【文档说明】重庆市南开中学2024届高三下学期5月第九次模拟预测试题 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，867.035 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题2024.5命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符

合题目要求1.已知(),,ii2iabab+=−R（i为虚数单位），则复数izab=+的共轭复数为（）A.2i−+B.2i−C.12i+D.12i−2.已知集合220,2,xAxxxByyxA=−−==R∣

∣，则AB=（）A.()1,4−B.1,14C.1,12D.1,223.已知向量()()3,1,2,abx==−，若()aab⊥+，则b=（）A.2B.3C.25D.21034.无人机集群智能

灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可

以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.9B.12C.15D.185.已知实数,ab满

足212loglog0ab+，则（）A.1122abB.log2log2abC.baabD.2233abab−−−−6.已知从点()1,1P−发出的光线经y轴反射，反射光线与圆2274:6605Cxyxy+−−+=相切，其反射光线的

斜率为（）A.12B.2C.12或2D.12−或127.已知函数()()ππsin0,0,22fxAxA=+−的部分图像如图所示，若()13f=，则5π23f+=（）A.29−

B.29C.79−D.798.已知数列na的前n项和为()2*1124,1,1,nnnSaSSnnS+=+=+=N（）A.276B.272C.268D.266二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，PQRS､､､分别为棱11111ADAACDAB､､､的中点，则下列说法正确的是（）A.PQRS､､､四点共面B.RS与1BC异面C.1PQBD⊥D.RS与1AB所成角为4510.已知()lnlnxxfxxx

=+，则（）A.()()24ff=B.()fx在()0,e上单调递增C.0x，使()02fx=−D.0x，使()02fx=11.已知双曲线222:1(0)16xyCaa−=的左､右焦点分别为12

,FFP､为双曲线C上一点且12PFF的内切圆圆心为()3,1I，则下列说法正确的是（）A.3a=B.直线1PF的斜率为14C.12PFF的周长为643D.12PFF的外接圆半径为6512三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对具有线性相关关系的变量,xy有一组观测数据

(),(1,210),5,4iixyixy===−，其经验回归方程ˆˆ3.2yxa=−+，则在样本点()3,2.9处的残差为__________.13.已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为_________

_.14.已知函数()fx满足()1tansin2fxx=，若12xx､是方程2202420240xx+−=的两根，则()()12fxfx+=__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.

解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知abc､､分别为ABC的内角ABC､､的对边，S为ABC的面积，且满足2243()Sbac=−−.（1）求B；（2）若1233BDBABC=+，且7,23BDca=−=，求ABD的余弦值.16.（15分）如图，在圆锥PO中，AC为

圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，26ACAB==，2CDDB=.（1）证明：AD⊥平面BOP；（2）若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角OBPA−−的余弦值.17.（15分）已知M为圆229xy+=上一个动点，M

N垂直x轴，垂足为,NO为坐标原点，OMN的重心为G.（1）求点G的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于AB､两点，点()0,1Q，若点()3,0H恰好是ABQ的垂心，求直线l的方程.18.（17分）已知(),

XY是二维离散型随机变量，其中XY､是两个相互独立的离散型随机变量，(),XY的分布列用表格表示如下：YX0360124112185181438（1）求()5PX=和()0PY=；（2）“YXx=∣”表示在Xx=条件下的Y的取值，求“5YX=∣”的分布列；（3）()EX为X的数学期望

，()iEXYy=∣为“iXYy=∣”的分布的期望，证明：()()31()iiiEXPYyEXYy====∣.19.（17分）已知函数()()()e,ln,xfxagxxbab==+R.（1）当1b=时，()()fxgx…恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知直线12ll

､是曲线()ygx=的两条切线，且直线12ll､的斜率之积为1.（i）记0x为直线12ll､交点的横坐标，求证：01x；（ii）若12ll､也与曲线()yfx=相切，求,ab的关系式并求出b的取值范围.重庆市高2024届高三第九次质量

检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项ADCBCCDAACACACD一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.1.A2.D3.C【解析】因为()1,1abx+=+，所以()()310aabx+=++=，所以4x=−，所以22(2)(

4)25b=−+−=.4.B【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，78､号也有2种颜色可选，所以一共有32212=种灯光组合.5.C【解析】由题可得22:loglog00abab−对A.由12xy=在R上单调递减

及0ab可知1122ab，故A不成立对B.当4,2ab==时，421log2,log212==不满足log2log2ab，故B不成立对C.由220baabbaab，故C成立对D.易知()23xxfx−=−在R上单调递增，故(

