【文档说明】四川省彭州市第一中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学（理科）试题 含解析.docx，共(21)页，1.384 MB，由小赞的店铺上传

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彭州一中高2021级高三上期10月月考数学（理科）试题命题人：张恒审题人：高政一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．1.设集合1{|}2Sxx=−，31{|21}xTx−=，则ST?A.B.1{|}2xx−C.1{|}3xxD.11{|}23xx−

【答案】D【解析】【分析】先解出集合T,然后集合T与集合S取交集即可.【详解】313101|21|22|310|3xxTxxxxxx−−===−=,集合12Sxx=−，则11{|}23STxx=−故选D【点睛】本题考查集合的交

集运算，属于基础题.2.在复平面内，复数z对应的点的坐标为()2,1−−，则iz=（）A.12i−−B.2i−−C.12i−+D.2i−【答案】C【解析】【分析】根据复数对应点坐标得z的值，再利用复数的除法可得结果.【详解】复数z对应的点的坐标为()2,1−−，

则2iz=−−，所以222i2ii12iiiiz−−−−===−+.故选：C.3.走路是最简单优良锻炼方式，它可以增强心肺功能，血管弹性，肌肉力量等，甲、乙两人利用手机记录了去年下半年每个月的走路里程

（单位：公里），现将两人的数据绘制成如图所示的折线图，则下列结论中正确的是（）的A.甲走路里程的极差等于10B.乙走路里程的中位数是26C.甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数D.甲下半年每月走路里程的标准差小于乙下半年每月走路里程的标准差【答案】C【解

析】【分析】根据折线图，得到甲、乙下半年的走路历程数据，根据极差、中位数、平均数以及标准差与数据稳定性之间的关系求解.【详解】对于A选项，712−月甲走路的里程为：31、25、21、24、20、30，甲走路里程的极差为312011−=公里，A错；对于B选项

，712−月乙走路的里程为：29、28、26、28、25、26，由小到大排列分别为：25、26、26、28、28、29，所以，乙走路里程的中位数是2628272+=，B对；对于C选项，甲下半年每月走路里程的平均数3125212420301516

6+++++=，乙下半年每月走路里程的平均数为2928262825261622766+++++==，所以，甲下半年每月走路里程的平均数小于乙下半年每月走路里程的平均数，C对；对于D选项，由图可知，甲下半

年走路里程数据波动性大于乙下半年走路里程数据，所以甲下半年每月走路里程的标准差大于乙下半年每月走路里程的标准差，D错.故选：C.4.已知命题p：“1m=−”，命题q：“直线0xy−=与直线20xmy+=垂直”，则命题p是命题q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.

充要条件D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的条件分析判断即可【详解】若直线0xy−=与直线20xmy+=垂直，则21m=，得1m=，或1m=−，所以命题p是命题q的充分不必要条件，故选：A5.若实数x，y满足约束条件

10240230yxyxy++−−+，则3zyx=−的最大值为（）A.－12B.2C.5D.8【答案】C【解析】【分析】作出可行域，根据目标函数的几何意义，平移目标函数即可求解.【详解】画出可行域如图所示，由230240xyxy−+=+−=解得12xy==

，设A(1,2)，则目标函数3zyx=−，经过点A(1,2)时在y轴上的截距最大，所以在点A(1,2)处z取得最大值最大值为3215z=−=.故选：C.6.下列命题正确的是（）A.命题“pq”为假命题，则命题p与命题q都是假命题B.命题“若xy=，则sinsinxy=”的逆否命题为真命

题C.若0x使得函数()fx的导函数()00fx=，则0x为函数()fx的极值点；D.命题“0xR，使得20010xx++”否定是：“xR，均有210xx++”【答案】B【解析】【分析】根据复合命题的真假判断A，根

据四种命题的关系判断B，根据极值的定义判断C，根据命题的否定判断D．【详解】对于A：命题“pq”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；对于B：命题“若xy=，则sinsinxy=”显然为真

命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B正确；对于C：若0x使得函数()fx的导函数()00fx=，如果两侧的导函数的符号相反，则0x为函数()fx的极值点；否则，0x不是函数()fx的极值点，故C错误；对于D：

命题“存在0Rx，使得20010xx++”的否定是：“对任意Rx，均有210xx++”．故D错误.故选：B．7.已知(1)nx+的展开式的各项系数和为32，则展开式中4x的系数为A.20B.15C.10D

