【文档说明】重庆市南开中学2024届高三下学期5月第九次模拟预测试题 数学 Word版含解析.docx，共(14)页，867.035 KB，由小赞的店铺上传

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重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题2024.5命审单位：重庆南开中学注意事项：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，

再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知(),,ii2iabab+=

−R（i为虚数单位），则复数izab=+的共轭复数为（）A.2i−+B.2i−C.12i+D.12i−2.已知集合220,2,xAxxxByyxA=−−==R∣∣，则AB=（）A.()1

,4−B.1,14C.1,12D.1,223.已知向量()()3,1,2,abx==−，若()aab⊥+，则b=（）A.2B.3C.25D.21034.无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术

表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式.已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7､8号的无人机颜

色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（）种灯光组合.A.9B.12C.15D.185.已知实数,ab满足212loglog0ab+，则（）A.1122abB.log2

log2abC.baabD.2233abab−−−−6.已知从点()1,1P−发出的光线经y轴反射，反射光线与圆2274:6605Cxyxy+−−+=相切，其反射光线的斜率为（）A.12B.2C.

12或2D.12−或127.已知函数()()ππsin0,0,22fxAxA=+−的部分图像如图所示，若()13f=，则5π23f+=（）A.29−B.29C

.79−D.798.已知数列na的前n项和为()2*1124,1,1,nnnSaSSnnS+=+=+=N（）A.276B.272C.268D.266二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6

分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.如图，已知正方体1111ABCDABCD−中，PQRS､､､分别为棱11111ADAACDAB､､､的中点，则下列说法正确的是（）A.PQRS､､､四点共面B.RS与1BC异面C.1PQBD⊥D.RS与1AB所

成角为4510.已知()lnlnxxfxxx=+，则（）A.()()24ff=B.()fx在()0,e上单调递增C.0x，使()02fx=−D.0x，使()02fx=11.已知双曲线222:1(0)16xyCaa−=的左､右焦点分别为

12,FFP､为双曲线C上一点且12PFF的内切圆圆心为()3,1I，则下列说法正确的是（）A.3a=B.直线1PF的斜率为14C.12PFF的周长为643D.12PFF的外接圆半径为6512三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.对具有线性相关关系的变量,xy有一

组观测数据(),(1,210),5,4iixyixy===−，其经验回归方程ˆˆ3.2yxa=−+，则在样本点()3,2.9处的残差为__________.13.已知一个表面积为4π的球与正三棱柱的各个面都相切，则此正三棱柱的体积为_______

___.14.已知函数()fx满足()1tansin2fxx=，若12xx､是方程2202420240xx+−=的两根，则()()12fxfx+=__________.四､解答题：本题共5小题，共77

分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知abc､､分别为ABC的内角ABC､､的对边，S为ABC的面积，且满足2243()Sbac=−−.（1）求B；（2）若1233BDBABC

=+，且7,23BDca=−=，求ABD的余弦值.16.（15分）如图，在圆锥PO中，AC为圆锥底面的直径，B为底面圆周上一点，点D在线段BC上，26ACAB==，2CDDB=.（1）证明：AD⊥平面BOP；（2）若圆锥PO的侧面积为18π，求二面角OBPA−−的余弦值.17.（15

分）已知M为圆229xy+=上一个动点，MN垂直x轴，垂足为,NO为坐标原点，OMN的重心为G.（1）求点G的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线l与曲线C相交于AB､两点，点()0,1Q，若点()3,0H恰好是

ABQ的垂心，求直线l的方程.18.（17分）已知(),XY是二维离散型随机变量，其中XY､是两个相互独立的离散型随机变量，(),XY的分布列用表格表示如下：YX0360124112185181438（1）求

()5PX=和()0PY=；（2）“YXx=∣”表示在Xx=条件下的Y的取值，求“5YX=∣”的分布列；（3）()EX为X的数学期望，()iEXYy=∣为“iXYy=∣”的分布的期望，证明：()()31()iiiE

XPYyEXYy====∣.19.（17分）已知函数()()()e,ln,xfxagxxbab==+R.（1）当1b=时，()()fxgx…恒成立，求实数a的取值范围；（2）已知直线12ll､是曲线()ygx=的两条切线，且直线12ll､的斜率之积为1.（i）记0x为直线12ll

､交点的横坐标，求证：01x；（ii）若12ll､也与曲线()yfx=相切，求,ab的关系式并求出b的取值范围.重庆市高2024届高三第九次质量检测数学试题参考答案与评分细则题号1234567891011选项ADCBCCDAACACACD一､单项选择题：本题共8小题.每小题5分

，共40分.1.A2.D3.C【解析】因为()1,1abx+=+，所以()()310aabx+=++=，所以4x=−，所以22(2)(4)25b=−+−=.4.B【解析】先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，78､号也有2种颜色可选，所以一

共有32212=种灯光组合.5.C【解析】由题可得22:loglog00abab−对A.由12xy=在R上单调递减及0ab可知1122ab，故A不成立对B.

