【文档说明】第一次月考模拟卷（1）-2020-2021学年九年级数学下学期精练卷（人教版 广西专用）（解析版）.docx，共(4)页，386.173 KB，由管理员店铺上传

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绝密★启用前广西2020-2021学年度下学期九年级数学第一次月考模拟试卷（一）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题3分，共计36分）1.−2的绝对值是()A.

−2B.−12C.2D.12【答案】C【解答】解：∵|−2|=2，∴−2的绝对值是2.故选𝐶.2.如图，这是一个由2个大小不一样的圆柱组成的几何体，则该几何体的主视图是()A.B.C.D.【答案】A【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图是.故选A.3.今年参观博物馆的总人数约为48900

0人，将489000用科学记数法表示为()A.48.9×104B.4.89×105C.4.89×104D.0.489×106【答案】B【解答】解：489000=4.89×105.故选B．4.下列运算正确的是()A.2𝑎+3𝑎=5𝑎2B.𝑎2⋅𝑎

3=𝑎5C.(−𝑎2)3=𝑎6D.(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=𝑎2+𝑏2【答案】B【解答】解：A，2𝑎+3𝑎=5𝑎，故A不符合题意；B，𝑎2⋅𝑎3=𝑎5，故B符合题意；C，(−𝑎2)3=−𝑎6，故C不符合题意；D，(𝑎+𝑏)(𝑎−𝑏)=

𝑎2−𝑏2，故D不符合题意.故选B．5.不等式组{2−𝑥≥1，2𝑥>−6，的解集在数轴上表示正确的是()A.B.C.D.【答案】D【解答】解：{2−𝑥≥1①，2𝑥>−6②，解①得：𝑥≤1，解②得：𝑥>−3，即不等式组的解集为：−

3<𝑥≤1，观察A，B，C，D选项中的图，只有D符合.故选D．6.某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“古诗词”大赛，各参赛选手成绩的数据分析如表所示，则以下判断错误的是()班级平均数中位数众数方差八(1)班9493941

2八(2)班9595.5938.4A.八(2)班的总分高于八(1)班B.八(2)班的成绩比八(1)班稳定C.两个班的最高分在八(2)班D.95分以上的人数八(2)班比八(1)班多【答案】C【解答】解：A，

八(2)班的平均分高于八(1)班且人数相同，所以八(2)班的总分高于八(1)班，故A不符合题意；B，八(2)班的方差比八(1)班小，所以八(2)班的成绩比八(1)班稳定，故B不符合题意；C，两个班的最高分

无法判断出现在哪个班，故C符合题意；D，八(2)班的中位数高于八(1)班，所以八(2)班的成绩在95分以上的比八(1)班的多，故D不符合题意.故选C.7.已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的

母线长为()A.10B.5C.2.5D.15【答案】A【解答】解：设母线长为𝑥，根据题意得2𝜋𝑥÷2=2𝜋×5，解得𝑥=10．故选𝐴．8.如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，𝑀𝑁是⊙𝑂的切线，切点为𝑁，如果∠𝑀𝑁𝐵=52∘，则∠𝑁𝑂𝐴的度数为()A.5

2∘B.56∘C.54∘D.76∘【答案】D【解答】解：∵𝑀𝑁是⊙𝑂的切线，∴𝑂𝑁⊥𝑁𝑀，∴∠𝑂𝑁𝑀=90∘，∴∠𝑂𝑁𝐵=90∘−∠𝑀𝑁𝐵=90∘−52∘=38∘.∵𝑂𝑁=𝑂𝐵，∴∠𝐵=∠𝑂𝑁𝐵=38∘，∴∠𝑁𝑂�

�=2∠𝐵=76∘．故选𝐷.9.如图，点𝑃在反比例函数𝑦=2𝑥的图象上，𝑃𝐴⊥𝑥轴于点𝐴，则△𝑃𝐴𝑂的面积为（）A.1B.2C.4D.6【答案】A【解答】解：依据比例系数𝑘的几何意义可得，△𝑃𝐴

𝑂的面积=12|𝑘|，即△𝑃𝐴𝑂的面积=12×2=1.故选A.10.共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放𝑎辆单车，计划第三个月投放单车𝑦辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为𝑥，那么𝑦与𝑥的函数关系是

