【文档说明】山东省烟台招远市2023届高三下学期5月全国新高考Ⅰ卷模拟数学试题 含解析.docx，共(28)页，2.225 MB，由小赞的店铺上传

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2023年全国新高考Ⅰ卷模拟试题数学注意事项：1．本试题满分150分，考试时间为120分钟.2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题纸上.3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰；超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.一、选择

题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知全集6Uxx=N，集合1,2,3,2,4,5AB==，则()UAB=ð（）A.0B.4,5C.2,4,5D.0,2,4,5【答案】B【解析】【分析】求出UAð再求()

UABð即可.【详解】由题知0,1,2,3,4,5U=，U045，，=Að，则()U45，=BAð.故选：B.2.已知复数z满足2220zz++=，则zz=（）A.1B.2C.3D.2【答案】D【解析】【分析】设i,,zabab=+R，代入2220zz++=，利

用复数相等求解.【详解】解：设i,,zabab=+R，则2222izabab=−+，所以()222222222i=0zzababab++=−++++，则22220220ababab−++=+=，解得11ab=−=或11ab=−=−

，所以222zzab=+=，故选：D.3.已知底面半径为3的圆锥SO，其轴截面为正三角形，若它的一个内接圆柱的底面半径为1，则此圆柱的侧面积为（）A.3πB.23πC.43πD.83π【答案】C【解析】【分析】作出圆锥的轴截面SAB，求出圆锥的高，利用三角形相似求出

圆柱的高，再根据侧面积公式计算可得.【详解】如图作出圆锥的轴截面SAB，依题意3OBOA==，1ODOC==，6SB=，所以2233SOSBOB=−=，易知BDFBOS∽，则BDDFBOSO=，所以23DF=，即圆锥的内接圆柱的底面半径1r=，高23h=，所以圆

柱的侧面积2π2123π43πSrh===.故选：C4.已知质点P在以坐标原点O为圆心的单位圆上沿逆时针方向作匀速圆周运动，其起点为射线()0yxx=与单位圆的交点，其角速度大小为πrad/s12，设20s后射线OP恰为角的终边，则cos2

=（）A.12−B.12C.32−D.32【答案】D【解析】【分析】根据点P的角速度，求得20s后转过的角度，再加上π4得到求解.【详解】解：因为点P的角速度大小为πrad/s12，则20s后转过的角为：π5π20123=，所以5π5ππ23π33412PO

x=+=+=，则23πππ3cos2coscos4πcos6662==−==，故选：D5.已知12,FF分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点，M是C上一点且2MF与x轴垂直，直线1MF与C的另一个交点为N，若113MFFN=，则

C的离心率为（）A.33B.13C.32D.223【答案】A【解析】【分析】先求出M的坐标，根据113MFFN=得出N的坐标，根据N在椭圆上列方程求解即可.【详解】不妨设M在第一象限，由题意，M的横坐标为c，令22221cyab+=，解得2bya=，即2,bM

ca.设(,)Nxy，又1(,0)Fc−，1(,)FNxcy=+，212,bMFca=−−，由113MFFN=可得：223()3cxcbya−=+−=，解得2533cxbya=−=−

，又(,)Nxy在椭圆上，即222222222252519999cbcacaaaa−+==+，整理得224899e=，解得33e=.故选：A6.已知,满足()sin2cos,tan2+==，则tan的值为（）A13−B.23−C.13D.

23【答案】A【解析】【分析】利用两角和与差的正余弦公式和三角函数商数关系化简得()tan+1=，再利用两角和与差的正切公式即可得到答案.【详解】因为()sin2+cos=，所以()()sin+cos+=+−，即()()()()nsincoscosscos

+sin+cos+si+in+=+，显然cos0，两边同除cos得：()()()()ntantacosn+sin+cos+si++=+，()()()()2cos+sin+cos+2sin++=

+，即()()cos+sin+=，易知()cos+0，则()tan+1=，()()()tantan121tantan1tantan1123+−−=+−===−+++故选：A.7.已知函数()3213fxxaxx=++的两个极值点分别为12,xx，

若过点()()11,xfx和()()22,xfx的直线l在x轴上的截距为13，则实数a的值为（）A.2B.2−C.12或2−D.12−或2【答案】B【解析】【分析】由题意()fx有两个不同的零点，则0求参数a范围，再根据211

