【文档说明】河南省驻马店市新蔡县第一高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(14)页，903.779 KB，由小赞的店铺上传

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新蔡县第一高级中学高二2024年9月份月考数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知直线l经过点()1,0P，且法向量()1,

2v=，则l的方程为（）A.220xy+−=B.220xy−−=C.210xy+−=D.210xy−−=【答案】C【解析】【分析】根据直线l的法向量求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由题意知直线的法向量是()1,2v=，可得

其斜率为12−，所以直线l的方程为()1012yx−=−−，即210xy+−=.故选：C2.已知直线()1:2210lmxy++−=与直线()2:3110lxmy+++=平行，则实数m=（）A.4−B.1C.4−或1D.85−【答案】C【解析】【分析】由直线平

行的充要条件列式运算即可求解.【详解】已知直线()1:2210lmxy++−=与直线()2:3110lxmy+++=平行，则当且仅当()()()1260230mmm++−=++，解得4m=−或1m=.故选：C.3.“12m=”是“两条直线()

210,3210xmymxmy+−=−−−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据直线平行的等价条件求出m，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】因为两条直线()210,3210xmymxmy+

−=−−−=平行，所以直线斜率相等或斜率不存在，当两直线斜率不存在时，即0m=，两直线为𝑥=1，12x=−成立；当两直线斜率存在时，即()13202mmmm−−=，解得12m=，两直线为10,20xyxy+−=++=成立，综上0m=或12m=.所以“12m=”是“两条

直线()210,3210xmymxmy+−=−−−=平行”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】4.已知直线1:320lxy−+=，直线21ll⊥，则直线2l的倾斜角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D【解析】【分析】根据题意结合垂直关系可得直线2l的斜率，进而可得倾斜

角.【详解】因为直线1:320lxy−+=的斜率13k=，且21ll⊥，可知直线2l的斜率233k=−所以2l的倾斜角为5π6．故选：D．5.已知0a，0b，直线1l：()110axy−+−=，2l：21

0xby++=，且12ll⊥，则21ab+的最小值为（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值.【详解】因为12ll⊥，故120ab−+=即21ab+=，故22121228222ababab

ababab++====+，当且仅当11,24ab==时等号成立，故21ab+的最小值为8，故选：C.6.已知圆()()22:111Mxy+++=与圆()()22:431Nxy−++=关于直线l对称，则l的方

程为（）A.104230xy−−=B.104230xy+−=C.2570xy−−=D.2570xy++=【答案】A【解析】【分析】首先确定圆心坐标，再求出两圆心的中点坐标与斜率，即可得到直线l的斜率，再由点斜式计算可得.【详解】圆()()22:111Mxy

+++=的圆心为()1,1M−−，圆()()22:431Nxy−++=的圆心为()4,3N−，所以M、N的中点坐标为3,22−，又312415MNk−+==−+，则152lMNkk=−=，所以直线l的方程为53222yx+=−，即104230xy−−=

.故选：A7.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知ABCV的顶点为()0,0A，()5,0B，()2,4C，则该三角形的欧拉

线方程为（）A.1522yx=−+B.1126yx=+C.210yx=−+D.210yx=−【答案】A【解析】【分析】根据顶点坐标可得重心与外心的坐标，进而得欧拉线方程.【详解】由重心坐标公式可得：重心052004,33G++++，即74,33G.由()0,0A

，()5,0B，可知外心M在AB的垂直平分线上，所以设外心5,2Ma，因MAMC=，所以()()222255002422aa−+−=−+−，解得54a=，即：55,24M，则4513475232GMk−==−−，故欧拉线方程为：41732

3yx−=−−，即：1522yx=−+，故选：A.8.过原点直线l的倾斜角为θ，则直线l关于直线yx=对称的直线l的倾斜角不可能为（）A.θB.π2−C.π−D.3π2−【答案】C【解析】【分析】利用直线与直线对称，得