)()23232233aabbababfafb−−−−−−−−，故D不成立6.C【解析】点()1,1P−关于y轴的对称点()1,1P−−，反射光线即为过点()1,1P−−作圆C：2216(3)(3)5xy−+−=的切线，设切线的斜率为k，则切线():11l

ykx+=+，由2331161521kkkk−+−==+或2，故选C.7.D【解析】由图可知()31,0sin2Af===，由ππ22−可知π3=.根据sinyx=图象类比可知，4π10,4π,332TT−===.(

)1π1sin233f=+=.故25π1ππ1π1π272sin2cos212sin13232232399f+=++=+=−+=−=8.A【解析】1

11aS==，又211nnSSn++=+，当1n=时，2122112,1SSS+=+==；当2n…时，21(1)1nnSSn−+=−+，作差得1121nnSSn+−−=−，()()()()2424222220422223213111276SSSSSSSS=−+−++−+=+++−+=.二､多选题

：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.AC【解析】因为PQ∥RS，所以PQRS､､､四点共面，A选项正确；取1BCCC､的中点MN､，依次连结PQSMNR､､､､､，

则PQSMNR为正六边形，RS∥1,BCB错误；易知1BD⊥面PQSMNR，所以1,PQBD⊥C选项正确；易知RS∥1BC，又11ABC是等边三角形，所以RS与1AB所成角为60,D选项错误.10.AC【解析】()()()lnln4ln2,0,11,,ln42xxfxxxx=+

+=，()()24,ff=A正确；()fx定义域()()0,1,1,,x+B错误；()()()()222ln1lnln1lnln1ln(ln)xxxxxxxfxxxxx−+−=+−−=，又ln0,ln10,exxxx−−==，令()()ln,gxxxgx=+单调递增

，又()1110,110,eegg=−=存在唯一01,1ex，使得()0gx0=.此时00lnxx=−，故()fx在()00,x上单调递增，在()0,1x上单调递减，在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递增，()00000ln()2lnxxfx

fxxx==+=−极大值，()elne1()ee2lneeefxf==+=+极小值.所以C正确，D错误.11.ACD【解析】如图1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，设圆I分别与12PFF的三边切于

点MNA､､，则11,PMPNFMFA==，22FNFA=，又()()12121222AAAPFPFFMFNAFFAxccxxa−=−=−=+−−==3Axa==，A选项正确；连接12IFIFIA､､，则111tan8IAIFAAF==1111212tan16tanta

n21tan63PFIFAkPFAIFAIFA====−，B选项错误；同理，224tantan23PFAIFA==，()121212tantan5FPFPFAPFA=−+=−，123tan22FPF=，由1221232cot232FPF

FPFabcSbrpp++====，得323p=，12PFF的周长为643，C选项正确；由12121212tansin513FPFFPF=−=，由正弦定理12122sinFFRFPF=得6512R=，D选项正确

.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.0.5【解析】ˆˆˆ43.25,12,3.23122.4,aay−=−+==−+=残差e2.92.40.5=−=.13.63【解析】设正三棱柱的底面棱长为a，内切球的半径为R，则36Ra=且棱柱的高2hR=，依题意24π4πR

=，解得1R=，故23,2ah==，所以正三棱柱的体积23634Vah==.14.0【解析】法一：令tantx=，则222tan2sin21tan1xtxxt==++，于是()()22211111,1222tttftffttt

tt+−++=−==−=−−，又121xx=−，故()()()121110fxfxfxfx+=+−=.法二：因121xx=−，设1tanx=，则可取2π

tan2x=+，于是：()()()()12π1111tantan02sin2sinπ2sin2sin2fxfxff+=++=+=−=+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）由面

积公式和余弦定理可得：()222143sin22cos22acBacbacacBac=−+−+=−+，3sincos1BB+=，ππ12sin1,sin662BB+=+=，ππ7ππ5π2π,,666663BBB++==.（2）由题可得：22222714

122cos42799933BDBABCBABCBcaac==+++−=，将2ca=+代入上式整理得：211,3aac===，22222π2cos13213cos13133bacacBb=+−=+−==.()1222,3333BDBABCADBDBABCBAAC=+=−

=−=，ADC､､三点共线，且22132.33ADDCADAC===，所以2721399327cos77233ABD+−==.16.（15分）解：（1）法一：PO⊥平面,ABCBABC⊥，故以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC

为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.设OPx=，故()()0,0,0,3,0,0BA，()()333333,,0,,,,0,3,0,3,3,02222OPxDAD=−，333333,,0,,

,2222BOBPx==.333333330,3302222ADBOADBP=−+==−+=.故,,,ADBOADBPBPBOBAD⊥⊥=⊥平面BOP.法二：也可证明,ADBOADPO⊥⊥，从而可证AD⊥平面BOP.（2）

侧面3π18π,6,33SPAPAOPx=====.由（1）可知，AD为平面BOP的法向量，设平面ABP的法向量为(),,mabc=，而()3,0,0BA=，故3033333022mBAamBPabc===++=

