天

都去自习室B的概率为112C.小王两天去不同自习室的概率为34D.如果他第二天去自习室B，则第一天去自习室A的概率为12【答案】BC【解析】【分析】根据条件概率公式及独立事件概率公式计算即可判断.【详解】设小王第一天去自习室A的事件为1A，第二天去自习室A的事

件为2A，设小王第一天去自习室B的事件为1B，第二天去自习室B的事件为2B，由题意，11()3PA=，212121()()()4PBPABPBB=+=，又12211()1()()2PABPBAPA==，所以12111()236PAB==，则122121111()()()43212PBBPBP

AB=−=−=，所以B正确；因为12211()1()()2PAAPAAPA==，所以12111()236PAA==，所以A错误；设小王两天去不同自习室的事件为C，则1212113()1()()16124PCPAAPBB=−−=−−=，所以C正确；()()()1211122321

234PABPABPB===，所以D错误；故选：BC12.在数学中，双曲函数（也叫圆函数）是一类与常见的三角函数类似的函数．最基本的双曲函数是双曲正弦函数eesinh2xxx−−=和双曲余弦函数eecosh2x

xx−+=，从它们可以导出双曲正切函数eetanheexxxxx−−−=+等，则下列说法正确的是（）A.2(tanh)1(tanh)xx=−B.tanhcoshxx恒成立C.00x，()00sinhs

inhsinhxxD12,Rxx，且12xx，则1212sinhsinh1xxxx−−【答案】ACD.【解析】【分析】通过计算(tanh)x和21(tanh)x−即可判断A；求出tanhyx=和coshyx=的值域，即可判断B；

首先判断函数sinhyx=的单调性，再设sin)h(fxxx=−，0x，判断出()fx在(0,)+的单调递增，且()0fx，得出sinhxx，即可判断C；不妨设12xx，由sin)h(fxxx=

−在R上单调递增，得出12())0(fxfx−，即可判断D．【详解】对于A：2211eeetanheeexxxxxxx−−−==+−+，xR，222222222(1)(1)2eeee4e(tanh)=(e)(e211

)xxxxxxxx=+−−++，222211()1e1(tanh)exxx−=−+−222222(1)(1)(1)eeexxx+−−=+222222222eeeeee(11)(11)4(1)(1e)xxxxxxx++−+−+==++，所以2(tanh)1(tan

h)xx=−，故A正确；对于B：设21e1xt+=，则2e1xt=−，则2tanh1(1,1)2txtt==−−−，ee2eecosh=122xxxxx−−+=，当且仅当eexx−=，即0x=时等号成立，所以cosh[1,)x+，所以tanhcoshxx，故B错误；对于C：因为

ee(sinh)02xxx−+=，所以sinhyx=在R上单调递增，设sin)h(fxxx=−，0x，则212()2xxxxfxeeee−−++−−==，因为ee2−+xx，所以20(2)xxexef−+−=，所以()fx在(0,)+

上单调递增，所以()(0)0fxf=，即sinhxx，所以00x，()00sinhsinhsinhxx，故C正确；对于D：不妨设12xx，则120xx−，由C得sin)h(fxxx=−，

xR，()fx在(0,)+上单调递增，且()0fx，又因为2(())xxeeffxxx−−+=−−=，即()fx为R上奇函数，所以sin)h(fxxx=−在(,0)−上单调递增，且()0fx，所以()fx在R上单调递增，所以12

2112sinh(si(n)h)()0xxfxfxxx−−−=−，即1212sinhsinhxxxx−−，所以1212sinhsinh1xxxx−−，故D正确，故选：ACD．第Ⅱ卷（60分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.求函数()ecosxfxx=−在0,π上的最

大值_________．【答案】πe1+##π1e+【解析】【分析】由()fx得出()fx在0,π上单调递增，即可得出最大值．【详解】()esinxfxx=+，因为当0,πx时，()esin0xfx

x=+，所以()fx在0,π上单调递增，所以()()1πfxfπe=+，故答案为：πe1+．14.在()513(21)xx+−的展开式中，若按x的升幂进行排列，则第3项为_________．【答案】210x−【解析】【分析】根据()()()()555132121321xxxxx

+−=−+−，展开计算2x的系数即可.【详解】由()()()()555132121321xxxxx+−=−+−，可得按x的升幂进行排列分别为常数项，x的项和2x的项，故第3项为含2x的项.其中2x的项为()()(