到倾斜角之间的关系，然后对选项进行逐个分析判断即可.【详解】设直线l的倾斜角为，则,[0,π)，因为直线l和直线l关于直线yx=对称，所以直线l和直线l也关于直线yx=−对称，所以π2+=或3π2+=，对于A，当π4=时，π4==，所以A正确，对于B，当0=

时，ππ22==−，所以B正确，为的对于C，若π=−，则π(π)2−+=不成立，且3π(π)2−+=也不成立，所以C错误，对于D，当2π3=时，5π3π62==−，所以D正确.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，

共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:1lyaxa=−+，下列说法正确的是（）A.直线l过定点()1

,1−B.当1a=时，l关于x轴的对称直线为0xy+=C.直线l一定经过第四象限D.点()3,1P−到直线l的最大距离为22【答案】BD【解析】【分析】A.由():111lyaxaax=−+=−+判断；B.由1a=时

，直线方程为yx=判断；C.由1a=时，直线方程为yx=判断；D.点()3,1P−到定点的距离判断.【详解】对于A，直线():111lyaxaax=−+=−+，所以直线l过定点()1,1Q，故A错误；对于B.当1a=时，直线方程为yx=，l关于x轴对称直线为0xy+=，故

B正确；对于C，当1a=时，直线方程为yx=，直线l不经过第四象限，故C错误；对于D，如图所示：设PHl⊥，由图象知：PQPH，点()3,1P−到直线l的最大距离为()()22311122d=−+−

−=，故D正确；故选：BD的10.下列说法正确的是（）A.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是π3π0,,π44B.“1a=−”是“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直”的充要条件C.过点()1,2P且在x

轴，y轴截距相等的直线方程为30xy+−=D.经过平面内任意相异两点()()1122,,,xyxy的直线都可以用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示．【答案】AD【解析】【分析】对于A：根据tansin[1,1]=−−可求倾斜角的取值范围；对

于B：根据两直线垂直的条件求出a的值即可判断；对于C：分截距是否为0两种情况求解可判断；对于D：对斜率为0、斜率不存在特殊情况讨论可以确定所求直线均可用()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示.【详解】对于A：直线的倾斜角

为，则tansin[1,1]=−−，因为0π，所以π3π0,,π44，故A正确.对于B：当1a=−时，直线10xy−+=与直线20xy+−=斜率分别为1,1−，斜率之积为1−，故两直线相互垂直，所以充分性成立，若“直线210axy−+=与直线20xay−−=互相

垂直”，则20aa+=，故0a=或1a=−，所以得不到1a=−，故必要性不成立，故B错误.对于C：截距为0时，设直线方程为ykx=，又直线过点()1,2P，所以可得2k=，所以直线方程为2yx=，当截距不为0时，调直线方程为1xyaa+=，又直线过点()1,2P，所以可

得3a=，所以直线方程为30xy+−=，所以过点()1,2P且在x轴，y轴截距相等的直线方程为30xy+−=或2yx=，故C错误；.对于D：经过平面内任意相异两点()()1122,,,xyxy的直线：当斜率等于0时，1212,yyxx=，

方程为1yy=，能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示；当斜率不存在时，1212,yyxx=，方程为1xx=，能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示；当斜率不为0且斜率存在时，直线方程为112121yyxxyy

xx−−=−−，也能用方程()()()()211211xxyyyyxx−−=−−表示，故D正确.故选：AD.11.若实数,xy满足22(2)1xy−+=，则（）A.245xy++B.1(2)2xy−C.33yxD.25xy−【答案】ABC【解析】【分析】对于A，设2xyt+=，利用点到直线

距离公式求得2xy+的最值即可；对于B，直接利用重要不等式得出()2xy−的范围即可；【详解】如图：22(2)1xy−+=是以(2,0)为圆心，1为半径的圆.对于A，设2xyt+=，则直线20xyt+−=与圆22(2)1xy