取()0,2,1m=−，则235cos,5235mAD==，即二面角OBPA−−的余弦值为55.17.（15分）解：（1）设()()00,,,GxyMxy，则()0,0Nx，因G为OMN的重心，故有：00

233xxyy==，解得003,32xxyy==，代入22009xy+=，化简得2214xy+=，又000xy，故0xy，所以G的轨迹方程为()22104xyxy+=.（2）因H为ABQ的垂心，故有,ABHQAHBQ⊥⊥又33HQk=−，故设直线l的方程为(

)31yxmm=+，与2214xy+=联立消去y得：22221383440,Δ20816013xmxmmm++−==−设()()1122,,,AxyBxy，则212128344,1313mmxxxx−−

+==由AHBQ⊥，得()()()1221122111333103yyxxxmxmxx−=−−+++−=−()()()()()22212124310444241130xxmxxmmmmmmm+−++−=−−−+−=2511160m

m+−=，解得1m=（舍去）或165m=−（满足Δ0）故直线l的方程为1635yx=−.18.（17分）解：（1）由已知()()11331115,084842486PXPY==++===+=.（2

）法一：“5YX=∣”可取的值为0,3,6因为()()()()31135,5,0,5,3,5,64848PXPXYPXYPXY===========所以()()()15,018053564PXYPYXPX========∣，()()(

)15,314353534PXYPYXPX========∣，()()()35,318653524PXYPYXPX========∣所以“5YX=∣”分布列为5YX=∣036P161312法二：“5YX=∣”可取的值为0,3,6由已知，随机变量XY､相互独立，故()()()()()()()

5,5555PXYyPXPYyPYXPYyPXPX===========∣，其中0,3,6y，由已知，()()()1111111310,3,624861243882PYPYPY==+===+===+=，所以得“5YX=∣”分布列为5YX=∣036P1

61312（3）法一：因为()()130,544PXPX====，所以()131505444EX=+=，因为()()130,544iiPXYyPXYy======∣∣，所以()()()1500554iiiEXYyPXYyPXYy====+==

=∣∣∣，又因为()()()1110,3,6632PYPYPY======，所以()()31115115115156434244iiiPYyEXYy====++=∣，所以()()31().iiiEXPYyEXYy====∣.法二：()()21()iiiEXxP

Xx===()()()23231111,,iijiijijijxPXxYyxPXxYy==========()()()()()23321111iiijiiijijjixPYyPXxYyPYyxPXxYy============∣∣

()()31iijPYyEXYy====∣.19.（17分）（1）由于eln1xax+…，则ln1exxa+…，设()()()1ln1ln1,,10eexxxxxFxFxF−−+===，且1ln1yxx=−−在()0

,+上单减，所以()Fx在()0,1为正，()1,+为负，()Fx在()0,1单增，()1,+单减，()max()1FxF=，则()11eaF=….（2）设两条切线在()gx上的两个切点横坐标分别为12,xx，

有()()1212121111gxgxxxxx===此时，切线为：()()()()11221211ln,lnyxbxxyxbxxxx−+=−−+=−，相减得()21211211lnlnxxxxxxxx−=−=−，所以212220212222lnlnlnln2ln11xxxxxx

xxxxxx−+===−−−，设()12lnkxxxx=−−，()()22110,kxkxxx=−−„在()0,+上单调递减.故当()0,1x时，()()110,02lnkxkxxx=−；当()1,x

+时，()()110,02lnkxkxxx=−，则20222ln11xxxx=−.（3）由题意得：存在实数,st，使()fx在xs=处的切线和()gx在xt=处的切线重合，()()()()fsgtfsgtst−==−，即1ln1elnesstbat

btatstst−−−−===−−，则()1ln,1ln1stttbtsttbt−=−−=−−−，又因为1elnlnsaastt=+=−，所以()lnlnln1ln1atstttbt=−−=−−++−，题目

转化为()()ln1ln1lnhttttbta=−−++−=有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为1,mm，则由()1hmhm=得()()1111ln1ln1ln1ln1mmmbmbmmmm−−++−=−−++−，化

简得()()()()2211111ln111212bmbmmmmbmmmmm−−−−+===−+−−+−，所以()()()()()ln1ln111111ammbmbmbmb=−−+−=−−−−+−=−，所以lnba=−.（也可写为eba−=）代入()ht中得

：()()ln1ln1httttbtb=−−++−=−有两个不等实根，即11ln1tbtt−−=+，设()()()()22111ln11ln2ln1ln,1(1)(1)tttttttttGttGtttt

−−+−−−−−===+++，由于()1lnHtttt=−−在()0,+上单减且()10H=，所以()Gt在()0,1单增，()1,+单减，而0x→时，(),Gtx→−→+时，()(),10GtG→−=，所以10b−即1

b.