【文档说明】江苏省南通市2023届高三下学期考前练习卷（南通四模）数学PDF版含答案.pdf，共(17)页，1.981 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷第1页（共4页）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合|ln0Axx，|22xBx，则AB2．已知函数2log0()sin0xxfx

xx，，，≤，则π(())6ff3．若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为A，B，则AB4．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为5．古希腊人从一对对顶圆

锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：AB，分别为双曲线2222:1(00)yxCabab，的左、右顶点，从C上一点P（异于AB，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数．若C的离心率为2，则该常数为6．在平行四边形ABCD中，42

ABAD，，1324AMADANAB，，9CMCN，则DMDNA．(1)，B．(01)，C．1()2，D．1(0)2，A．2B．1C．

1D．2A．2B．22C．3D．4A．0.25升B．0.5升C．1升D．1.5升A．33B．3C．13D．3A．1B．1C．158D．3数学试卷第2页（共4页）7．正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，13

AA，M是11AD的中点，点N在棱1CC上，12CNNC，则平面AMN与侧面11BBCC的交线长为8．已知2()ln(1)fxxx，若211(ln)()(tan)332afbfcf，，，则二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某学校高三年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值

175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量

都是50，则总样本的方差为6110．已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点(20)F，作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则A．AOFBOFB．90AOBC．163ABD．3AFFB11．明

朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则A

．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒D．盛水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面A．3B．132C．2103D．2133A

．abcB．bacC．cabD．bcad水面OP数学试卷第3页（共4页）12．在边长为2的菱形ABCD中，π3BAD，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得π2ABC．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则A．3EFB．直线A'C

与EF所成角的余弦值为33C．直线AC与EF的距离为12D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．42(32)xxx的展开式中含3x项的系数为．14．已知圆221:()(1)1Cxay与圆222:3Cxy交于

AB，两点，若直线AB的倾斜角为60，则AB．15．已知sincossin，sincossin2，π02，，则cos．16．已知函数()fx，()gx的定义域均为R，(

)fx是偶函数，(1)1gx是奇函数，且(2)()4gxfx，(4)3f，则(1)g；20231()kgk．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记ABC△的内角A，B，C的对

边分别为a，b，c，点D在线段AC上，2BDCDAD．（1）若2ac，求b；（2）若π3B，求角A．18．（12分）已知数列na是公差为3的等差数列，数列nb是公比为2的等比数列，且满足13123aabbb，2424aabb．将数列na与nb的公共项按

照由小到大的顺序排列，构成新数列nc．（1）证明：2nncb；（2）求数列nnac的前n项和nS．数学试卷第4页（共4页）19．（12分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一

半的元件正常工作，则该系统能稳定工作．（1）若该系统安装了3个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．20．（12分）如图，在三棱台111ABCABC中，112AC

AC，四棱锥11ABCCB的体积为32．（1）求三棱锥111AABC的体积；（2）若ABC△是边长为2的正三角形，平面11AACC平面ABC，平面11AABB平面ABC，求二面角11ABCB的正弦值．21．（12分）已知椭圆221:12xCy

的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C的焦点到2C的渐近线的距离为33．直线:lykxt与2C相交于AB，两点，3OAOB．（1）求证：2281kt；（2

）若直线l与1C相交于PQ，两点，求PQ的取值范围．22．（12分）已知函数22()fxxaxa，1()2exgxax．（1）若1a，证明：曲线()yfx与曲线()ygx有且仅有一条公切线；（2）当1x≥时，()()2fxgxax≤，求a的取值范围．数学试卷及参考

答案第1页（共12页）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合|ln0Axx，|22xBx，则AB【答案】D2．已知函数2log0()sin0x

xfxxx，，，≤，则π(())6ff【答案】C3．若3iizz，复数z与z在复平面内对应的点分别为A，B，则AB【答案】A4．现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶

壶容积之和为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为【答案】B5．古希腊人从一对对顶圆锥的截痕中发现了圆锥曲线，并研究了它的一些几何性质．比如，双曲线有如下性质：AB，分别为双曲线2222:1(00)

yxCabab，的左、右顶点，从C上一点P（异于AB，）向实轴引垂线，垂足为Q，则2PQAQQB为常数．若C的离心率为2，则该常数为A．(1)，B．(01)，C．1()2，D．1(0)2，A．2B．1C．1D．2A．2B．22C．3D．4A．0.2