当4,2ab==时，421log2,log212==不满足log2log2ab，故B不成立对C.由220baabbaab，故C成立对D.易知()23xxfx−=−在R上单调递增，故()()23232233aabbababfafb−−−−−−−−，故D不成立6.C【解析

】点()1,1P−关于y轴的对称点()1,1P−−，反射光线即为过点()1,1P−−作圆C：2216(3)(3)5xy−+−=的切线，设切线的斜率为k，则切线():11lykx+=+，由2331161521kkkk−+−

==+或2，故选C.7.D【解析】由图可知()31,0sin2Af===，由ππ22−可知π3=.根据sinyx=图象类比可知，4π10,4π,332TT−===.()1π1sin233f=+=.故25π1π

π1π1π272sin2cos212sin13232232399f+=++=+=−+=−=8.A【解析】111aS==，又211nnSSn++=+，当1n=时，2122112,1SSS+=+=

=；当2n…时，21(1)1nnSSn−+=−+，作差得1121nnSSn+−−=−，()()()()2424222220422223213111276SSSSSSSS=−+−++−+=+++−+=.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.AC【解析】因为PQ∥RS，所以PQRS､､､四点共面，A选项正确；取1BCCC､的中点MN､，依次连结PQ

SMNR､､､､､，则PQSMNR为正六边形，RS∥1,BCB错误；易知1BD⊥面PQSMNR，所以1,PQBD⊥C选项正确；易知RS∥1BC，又11ABC是等边三角形，所以RS与1AB所成角为60,D选项错误.10.

AC【解析】()()()lnln4ln2,0,11,,ln42xxfxxxx=++=，()()24,ff=A正确；()fx定义域()()0,1,1,,x+B错误；()()()()222ln1lnln1lnln1ln(ln)

xxxxxxxfxxxxx−+−=+−−=，又ln0,ln10,exxxx−−==，令()()ln,gxxxgx=+单调递增，又()1110,110,eegg=−=存在唯一01,1ex，使得()0gx0=.此时00lnxx

=−，故()fx在()00,x上单调递增，在()0,1x上单调递减，在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递增，()00000ln()2lnxxfxfxxx==+=−极大值，()elne1()ee2lneeefxf==+=+极小值.所以C正确，D错误.1

1.ACD【解析】如图1，由条件，点P应在双曲线C的右支上，设圆I分别与12PFF的三边切于点MNA､､，则11,PMPNFMFA==，22FNFA=，又()()12121222AAAPFPFFMFNA

FFAxccxxa−=−=−=+−−==3Axa==，A选项正确；连接12IFIFIA､､，则111tan8IAIFAAF==1111212tan16tantan21tan63PFIFAkPFAIFAIFA====−，B选项错误

；同理，224tantan23PFAIFA==，()121212tantan5FPFPFAPFA=−+=−，123tan22FPF=，由1221232cot232FPFFPFabcSbrpp++====，得323p=，12PFF的周长

为643，C选项正确；由12121212tansin513FPFFPF=−=，由正弦定理12122sinFFRFPF=得6512R=，D选项正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.0.5【解析】ˆˆˆ43.25,12,3.2312

2.4,aay−=−+==−+=残差e2.92.40.5=−=.13.63【解析】设正三棱柱的底面棱长为a，内切球的半径为R，则36Ra=且棱柱的高2hR=，依题意24π4πR=，解得1R=，故23,2ah==，所以正三棱柱的体积23

634Vah==.14.0【解析】法一：令tantx=，则222tan2sin21tan1xtxxt==++，于是()()22211111,1222tttftffttttt+−++=−==−=−

−，又121xx=−，故()()()121110fxfxfxfx+=+−=.法二：因121xx=−，设1tanx=，则可取2πtan2x=+，于是：()()()()12π1111tantan02sin2sinπ2sin2sin2fxfxff

+=++=+=−=+.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）解：（1）由面积公式和余弦定理可得：()222143sin22cos22acB

acbacacBac=−+−+=−+，3sincos1BB+=，ππ12sin1,sin662BB+=+=，ππ7ππ5π2π,,666663BBB++==.（2）由题可得：22222714122cos42

799933BDBABCBABCBcaac==+++−=，将2ca=+代入上式整理得：211,3aac===，22222π2cos13213cos13133bacacBb=+−=+−==.()1

222,3333BDBABCADBDBABCBAAC=+=−=−=，ADC､､三点共线，且22132.33ADDCADAC===，所以2721399327cos77233ABD+−==.16.（15分）解：（1）法一：PO⊥平面,ABCBABC

⊥，故以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，与OP同向的方向为z轴正方向建立空间直角坐标系.设OPx=，故()()0,0,0,3,0,0BA，()()333333,,0,,,,0,3,0,3,3,02222OPxDAD=−

，333333,,0,,,2222BOBPx==.333333330,3302222ADBOADBP=−+==−+=.故,,,ADBOADBPBPBOBAD⊥⊥=⊥平面BOP.法二：也可证明,ADBOADPO⊥⊥，从而可证AD⊥平面BOP.（2