)()23142122255C213C21403010xxxxxx−+−=−+=−.故答案为：210x−15.一个盒子中有12个大小相同的小球，其中8个红球，4个白球，从中随机有放回的抽出4个球作为样本，用X表示样本中红球的个数，则样本中红球的比例4X与总体中红球的比例之差的绝对

值不超过16的概率为_________．【答案】5681【解析】【分析】依题意可得24,3XB，根据二项分布的概率公式求出()3PX=，()2PX=，依题意可得64123X−，从而得到2X=或3X=，则所求概率()()32PPXPX==+=.【详解】有放回摸球，每次摸到红球

的概率为82123=，且每次试验之间的结果是独立的，所以24,3XB，则()334232338123C1PX==−=，()222422242C13381PX==−=，又总体中红球的比例为23，则64123X−，解得1023X

，即2X=或3X=，所以样本中红球的比例4X与总体中红球的比例之差的绝对值不超过16的概率()()12413256813288PPXPX=+==+==.故答案为：568116.用红、橙、黄、绿四种颜色给图中的正方体展开图的六个区域涂色，要求展开后相邻区域的颜色以及还原回正方体后的相邻面所涂

颜色均不同，共有_________种不同的涂色方法．【答案】96【解析】【分析】依题意可得正方体三组对面中至少有两组必须分别涂上相同的颜色，分情况分别计算即可.【详解】如图，还原回正方体后，D、B为正方体前后两个对面，A、E

为左右两个对面，F、C为上下两个对面，依题意，正方体三组对面中至少有两组必须分别涂上相同的颜色，当三组对面中有两组颜色分别相同时，共有2434CA72=种不同的涂色方法；当三组对面颜色分别相同时，共有34A24=种不同的涂色方法.综上所

述，共有72+24=96种不同的涂色方法.故答案为：96四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在二项式311nx−的展开式中，已知第2项与第8项的二项式系数相等．（1）

求展开式中各项系数之和；（2）求展开式中二项式系数最大的项；（3）求展开式中的有理项．【答案】（1）0（2）4370x−（3）有理项为228x−，156x−−，1【解析】【分析】（1）根据题意结合组合数的性质可得8n=，令1x=，即可得各项系数之和；（2）根据组合

数的性质当4k=时，二项式系数最大，结合展开式的通项公式运算求解；（3）结合展开式的通项公式运算求解，令83k−Z，运算求解.【小问1详解】依题意17CCnn=，由组合数的性质得8n=，令1x=，得展开式中各项系数之和为

()8110−=.【小问2详解】因为二项式8311x−的展开式的通项为()()81833188,C10,1,,C81kkkkkkkTxkx−−−+=−==−，因为8n=，所以二项式8311x−的展开式中二项式系数最大的项为()4144

43358C170Txx−−−==.【小问3详解】由（2）可得：二项式8311x−的展开式的通项为()8318C1,0,1,,8kkkkTxk−+==−，令83k−Z，得258k

=,,，当2k=时，()28222338C128Txx−−=−=；当5k=时，()58551368C156Txx−−=−=−；当8k=时，()8888398C11Tx−=−=.综上所述：二项式831(1)x−展开式中的有理项为228x−，156x−−，1.18

.今年刚过去的4月份是“全国消费促进月”，各地拼起了特色经济”，带动消费复苏、市场回暖.“小饼烤炉加蘸料，灵魂烧烤三件套”，最近，淄博烧烤在社交媒体火爆出圈，吸引全国各地的游客坐着高铁，直奔烧烤店，而多家店铺的营业额也在近一

个月内实现了成倍增长.因此某烧烤店老板考虑投入更多的人工成本，现有以往的服务人员增量x（单位：人）与年收益增量y单位：万元）的数据如下：服务人员增量x/人234681013年收益增量y/万元13223142505658据此

，建立了y与x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的一元线性经验回归方程为4.111.8yx=+；模型②：由散点图（如图）的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线ybxa=+的附近．对数据进行初步处理后，得到了一些统计的

量的值：2.5t=，38.9y=，71761.75iiity==，17247.55iit==，其中iitx=，71117itt==（1）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的经验回归方程（精确到0.1）；（2）