2222121xaxxax=−−=−−代入1()fx、.1()fx确定已知点所在直线，进而求截距并列方程求参数值.【详解】由题意2()21=++fxxax有两个不同零点，则2440a=−，所以21a，即1

a或1a−，由211222210210xaxxax++=++=，即2112222121xaxxax=−−=−−，而322211111111112112()()33313fxxaxxxaxxxxaax=++=+++=

−−121122()(11)32333xaaaxax=−−−−+=，同理有()()2222133afxax=−−，所以()()11,xfx、()()22,xfx均在22(1)33yaax=−−上，令22(1)033yaax=−−=，则212(1)3axa==−，得2

232(21)(2)0aaaa+−=−+=，综上，12122aa=−=，（舍）故选：B8.教育部为发展贫困地区教育，在全国部分大学培养教育专业公费师范生，毕业后分配到相应的地区任教．现将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，则（）A.甲学校没有女大学生的概率为52

1B.甲学校至少有两名女大学生的概率为2542C.每所学校都有男大学生的概率为67D.乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为17【答案】C【解析】【分析】计算出将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教共有的分

法种数，再结合每个选项里的具体要求求出符合其要求的分法种数，根据古典概型的概率公式，即可求得相应概率，可判断A，B，C，利用对立事件计算可判断D.【详解】将5名男大学生，4名女大学生平均分配到甲、乙、丙3所学校去任教，共有3333963333

CCCA1680A=中分法；对于A，甲学校没有女大学生，从5名男大学生选3人分到甲学校，再将剩余的6人平均分到乙、丙学校，共有3332635222CCCA200A=种分法，故甲学校没有女大学生的概率为2005168042=

，A错误；对于B，甲学校至少有两名女大学生的情况包括恰有两女大学生和恰有三女大学生，共有3333212326363452422222CCCCCCACA680AA+=种分法，故甲学校至少有两名女大学生的概率为6801

7168042=，B错误；对于C，每所学校都有男大学生，则男生的分配情况为将男生分为3组：人数为1,1,3或2,2,1，当男生人数为1,1,3时，将4名女生平均分为2组，分到男生人数为1人的两组，再分到3所学校，此时共有323543CCA360=种分法；当男生人数为2

,2,1时，将4名女生按人数1,1,2分为3组，人数1,1的2组分到男生人数为2,2的两组，2名女生的一组分到男生1人的那一组，再分到3所学校，此时共有222235342322CCCAA1080A=种分法；故每所学

校都有男大学生的分法有36010801440+=种，则每所学校都有男大学生的概率为1440616807=，C正确；对于D，乙学校分配2名女大学生，1名男大学生共有21334563CCCC600=种分法，乙学校分配2名女大学生，1名男大学

生且丙学校没有女大学生的分法有214354C120CC=种，故乙学校分配2名女大学生，1名男大学生且丙学校有女大学生的概率为600120216807−=，D错误，故选：C二、选择题：本题共4小题，每小起5分，

共20分.在每小船给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.一组数据19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位数为34B.8(12)x−展开式中4x项的系数为112

0C相关系数0.89r=−，表明两个变量相关性较弱D.若()60,4N，则()()6456PP=【答案】ABD【解析】【分析】一组数据从小到大重新排列由中位数定义可判断A；利用8(12)x−展开式的通项可判断B；根据相关

系数定义及意义可判断C；根据正态分布的对称性可判断D.【详解】对于A，一组数据从小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，所以中位数为3236342+=，故A正确；对于B，设8(12)

x−展开式的通项为()()188C2C2rrrrrrTxx+=−=−，令4r=，可得8(12)x−展开式中4x项的系数为()448C21120−=，故B正确；对于C，相关系数取值一般在1−~1之间，绝对值越接近1说明变量之间的线性关系越强，绝对值

越接近0说明变量间线性关系越弱，相关系数r的绝对值一般在0.8以上，认为两个变量有强的相关性，0.3到0.8之间，可以认为有弱的相关性，0.3以下,认为没有相关性，所以相关系数0.89r=−表明两个变量相