.5【答案】D【解析】【分析】由题意知()1nx+的展开式的各项系数和为32，求得5n=，再根据二项展开式的通项，即可求解．【详解】由题意知()1nx+的展开式的各项系数和为32，即()21132nn=+=，解得5n=，则二项式()51x+的展开式中4x的项为144

55Cxx=，所以4x的系数为5，故选D．【点睛】本题主要考查了二项式定理的系数和，及展开式的项的系数的求解，其中解答中熟记二项式的系数和的解法，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属

于基础题．8.六名同学暑期相约去都江堰采风观景，结束后六名同学排成一排照相留念，若甲与乙相邻，丙与丁不相邻，则不同的排法共有（）A.48种B.72种C.120种D.144种【答案】D【解析】【分析】甲和乙相邻利用捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两

人共“3人”的排列，再插空排丙和丁.【详解】甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有232234AAA144=种排法.故选：D.9.已知三棱锥−PABC的所有顶

点都在球O的球面上，0,,60,2,2,3PAABPAACBACPAABAC⊥⊥====，则球O的表面积为A.403B.303C.203D.103【答案】A【解析】【详解】设ABC外接圆半径为r，三

棱锥外接球半径为R，，2360ABACBAC===，，，，2222212?·cos602322372BCABACABAC=+−=+−=，7BC=，2sin60BCr==7221332=，213r=，由题意知，PA⊥平面ABC，则将三棱锥补成三棱柱可得，222211012

93PARr=+=+=，210404π4ππ33SR===，故选A．点睛:空间几何体与球接、切问题的求解方法(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转

化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．(2)若球面上四点,,,PABC构成的三条线段,,PAPBPC两两互相垂直，且,,PAaPBbPCc===，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用22224Rabc=++求解．10.已知函数25,(1)

(),(1)xaxxfxaxx−+=满足对任意实数12xx，都有2121()()0fxfxxx−−成立，则a的取值范围是（）A.03aB.2aC.0aD.23a【答案】D【解析】【分析

】易知函数()fx在R上递减，由1206aaaa−+求解.【详解】因为函数()fx满足对任意实数12xx，都有2121()()0fxfxxx−−成立，所以函数()fx在R上递减，所以1206a

aaa−+，解得：23a故选：D.11.设38a=，0.5log0.2b=，4log24c=，则（）A.acbB.abcC.bacD.<<bca【答案】A【解析】【分析】利用指对互算、对数的运算性质和对数函数的单调性即可比较大小.【详解】33l

og8log92a==，20.52442log5log0.2log5log25log24log2bc=====，而44log24log162=，则acb，故选：A.12.已知函数2()2lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，且不等式()()1

2124fxfxxxt+++−恒成立，则实数t的取值范围是（）A.)5,−+B.)1,−+C.)2ln2,−+D.)22ln2,−+【答案】B【解析】【分析】把函数()22lnfxaxxx=−+有两个

不同的极值点12,xx转化为根的分布求出a的范围，利用分离参数法得到()()()12124fxfxxxt+−++.把()()()12124fxfxxx+−++转化为()()()1212243ln2fxfxxxaa+−++=−+−，令()213ln202haaaa=−+−，

利用导数求出()ha的值域，即可得到答案.【详解】由2()2lnfxaxxx=−+得()()22210−+=axxfxxx，因为函数()22lnfxaxxx=−+有两个不同的极值点12,xx，所以方程2221

0axx−+=有两个不相等的正实数根，于是有1212Δ48010102axxaxxa=−+==，解得102a.因为不等式()()12124fxfxxxt+++−恒成立，所以()()()12124fxfxxxt+−++恒成立.()()221212111

2221242ln2ln4fxfxxxaxxxaxxxxx+−−+=−++−+−−+()()()21212121223ln4axxxxxxxx=+−−+++23ln2aa=−+−，设()213ln202haaaa=−+−

，则()220−=ahaa，故()ha在102a上单调递增，所以()112hah=−，由题意23ln2taa−+−恒成立，所以1t−.因此实数t的取值范围是)1,−+.故选

：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．13.若直线220(,0)axbyab+−=始终平分圆224280+−−−=xyxy的周长，则12ab+的最小值为．【答案】【解析】【详解】由题意()1,0abab+=，所以()1212