()A.𝑦=𝑥2+𝑎B.𝑦=𝑎(1+𝑥)2C.𝑦=(1−𝑥)2+𝑎D.𝑦=𝑎(1−𝑥)2【答案】B【解答】解：由题意得，𝑦与𝑥的函数关系是𝑦=𝑎(1+𝑥)2.故选𝐵.11.如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷𝐸//𝐵𝐶，𝐴𝐸:𝐵𝐸=3:4，𝐵𝐷

与𝐶𝐸交于点𝑂，下列结论：①𝑂𝐸𝑂𝐵=𝑂𝐷𝑂𝐶；②𝐷𝐸𝐵𝐶=34；③𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐵𝑂𝐶=949；④𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐵𝐷𝐸=310.其中正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解答】解：∵𝐷𝐸//

𝐵𝐶，𝐴𝐸:𝐵𝐸=3:4，∴𝐷𝐸𝐵𝐶=37，∠𝑂𝐷𝐸=∠𝑂𝐵𝐶，∠𝑂𝐸𝐷=∠𝑂𝐶𝐵，∴△𝑂𝐷𝐸∼△𝑂𝐵𝐶，∴𝑂𝐸𝑂𝐶=𝑂𝐷𝑂𝐵=𝐷𝐸𝐵𝐶=37，∴①②错误．∵𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐵𝑂𝐶=(𝐷𝐸�

�𝐶)2=949，∴③正确．∵𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐵𝑂𝐸=12𝑂𝐷⋅ℎ12𝑂𝐵⋅ℎ=𝑂𝐷𝑂𝐵=37，∴𝑆△𝐷𝑂𝐸𝑆△𝐵𝐷𝐸=310，∴④正确．故选𝐵．12.如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中

，点𝐸,𝐹分别在𝐵𝐶,𝐶𝐷边上，△𝐴𝐸𝐹是等边三角形，连接𝐴𝐶交𝐸𝐹于𝐺，下列结论：①𝐵𝐸=𝐷𝐹；②∠𝐷𝐴𝐹=15∘；③𝐵𝐸+𝐷𝐹=𝐸𝐹；④𝑆△𝐶𝐸𝐹=2𝑆△𝐴𝐵𝐸，其中正确

结论有()个.A.1B.2C.3D.42【答案】C【解答】解：①因为△𝐴𝐸𝐹是等边三角形,所以𝐴𝐸=𝐴𝐹,因为∠𝐵=∠𝐷=90∘,所以𝐵𝐸2=𝐴𝐸2−𝐴𝐵2，𝐷𝐹2=𝐴𝐹2−𝐴𝐷2,又因为𝐴𝐵=𝐴𝐷，所以𝐵𝐸2=𝐷𝐹2,所以𝐵𝐸

=𝐷𝐹;②因为𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐴𝐸=𝐴𝐹,𝐵𝐸=𝐷𝐹，所以△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐷𝐹，所以∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸,因为∠𝐸𝐴𝐹=60∘，所以∠𝐷𝐴𝐹=∠𝐵𝐴𝐸=90∘−60∘2=15∘；③如图所示，延长𝐸𝐵至点𝐹′，使

𝐵𝐹′=𝐷𝐹，连接𝐴𝐹′，则△𝐴𝐷𝐹≅△𝐴𝐵𝐹′，∠𝐹′𝐴𝐸=30∘，∠𝐹′=∠𝐴𝐸𝐹′=75∘，所以𝐸𝐹′≠𝐴𝐸，因为𝐸𝐹′=𝐵𝐸+𝐷𝐹,𝐴𝐸=𝐸𝐹,所以𝐵𝐸+𝐷𝐹≠𝐸𝐹；④如图所示，

过点𝐸作𝐸𝑁⊥𝐴𝐹′，垂足为点𝑁,因为∠𝑁𝐴𝐸=30∘，所以𝑁𝐸=12𝐴𝐸.因为𝐵𝐸=𝐷𝐹,𝐵𝐶=𝐶𝐷，所以𝐶𝐸=𝐶𝐹,因为𝐴𝐶⊥𝐸𝐹，所以𝐶𝐺=12𝐸𝐹,又因为𝐴𝐸=�

�𝐹，所以𝐸𝑁=𝐶𝐺,又因为𝐴𝐹′=𝐴𝐸=𝐸𝐹，所以𝑆△𝐴𝐸𝐹′=𝑆△𝐶𝐸𝐹又因为由③可知，△𝐴𝐵𝐸≅△𝐴𝐵𝐹′,所以𝑆△𝐴𝐵𝐸=𝑆△𝐴𝐵𝐹′,所以𝑆△𝐶𝐸𝐹=2𝑆△𝐴𝐵𝐸,故