关性较强，故C错误；对于D，若()60,4N，则60=，则()()6456PP=，故D正确.故选：ABD.10.已知0,0ab且42ab+=，则（）A.ab的最大值为12B.2+ab的最大值为2C.2+aab的最小值为6D.42a

b+的最小值为4【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式可判断AB；先将2+aab化为21124ab+−，再妙用“1”可判断C；取特值可判断D.【详解】对于A，因24244ababab=+=，所以14ab，当且仅当1,14ab

==时，等号成.为立，故A错误；对于B，因为44abab+，所以28244(2)abababab+++=+，即2(2)4ab+，22ab+，当且仅当1,14ab==时，等号成立，故B正确；对于C，由42ab+=得

124ba=−，所以221124aabab+=+−，因为211211172211725()(4)()(24)22222224baabababab+=++=+++=，所以221125162444aab

ab+=+−−=，当且仅当25ab==时，等号成立，故C正确；对于D，令12,33ab==，则1213334242244ab+=+=，所以42ab+的最小值不是4，D错误.故选：BC.11.已知点M为直线:

80lxy−+=与y轴交点，P为圆22:45Oxy+=上的一动点，点()()1,0,3,0AB−，则（）A.PM取得最小值时，65ABPS=△B.MP与圆O相切时，19PM=C.当BPMP⊥时，0APBM=D.sinAPB的最大值为54【答案】ABD【解析】【分析】A：P

M取得最小值时P位于OM即y轴上，根据三角形面积公式可得.B：直接在直角三角形APM利用勾股定理可得.C：运用向量坐标表示和对于坐标运算可得.D：根据正弦定理2sinABRAPB=，将求sinAPB的最大值转化为求外接圆半径最小，此时，外接圆与圆O相内切

，根据内切半径差等于圆心距可得外接圆半径，进而可得.【详解】因:80lxy−+=，令0x=，得8y=，故M()0,8，22:45Oxy+=，圆心()0,0，半径4535r==选项A：的如图，根据圆的性质当P位于y轴上时，PM取得最小值，此时114356522ABPSABOP=

==△，故A正确；选项B：当MP与圆O相切时，22284519PMOMr=−=−=，故B正确；选项C：设()11,Pxy，则()113,BPxy=−，()11,8MPxy=−，当BPMP⊥时，0BPMP=，故()()1111380xxyy−+−=，又221145

xy+=，得113845xy+=，()111,APxy=+，()3,8BM=−，()1111318383APBMxyxy=−++=−+−若0APBM=，则113830xy−+−=，又113845xy+=得，17x=，13y=，此时2222117345xy+=+，

这与点P在圆上矛盾，故C错误；选项D：设PAB外接圆圆心为Q，半径为R由题意可得Q在AB中垂线上，可设其坐标为()1,x，则24RQAx==+，21QOx=+，由正弦定理知2sinABRAPB=，所

以sin2ABAPBR=，当R最小，即外接圆与圆O相内切时，sinAPB的最大值，此时圆心距等于两圆半径之差，则221454xx+=−+，两边同时平方可得2845Rx=+=，45sin16245ABAPBR=

==，故D正确.故选：ABD.12.在正四棱柱1111ABCDABCD−中，122AAAB==，点P满足1CPCDCC=+，0,1,0,1，则（）A.当11,2==时，直线CP与A

P所成角为60B.当1=时，1APPC+的最小值为51+C.若1BP与平面11CDDC所成角为45，则P点的轨迹长为π2D.当1=时，平面1APB截此正四棱柱所得截面的最大面积为5【答案】ACD【解析】【分析】对于A，当11,2

==时可知点P为1DD的中点，从而可以判断ACP△为等边三角形，即可判断；对于B，当1=时可得点P在1DD上，此时把正四棱柱1111ABCDABCD−的后面和右面展开，从而可判断；对于C，连接1CP，可得11BPC即为

1BP与平面11CDDC所成角，从而可得点P的轨迹是以1C为圆心，以1为半径的14个圆，即可判断；对于D，过点P作1//PQCD交1CC于点Q，可得四边形1APQB为平面1APB截此正四棱柱所得截面，建立空间直角坐标系，利用向量法求得点P到直线1AB的距离，结合函数的单调性即可判