22332322babaababababab+=++=+++=+，当且仅当21,22ab=−=−时等号成立.14.命题p：“1,2x，20xa−”，命题q：“xR，2320xxa++−=”，若pq是真命题，则实数

a的取值范围是_______．【答案】114,−【解析】【分析】由pq是真命题分析出p和q的真假，求解即可.【详解】若p是真命题，则2ax对于1,2x恒成立，所以()2min1ax=，若q是

真命题，则关于x的方程2320xxa++−=有实数根，所以()942140aa−−=+=，即14a−，若pq是真命题，即p和q同时为真命题，则114aa−，所以11,4a−．故答案为：114,−15.已

知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=右焦点为F．圆222:Oxya+=与双曲线C的渐近线在第一象限交于点P，直线FP与双曲线C交于点Q，且PQFP=，则双曲线C的离心率为______．【答案】5【解析】的【分析

】根据双曲线的定义及余弦定理可求解.【详解】如下图所示，设双曲线的右焦点为1F，设直线OP的倾斜角为，则tancosbaac==，由题意可知||OPa=，则1||2QFa=，则双曲线的定义有1||||2QFQFa−=

，从而||2PFa=，所以在POF中，由余弦定理有222224cos552acaaaceacc+−====.故答案为：516.已知定义在R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx+=−，且[0,2]x时，2()log

(1)=+fxx，给出下列结论：①(3)1f=；②函数()fx在6,2−−上是增函数；③函数()fx的图像关于直线2x=对称；④若(0,1)m，则关于x的方程()0fxm−=在[8,16]−上的所有根之和为12.则其中正确命题的序号为______

______.【答案】①③④【解析】【分析】由题可判断函数最小正周期为8，再结合赋值法即可逐项判断求解【详解】由(4)()fxfx+=−，将x代换为4x+，代换可得()(8)(4)fxfxfx+=−+=，8T=，由

函数为奇函数，故()(4)()fxfxfx+=−=−，令3x=−，则()()31ff=，又[0,2]x时，2()log(1)=+fxx，所以2(1)log(11)1f=+=，所以(3)1f=，①对；当[0,2]x时，2()log(1)=+fxx，为增函数，函数为奇函数，所以2,2

x−时，()fx单增，(4)()(4)()(2)(2)fxfxfxfxfxfx+=−−=−−=−−，则函数()fx关于2x=−对称，函数()fx在6,2−−上是减函数，②错；同理()(4)()fxfxfx+=−=−，令2xx=−，得()()

22fxfx+−，图像关于2x=对称，③对；如图，画出函数大致图像，()0fxm−=的最左侧两根和为-12，区间()0,4的两根之和为4，区间()8,12两根之和为20，所以所有根之和为12，④对故正确选项为：①③④故答案为：①③④【点睛】本题考查函数

的基本性质应用，单调性、奇偶性，增减性等基本性质，属于中档题三、解答题：共70分17.在ABC中，cos(3sin)sincosBabCbBC−=（1）求B；（2）若2,caABC=的面积为233，求ABC的周长．【答案】（1）π3（

2）232+【解析】【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合sin0A,可得tanB的值,即得B的值;(2)由题意利用三角形面积公式可求a的值,进而可求c的值,由余弦定理可求b的值,即可求解ABC的周长的值.【小问1详解

】由cos(3sin)sincosBabCbBC−=及正弦定理得23cossinsinsincossincosBABCBBC−=，即得()23cossinsincossinsincossinsincoscossinBABCBCBBBCBC=+=+，又因

为ABC中,()sinsinBCA+=，所以3cossinsinsinBABA=,又因为sin0A,所以sin3cosBB=即tan3B=．又()0,πB，故π3B=．【小问2详解】,由题意，123sin23acB=，故232323a=，即233a=，故4323ca==，由余弦定理22223

4323431233332b=+−，解得2b=.故三角形ABC的周长为2343223233++=+18.每年的3月21日是世界睡眠日，保持身体健康的重要标志之一就是有良好的睡眠，某机构为了调查参加体育

锻炼对睡眠的影响，从辖区内同一年龄层次的常参加体育锻炼和不常参加体育锻炼的人中，各抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周内的睡眠时间（单位：小时），并绘制出如下频率分布直方图.（1）若每周的睡眠时间不少

