【文档说明】黑龙江省鹤岗市绥滨县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试题含答案.docx，共(23)页，767.489 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启用前2020-2021学年度上学期期末高二文科数学试卷考试时间：120分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（每题5分，满分60分）1．“若x，yR，且220xy+=，则x，y全为0”的

否命题是（）A．若x，yR，且x，y全为0，则220xy+=B．若x，yR，且0xy，则220xy+C．若x，yR，且220xy+，则x，y全不为0D．若x，yR，且220xy+，则x，y不全为02．命题“∀x∈（0，+∞），ex＞x+

1”的否定是（）A．∀x∈（﹣∞，0]，ex＞x+1B．∀x∈（﹣∞，0]，ex≤x+1C．∃x0∈（0，+∞），00xex+1D．∃x0∈（0，+∞），00xex+13．椭圆2214xym+=的焦距是2，则m=

（）A．3B．5C．3或5D．24．椭圆22221xyab+=(0ab)的左焦点1()0Fc−，到过顶点(0)Aa−，，(0)Bb，的直线的距离等于7b，则该椭圆的离心率e=（）A．322−B．12C．22D．325．若双曲线2222:1y

xCab−=（0a，0b）与双曲线22:146xyD−=有相同的渐近线，且C经过点()2,6，则C的实轴长为（）A．4B．230C．12D．456．如图所示的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为（）A．11

0B．15C．710D．457．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F且倾斜角为60°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（）A．334B．94C．433D．48．某班有学生60人，将这60名学生随机编号为1

60−号，用系统抽样的方法从中抽出4名学生，已知4号、34号、49号学生在样本中，则样本中另一个学生的编号为（）A．28B．23C．19D．139．曲线21xyx=−在点()1,1处的切线方程为（）A．20xy−−=B．

20xy+−=C．450xy+−=D．50xy−−=10．在如图所示的算法流程图中，输出S的值为（）A．11B．12C．13D．1511．在区间0,8上随机取一个实数a，则方程22160xax++=有实数根的概率为（）A．14B．12C．13D．2312．

设()fx，()gx分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当0x时，()()()()0fxgxfxgx+，且(3)f−0=，则不等式()()0fxgx的解集为A．(3,0)(3,)−+B．(3,0)(0,3)−C．(,3)(3,)−

−+D．(,3)(0,3)−−第II卷（非选择题）二、填空题（每题5分，满分20分）13．某班的全体学生某次测试成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，)40,60，)60,80，[80,100]，则该次测试该班的平均成绩是____

__（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）14．已知直线1l:220xy−+=和直线2l:1x=−，抛物线24yx=上一动点P到直线1l和直线2l的距离之和的最小值是_________．15．设函数()yfx=的0xx=处可导，且()()

0003lim1xfxxfxx→+−=，则()0fx等于__________．16．已知F是双曲线221412xy−=的左焦点，()1,4A，P是双曲线右支上的动点，则PFPA+的最小值为________．三、解答题17（10分）.已知命题P：

“存在aR，使函数2()4fxaxx=−在(,2]−上单调递减”，命题Q：“存在,aR使xR，21616(1)10xax−−+”．若命题“PQ”为真命题，求实数a的取值范围．18（12分

）.已知椭圆2222:1xyEab+=经过1(0,1),3,2（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:10lxy−−=交椭圆E于不同两点,,ABO是坐标原点，求OAB的面积.19（12分）．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全

民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站退出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选

出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．（1）求出a的值；（2）求这200人年龄的中位数

；（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.20（12分）．已知双曲线C的中心在原点，抛物线225yx=的焦点是双曲线C的一个焦点，且双曲线过点(1,3)．（Ⅰ）求双曲线的方程

；（Ⅱ）设直线:1lykx=+与双曲线C交于A，B两点，试问：k为何值时，OAOB⊥．21（12分）．已知函数()1xfxeax=−−，()aR.（1）当2a=时，求()fx的单调区间与最值；（2）若()fx在定义域R内单调递增，求a的取值范

围.22（12分）．已知函数32(),fxxxxa=−+++,3()2(,)gxaxxRaR=−（1）求函数()fx的单调区间;（2）求函数()fx的极值;（3）若任意0,1x,不等式()()gxfx恒成立，求a的取值范围．参考答案1．D【分

析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若p，则q”，判断即可.【详解】“若x，yR，且220xy+=，则x，y全为0”的否命题是“若x，yR，且220xy+，则x，y不全为0”.故选：D.2．D【

