【文档说明】山东省青岛市莱西市2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含答案.docx，共(10)页，773.331 KB，由小赞的店铺上传

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高一学业水平阶段性检测（四）数学试题本试卷共19题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标

号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，复数z满足1izz+=−，则iz+的最小值为（）

A．22B．12C．13D．02．若()2,0,1,3abab==−=，则a与ab−的夹角为（）A．π6B．π3C．π2D．5π63．2sin20cos20cos25−=（）A．1B．12C．1−D．12−4

．底面边长为3的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为1，高为1的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A．263B．383C．13D．265．寒假期间，甲、乙、丙、丁4名同学相约到A，B，C，D4个不同的社区参

加志愿服务活动，每人只去一个社区，设事件A=“4个人去的社区各不相同”，事件B=“甲独自去一个社区”，则()PAB=（）A．332B．38C．29D．27646．已知一组样本数据1239,,,,xxxx满足：1

239xxxx，则去掉5x后，下列数字特征中一定变化的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．方差7．若z是复数，22i2z+−=，则1izz+−+的最大值是（）A．2B．52C．222+D．324+8．如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA⊥底面ABC，

12AA=，1ABBC==，三棱柱外接球的球心为O，点E是侧棱1BB上的一动点．下列说法正确的个数是（）①直线AC与直线1CE是异面直线②若90ABC=，则1AE与1AC一定不垂直③若60ABC=

，则三棱锥1EAAO−的体积为318④三棱柱111ABCABC−外接球的表面积的最大值为12πA．1B．2C．3D．4二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分．9．如

图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P到水面的距离为d米（P在水面下则d为负数），则d（米）与时间t（秒）之间满足关系式：()ππsin(0,0),22dAxkA=++−，且当P点从水面上浮现时开始计算时间，则（）A．5k=B

．10A=C．2π15=D．10k=10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件:Axy+

为偶数，:Bxy为偶数，:2Cx，则（）A．()34PB=B．A与B相互独立C．A与C相互独立D．B与C相互独立11．某企业协会规定：企业员工一周7天要有一天休息，另有一天的工作时间不超过4小时，且其余5天的工作时间均不超过8小时（每天的工作时间以整数小时计），则认为该企

业“达标”．请根据以下企业上报的一周7天的工作时间的数值特征，判断其中无法确保“达标”的企业有（）A．甲企业：均值为5，中位数为8B．乙企业：众数为6，中位数为6C．丙企业：众数和均值均为5，下四分位数为4，上四分位数为8D

．丁企业：均值为5，方差为6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知,6,3,12abab===−，则a在b方向上的投影向量是___________．13．某班成立了A，B两个数学兴趣小组，A组10人，B组30人，经过一周的补习后进

行了一次测试，在该测试中，A组的平均成绩为130分，方差为115，B组的平均成绩为110分，方差为215．则在这次测试中全班学生方差为___________．14．一项抛掷骰子的过关游戏规定：在第n关要抛掷一颗骰

子n次，如果这n次抛掷所出现的点数和大于2n，则算过关．游戏者可以随意挑战某一关．若直接挑战第三关，则通关的概率为___________．四、解答题：本题共5小题，共77分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．某工厂每月最后1个工作日为本月“技术竞赛日”，竞赛

获奖结果有四种：未获奖、三等奖、二等奖、一等奖，在以往的技术竞赛记录中随机抽取了200人，统计制成了如下获奖人次条形图．现有甲、乙、丙、丁4人要参加本月“技术竞赛日”的竞赛，以条形图中获奖情况的频率为每人获奖的概率．（1）估计在本月“技术竞赛日

”的竞赛中，甲获一等奖且乙未获奖的概率；（2）若获三等奖、二等奖、一等奖所对应的奖金逐级增高，未获奖则没有奖金，估计丙所得奖金低于丁所得奖金的概率．16．如图，ABCD是圆台下底面圆的内接四边形，4ABAD==，C为底面圆周上一动点，π3BCD=，PA为圆台的母线，5PA=，圆

台上底面的半径为1．（1）求该圆台的表面积；（2）求四棱锥PABCD−的体积的最大值．17．已知甲、乙两名学生每天上午、下午都进行体育锻炼，近50天选择体育项目情况统计如下：体育煅炼目的情况（上午，下午）

（足球，足球）（足球，羽毛球）（羽毛球，足球）（羽毛球，羽毛球）甲20天10天乙10天10天5天25天假设甲、乙上午、下午选择锻炼的项目相互独立，用频率估计概率．已知甲上午选择足球的条件下，下午仍选择足球的概率为47．（1）请将表格内容补充完整；（写出计算过程）（

2）已知在这50天中上午室外温度在20度以下的概率为14，并且当上午的室外温度低于20度时，甲去打羽毛球的概率为34，若已知某天上午甲去打羽毛球，求这一天上午室外温度在20度以下的概率．18．某高一数学研究小组，在研究边长为1的正方形ABCD某些问题时，发现可以在不

作辅助线的情况下，用高中所学知识解决或验证下列有趣的现象．若P，Q分别为边AB，DA上的动点，当APQ△的周长为2时，PQ有最小值（图1）、PCQ为定值（图2）、C到PQ的距离为定值（图3）．请你分别解以上问题．（1）如图1，求P