根据下列表格中的数据，比较两种模型的决定系数2R，并选择拟合精度更高的模型，预测服务人员增加25人时的年收益增量．回归模型模型①模型②回归方程4.111.8yx=+ybxa=+()721iiiyy=−1

82.479.2附：样本()(),1,2,,iityin=的最小二乘估计公式为()()()1122211nniiiiiinniiiittyytyntybtttnt====−−−==−−，ayb

t=−$$，刻画样本回归效果的决定系数()()221211niiiniiyyRyy==−=−−【答案】（1）ˆy＝21.3x－14.4（2）模型①的R2小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，

92.1万元．【解析】【分析】（1）令tx=，则ybta=+，然后根据表中的数据和公式可求出模型②中y关于x的经验回归方程；（2）由表中的数据和样本回归效果的决定系数可判断回归模型②刻画的拟合效果更好，再根据模型②的回归方程可预测服务人员增加25人时的年收益增

量．【小问1详解】令tx=，则ybta=+.由参考数据得2771221ˆ37761.7572.538.98121.3221.47.5572.53.87iiiiitytybtt==−−===−−ˆa＝ˆybt－＝38.9－21.32×2.5≈－14.4，

所以，模型②中y关于x的经验回归方程为ˆy＝21.3x－14.4．【小问2详解】由表格中的数据，有182.4＞79.2，即()()772211182.479.2iiiiyyyy==−−，模型①的2R小于模型②，说明回归模型②

刻画的拟合效果更好当x＝25时，模型②的收益增量的预测值为ˆy＝21.3×25－14.4＝21.3×5－14.4＝92.1(万元)．所以预测服务人员增加25人时的年收益增量为92.1万元．19.针对“中学生追星问题”，某校团委正在对“性别与中学生追星是

否有关”做相关研究．现从本校随机抽取100名学生进行调查，得到下表：是否追星性别合计男生女生追星4570不追星20合计100（1）请将上述22列联表补充完整，并依据0.01=的独立性检验，能否认为性别与中学生追星有关联？（2）根据是否追星，在样本的女生中，按照分层抽样

的方法抽取9人作为研究小组．为了更详细地了解情况，再从研究小组中随机抽取4人，求抽到追星人数X的分布列及数学期望．参考公式：()()()()22(),nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．0.0500.0

250.0100.001x3.84105.0246.63510.828【答案】（1）表格见解析，有关联（2）分布列见解析，209【解析】【分析】（1）补充列联表，再计算卡方对比表格判断即可；（2）由题意可知，X可能取值为0，1，2，3，4，再求解分布列计算数学期望即可.【小问1详解】列联表补充为

是否追星性别合计男性女性追星452570不追星102030合计5545100零假设0:H性别与中学生追星无关联.()220.01100452025108.1296.63555457030x−==，依据小概率值0.01=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为性

别与中学生追星有关联，此推断犯错误的概率不大于0.01.【小问2详解】由题意知，9人中追星的有5人，不追星的有4人.的由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4.()4449C10C126PX===，()135449CC20101C12663PX====，(

)225449CC60102C12621PX====，()315449CC40203C12663PX====，()4549C54C126PX===，X的分布列为X01234P112610631021206351

26()1101020501234126632163126EX=++++209=20.某企业为进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机，通过市场调研发现，生产该产品全年需要投入研发成本250万元，每生产x（千部）手机，需另外投入

成本()Rx万元，其中()210100800,050100005046450,502xxxRxxxx++=+−−，已知每部手机的售价为5000元，且生产的手机当年全部销售完.（1）求2023年该款手机的利润y关于年产量x的函数关系式

；（2）当年产量x为多少时，企业所获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）2104001050,0501000046200,502xxxyxxx−+−=−++−（2）当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792

万元.【解析】【分析】（1）根据利润等于收入减去成本即可求出结果；（2）根据（1）求出的函数关系式直接求最大值即可.【小问1详解】当050x时，()2250010100800250104001050yxxxxx=

−++−=−+−，当50x时,100001000050050464502504620022yxxxxx=−+−−=−++−−，所以2104001050,0501000046200

,502xxxyxxx−+−=−++−.【小问2详解】当050x时，2210400105010(20)2950yxxx=−+−=−−+,∴当20x=时，max2950y=，当50x时,()1000010000462004261922400006192579222y

xxxx=−++=−−−+−+=−−,当且仅当()10000422xx−=−，即52x=时，max5792y=，因此当年产量为52（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是5792万元.21.为提高学生运动的积极性，某校拟在六月初进行高