分析】将全称命题否为特称命题即可【详解】命题“∀x∈（0，+∞），ex＞x+1”的否定是：∃x0∈（0，+∞），00xex+1；故选：D．3．C【分析】由于焦距是2，所以22c=，然后分焦点在x轴上和在y轴上求解即可【详解】解：由题意得22c=，得1c=，当焦点在x轴上时，22

,4amb==，因为222abc=+，所以415m=+=，当焦点在y轴上时，224,abm==，因为222abc=+，所以41m=+，解得3m=，综上，3m=或5m=，故选：C4．B【分析】写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可．【详

解】设直线AB的方程为1xyab+=−，左焦点(0)Fc−，，则2201117cbabab−−+−=+，又222abc=+，代入化简得2251480aacc−+=，得12ca=或54(舍)，故选：B.5．B【分析】根据共渐近线的双曲

线系方程可设22:46xyC−=，代入()2,6可求得双曲线方程，根据双曲线方程可求得实轴长.【详解】双曲线C与D有相同的渐近线，可设双曲线C的方程为2246xy−=，将()2,6代入可得：165=−=−，双曲线C的方程为2213020yx−

=，C的实轴长为230.故选：B.【点睛】结论点睛：与双曲线22221xyab−=共渐近线的双曲线系方程为：()22220xyab−=.6．A【分析】先设数字被污损为x，有10种情况，再利用乙的平均成绩超过甲的平均成绩，计算得x只能取9这一种

情况，即得概率.【详解】设数字被污损为x，可以取值为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，共10种情况.∵甲的平均成绩为：11(8889909192)905x=++++=，而乙的平均成绩超过甲的平均成绩，∴乙的平均成绩115x=(

)838387909990x+++++，解得8x，∴9x=，只有1种情况∴乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为110．故选：A.7．C【分析】先求得过F的直线方程为：313xy=+，与抛物线联立，利用韦达定理，求得12yy+，12yy的值，代入面积公式，即可求得答案.【详解】因为

抛物线C：y2＝4x，所以焦点(1,0)F，所以过F的直线方程为：313xy=+，设1122(,),(,)AxyBxy，联立方程23134xyyx=+=得：243403yy−−=，所以121243,43yyyy+==

−，所以212121211431()4223OABSOFyyyyyy=−=+−=，故选：C【点睛】在处理抛物线问题时，常设直线xmyt=+的形式，与抛物线联立时，可大大简化计算，提高正确率，属基础题.8．C【分析】本题首先可根据

题意确定抽样间隔，然后根据抽样间隔即可得出结果.【详解】因为493415-=，所以抽样间隔为15，另一个学生的编号为41519+=，故选：C.9．B【分析】先求导数，得斜率的值，然后利用切线方程的公式，直接求解即可【详解】求导得斜率1−，代点检验即

可选B.21(21)yx−=−，1k=−，20xy+−=故选：B10．B【分析】据程序框图的流程，写出前3次循环得到的结果，直到满足判断框中的条件，结束循环，输出结果．【详解】通过第一次循环得到3,4si==；通过第二次循环得到7,5si==；通过

第三次循环得到126si==,；此时满足判断框中的条件5i，执行输出12s=.故选：B．【点睛】本题主要考查了程序框图中的循环结构，属于基础题．11．B【分析】由2441160a=−可得4a−或4a，然后根据几何

概型的概率计算公式可得答案.【详解】由2441160a=−，得216a，即4a−或4a，它与08a的公共元素为48a，所以4182p==，故选：B12．D【分析】由题，构造新函数()()()h

xfxgx=，然后求得其单调性和奇偶性，然后解得其结果即可.【详解】由题意令()()()hxfxgx=，则当0x时，()()()()()0hxfxgxfxgx+=，所以当0x时，函数()hx为单调递增函数，又由()fx，()gx分

别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以()hx是定义在R上的奇函数，所以当0x时，函数()hx为单调递增函数，且(3)(3)0ff−=−=，当0x时，不等式()()0fxgx的解集是(,3)x−−；当0x时，不等式()()0fxgx的解集是(0,

3)x，所以不等式()()0fxgx的解集是(,3)(0,3)−−，故选D．【点睛】本题解答中涉及利用导数研究函数的单调性以及单调性的应用、函数的奇偶性及其应用、不等关系的求解等知识点，着重考查了学生分析问题和解答

