【文档说明】四川省彭州市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理科）试题（参考答案）.docx，共(14)页，1.171 MB，由管理员店铺上传

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彭州一中高2021级高三上期10月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.设集合1{|}2Sxx=−，31{|21}xTx−=，则ST?A.B.1{|}2xx−C.1{|}3x

xD.11{|}23xx−【详解】313101|21|22|310|3xxTxxxxxx−−===−=,集合12Sxx=−，则11{|}23STxx=−

，故选D【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为()2,1−−，则iz=（）A.12i−−B.2i−−C.12i−+D.2i−【详解】复数z对应的点的坐标为()2,1−−，则2iz=−−，所以222i2ii12iiiiz−−−−=

==−+.故选：C.3.走路是最简单优良的锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的

中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【详解】对于A选项，712−月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲

走路里程的极差为312011−=公里，A错；对于B选项，712−月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B对；对于C选项，甲下半年每月走

路里程的平均数31252124203015166+++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C

对；对于D选项，由图可知，甲下半年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D错.故选：C.4.已知:1,:pmq=−直线0xy−=与直线20

xmy+=互相垂直，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A由题意得直线x＋m2y＝0的斜率是－1，所以－1m2＝－1，m＝±1.所以p是q的充分不必要条件．故选A.5.若实数x，y满足约束条件1024023

0yxyxy++−−+，则3zyx=−的最大值为（）A.－12B.5C.2D.8【详解】画出可行域如图所示，由230240xyxy−+=+−=解得12xy==，设A(1,2)，则目标函数3zyx=−，经过点A(1,2)时在y轴上的截距最大，所以在点A(1,2

)处z取得最大值最大值为3215z=−=.故选：B.6.下列命题正确的是（）A.命题“pq”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B.命题“若xy=，则sinsinxy=”的逆否命题为真命题C.若0x使得函数()fx的导函数()00fx=，则0x为函数()fx的极值点；D.命题“0xR

，使得20010xx++”的否定是：“xR，均有210xx++”【详解】对于A：命题“pq”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；对于B：命题“若xy=，则sinsinxy=”显然为真命题，又原命题与逆否命

题同真同假，故B正确；对于C：若0x使得函数()fx的导函数()00fx=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x为函数()fx的极值点；否则，0x不是函数()fx的极值点，故C错误；对于D：命题“存在0Rx，使得20010xx++”的否定是：“对任意Rx，均有2

10xx++”．故D错误.故选：B．7.已知(1)nx+的展开式的各项系数和为32，则展开式中x4的系数为()A．20B．15C．10D．5解析：选D由题意知(x＋1)n的展开式的各项系数和为32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，则二项式(x＋1)5的展开式中x4的项为C

15x4＝5x4，所以x4的系数为5，故选D.8.六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（D）A．48种B．72种C．120种D．144种9.已

知三棱锥PABC−的所有顶点都在球O的球面上，0,,60,2,PAABPAACBACPA⊥⊥==2,3ABAC==，则球O的表面积为A.403B.303C.203D.103【详解】设ABC外接圆半径为r

，三棱锥外接球半径为R，，2360ABACBAC===，，，，2222212?·cos602322372BCABACABAC=+−=+−=，7BC=，2sin60BCr==7221332=，213r=，由题意知，PA⊥平面ABC，则将三棱锥补成三棱柱可得，22221101293

PARr=+=+=，210404π4ππ33SR===，故选A．10.已知函数25,(1)(),(1)xaxxfxaxx−+=满足对任意实数12xx，都有2121()()0fxfxxx−

−成立，则a的取值范围是（）A.03aB.2aC.0aD.23a【详解】因为函数()fx满足对任意实数12xx，都有2121()()0fxfxxx−−成立，所以函数()fx在R上递减，所以1206aaaa−+，解得：23a，故选：D.11.设38a

=，0.5log0.2b=，4log24c=，则（）A.acbB.abcC.bacD.<<bca【详解】33log8log92a==，20.52442log5log0.2log5log25log24log2bc=====，而44log24log162=

，则acb，故选：A.12.已知函数2()2lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，且不等式()()12124fxfxxxt+++−恒成立，则实数t的取值范围是（）A.)5,−+B.)1,−+C.)2ln

2,−+D.)22ln2,−+【详解】由2()2lnfxaxxx=−+得()()22210−+=axxfxxx，因为函数()22lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，所以方程222