断.【详解】对于A，当11,2==时，点P为1DD的中点，所以222APADDP=+=，222CPCDDP=+=,222ACCDAD=+=，所以ACP△为等边三角形，所以直线CP与AP所成角为60，A对；对于B，当1=时，点P在1DD上，此时把正四棱柱1111ABCDA

BCD−的后面和右面展开，如图：1APPC+的最小值为221122ACACCC=+=，B错；对于C，因为点P满足1CPCDCC=+，所以点P在平面11CDDC内，11BC⊥平面11CDDC，连接1CP，则11BPC即为1BP与平面11CDDC所成角

，若1BP与平面11CDDC所成角为π4，则11111tan1BCBPCCP==，所以1111CPBC==，即点P的轨迹是以1C为圆心，以1为半径的14个圆，所以P点的轨迹长为π2，C正确；对于D，当1=时，点P在11CD上，且111CPCD=，过点P作1//PQCD交1CC

于点Q，则1//PQAB，所以1PQCD=所以四边形1APQB为平面1APB截此正四棱柱所得截面，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则根据题意可得：1(0,0,2),(1,0,0)AB，(1,1,2)P−，所以11(1,1,0),(1,0,2)APAB=−=−，()2

11111,1,51APAAPBBA=−=−+=，点P到直线1AB的距离为()()22222111141111155APAdBAPAB−=−=−−=−++所以四边形1APQB

的面积()()()()()()221221115454222111155SABPQd+−+=−++=++=令()()()()()2422214411120555539f=−+++++=−，所以()()

()2321661616162121551555652f−+=+−+=+−+=所以当01≤≤时，()0f，()f单调递增，所以当1=时()f取得最大值,此时截面面积

最大为5，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据,的本题取值得到点P的位置，进而结合选项转化相应问题，然后利用相关知识解答即得.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知定义在R上的偶函数()fx，满足()()2

fxfx+=−，若20231()1kfk==−，则()0f的值为________．【答案】1【解析】【分析】根据()()2fxfx+=−得()fx的周期为4，且()()()()12340ffff+++=，再由20231()1kfk==−可得答案.【详解】因为()()2

fxfx+=−，所以()()()42fxfxfx+=−+=，所以()fx的周期为4，所以()()20ff=−，()()31ff=−，()()()420=−=fff，即()()()()()()()()12341

0100+++=−−+=ffffffff，若20231()1kfk==−，则()()()()()123420231+++++=−fffff，即()()()()()()()50512341231fffffff++++

++=−，可得()()()()()()1231011++=−−=−ffffff，所以()01f=.故答案为：1.14.设抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点为F，点(),0Dp，过点F的直线交C于,MN两点，直线MD垂

直x轴，3MF=，则NF=________．【答案】32【解析】【分析】根据抛物线定义求出2p=，再设直线MN的方程为1xmy−=，得到韦达定理式，求出N点横坐标，再利用抛物线定义即可求出NF的长.【详解】由题意得,02pF

,因为直线MD垂直于x轴,(,0)Dp,准线方程为2px=−，所以M点的横坐标为p,设()()1122,,,MxyNxy，根据抛物线的定义知13322pMFxp=+==，解得2p=，则2:4Cyx=，则()1,0F，可设直线MN的方程为1xmy−=，联立抛物线方程有214xmyyx=+

=可得2440ymy−−=，21216160,4myy=+=−，则()212121616yyxx==，则23216x=，解得212x=，则2131222pNFx=+=+=，故答案为：32.15.若曲

线1(0)ykxk−=与曲线exy=有两条公切线，则k的值为________．【答案】1e−【解析】【分析】利用导数的几何意义，分别写出两曲线的切线方程，让两切线方程的系数相等，得到方程组，消去一个变量后

，问题转化为方程的根的个数问题，构造函数，利用导数研究其性质，作出图象，数形结合求解即可．【详解】令1()(0)fxkxk−=，()xgxe=，则()2kfxx=−，()exgx=，设()()11,Axfx，则曲线()yfx=在A处切线为()()()1112

112kkyfxfxxxyxxx−=−=−+，设()()22,Bxgx，则曲线()ygx=在B处切线为()()()()222222e1exxygxgxxxyxx−=−=+−，由题意()222121e21exxkxkxx−==−