问题的能力，以及转化思想的应用．本题的解答中根据题设条件，得出函数()()()hxfxgx=的单调性和奇偶性是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．13．68【分析】根据频率分布直方图求平均数的方法求解即可.【详解】平均分是每个小长方形的面积乘以每个小

长方形底边中点横坐标的和.∴平均分为：300.00520500.0120700.0220900.0152068+++=.故答案：6814．455【分析】由抛物线的定义，可将问题转化为：抛物线上一点到焦点的距离

与到直线1l距离之和的最小值进行处理.【详解】因为直线1x=−是抛物线的准线，故根据抛物线定义，抛物线上一点到焦点的距离与到准线距离相等；故问题转化为抛物线上一点到焦点的距离和到直线220xy−+=距离的

和的最小值；容易知，其最小值为焦点()1,0F到直线220xy−+=的距离2025d−+==455.故答案为：455.【点睛】本题考查抛物线的定义，涉及距离最小值问题，经典题目.15．13【解析】()yfx=的0xx=处可导()()()()()0000000333lim313x

xfxxfxfxxfxlimfxxx→→+−+−===则()013fx=16．9【分析】作出图形，设双曲线的右焦点为M，根据双曲线的定义可得4PFPM=+，可得出4PFPAPMPA+=++，利用A、P、M三点共线时PFP

A+取得最小值即可得解.【详解】对于双曲线221412xy−=，则2a=，23b=，4c=，如下图所示：设双曲线的右焦点为M，则()4,0M，由双曲线的定义可得4PFPM−=，则4PFPM=+，所以，()

()2244144049PFPAPMPAAM+=+++=−+−+=，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立.因此，PFPA+的最小值为9.故答案为：9.【点睛】关键点点睛：利用双曲线的定义求解线段和的最小值，有如下方法：（1）求解椭圆、双曲线有关的线段长度和、差的最值，都可以通过相应的圆锥曲线

的定义分析问题；（2）圆外一点到圆上的点的距离的最值，可通过连接圆外的点与圆心来分析求解.17．1(,1]2.【分析】先由已知条件求出命题P和Q，然后利用条件命题“PQ”为真命题，得出命题P和Q均为真命题，进而求解交集即可得出答案.【详解】由命题P：“存在aR，使

函数2()4fxaxx=−在(,2]−上单调递减”，当0a=时，函数2()44fxaxxx=−=−满足在(,2]−上单调递减，当0a时，则需0422aa解得01a，所以可得命题P为：01a；由命题Q：“存在,aR使xR，21616(1)10xax

−−+”可得()201616416a=−−，解得1322a，故命题Q为：1322a，又因命题“PQ”为真命题，可得：P真且Q真，所以由1310,1,(,1]222=，故实数a的取值范围为：1(,1]2【点睛】本题考查了命题的求解，考查了分类讨论思想的运用，考查了

命题真假的判断与利用，属于一般难度的题.18．(1)2214xy+=；(2)45．【分析】(1)将两点坐标代入椭圆方程中，求出,ab的值，可求出椭圆的方程；(2)直线l方程与椭圆方程联立，消去x，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的

纵坐标12,yy，设直线:10lxy−−=与x轴交于点P，利用1212SOPyy=−进行求解．【详解】(1)由题意得:22213114bab=+=,解得:2,1ab==即轨迹E的方程为2214xy+=(2)记()()1122,,,AxyBx

y，故可设AB的方程为1xy=+由22441xyxy+==+消去x得25230yy+−=，所以1231,5yy=−=设直线l与x轴交于点()1,0P12118412255SOPyy=−==19．（1）0.035a=；（2）

中位数为2957；（3）35.【分析】（1）根据频率之和等于1求出a；（2）根据频率直方图中的中位数等分样本数据所占频率求解即可；（3）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记

为12123,,,,aabbb．设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率．【详解】解：（1）由10(0.0100.0150.0300.010)1a++++=，得0.035a=；（2）由于前两组的频率和为0.10.150.25+=，第三组的频率为0.