5升B．0.5升C．1升D．1.5升数学试卷及参考答案第2页（共12页）【答案】D6．在平行四边形ABCD中，42ABAD，，1324AMADANAB，，9CMCN，则DMD

N【答案】B7．正四棱柱1111ABCDABCD中，2AB，13AA，M是11AD的中点，点N在棱1CC上，12CNNC，则平面AMN与侧面11BBCC的交线长为【答案】C8．已知2()ln(1)fxx

x，若211(ln)()(tan)332afbfcf，，，则【答案】B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．某学校高三

年级有男生640人，女生360人．为获取该校高三学生的身高信息，采用抽样调查的方法统计样本的指标值（单位：cm），并计算得到男生样本的平均值175，方差为36，女生样本的平均值为165，方差为36，则下列说法正确的是A．若男、女样本量分别为64，36，

则总样本的平均值为171.4B．若男、女样本量分别为64，36，则总样本的方差为36C．若男、女的样本量都是50，则总样本的平均值为170D．若男、女的样本量都是50，则总样本的方差为61【答案】ACDA．33B．3C．

13D．3A．1B．1C．158D．3A．3B．132C．2103D．2133A．abcB．bacC．cabD．bca数学试卷及参考答案第3页（共12页）10．已知O为坐标原点，过抛物线2:2(0)Cypxp的焦点(20)F

，作斜率为3的弦AB，其中点A在第一象限，则A．AOFBOFB．90AOBC．163ABD．3AFFB【答案】BD11．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心O

距离水面的高度为2m．设筒车上的某个盛水桶P到水面的距离为d（单位：m）（在水面下记d为负数），若从盛水筒P刚浮出水面时开始计算时间，则A．当筒车转动5秒时，盛水桶距离水面4mB．盛水桶出水后至少经过10秒就可到达最高点C．盛水桶第二次距离水面4m时用时15秒D．盛

水桶入水后至少需要20秒才可浮出水面【答案】ABC12．在边长为2的菱形ABCD中，π3BAD，将菱形ABCD沿对角线BD折成空间四边形A'BCD，使得π2ABC．设E，F分别为棱BC，A'D的中点，则A．3EFB．直线A'C与EF所成角的余弦值为33C．直线AC与EF的距离为12

D．四面体A'BCD的外接球的表面积为4π【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．42(32)xxx的展开式中含3x项的系数为．【答案】314．已知圆221:()(1)1Cxay与圆222:3Cxy交于AB，两

点，若直线AB的倾斜角为60，则AB．d水面OP数学试卷及参考答案第4页（共12页）【答案】315．已知sincossin，sincossin2，π02，，则cos．【答案】4171716．已知函数()fx，()gx的定

义域均为R，()fx是偶函数，(1)1gx是奇函数，且(2)()4gxfx，(4)3f，则(1)g；20231()kgk．【答案】1；2021四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）记ABC△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，点D在线段AC上，2BDCDAD．（1）若2ac，求b；（2）若π3B，求角A．【解】（1）因为2BDCDAD，ADCDb，所以213

3BDCDbADb，．在ABD△中，由余弦定理，得22222542coscos99ABADBDADBDADBbbADB，①在BCD△中，由余弦定理，得22222882coscos99BCCDBDCDBDBDCbbADC．②……2分因为π

ADBBDC，所以coscos0ADBBDC，由2×①+②，得22222ABBCb，即22222acb．又因为2ac，所以6b．……5分（2）设CBD，则π3ABD

，因为BDCD，所以2ADB，所以2π3BAD．在ABD△中，由正弦定理，得sinsinADBDABDBAD，数学试卷及参考答案第5页（共12页）即12π2πsinsin33，所以2ππsin2sin33

，……7分即2π2πππsincoscossin2sincoscossin3333，即31cos+sin3cossin22，所以3tan3．因为π03，所以π6，所以2ππ32A．……10分18．（12分）