，消去1x得()22241exkx−=−，由题意，方程()241exkx−=−有两个不同的实数根，令2()(1)exxx=−，则2()(1)e(1)(1)exxxxxx−==−+，当1x−时，()0,()xx单调递增；当11x−时，()0,(

)xx单调递减；当1x时，()0,()xx单调递增，故当=1x−时，()x取极大值e(41)−=；当1x=时，()x取极小值(1)0=，又当1x时()0x，根据以上信息作出()x的大致图象，由图可知当44ek−

=，即1ek=−时，直线4yk=−与()x的图象有两个交点，从而方程()241exkx−=−有两个不同的实数根，所以，曲线1(0)ykxk−=与曲线exy=有两条公切线时，k的值为1e−．故答案为：1e−．16.如图，某数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等

比数列，数阵中各项均为正数，1,22,33,10aa==，3,41,43,1aaa=，则,nna=________；在数列,1na中的任意,1ka与1,1ka+两项之间，都插入()*Nkk个相同的数1(1)kk+−，组成数列nc，记数列nc的前n项和为nT，则70T=_____

___．1,11,21,31,2,12,22,32,,1,2,3,nnnnnnnaaaaaaaaaaaa【答案】①.()1212−−nn②.2036

【解析】【分析】设第一行公差为d，各列的公比为q且0q，结合已知条件求得2dq==，即可写出,nna通项公式，再根据题意确定nc前70项的组成，应用分组求和、等比数列前n项和公式求和即可.【详解】设第一行公差为d，各列公比为q且0q，且1

,23a=，则2,3(3)10adq=+=，23,1(3)adq=−，1,432ad=+，23,4(32)adq+=，所以22(32)(32)(3)dddqq+−+=，则226(23)(2)0dddd−−=+−=，由各项均为正数，故2d=，则2,351

0aq==，即2q=，的综上，1,1,22(2)21naann=+−=−，故,nna=111,(21)2nnnaqn−−=−，由上，nc前n项为1,12,13,14,11,1,1,,2,2,,3,3,3,,...,kaaaaa+−−，且1,11a=，

故在1,1ka+之前共有2(1)322kkkkk+++=项，10k=则2365702kk+=，11k=则2377702kk+=，综上，nc前70项为1,12,13,14,111,1,1,,2,2,,3,3,3,,...,,11,11,11,11aaaaa−−，111212(2)33

4(4)...10(10)41112nT−=++−++−++−+−1121149162536496481100442036=−+−+−+−+−+−+=.故答案为：1(21)2nn−−，2036【点睛】关键点点

睛：利用等差、等比数列通项公式求行列间的公差、公比，确定行列通项公式为关键.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，4,ABD=为AB中点，7CD=．（1）若3BC=，求ABC的面积；（2）若2BACACD=，求AC

的长．【答案】（1）33（2）32【解析】【分析】（1）在BCD△中，先利用余弦定理求出角B，再根据三角形的面积公式即可得解；（2）在ACD中，先利用正弦定理及二倍角的正弦公式求出ACD及BAC，再利用正弦定理求解即可.【小问1详解】在BCD△中，2,3,7B

DBCCD===，由余弦定理可知2224971cos22322BCBDCDBBCBD+−+−===，因为0πB，所以3sin2B=，所以1sin332ABCSABBCB==;【小问2详解】在ACD中，设,2ACDBAC==,则由正弦定理sin2sinCDAD=

，即722sincossin=，得()7cos,0,π4=，所以3sin4=，2371sin22sincos,cos22cos188===−=−，所以π2ADC=−−，所以()377139sinsin2848416ADC

=+=−=，由正弦定理得：sinsinACADADCACD=，即92316324AC==．18.已知数列()11,1,11nnnaanana+=−+=．（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足()1πsincosπ2nnnbaa+=+，求数列

nb的前2n项和2nT【答案】（1）21nan=−（2）2n−【解析】【分析】（1）先把题干条件等价变成11111nnaannnn+−=−++，然后用累加法进行求解；（2）结合特殊的三角函数值，利用分组求和进行求解.【小问1详解】由()111nnn

ana+−+=得，()1111111nnaannnnnn+−==−+++，所以2n时，213211111112132112231nnaaaaaannnn−−+−++−=−+−++−−−，故1111naann−=−，又11a=，则21nan=−，当1n=时，11a=成