）侧面3π18π,6,33SPAPAOPx=====.由（1）可知，AD为平面BOP的法向量，设平面ABP的法向量为(),,mabc=，而()3,0,0BA=，故3033333022mBAamBPabc===++=取()0,2,1m=−，则235cos,5235mAD==

，即二面角OBPA−−的余弦值为55.17.（15分）解：（1）设()()00,,,GxyMxy，则()0,0Nx，因G为OMN的重心，故有：00233xxyy==，解得003,32xxyy==，代入22009xy+=，化简

得2214xy+=，又000xy，故0xy，所以G的轨迹方程为()22104xyxy+=.（2）因H为ABQ的垂心，故有,ABHQAHBQ⊥⊥又33HQk=−，故设直线l的方程为()31yxmm=+，与2214xy+=联立消去y得：22221383440,Δ20816013xmxmmm+

+−==−设()()1122,,,AxyBxy，则212128344,1313mmxxxx−−+==由AHBQ⊥，得()()()1221122111333103yyxxxmxmxx−=−−+++−=−()()()()()222

12124310444241130xxmxxmmmmmmm+−++−=−−−+−=2511160mm+−=，解得1m=（舍去）或165m=−（满足Δ0）故直线l的方程为1635yx=−.18.（17分）解：（1）由已知

()()11331115,084842486PXPY==++===+=.（2）法一：“5YX=∣”可取的值为0,3,6因为()()()()31135,5,0,5,3,5,64848PXPXYPXYPXY===========所以()()()15,01

8053564PXYPYXPX========∣，()()()15,314353534PXYPYXPX========∣，()()()35,318653524PXYPYXPX========∣所以“5Y

X=∣”分布列为5YX=∣036P161312法二：“5YX=∣”可取的值为0,3,6由已知，随机变量XY､相互独立，故()()()()()()()5,5555PXYyPXPYyPYXPYyPXPX=======

====∣，其中0,3,6y，由已知，()()()1111111310,3,624861243882PYPYPY==+===+===+=，所以得“5YX=∣”分布列为5YX=∣036P161312（3）法一：因为()()130,544PXPX

====，所以()131505444EX=+=，因为()()130,544iiPXYyPXYy======∣∣，所以()()()1500554iiiEXYyPXYyPXYy====+===∣∣∣，又因为()()()1110,3,6632PYPYPY======，所以()()

31115115115156434244iiiPYyEXYy====++=∣，所以()()31().iiiEXPYyEXYy====∣.法二：()()21()iiiEXxPXx===()()()23231111,,iijiijij

ijxPXxYyxPXxYy==========()()()()()23321111iiijiiijijjixPYyPXxYyPYyxPXxYy============∣∣()()31iijPYyEX

Yy====∣.19.（17分）（1）由于eln1xax+…，则ln1exxa+…，设()()()1ln1ln1,,10eexxxxxFxFxF−−+===，且1ln1yxx=−−在()0,

+上单减，所以()Fx在()0,1为正，()1,+为负，()Fx在()0,1单增，()1,+单减，()max()1FxF=，则()11eaF=….（2）设两条切线在()gx上的两个切点横坐标分别为12,xx，有()()1212121111gxgxxxxx===此时，切线为：(

)()()()11221211ln,lnyxbxxyxbxxxx−+=−−+=−，相减得()21211211lnlnxxxxxxxx−=−=−，所以212220212222lnlnlnln2ln11xxxxxxxxxxxx−+===−−−，设()1

2lnkxxxx=−−，()()22110,kxkxxx=−−„在()0,+上单调递减.故当()0,1x时，()()110,02lnkxkxxx=−；当()1,x+时，()()110,02lnkxkxxx

=−，则20222ln11xxxx=−.（3）由题意得：存在实数,st，使()fx在xs=处的切线和()gx在xt=处的切线重合，()()()()fsgtfsgtst−==−，即1ln1elnesstbatbta

tstst−−−−===−−，则()1ln,1ln1stttbtsttbt−=−−=−−−，又因为1elnlnsaastt=+=−，所以()lnlnln1ln1atstttbt=−−=−−++−，题目转化为()()ln1ln1lnht

tttbta=−−++−=有两个不等实根，且互为倒数，不妨设两根为1,mm，则由()1hmhm=得()()1111ln1ln1ln1ln1mmmbmbmmmm−−++−=−−++−，化简得()()()()2211111

ln111212bmbmmmmbmmmmm−−−−+===−+−−+−，所以()()()()()ln1ln111111ammbmbmbmb=−−+−=−−−−+−=−，所以lnba=−.（也可写为eba−=）代入()ht中得：()()ln1ln1httttbtb=−−++−

=−有两个不等实根，即11ln1tbtt−−=+，设()()()()22111ln11ln2ln1ln,1(1)(1)tttttttttGttGtttt−−+−−−−−===+++，由

于()1lnHtttt=−−在()0,+上单减且()10H=，所以()Gt在()0,1单增，()1,+单减，而0x→时，(),Gtx→−→+时，()(),10GtG→−=，所以10b−即1b.