二年级班级篮球赛.体育教师随机记录了高二三班体育委员小杨在五月份中“定点投篮”训练中的成绩.小杨每天进行投篮训练100次，每次投篮命中得1分，否则不得分，且每次命中结果互不影响.得到如下频率分布直方图．（1）①求小杨在五月份“定点投篮”训练成绩样本平均数x（

同一组数据用该区间的中点值作代表）②若小杨在五月份“定点投篮”训练成绩X近似地服从正态分布(),64N，其中近似为样本平均数x，求(58)PX的值；（2）为进一步激发小杨的训练斗志，体育老师特安排二班体育委员小王与其进行比赛.两人分别连续投篮100次，小杨得分达

到80分为获胜，否则小王获胜．若有人获胜达3局，则比赛结束，记比赛的局数为Y．以频率分布直方图中小杨获胜的频率作为概率，求()EY．参考数据：若随机变量()2,N，则0.68()27P−+，的220.9()545P−+，(33)0.9973P

−+．【答案】（1）①74；②0.97725（2）483()128EY=【解析】【分析】（1）①根据频率分布直方图计算平均数即可；②由题意8=，根据(5890)(22)PXPX=−+和正态分布的性质可得答

案；（2）以频率估计概率可得小杨获胜的概率，由题意得随机变量Y的可能取值为3，4，5，分别求出对应的概率可得Y的分布列和期望.【小问1详解】①平均数()550.010650.020750.045850.020950.0051074

x=++++=；②由题意知，74x==，8=，()()5890220.9545PXPX=−+，()10.9545580.022752PX−==，所以()5810.022750.97725PX=−

=；【小问2详解】以频率估计概率，则小杨获胜的概率为()10.0200.005100.254+==，由题意知，随机变量Y的可能取值为3，4，5，所以33137(3)4416PY==+=，()22

2233131313454CC444444128PY==+=，()22222244131313275CC444444128PY==+=

，Y的分布列为Y345P7164512827128所以()7452748334516128128128EY=++=.22.已知函数()ln,Rafxxax=−，设12,xx为两个不相等正数，且()()123f

xfx==−．（1）求a的取值范围．（2）当2a=−时，求证：124xx+．【答案】（1）()2e,0−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先对函数求导后，分0a和a<0判断导数的正负，从而可求出函数的单调区间，再由题意可知0a不合题意，当a<0时，求出()fx的最大值，由题意可得()ma

x3fx−，从而可求出a的取值范围；（2）根据题意构造函数()()(4)(02)gxfxfxx=−−，利用导数可判断()gx在()02，上单调递增，从而可得()()4fxfx−，不妨设1202xx，再根

据()fx的单调性可证得结论.【小问1详解】由()ln,Rafxxax=−，得()221(0)aaxfxxxxx+=−−=−，①0a时，()0fx，()fx在()0+，单调递减，不符合题意，②a

<0时，令()0fx=，xa=−；令()0fx¢>，0xa−；令()0fx，xa−当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表所示.x()0a−，a−()a−+，()fx+0−()fx单调递增1ln()a−−−单调递减当xa=−时，

()fx取得极大值也是最大值，即()()max1ln()fxfaa=−=−−−，当0x→时，()fx→−，当x→+时，()fx→−.因为()()123fxfx==−，所以()()max1ln3fxa=−−−−，解得2e0a−.故a的取值范围为()2

e,0−【小问2详解】当2a=−，由（1）得()fx在()02，上单调递增，在()2+，上单调递减，构造函数22()()(4)lnln(4)(02)4gxfxfxxxxxx=−−=−−++−−则2222221218(2)()0(4)4(4)xgxxxxxxx−=−+−=

−−−所以()gx在()02，上单调递增，故()()20gxg=，所以()()40fxfx−−，即()()4fxfx−，不妨设1202xx，()10gx，即()()114fxfx−，又因为()()12fxfx

=，所以()()214fxfx−，因为21242xx−，，()fx在()2+，上单调递减，所以214xx−，即得124xx+.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数解决函数单调性问题，第（2）问解题的关键是构造函数()()

(4)(02)gxfxfxx=−−，再利用导数判断其单调性，再结合()fx的单调性可得结论，考查数学转化思想，属于较难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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