10axx−+=有两个不相等的正实数根，于是有1212Δ48010102axxaxxa=−+==，解得102a.因为不等式()()12124fxfxxxt+++−恒成立，所以()()()12124fxfxxxt+−++恒成立.()()221212

1112221242ln2ln4fxfxxxaxxxaxxxxx+−−+=−++−+−−+()()()21212121223ln4axxxxxxxx=+−−+++23ln2aa=−+−，设()213ln202haaaa=−+−，则()220−=ahaa

，故()ha102a上单调递增，所以()112hah=−，由题意23ln2taa−+−恒成立，所以1t−.因此实数t的取值范围是)1,−+.故选：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13

.若直线220(,0)axbyab+−=始终平分圆224280+−−−=xyxy的周长，则12ab+的最小值为．【详解】由题意()1,0abab+=，所以()121222332322babaababababab+=++=+++=+，当且仅当21,22ab=−

=−时等号成立.14.命题p：“1,2x，20xa−”，命题q：“xR，2320xxa++−=”，若pq是真命题，则实数a的取值范围是_____________．【详解】若p是真命题，则2ax对于1,2x恒成立，所以()2min1ax

=，若q是真命题，则关于x的方程2320xxa++−=有实数根，所以()942140aa−−=+=，即14a−，p和q同时为真命题，则114aa−，所以11,4a−．15.已知

双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为F．圆222:Oxya+=与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线FP与双曲线C交于点Q，且PQFP=，则双曲线C的离心率为______．【详解】如下图所示，设双曲线的右焦

点为1F，设直线OP的倾斜角为，则tancosbaac==，由题意可知||OPa=，则1||2QFa=，则双曲线的定义有1||||2QFQFa−=，从而||2PFa=，在所以在POF中，由余弦定理有222224cos552ac

aaaceacc+−====.故答案为：516.已知定义在R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx+=−，且[0,2]x时，2()log(1)=+fxx，给出下列结论：①(3)1f=；②函数()fx在6,2−−上是增函数；③函数()fx的图

像关于直线2x=对称；④若(0,1)m，则关于x的方程()0fxm−=在[8,16]−上的所有根之和为12.则其中正确命题的序号为____________.【详解】由(4)()fxfx+=−，将x代换4x+，代换可得()(8)(4)fxfxfx+=−+=，8

T=，由函数为奇函数，故()(4)()fxfxfx+=−=−，令3x=−，则()()31ff=，又[0,2]x时，2()log(1)=+fxx，所以2(1)log(11)1f=+=，所以(3)1f=，①对；当[0,2]x时，2(

)log(1)=+fxx，为增函数，函数为奇函数，所以2,2x−时，()fx单增，(4)()(4)()(2)(2)fxfxfxfxfxfx+=−−=−−=−−，则函数()fx关于2x=−对称，函数()fx在

6,2−−上是减函数，②错；同理()(4)()fxfxfx+=−=−，令2xx=−，得()()22fxfx+−，图像关于2x=对称，③对；如图，画出函数大致图像，()0fxm−=的最左侧两根和为-12，区间()0,4的两根之和为4，区间()8,12两根之和为20，所以所有根之和为12

，④对故正确选项为：①③④故答案为：①③④三、解答题：共70分17.（本题12分）在ABC中,角,,ABC的对边分别为,,abc,()cos3sinsincosBabCbBC−=(1)求B;(2)若2ca=,ABC的面积为233,求ABC的周长.17.（1）

𝑐𝑜𝑠𝐵(√3𝑎−𝑏𝑠𝑖𝑛𝐶)=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶,√3𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵−𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶√3𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵

=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐵𝑐𝑜𝑠𝐶+𝑏𝑐𝑜𝑠𝐵𝑠𝑖𝑛𝐶,√3𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑏𝑠𝑖𝑛(𝐵+𝐶)=𝑏𝑠𝑖𝑛𝐴为由正弦定理可得：√3𝑠𝑖𝑛𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛𝐵𝑠𝑖𝑛𝐴,√3𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑠𝑖𝑛

𝐵,𝑡𝑎𝑛𝐵=√3,𝐵=𝜋3--------------------------------------6分(2)𝑆=12𝑎𝑐𝑠𝑖𝑛𝐵=2√33,且𝑐=2𝑎,𝑎=2√33,�

�=4√33由余弦定理可得：𝑏2=𝑎2+𝑐2−2𝑎𝑐𝑜𝑠𝐵=4周长=2√3+2--------------------------------------12分18.（本题12分）每年的3月21日是世界睡眠日,保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠,某机构为了调查参

加体育锻炼对睡眠的影响,从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中,各抽取了100人,通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时）,并绘制出如下频率分布直方图.(1)若每周的睡眠时间不少于44小时的列为“睡眠足”,每

周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”,请根据已知条件完成下列22列联表,并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关?睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计(2)现从常参加体育锻炼的样本人群

中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人做进一步访谈,然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷,记抽取的两人中睡眠足的人数为X,求X的分布列及数学期望;参考公式：22()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++,其中nabcd=+++.()20P

Kk0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828【详解】（1）常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.042540.062540.062540.024)10075+++=,则“睡眠不足”的人数为25;不常参加体育锻炼人员“睡眠足

”的人数为：()0.072540.03540.01540.015455+++=,则“睡眠不足”的人数为45;列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200---

-------------------------------------------------------4分零假设0H：睡眠足与常参加体育锻炼无关因为𝐾2=200×(75×45−55×25)2130×100×70×100=80

091≈8.791>6.635--------------------------------------6分所以有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.------------------------

---------------7分（2）由题意知,常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数比为75:25=3:1,用分层抽样法抽取8人,其中睡眠足的有6人,睡眠不足的有2人-------------------

----------------8分从这8人随机抽取2人,则X的所有取值为0,1,2.()026228CC10C28PX===,()116228CC1231=C287PX===,()206228CC152C28PX===;所以分布列为X012P128371528----------

-----------------------------11分（说明：全对给3分,不全对时求出两个概率给2分）数学期望()13153012287282EX=++=----------------

----------------------12分19．（本题12分）如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体PABD和QABC．(1)求证：PQAB⊥；(2)求二面角−−QAPB的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)3333【分析】（1）连接CD与AB相交于点O，过点P、Q分

别作PE⊥平面ABD、QF⊥平面ABC，垂足分别为E、F，证明出四边形ACBD为菱形，可得出CDAB⊥，证明出四边形PQFE为平行四边形，可得出//PQCD，即可证得结论成立；（2）设23AD=，取线段PQ的中点M，连接OM，证明出OM⊥平面ACBD，以点O为坐标原点，OA、OC、OM所

在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角−−QAPB的余弦值.（1）证明：因为ABD△与ABC共面，所以连接CD与AB相交于点O，因为PABD和QABC是相同的正四面体，所以，ABC、ABD△都是等边三角形，则ACBCABADBD====，所以四边形ACBD为菱形，

则O为AB的中点，过点P、Q分别作PE⊥平面ABD、QF⊥平面ABC，垂足分别为E、F，根据正四面体的性质可知E、F分别为ABD△、ABC的中心且E,F在DC上，且//PEQF，设正四面体PABD的棱长为

23，则sin603ODAD==，223DEOD==，PE⊥平面ABD，DE平面ABD，PEDE⊥，2222PEPDDE=−=，同理可得22QF=，所以，PEQF=，故四边形PQFE为平行四边形，故//PQCD，因为四边形ACBD为菱形，则C

DAB⊥，因此，PQAB⊥.（2）解：设23AD=，取线段PQ的中点M，连接OM，易知113OEOFOD===，所以，O为EF的中点，因为四边形PQFE为平行四边形，则//PQEF且PQEF=，因为O、M分别为EF、P

Q的中点，则//OEPM且OEPM=，所以，四边形PEOM为平行四边形，则//OMPE，所以，OM⊥平面ACBD，因为ABCD⊥，以点O为坐标原点，OA、OC、OM所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()3,0,0A、()3,0,0B−、()0,1,22P−、()0,1

,22Q，设平面APQ的法向量为()111,,mxyz=，()0,2,0PQ=，()3,1,22AP=−−，则1111203220mPQymAPxyz===−−+=，取122x=，可得()22,0,3m=，设平面APB的法向量为()222,,nxyz

=，()23,0,0BA=，则22222303220nBAxnAPxyz===−−+=，取222y=，可得()0,22,1n=，333cos,33113mnmnmn===.由图形可知，二面角−−QAPB的平面角为锐角，故二面角−−QAPB的余弦值为3333.20