正确的结论有3个.故选𝐶.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分）13.分解因式2𝑥2+4𝑥+2=________．【答案】2(𝑥+1)2【解答】解：2𝑥2+4𝑥+2=2(𝑥2+2𝑥+1)=2(𝑥+1)2．故答案为：2(𝑥+1)

2．14.如图，已知𝐴𝐵//𝐶𝐷，∠𝐴𝐵𝑃=34∘，∠𝐷𝐶𝑃=27∘，那么∠𝐵𝑃𝐶=________．【答案】61∘【解答】解：如图，过点𝑃作𝑃𝐸//𝐴𝐵，∵𝐴𝐵//𝐶𝐷，∴𝑃𝐸//𝐴𝐵//𝐶𝐷，∵∠𝐴𝐵�

�=34∘，∠𝐷𝐶𝑃=27∘，∴∠1=∠𝐴𝐵𝑃=34∘，∠2=∠𝐷𝐶𝑃=27∘，∴∠𝐵𝑃𝐶=∠1+∠2=34∘+27∘=61∘．故答案为：61∘．15.把抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，

所得图象的解析式是𝑦=2(𝑥−3)2+1，则𝑎+𝑏+𝑐=．【答案】5【解答】解：函数𝑦=2(𝑥−3)2+1的图象，先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度得到：𝑦=2(𝑥−3+3)2+1+2=2𝑥2+3，所以𝑎𝑥2+𝑏�

�+𝑐=2𝑥2+3，所以𝑎=2，𝑏=0，𝑐=3，所以𝑎+𝑏+𝑐=2+0+3=5．故答案为：5．16.随机从甲、乙两块试验田中各抽取100株麦苗测试高度，计算平均数和方差的结果为𝑥¯甲=13，𝑥¯乙=13，𝑆甲2=3.6，𝑆乙2=4.2，则小麦长势

比较整齐的是________.【答案】甲【解答】解：由方差的意义，观察数据可知甲块试验田的方差小，故甲试验田小麦长势比较整齐．故答案为：甲．17.如图，△𝑂𝐴𝐵的边𝑂𝐴在𝑥轴正半轴上，其中∠𝑂𝐴𝐵=90∘，

𝐴𝑂=𝐴𝐵，点𝐶为斜边𝑂𝐵的中点，反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0,𝑥>0)的图象过点𝐶且交线段𝐴𝐵于点𝐷，连接𝐶𝐷，𝑂𝐷，若𝑆△𝑂𝐶𝐷=32，则𝑘=____

____.【答案】2【解答】解：过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝑥轴，垂足为𝐸.∵𝐴𝑂=𝐴𝐵，∴设点𝐵的坐标为(2𝑚,2𝑚)，𝑚>0.∵𝐶为𝑂𝐵的中点，∴𝑂𝐶=12𝑂𝐵.∵𝐶𝐸⊥𝑥轴，∠𝑂𝐴𝐵=90∘，∴𝐶𝐸//𝐴𝐵.∴△𝑂𝐸

𝐶∼△𝑂𝐴𝐵.∴𝐶𝐸𝐴𝐵=𝑂𝐸𝑂𝐴=𝑂𝐶𝑂𝐵=12.∴点𝐶的坐标为(𝑚,𝑚).∵点𝐶在反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0,𝑥>0)的图象上，∴𝑘=𝑥𝑦=𝑚2.∵点

𝐷也在反比例函数𝑦=𝑘𝑥(𝑘>0,𝑥>0)的图象上，∴点𝐷的坐标为(2𝑚,12𝑚).∵𝑆△𝑂𝐶𝐷=𝑆△𝑂𝐴𝐵−𝑆△𝑂𝐴𝐷−𝑆△𝐵𝐶𝐷，∴12×2𝑚×

2𝑚−12×2𝑚×12𝑚−12×(2𝑚−12𝑚)×(2𝑚−𝑚)=32.解得𝑚2=2.∴𝑘=2.故答案为：2.18.如图，数轴上𝑂，𝐴两点的距离为4，一动点𝑃从点𝐴出发，按以下规律跳动：第1次跳动到𝐴𝑂

的中点𝐴1处，第2次从𝐴1点跳动到𝐴1𝑂的中点𝐴2处，第3次从点𝐴2跳动到𝐴2𝑂的中点𝐴3处，按照这样的规律继续跳动到点𝐴4，𝐴5，𝐴6，⋯，𝐴𝑛（𝑛≥3，𝑛是整数）处，那么线段𝐴�

�𝐴的长度为________.【答案】4−22−𝑛【解答】解：由于𝑂𝐴=4，所以第一次跳动到𝑂𝐴的中点𝐴1处时，𝑂𝐴1=12𝑂𝐴=12×4=2，同理第二次从𝐴1点跳动到𝐴2处，离原点的

(12)2×4处，同理跳动𝑛次后，离原点的长度为(12)𝑛×4=12𝑛−2故线段𝐴𝑛𝐴的长度为4−22−𝑛(𝑛≥3，𝑛是整数）．故答案为：4−22−𝑛．三、解答题（本题共计8小题，共计66分）19.（本题满分6分）计算：|3−𝜋|+(2021−𝜋)0

+2cos60∘−(13)−1.【答案】解：原式=𝜋−3+1+2×12−3=𝜋−4.20.（本题满分6分）先化简，再求代数式(31−𝑎−1)÷𝑎2+4𝑎+4𝑎−1的值，其中𝑎=√3−2.【答案】解：原式=(31−𝑎−1−𝑎1−𝑎)⋅𝑎−1(𝑎+2)2=𝑎+21

−𝑎⋅𝑎−1(𝑎+2)2=−1𝑎+2，当𝑎=√3−2时，原式=−1√3−2+2=−1√3=−√33.21.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，△𝐴𝐵𝐶的三个顶点坐标分别为𝐴(

1,1)，𝐵(4,0)，𝐶(4,4).3(1)按下列要求作图：①将△𝐴𝐵𝐶向左平移4个单位，得到△𝐴1𝐵1𝐶1；②将△𝐴1𝐵1𝐶1绕点𝐵1逆时针旋转90∘，得到△𝐴2𝐵2𝐶2；(2)求点𝐶1在旋转过程中所经

过的路径长．【答案】解：(1)①如图，△𝐴1𝐵1𝐶1为所作；②如图，△𝐴2𝐵2𝐶2为所作.(2)因为𝐵1𝐶1=4，所以点𝐶1在旋转过程中所经过的路径长=90×𝜋×4180=2𝜋.22.（本题满分

8分）在中考理化实验操作中，初三某班除两名同学因故外全部参加考试，考试结束后，把得到的成绩（均为整数分，满分10分）进行统计并制成如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图（不完整）.(1)𝑚=

________.(2)若从这些同学中，随机抽取一名整理一下实验器材，求恰好抽到成绩不小于8分同学的概率；(3)若两名同学经过补测，把得到的成绩与原来成绩合并后，发现成绩的中位数发生改变，求这两名同学的成绩和．【解答】解：(1)∵𝑚%=1−15%−27.

5%−30%−17.5%=10%，∴𝑚=10.故答案为：10.(2)由题知，一共有4+6+11+12+7=40（名）同学，其中成绩不小于8分同学有11+12+7=30（名）同学，所以𝑃(抽到成绩不小于8分同学)=3040=34.(3)当两名同学成绩不大于8时，新成绩的中位数不会发生改变，均

为8；当两名同学成绩大于或等于9时，新成绩的中位数为8.5，发生改变，因此两名同学的成绩和为18或19或20．23.（本题满分8分）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示意图如图所示，其

中斜坡的倾斜角为18∘，一楼到地下停车场地面的垂直高度𝐶𝐷=2.8𝑚，一楼到地平线的距离𝐵𝐶=1𝑚.(1)为保证斜坡的倾斜角为18∘，应在地面上距点𝐵多远的𝐴处开始斜坡的施工？(结果精确到0.1𝑚)(2)如果给该购物广场送货的货车高度为2.5𝑚，那

么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．(参考数据：sin18∘≈0.31，cos18∘≈0.95，tan18∘≈0.32)【答案】解：(1)由题意可得∠𝐵𝐴𝐷=18∘，𝐵𝐷=𝐶𝐷−𝐵𝐶=1.8𝑚，在

𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐵=𝐵𝐷tan18∘≈2.8−10.32≈5.6𝑚，∴应在地面上距点𝐵约5.6𝑚远的𝐴处开始斜坡的施工.(2)如图，过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，则∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐵𝐴𝐷=18∘.在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐷中，𝐶𝐸=𝐶𝐷cos

18∘=2.8×0.95=2.66𝑚．∵2.66>2.5，∴能保证货车顺利进入地下停车场．24.（本题满分10分）在新型冠状病毒肺炎疫情期间，某农业合作社决定对一种特色水果开展线上销售，考虑到实际情况，一共开展了30次线上销售，综合考虑各种因素，该种水果的成本价为每