已知数列na是公差为3的等差数列，数列nb是公比为2的等比数列，且满足13123aabbb，2424aabb．将数列na与nb的公共项按照由小到大的顺序排列，构成新数列nc．（1）证明：2nncb；（2）求数列

nnac的前n项和nS．【解】（1）由13123aabbb，得11267ab，由2424aabb，得1121210ab，解得，14a，12b．因为数列na的公差为3，数列nb的公比为2，所以31nan，2

nnb．……2分12b不是数列na的项，24b是数列na的第1项．设231kkbm，则112222(31)322kkkbmm，所以1kb不是数列na的项．……4分数学试卷及参考答案第6页（共12页）因为22242

4(31)3(21)1kkkbmm，所以2kb是数列na的项．所以2nncb．……6分（2）由（1）可知，24nnncb，(31)4nnnacn．234474104(31)4nnSn，234144474104

(31)4nnSn，……8分所以234131634444(31)4nnnSn23414344444(31)4nnn14

(14)43(31)414nnn1114(31)434nnnnn，所以14nnSn．……12分19．（12分）某微型电子集成系统可安装3个或5个元件，每个元件正常工作的概率均为(01)pp，且各元件是否正常工作相互独立．若有超过一半的元件正常工作，则该

系统能稳定工作．（1）若该系统安装了3个元件，且23p，求它稳定工作的概率；（2）试比较安装了5个元件的系统与安装了3个元件的系统哪个更稳定．【解】（1）设安装3个元件的系统稳定工作的概率为P，则3个元件中至少2个元件

正常工作．又因为各元件是否正常工作相互独立，所以2322333321220(1)333327PCppCp．答：安装3个元件的系统稳定工作的概率为2027．……4分（2）由（1）知，安装3个元件的系统稳定工作的概

率22333233(1)23PCppCppp．……6分数学试卷及参考答案第7页（共12页）设安装5个元件的系统稳定工作的概率为P，则3324455543555(1)(1)61510PCppCppCpppp．……8分所以5433261510(23)PPppp

pp223(1)(21)ppp．……10分当12p时，0PP，PP，两个系统工作的稳定性相同；当102p时，0PP，PP，3个元件的系统比5个元件的系统更稳定；当112p

时，0PP，PP，5个元件的系统比3个元件的系统更稳定．……12分20．（12分）如图，在三棱台111ABCABC中，112ACAC，四棱锥11ABCCB的体积为32．（1）求三棱锥111AABC的体积；（2）若ABC△是边长为2的正三角形，平面11AAC

C平面ABC，平面11AABB平面ABC，求二面角11ABCB的正弦值．【解】（1）连结BC1．因为三棱台111ABCABC中，111ABCABC△△，112ACAC，所以112BCBC，所以1112BCCBBCSS△△

，所以1112ABCCABBCVV．因为三棱台111ABCABC中，111ABCABC△△，112ACAC，所以1114ABCABCSS△△，所以11114CABCAABCVV．又因为11CABCABCCVV，数学试卷及参考答案第8页（共

12页）所以111111::1:2:4AABCABBCABCCVVV．……2分又因为11111ABCCBABBCABCCVVV，所以11111331166212AABCABCCBVV．……4分（2）取AB中点D，AC中点E，连结CD、

BE，交于点F，因为△ABC是正三角形，E是AC中点，所以BEAC．又因为平面A1ACC1平面ABC，平面A1ACC1平面ABC=AC，BE平面ABC，所以BE平面A1ACC1．又因为A1A平面A1ACC1，所

以BEA1A．同理，CDA1A．又因为CDBE=F，CD，BE平面ABC，所以A1A平面ABC．……6分在平面ABC内，过点A作AHAC，以A为原点，AH为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立如图所示的空

间直角坐标系Axyz．因为AC=2A1C1，AC=2，所以A1C1=1，11134ABCS△.由（1）可知111312AABCV，故11AA．所以(000)(310)(020)ABC，，，，，，，，，1131(1

)(011)22BC，，，，，，131(1)22AB，，，1(011)AC，，，(310)CB，，，1(011)CC，，．……8分设平面11ABC的一个

法向量为111()xyz，，m，由1100ABAC，，mm得11111310220xyzyz，，不妨取3(11)3，，m．设平面11BBC的一个法向量为222()xyz，，n，数学试卷及参考答案第9页（共12页）由100CBC