−+=有公共点，所以224121t−+，解得4545t−+，所以245xy++，故A正确；对于B，由22(2)2(2)xyxy−+−知，1(2)2xy−，当且仅当222,22xy=+=或222,22xy=−=−时取“=”，故B正确；对于

C，00yyxx−=−表示圆22(2)1xy−+=上一点与坐标原点连线的斜率，由图象知圆上的点与坐标原点连线的倾斜角的范围是ππ,66−，故ππtantan66yx−，即3333yx−，故C正确；对于D，取3,0xy=

=，满足22(2)1xy−+=，但265xy−=，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.直线（a2＋1）x－2ay＋1＝0的倾斜角的取值范围是________．【答案】[，]【解析】

【详解】解析：由题意知，若a＝0，则倾斜角为θ＝，若a≠0，则斜率k＝＝＋.①当a>0时，＋≥2＝1（当且仅当a＝1时，取“＝”），②当a<0时，－（＋）≤－2＝－1（当且仅当a＝－1时，取“＝”），k∈（－∞，－1]∪[1，＋∞），故θ∈[，）∪（，].综

上，倾斜角的取值范围为[，].13.古希腊数学家阿波罗尼奥斯证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（0k且1k）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设()30A−,，()3

,0B，动点M满足2MAMB=，则动点M的轨迹方程为______．【答案】()22516xy−+=【解析】【分析】首先设𝑀(𝑥,𝑦)，代入两点间的距离求|𝑀𝐴|和MB，最后整理方程.【详解】设𝑀(𝑥,𝑦)，由2MAMB=

，得()()2222343xyxy++=−+，可得：()()22223434xyxy++=−+，即221090xxy−++=，整理得()22516xy−+=，故动点M的轨迹方程为()22516xy−+=.故答案为：()22516xy−+=

.14.直线l过点()3,0−且倾斜角是直线230xy−+=的倾斜角的两倍，则直线l的点法式方程是______．【答案】()()43300xy+−−=【解析】【分析】由正切的二倍角公式求得直线的斜率，然后由点斜式得直线方程

转化为点法式方程．【详解】设直线230xy−+=的倾斜角是，则1tan2=，22tan4tan21tan3==−，所以所求直线l方程为40(3)3yx−=+，即()()43300xy+−−=．故答案

为：()()43300xy+−−=．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知坐标平面内三点()1,1A−，()1,1B，()2,31C+.（1）求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角

；（2）若D为ABCV的边AB上一动点，求直线CD的斜率的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）3,33【解析】【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；（2）根据D点移动时，直线

CD夹在直线CA和直线CB之间，运动时CD不可能与x轴垂直，由此可得斜率范围．【小问1详解】解：因为()1,1A−，()1,1B，()2,31C+，由斜率公式，可得1131131130,3,1(1)212(1)3ABBC

ACkkk−+−+−======−−−−−，再由直线倾斜角的定义得：直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为60，直线AC的倾斜角为30.【小问2详解】如图所示，当直线CD由CA绕点C逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时CD斜率k由

ACk增大到BCk，的所以k的取值范围为3,33.16.若直线l的一般式方程为()00,0bxayabab+−=，直线l经过点()1,2，求直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值，并求此时a的值．【答案】322+，12a=+．【解析】【分析】根据直线经过点()1,2得121ab+

=，然后利用基本不等式可得答案.【详解】由直线l的一般式方程()00,0bxayabab+−=，可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，所以直线l在x轴和y轴上的截距之和为ab+．直线经过点()1,2，得121ab+=．因此()1223baabababab

+=++=++．因为22222babaabab+=，当且仅当2baab=时取等号，所以322ab++，此时12a=+．17.已知点()1,0A，()1,2B−．（1）设mR，若直线AB与直线10xm

y−+=垂直，求m的值；（2）求过点B且与直线210xy−+=夹角的余弦值为255的直线方程．【答案】（1）1m=（2）34110xy−−=或1x=−【解析】【分析】（1）根据直线垂直即可求解；（2）先对ACD用正弦定理，得到的正弦值，对BDE用正弦定理，得到||BE，设出