吨2万元，销售结束后，经过统计得到了如下信息：信息1：设第𝑥次线上销售水果𝑦（吨），且第一次线上销售水果为39吨，然后每一次总比前一次销售减少1吨；信息2．该水果的销售单价𝑝（万元/吨）均由基本价和浮动价两部分组成，其

中基本价保持不变，第1次线上销售至第15次线上销售的浮动价与销售场次𝑥成正比，第16次线上销售至第30次线上销售的浮动价与销售场次𝑥成反比；信息3：𝑥（次）2824𝑝（万元）2.22.83请根据以上信息，解决下列问题．(1)

求𝑦与𝑥之间的函数关系式；(2)若𝑝=3.2（万元/吨），求𝑥的值；(3)在这30次线上销售中，哪一次线上销售获得利润最大？最大利润是多少？【答案】解：(1)由题知，每一次销售的销售量都比前一次少1吨，则一次函数的关系式中𝑘=−1，又当𝑥=1时，𝑦=39，所以函数的关系式为𝑦=40

−𝑥.(2)设第1场∼第15场时𝑝与𝑥的函数关系式为𝑝=𝑎𝑥+𝑏；第16场～第30场时𝑝与𝑥的函数关系式为𝑝=𝑚𝑥+𝑏.依题意得{2.2=2𝑎+𝑏,2.8=8𝑎+𝑏,解这个方程组得{𝑎=110,𝑏=2,∴𝑝=110

𝑥+2．又当𝑥=24时，有3=𝑚24+2，解得𝑚=24，∴𝑝=24𝑥+2．当1≤𝑥≤15时，𝑝=110𝑥+2=3.2，解得𝑥=12；当16≤𝑥≤30时，𝑝=24𝑥+2=3.2，解得𝑥=20．(3)设每场获得的利润为𝑊（万元），则有当1≤𝑥≤15时，�

�=(40−𝑥)(110𝑥+2−2)=−110𝑥2+4𝑥=−110(𝑥−20)2+40，所以当𝑥=15时，𝑊最大，最大为37.5万元；当16≤𝑥≤30时，𝑊=(40−𝑥)(24𝑥+2−2

)=960𝑥−24；当𝑥=16时，𝑊最大，最大为36万元．所以在这30次线上销售中，第15次线上销售获得利润最大，最大利润37.5万元．25.（本题满分10分）如图，⊙𝑂的直径𝐴𝐵为10，∠�

�𝐶𝐵的平分线交⊙𝑂于点𝐷，交𝐴𝐵于点𝐸，点𝐹在𝐴𝐵的延长线上，且𝐹𝐸=𝐹𝐶．(1)求𝐵𝐷的长；(2)求证：𝐶𝐹是⊙𝑂的切线；(3)若tan∠𝐹𝐶𝐵=23，求线段𝐷𝐸的长．【答案】(1)解

：如图，连接𝑂𝐷，∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∴∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=90∘.∵𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵，∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=45∘，∴∠𝐵𝑂𝐷=2∠𝐵𝐶𝐷=90∘.在𝑅𝑡△𝐵𝑂𝐷中，𝑂𝐷=𝑂𝐵=12𝐴𝐵=5，∴𝐵𝐷=

√𝑂𝐷2+𝑂𝐵2=√52+52=5√2.4(2)证明：如图，连接𝑂𝐶，∵𝐹𝐸=𝐹𝐶，𝑂𝐶=𝑂𝐷，∴∠𝐹𝐶𝐸=∠𝐹𝐸𝐶，∠𝑂𝐷𝐶=∠𝑂𝐶𝐷.∵∠𝑂𝐸𝐷=∠𝐹𝐸𝐶，∴∠𝐹𝐶𝐸=∠𝑂𝐸𝐷.∵∠𝐵𝑂𝐷=90

∘，∴∠𝑂𝐷𝐸+∠𝑂𝐸𝐷=90∘，∴∠𝑂𝐶𝐷+∠𝐹𝐶𝐸=90∘，即∠𝑂𝐶𝐹=90∘，∴𝑂𝐶⊥𝐶𝐹.∵𝑂𝐶是⊙𝑂的半径，∴𝐶𝐹是⊙𝑂的切线．(3)解：∵∠�

�𝐶𝐵+∠𝑂𝐶𝐵=90∘，∠𝑂𝐶𝐵+∠𝐴𝐶𝑂=90∘，∴∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐹𝐶𝐵．∵𝑂𝐴=𝑂𝐶，∴∠𝐴𝐶𝑂=∠𝐶𝐴𝑂.∵∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐶𝐷𝐵，∴∠𝐶