Q的最小值；（2）如图2，证明：PCQ为定值；（3）如图3，证明：C到PQ的距离为定值．19．高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数izab=+对应复平面内的点Z，设XOZ=，OZr=，则任何一个复数izab=+都可以表示成：()cosisinzr=+的形式，这种形式叫做

复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若02π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若()cos,isin,1,2,iiizrin=+=，则：()()12121212cosisinn

nnnzzzrrr=+++++++，特别地，如果()12cosisinnzzzr===+那么()()cosisincosisinnnrrnn+=+这个结

论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：（1）求复数()1cosisin,π,2πz=++的模z和辐角主值argz（用θ表示）；（2）设2024,Nnn，若存在R满足()sinicossinicosnnn

+=+，那么这样的n有多少个？高一学业水平阶段性检测（四）数学答案一．选择题（共8小题）1．A2．A3．D4．A5．A6．D7．D8．B二．多选题（共3小题）9．ABC10．ACD11．ABD三．填空题（共3小题）12．43b−13．26514．58四．解答题（共5小题）15．解；

（1）依题意每人未获奖的概率为20120010=，获三等奖的概率为60320010=，获二等奖的概率为10012002=，获一等奖的概率为20120010=，所以甲获一等奖且乙未获奖的概率1111010100P==．（2）依题意有以下三种情形：①丁获一等奖，丙获二等奖或三等奖或未获奖，

则概率()10.110.10.09P=−=，②丁获二等奖，丙获三等奖或未获奖，则概率()20.50.30.10.2P=+=，③丁获三等奖，丙获未获奖，则概率30.10.30.03P==，综上可得丙所得奖金

低于丁所得奖金的概率1230.32PPPP=++=．16．解：（1）π3BCD=，所以2π3BAD=，在ABD△中，由余弦定理得2222cos48BDABADABADBAD=+−=，得43BD=，由正弦

定理可知外接圆直径4328sin32BDRBAD===，所以下底面半径4R=，上底面半径1r=，圆台侧面积()π25πSrRl=+=侧，2ππSr==上2π16πSR==下，所以圆台表面积42πS=表．（2）在四边形ABCD中，1sin432ABDSABADBAD==△，在BC

D△中，由余弦定理2222cosBDBCCDBCCDBCD=+−，得222..BDBCCDBCCDBCCD=+−，所以BCCD，，48，当且仅当43BCCD==时“=”成立，所以BCD△的面积1sin,1232SBC

BDBCD=，底面ABCD面积的最大值为163，在轴截面PAOO中，由勾股定理可得4h=，所以四棱锥PABCD−的体积的最大值为164333ABCDSh=．17．解：（1）设事件C为“甲上午选择足球”，事件D为“甲下午选择足球”，设甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）的天数为

x，事件E为“甲一天中锻炼情况为（足球，羽毛球）”，则()204()()207nCDPEnCx===+，解得15x=，所以甲一天中锻炼情况为（羽毛球，足球）的天数为：502010155−−−=．（2）记

事件A为“上午室外温度在20度以下”，事件B为“甲上午打羽毛球”，由题意知1153()()(),()()()45010PAPABPABPBPBAPBA=+==+==，()()()3()()()()4n

ABPABPABnAPABPABPA===+，()316PAB=，则：3()()()5163()()()()810nABPABPABnBPBAPBAPB====+18．解：（1）设QPA=，APQ△的周长为2，sincos2,PQPQPQ++

=，解得22πsincos12sin14PQ==++++，又πππ3π0,,,2444+，2πsin24+，，1，∴当πsin14+=时，PQ取得最小值，且PQ的最小值为222221=−+；（2）证明：设

．,PCBQCD==，则tan,tanPBDQ==；()()221tan,1tan,1tan1tanAPAQPQ=−=−=−+−，APQ△的周长为2，()()2221tan1tan1tan1tan=−+−+−+−，()()22tantan1tan1tan

+=−+−，tantan1tantan+=−，()tan1,+=又ππ0,0,0π22+，π4+=，()ππ24PCQ=−+=；（3）证明：11sin22CP

QSPQCECQCPPCQ==△，22PQCECQCP=，1tan,1tanAPAQ=−=−()()222tantantantanPQAPAQ=−+=−−−=+，又11,co

scosCPCQ==，()112tantancoscos2CE+=，sincoscossin112coscoscoscos2CE+=，()sin112coscosc

oscos2CE+=，由（2）知π4+=，21122coscoscoscos2CE=，1CE=，即C到PQ的距离的定值为1．19．解：（1）由复数：()π1cosisin,π,2π,,π22z=++，得()2221cossin22c

os4cos2cos22z=++=+==−，1cos0,sin0+，()2sincos3πsin222,tanargztan21cos1cos2argz===++，π3π,π,,2π,argzπ22222+

=+．（2）由()ππππsincoscosisincosisin2222nnnninn+=−+−=−+−，ππcosisinsinicos22nnnnnn−+−=+

，排售cossin2sincos2nnnnnn−=−=，,Z2nnk−，解得41nk=+，,2024,nnN，∴12024k+，∴0，,kZ∴符合条件的k有

506个，∴这样的n有506个．