立，所以，21nan=−．【小问2详解】由（1）知，()()()πsin21cosπ21cosπcos2π2nbnnnn=++−=−，所以，2122nnTbbb=+++()cosπcos2πcos21πcos2πnn=+++−+()()cos2πcos4πco

s42πcos4πnn−+++−+，因为()cos21πcos2πcos2πcos2π0nnnn−+=−+=，cos2π1n=于是()cosπcos2πcos21πcos2π0nn+++−+=，()cos2πcos4πcos42πcos4π2nnn+++−+=所以，2

2nTn=−．故数列nb的前2n项和为2n−．19.现有甲、乙两个袋子，每个袋子中均装有大小、形状、质地完全相同的2个黑球和1个红球，若每次分别从两个袋子中随机摸出1个球互相交换后放袋子中，重复进行()*nnN次此操作．记第n次操作后，甲袋子中红球的个数为nX．（1）求1X的

分布列和数学期望；（2）求第n次操作后，甲袋子中恰有1个红球的概率nP．【答案】（1）分布列见解析，()11=EX（2）213595nnP=−+【解析】【分析】（1）由题意可知，1X的所

有可能取值为0、1、2，计算出随机变量1X在不同取值下的概率，可得出随机变量1X的分布列，进而可求得()1EX的值；（2）由已知条件推导得出()()1211139nnPXPX+==−=，可得出数列()315nPX=−为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得()1nPX=的表达式，

即nP的表达式.【小问1详解】由题知，1X的所有可能取值为0、1、2，()11220339PX===，()122115133339PX==+=，()12122339PX===，所以，1X的分布列为1X012P29592

9所以，1X的数学期望()12520121999EX=++=．【小问2详解】由题知，()()()()1222112110112333333nnnnPXPXPXPX+===++=+=又()()()0121

nnnPXPXPX=+=+==，所以，()()()()()1252111212393nnnnnPXPXPXPXPX+==−=−=+=+=，整理得，()()1211139nnPXPX+==−=，所以，()()131311595nn

PXPX+=−=−=−，又因为()1321545PX=−=−，所以，数列()315nPX=−是首项为245-，公比为19−的等比数列，所以，()132115459nnPX−

=−=−−，所以，()2131595nnPX==−+，即213595nnP=−+.20.如图，在ABC中，90,2,60,ABCBCACBE===为AB中点，过点E作ED垂直AC于D，将ADEV沿ED翻折

，使得面ADE⊥面BCDE，点M是棱AC上一点，且//BM面ADE．（1）求AMMC的值；（2）求二面角MBEC−−的余弦值．【答案】（1）32（2）52929【解析】【分析】（1）作BQ垂直CD于点Q，连接QM，然后证明面//BQM面ADE，

利用面面垂直性质定理，结合已知可得；（2）以D为原点，以,,DEDCDA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，利用法向量求解可得.【小问1详解】因为面ADE⊥面BCDE，面ADE面BCDEDE=由题意可知，,ADDECDDE⊥⊥，所以

90ADC=，过点B作BQ垂直CD于点Q，连接QM，因为//,BQDEBQ面,ADEDE面ADE，所以//BQ面ADE，又因为//BM面,ADEBQBMB=，,BQBM面ADE，所以，面//BQM面ADE，又因为面BQM面ADCQM=，面ADE面ADCA

D=，所以，//ADQM．因为2,60BCACB==，所以，1CQ=，在折叠前的图形中，4cos60BCAC==，所以3AQ=，易知D为AQ的中点，所以32DQ=，所以，32DQCQ=，所以，32AMMC=．【小问2详解】由（1）知，以D为原

点，以,,DEDCDA所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，则()350,0,0,,0,0,0,,022DEC，3333,,0,0,,225BM易知面BCDE的一个法向量()0,0,1m=，333,,0,3,0,225EB

MB==−，设面MBE的法向量为(),,nxyz=，所以330223305xyxz+=−=，令3x=，则1,5yz=−=，故()3,1,5n=−，所以529cos,29mnmnmn==，所以，二面角

MBEC−−的余弦值为52929．21.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的焦距为4，点()6,1在C上．（1）求双曲线C的方程；（2）设双曲线的左、右焦点分别为12,FF，斜率为()0kk且不过1F的直线l与C交于点,AB，若k为直线11,AFBF斜率的等差中项，