𝐴𝑂=∠𝐹𝐶𝐵，∴tan∠𝐶𝐷𝐵=tan∠𝐹𝐶𝐵=23.∵∠𝐵𝑂𝐷=90∘，𝑂𝐵=𝑂𝐷，∴∠𝑂𝐵𝐷=45∘.如图，过点𝐸作𝐸𝐺⊥𝐵𝐷，垂足为𝐺，在𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐺和𝑅𝑡△𝐸𝐵𝐺中

，tan∠𝐸𝐷𝐺=𝐸𝐺𝐷𝐺=23，tan∠𝐸𝐷𝐺=𝐸𝐺𝐵𝐺=tan45∘=1，∴𝐷𝐺=32𝐸𝐺，𝐵𝐺=𝐸𝐺．∵𝐷𝐺+𝐵𝐺=𝐵𝐷=5√2，∴32𝐸𝐺+𝐸𝐺=5√

2．∴𝐸𝐺=2√2，∴𝐷𝐺=32𝐸𝐺=3√2，∴𝐷𝐸=√𝐸𝐺2+𝐷𝐺2=√(2√2)2+(3√2)2=√26．26.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象与𝑥轴交于𝐴，𝐵两点，𝐴点在原点

的左侧，𝐵点的坐标为(3,0)，与𝑦轴交于𝐶(0,−3)点，点𝑃是直线𝐵𝐶下方的抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)连接𝑃𝑂，𝑃𝐶，并把△𝑃𝑂𝐶沿𝐶𝑂翻折，得到四边形𝑃𝑂𝑃′𝐶，那么是否存在点𝑃，使四边形𝑃𝑂𝑃

′𝐶为菱形？若存在，请求出此时点𝑃的坐标；若不存在，请说明理由．(3)当点𝑃运动到什么位置时，四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的面积最大？求出此时𝑃点的坐标和四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的最大面积．【答案】解：(1)将𝐵,𝐶两点的坐

标代入得{9+3𝑏+𝑐=0,𝑐=−3,解得{𝑏=−2,𝑐=−3,所以二次函数的表达式为：𝑦=𝑥2−2𝑥−3.(2)存在点𝑃，使四边形𝑃𝑂𝑃′𝐶为菱形；设𝑃点坐标为(𝑥,𝑥2−2𝑥−3)，𝑃𝑃′交𝐶𝑂于𝐸,

若四边形𝑃𝑂𝑃′𝐶是菱形，连接𝑃𝑃′，则𝑃𝐸⊥𝐶𝑂于𝐸,则𝑂𝐸=𝐸𝐶,如图：∵𝐶(0,−3)，∴𝐶𝑂=3，又∵𝑂𝐸=𝐸𝐶，∴𝑂𝐸=𝐸𝐶=32∴直线𝑃𝐸的解

析式为：𝑦=−32；∴𝑥2−2𝑥−3=−32解得𝑥1=2+√102，𝑥2=2−√102（不合题意，舍去），∴𝑃点的坐标为(2+√102,−32).(3)过点𝑃作𝑦轴的平行线与𝐵𝐶交于点𝑄，与𝑂𝐵交于点𝐹，如图：设𝑃(𝑥,𝑥2−2𝑥−3)，设直线𝐵𝐶的解析式为

：𝑦=𝑘𝑥+𝑑(𝑘≠0)，则{𝑑=−33𝑘+𝑑=0，解得{𝑘=1𝑑=−3，∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑥−3，则𝑄点的坐标为(𝑥,𝑥−3)；当0=𝑥2−2𝑥−3，解得：𝑥1=−1，𝑥2=3，∴𝐴𝑂=1，𝐴𝐵=4，𝑆四边形𝐴𝐵𝑃𝐶=𝑆△𝐴

𝐵𝐶+𝑆△𝐵𝑃𝑄+𝑆△𝐶𝑃𝑄=12𝐴𝐵⋅𝑂𝐶+12𝑄𝑃⋅𝐵𝐹+12𝑄𝑃⋅𝑂𝐹=12×4×3+12(−𝑥2+3𝑥)×3=−32(𝑥−32)2+758当𝑥=32

时，四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的面积最大此时𝑃点的坐标为(32,−154)，四边形𝐴𝐵𝑃𝐶的面积的最大值为758．