交点求解二次方程即可求解.【小问1详解】直线AB的斜率为20111−=−−−，因为直线AB与直线10xmy−+=垂直，所以(1)11m−=−，所以1m=；【小问2详解】如图点E为过点B且与直线210xy−+=夹角的余弦值为255的直线与直线21yx=+的交点，

点1(,0)2C−为直线21yx=+与x轴的交点，点(0,1)D为直线AB与直线21yx=+的交点，点(1,1)E−−为过点B作x轴的垂线交直线21yx=+的交点，BED=，BDE=，设夹角为，因为25cos5=，所以5sin5

=，因为3||2AC=，2215||1()22CD=+−=，所以在ACD中，sinsin45||||ACCD=，所以5sn2i32=，因为22||112BD=+=，所以在BDE中，sinsin||||BEBD=，所以325255||2BE=，所以||3BE=，易知||||3

BEBE==，设交点E坐标为(,21)xx+，所以222(1)(212)3xx+++−=，所以75x=或1−，所以交点坐标为719(,)55或(1,1)−−，所以直线方程为771551919255xy−−−=−−或(1)1(1)(1)2(1)xy−−−−−=−−−−，即34110xy−

−=或=1x−.18.已知圆心为C的圆经过()0,0O，()0,23A两点，且圆心C在直线:3lyx=上．（1）求圆C的标准方程；（2）点P在圆C上运动，求22POPA+的取值范围．【答案】（1）()()22134xy−+−=（2）8,24【解析】【分析】（1）利用圆的对称

性先确定圆心，再求半径即可；（2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可.【小问1详解】圆经过()0,0O，()0,23A两点，得圆心在OA的中垂线3y=上，又圆心C在直线:3lyx=上

，联立直线方程有33yyx==，得13xy==，即圆心坐标为()1,3C，又224rCO==，故圆C的标准方程为()()22134xy−+−=．【小问2详解】设()00,Pxy，易知01,3x−，则()()22222222000000232236POPAxyxyxy+=+

++−=+−+（*），因为点P在圆C上运动，则()()2200134xy−+−=，故（*）式可化简为，()2222000||||22416412POPAxxx+=+−−+=+，由01,3x−得22POPA+的取值范围为8,24．19.已知直线:2310lxy−+=，点()1,2−

−A．求：（1）点A关于直线l的对称点A的坐标；（2）直线:3260mxy−−=关于直线l的对称直线m的方程；（3）直线l关于点()1,2−−A对称的直线l的方程．【答案】（1）334,1313A

−（2）9461020xy−+=（3）2390xy−−=【解析】【分析】（1）利用两对称点的连线与对称直线垂直及两对称点的中点落在对称直线上，列出方程，解得即可；（2）在直线m上任取一点M，利用（1）的做

法求得对称点M，再求出m与l的交点N，由m经过M，N两点，利用点斜式即可求得直线m的方程；（3）任取l上一点(,)Qxy，求得其对称点(2,4)Qxy−−−−，代入直线l的方程即可求得直线l的方程.【小问1详解】设(),

Axy，由:2310lxy−+=得2133yx=+，则2211312231022yxxy+=−+−−−+=，解得3313413xy=−=，故334,1313A−.【小问2详解】在直线m上取一点，如()2,0M，

则()2,0M关于直线l的对称点必在m上，设对称点为(),Mab，则2023102202123abba++−+=−=−−，解得6133013ab==，即630,1313M，设m与l的交点为N，则由23103260xyxy−+=

−−=，解得43xy==，即𝑁(4,3)，又m经过点𝑁(4,3)，故303913==646413mk−−，所以直线m的方程为()93446yx−=−，即946+102=0xy−.【小问3详解】设(,)Qxy为l上任意一点，则(,)Qxy关于点()1,2A−−的对称点为(2,4

)Qxy−−−−，因Q在直线l上，所以2(2)3(4)10xy−−−−−+=，即直线l的方程为2390xy−−=.为