求2F到直线l的距离d的取值范围．【答案】（1）2213xy−=（2）()1,7d【解析】【分析】（1）将()6,1代入双曲线方程，结合已知可解；（2）设直线l的方程为ykxm=+，联立双曲线方程消元，韦

达定理结合k为直线11,AFBF斜率的等差中项列方程，再由点到直线距离公式即可求解.【小问1详解】因为点()6,1在C上，所以22611ab−=①，由题意知，24,2cc==，所以224ab+=②，由①②解得223,1ab==，故双曲线C

的方程为2213xy−=．【小问2详解】设直线l的方程为ykxm=+，联立得2213ykxmxy=+−=，消y可得，()()222136310kxkmxm−−−+=，有韦达定理可得，()212

1222316,1313mkmxxxxkk++==−−−，且()()2222Δ36121310kmkm=+−+，得2213mk+，因为k为直线11、AFBF的斜率的等差中项，所以1212222yykxx+=++，将1122,k

xmykxmy=+=+代入可得，()()()()()()12211222222kxmxkxmxkxx+++++=++，整理可得，()()12240mkxx−++=，当20mk−=时，直线l为()2ykx=+，此时直线过焦点，不合题意，所以124

xx+=−，即26413kmk=−−，可得223mkk=−，代入2213mk+化简可得，4291540kk−+，解得21433k，又因为，222222442331111kkmkkdkkk−−+===+++，令2171

,22tk+=可得，2211tk=−，所以，14233tdt=−，在7,22上单调递减，所以，()1,7d．【点睛】本题是直线与圆锥曲线的综合性问题，一般步骤：1、设直线和点坐

标；2、联立直线和曲线方程消元，利用韦达定理得两根和与两根积；3、将相关条件和问题利用韦达定理表示即可求解.22.已知函数()()()e,lnxfxagxxa=−=+，其中Ra．（1）讨论方程()fxx=

实数解的个数；（2）当1x时，不等式()()fxgx恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(1,e1−−【解析】【分析】（1）由()fxx=即方程exax−=有没有解的问题，转化为函数exyxa=−−与x轴有没有交点问题，分类讨论即可得出结果.

（2）不等式()()fxgx可化为：()eln,xaxaxa−+−，就111ea−−+、11ea−+分类讨论后可得参数的取值范围.【小问1详解】由()fxx=可得，exax−=，令()()e,e1xxsxxasx

=−−=−，令0y=，可得0x=，当()(),0,0xsx−，函数()sx单调递减，当()()0,,0xsx+，函数()sx单调递增，所以函数()sx在0x=时取得最小值1a−，所以当1a时，方程()fxx=无实数解，当1a=

时，方程()fxx=有一个实数解，当1a时，10a−，故()min0sx，而()e0asa−−=，()e2asaa=−，设()e2,1auaaa=−，则()e20aua=−，故()ua在()1,+上为增函数，

故()(1)e20uau=−，故()sx有两个零点即方程()fxx=有两个实数解.【小问2详解】由题意可知，不等式()()fxgx可化为，()eln,xaxaxa−+−，即当1x时，()eln0xxaa−+−恒成立，所以<1a−，即1a−，令(

)()()1eln,exxhxxaahxxa=−+−=−+，则()hx在)1,+上单调递增，而()11e1ha=−+，当()10h即11ea−+时，()()0,hxhx在)1,+上单调递增，故()()min1

eln(1)hxhaa==−+−，由题设可得eln(1)01eaaa−+−−，设()eln(1)vaaa=−+−，则该函数在1,e−+上为减函数，而()e10v−=，故1e1ea−

−.当()10h即111ea−−+时，因为()111e01ahaaa++=−++，故()hx在()1,+上有且只有一个零点0x，当01xx时，()0hx，而0xx时，()0hx，故()hx在()0

1,x上为减函数，在()0,x+上为增函数，故()()00mineln0xhxxaa=−+−，而001exxa=+，故()00lnxxa=−+，故00e0xxa+−因为01x，故00e1exxa++，故111ea−−+符合，综上所述

，实数a的取值范围为(1,e1−−．【点睛】关键点睛：本题考查函数的单调性、最值问题，考查导数应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

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