35，故中位数为0.25295350.5703+=（3）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为12123,,,,aabbb.设从5人中随机抽取

3人，为()()()()()121122123112113,,,,,,,,,,,,,,aabaabaababbabb，()()()()()123212213223123,,,,,,,,,,,,,,abbabbabbabbbbb共10个基本事件其中第2组

恰好抽到2人包含()()()()()112113123212213,,,,,,,,,,,,,,abbabbabbabbabb，()223,,abb共6个基本事件,从而第2组抽到2人的概率63105P==【点睛】方法点睛：频率分布

直方图中的中位数，平均数，众数的求解方法：众数：是频率分布直方图中最高矩形的中点值即为样本数组的众数估计值；平均数：各组中点值乘以各组的频率之和即为样本数组的平均数的估计值；中位数：频率分布直方图中，垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则其对于的数据即为中位数

的估计值.20．（Ⅰ）2241xy−=（Ⅱ）2k=【分析】（Ⅰ）由题意结合双曲线过点(1,3)即可得22131ab−=，由抛物线的焦点可得22254cab=+=，即可得解；（Ⅱ）设()11,Axy，()22,Bxy，联立方程可得12224kxxk+=−，12224xxk−=−，由OAOB⊥可

得()()12121212101xxyyxxkxkx+++==+，代入即可得解.【详解】（Ⅰ）由题意设双曲线方程为22221xyab−=，双曲线的半焦距为c，把(1,3)代入得22131ab−=①,又225yx=的焦点是5,02，∴

22254cab=+=，与①联立，消去2b可得4242150aa−+=，解得214a=或25a=（不合题意舍去），于是2221bca=−=，∴双曲线方程为2241xy−=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得双曲线方程为2241xy−=，∴该双曲线

的渐近线为2yx=，由直线:1lykx=+与双曲线C交于A，B两点可得2k，联立方程可得22141ykxxy=+−=，消去y得()224220kxkx−−−=，当2324k=−即2222(2)kk−

时，l与C有两个交点A，B，设()11,Axy，()22,Bxy，则12224kxxk+=−，12224xxk−=−，因为OAOB⊥，故0OAOB=，()()()()21212121212121111xxyyxxkxkxkkxxxx=++=++++++，(

)2222121044kkkkk−+=++=−−，化简得22k=，∴2k=，检验符合条件，故当2k=时，OAOB⊥．【点睛】本题考查了抛物线焦点以及双曲线方程的求解，考查了直线与双曲线的综合应用与运算求解能

力，属于中档题.21．（1）函数()fx的单调增区间是()ln2,+，递减区间为(),ln2−，()fx的最小值为：12ln2−；（2）(,0−.【分析】（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的最值；（2）()fx在R上单调递增

，则()0xfxea=−恒成立，分离参数，即可求得a的取值范围.【详解】解：（1）当2a=时，()21xfxex=−−，()2xfxe=−.令()0fx，即20xe−，解得：ln2x；令()0fx，即20xe−，解得：ln2x；()fx在ln2

x=时取得极小值，亦为最小值，即()ln212ln2f=−.当2a=时，函数()fx的单调增区间是()ln2,+，递减区间为(),ln2−，()fx的最小值为：12ln2−；（2）()1xfxeax=−−，()xfxea=−.()fx在R上单调递增，()0xfxe

a=−恒成立，即xae，xR恒成立.xR时，()0,xe+，0a.即a的取值范围为(,0−.【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导是关键将单调性问题转化为导数大于等于0恒成立，利用分离参数法求得实数a的取值范围是常用的方法.22．（1）

单调增区间为1(,1),3−单调减区间为1(,)(1,)3−−+；（2）极小值为275−a，极大值为1+a；（3）[2,+∞）【解析】试题分析：（1）先求出()fx的定义域，然后求)(xf，再分别令0)

(,0)(xfxf去求单调区间；（2）根据（1）的单调性可求函数()fx的极值，（3）由题意知0,1x，3322axxxxa−−+++恒成立，整理得2axx+，然后构造函数2()hxxx

=+，求其最大值即可。试题解析：（1）32(),fxxxxa=−+++定义域为R．2()321,fxxx=−++＇．．．．1分令2()321=0fxxx=−++＇，令121,1.3xx=−=令()0fx＇，得113x−，()0fx＇，得1,1.3xx-或所以函

数()fx的单调增区间为1(,1),3−单调减区间为1(,)(1,)3−−+（2）由（1）可知，当13x=-时，函数()fx取得极小值，函数的极小值为15()327fa−=−当1x=时，函数()fx取得极大值，函数的极大值为(1)1fa=+（3）若0,1x,不

等式()()gxfx恒成立，即对于任意0,1x,不等式2axx+恒成立，设2()hxxx=+，0,1x，则()21hxx=+＇0,1x，()210hxx=+＇恒成立，2()hxxx=

+在区间0,1上单调递增，max[()](1)2hxh==2,a∴a的取值范围是[2,+∞）考点：利用求函数的极值、单调区间，利用参变量分离、构造函数求参数的取值范围。