．（本题12分）已知点P与定点()3,0F的距离和它到定直线433x=的距离比是32.(1)求点P的轨迹方程C；(2)若直线ykxm=+与轨迹C交于,MN两点，O为坐标原点直线,OMON的斜率之积等于14−，试探

求OMN的面积是否为定值，并说明理由.【详解】（1）设P点坐标为()22(3)33,,,22433PFxyxydx−+==−，化解可得：2214xy+=.（2）设()()1122,,,MxyNxy，联立直线和椭圆方程可得：2214ykxmxy=+

+=，消去y可得：()222148440kxkmxm+++−=，所以222222644(14)(44)16440kmkmkm=−+−=−+，即2241km+，则2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++，14OMONkk=−，()()121212

121144kxmkxmyyxxxx++=−=−()2212121214kxxkmxxmxx+++=−，把韦达定理代入可得：22222228(14)144444kmkmkmm−+++=−−−，整理得()22241*mk=+，

满足2241km+，又()()()()()2222212122216416161414kkmMNkxxxxk++−=++−=+，而O点到直线MN的距离21mdk=+，所以()()22222641616112214OMNmkmSdMNk+−=

=+△，把()*代入，则()()222221(41)6416321214821OMNkkkSk++−+−==△，可得OMNS△是定值1.21.（本题12分）已知函数()ecos2xfxaxx=−+−．(1)求曲线()yfx=在

点()()0,0f处的切线方程；(2)若()fx在()0,+上单调递增，求实数a的取值范围；(3)当1a时，判断()fx在()0,+零点的个数，并说明理由．【答案】(1)()1yax=−(2)(,1−(3)

仅有一个零点，理由见解析；【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出()fx在()()0,0f处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）根据导函数与原函数的关系可知，()0fx在()0,+上恒成立，构造函数()()esi

n,0,xgxxx=−+并求出其最小值即可求得实数a的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程ecos2xxax+=+的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数()ecosxhxx=+和2yax=+的图象，利用切线方程位置可求出结果.【详解】（1）由()ecos2xfxax

x=−+−可得()esinxfxax=−−，此时切线斜率为()0esin010faa=−−=−，而()00e0cos020f=−+−=；所以切线方程为()()010yax−=−−，即()1yax=−；即曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为()1yax=−；

（2）根据题意，若()fx在()0,+上单调递增，即可得()esin0xfxax=−−在()0,+上恒成立，即esinxax−恒成立；令()()esin,0,xgxxx=−+，则()()ecos,0,xgxxx=−+；显然ex在()0,x+上满足0

ee1x=，而cos1x恒成立，所以()ecos0xgxx=−在()0,x+上恒成立；即()esinxgxx=−在()0,x+单调递增，所以()()01gxg=；所以1a即可；因此实

数a的取值范围为(,1−.（3）令()ecos20xfxaxx=−+−=，即可得ecos2xxax+=+；构造函数()ecosxhxx=+，()0,x+，易知()esin0xhxx=−在()0,+上恒成立，即()hx在()0,+

上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数2yax=+恒过()0,2，且()00ecos0=2h=+，易知()00esin01h=−=，所以函数()ecosxhxx=+在()0,2处的切线方程为2yx=+；又1a，所以2yax=+（图中虚

线）在()0,+范围内恒在2yx=+（图中实直线）的上方；所以由图易知2yax=+与()ecosxhxx=+在()0,+范围内仅有一个交点，即函数()fx在()0,+内仅有一个零点.22．（本题10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为13xtyt=+=（

t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2262sin=+.(1)求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点()1,0M，若直线l与曲线C交于A，B两

点，求11||||MAMB+的值.【详解】（1）直线l的参数方程为13xtyt=+=（t为参数）消去参数t可得13xy=+，即直线l的普通方程为310yx−+=，由曲线C的极坐标方程为2262sin=+，可

得2222sin6+=，又222cossinxyxy==+=，所以()22226xyy++=，即曲线C的直角坐标方程为22132xy+=；（2）直线l的参数方程为13(xttyt=+=为参数）可化为312(12xuuyu=+=为参数），代

入到即22236xy+=可得2983160uu+−=，()28349160u=+显然成立，设直线与曲线C交点对应的参数分别为1u，2u，则12839uu+=−，12169uu=−，所以21212126464163()42799uuuuuu−

=+−=+=，所以1212121212163||||||11119316||||||||||||9uuuuMAMBuuuuuu+−+=+====．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com