C，，nn得2222300xyyz，，不妨取3(11)3，，n．……10分设二面角11ABCB的平面角为，[0π]，，则113cos77733mnmn．因为22sincos1，且sin01，，所以4

3sin7，即二面角11ABCB的正弦值为437．……12分21．（12分）已知椭圆221:12xCy的左、右顶点是双曲线22222:1(00)yxCabab，的顶点，1C的焦点到2C的渐近线的距离为33．直线:lykxt与2C相交

于AB，两点，3OAOB．（1）求证：2281kt；（2）若直线l与1C相交于PQ，两点，求PQ的取值范围．【解】（1）由题意得椭圆焦点坐标为(10)，，双曲线渐近线方程为0bxay，所以22233abba，，解得

21ab，，所以2C的方程为2212xy．……2分由2222ykxtxy，，消y，得222(12)4220kxktxt，所以22222120164(12)(22)0kktkt，，得22210tk．数学试卷及

参考答案第10页（共12页）设11()Axy，，22()Bxy，，则12221224122212ktxxktxxk，，……4分所以12121212()()OAOBxxyyxxkxtkxt

221212(1)()kxxktxxt2222222224(1)31212tktktkk，化简得2281kt，得证．……6分（2）由2222ykxtxy，，消x，得222(12)4220k

xktxt，所以2222164(12)(22)0ktkt，即2221tk．结合22210tk，2281kt，及0k，20t≥，可得2108k≤．设33()Pxy，，44

()Qxy，，则34223424122212ktxxktxxk，，……8分所以222222342222228(21)42280()()41212(12)(12)tkkttkxxkkkk，所以2222234228

0(1)(1)()(12)kkPQkxxk，2108k≤．……10分设212k，则514，，所以2116125，，数学试卷及参考答案第11页（共12页）所以22211801362

220(1)05PQ，，所以6505PQ，．……12分22．（12分）已知函数22()fxxaxa，1()2exgxax．（1）若1a，证明：曲线()yfx与曲线()ygx有且仅有一条公切线；（2）当1x≥时，()()2fxgxax≤，

求a的取值范围．【解】（1）当1a时，2()1fxxx，1()2exgxx，所以()21fxx，1()2e1xgx，所以曲线()yfx在点2111(1)xxx，处的切

线方程为21111(1)(21)()yxxxxx，即211(21)1yxxx，曲线()ygx在点2122(2e)xxx，处的切线方程为221122(2e)(2e1)()xxyxxx，即22112(2e1)2e(1)xxyxx．……2分令22111

212212e112e(1)xxxxx，，得22111212e12e(1)xxxxx，，消去2x，整理得21112ln10xxx，所以11

112ln0xxx．……4分设1()2ln(0)hxxxxx，则22(1)()0xhxx≥，所以()hx在(0)，上单调递增，又(1)0h，所以()hx在(0，）上有唯一的零点1x，

所以方程12ln0xxx有唯一的解1x，所以曲线()yfx与曲线()ygx有且仅有一条公切线yx．……6分（2）因为对1x≥，()()2fxgxax≤恒成立，数学试卷及参考答案第12页（共12页）所以122e

()xxa≥在1x，上恒成立，所以21()2exxa≤在1x，上恒成立，令21()()(1)exxaGxx≥，211()2()()[(2)]()eexxxaxaxaxaGx，则当xa时()0Gx

，()Gx单调递减，当2axa时，()0Gx，()Gx单调递增，当2xa时，()0Gx，()Gx单调递减，所以在xa处()Gx有极小值，在2xa处()Gx有极大值．……8分①当21a≤，即1a≤时，由2max()(1)(1)2G

xGa≤，解得1212a≤≤，舍去．……10分②当21a，即1a时，则max()max(2)(1)GxGaG，，所以，由1214(2)2e(1)(1)2aaGaGa≤≤，，，解得11ln21212

.aaa≥≤≤，，因为28e，所以232e，所以2ln23，所以211ln2112133，所以1ln212a≤≤．综上，a的取值范围为1ln212a≤≤．……12分获得更多资源

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