于44小时的列为“睡眠足”，每周的睡眠时间在44小时以下的列为“睡眠不足”，请根据已知条件完成下列22列联表，并判断是否有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关?睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员不常参加体育锻炼人员总计参考公式：22()()()()()nadbcKabc

dacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.100.050.0100.0010k2.7063.8416.63510.828（2）现从常参加体育锻炼的样本人群中按睡眠是否充足来采用分层抽样法抽取8人

做进一步访谈，然后从这8人中随机抽取2人填写调查问卷，记抽取的两人中睡眠足的人数为X，求X的分布列及数学期望;【答案】（1）表格见解析，有关（2）分布列见解析，32【解析】【分析】（1）根据频率直方图计算得到列联表中数

据，再根据2K公式计算，和表格中临界值比较分析得到结论.（2）根据分层抽样按比例抽取可得睡眠足和不足分别抽取6，2人，则X的可能取值为0,1,2，根据超几何分布的概率公式计算概率，列出分布列，计算数学

期望即可.【小问1详解】常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：(0.042540.062540.062540.024)10075+++=，则常参加体育锻炼人员“睡眠不足”的人数为25；不常参加体育锻炼人员“睡眠足”的人数为：()0.072540.03540.0154

0.015410055+++=，则“睡眠不足”的人数为45；列联表如下：睡眠足睡眠不足总计常参加体育锻炼人员7525100不常参加体育锻炼人员5545100总计13070200零假设0H：睡眠足与常参加体育锻炼无关，因为()22200754555258008

.7916.6351301007010091K−==，所以有99%的把握认为“睡眠足”与“常参加体育锻炼”有关.【小问2详解】由题意知，常参加体育锻炼的样本人群中睡眠足和睡眠不足的人数

比为75:253:1=，用分层抽样法抽取8人，其中睡眠足的有6人，睡眠不足的有2人，从这8人随机抽取2人，则X的所有取值为0，1，2，()026228CC10C28PX===，()116228CC1231=C287PX===，()2062

28CC152C28PX===；所以分布列为：X012P128371528数学期望()13153012287282EX=++=.19.如图，水平面上摆放了两个相同的正四面体PABD和QABC．（1）求证：PQAB⊥；（2）求二

面角−−QAPB的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3333【解析】【分析】（1）连接CD与AB相交于点O，过点P、Q分别作PE⊥平面ABD、QF⊥平面ABC，垂足分别为E、F，证明出四边形ACBD为菱形，可得出CDAB⊥，证明出四边形PQFE

为平行四边形，可得出//PQCD，即可证得结论成立；（2）设23AD=，取线段PQ的中点M，连接OM，证明出OM⊥平面ACBD，以点O为坐标原点，OA、OC、OM所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利

用空间向量法可求得二面角−−QAPB的余弦值.【小问1详解】证明：因为ABD△与ABC共面，所以连接CD与AB相交于点O，因为PABD和QABC是相同的正四面体，所以，ABC、ABD△都是等边三角形，则ACBCABA

DBD====，所以四边形ACBD为菱形，则O为AB的中点，过点P、Q分别作PE⊥平面ABD、QF⊥平面ABC，垂足分别为E、F，根据正四面体的性质可知E、F分别为ABD△、ABC的中心且E,F在DC上，且//PEQF，设正四面体PABD

的棱长为23，则sin603ODAD==，223DEOD==，PE⊥平面ABD，DE平面ABD，PEDE⊥，2222PEPDDE=−=，同理可得22QF=，所以，PEQF=，故四边形PQFE为平行

四边形，故//PQCD，因为四边形ACBD为菱形，则CDAB⊥，因此，PQAB⊥.【小问2详解】解：设23AD=，取线段PQ的中点M，连接OM，易知113OEOFOD===，所以，O为EF的中点，因为四边形PQFE为平行四边形，则//PQEF且PQEF=，因为O、M分别为EF、PQ的中点

，则//OEPM且OEPM=，所以，四边形PEOM为平行四边形，则//OMPE，所以，OM⊥平面ACBD，因为ABCD⊥，以点O为坐标原点，OA、OC、OM所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则()3,0,0A、()3,0,0B−、()0,1,22P−、()0,1,22Q，设平面APQ的法向量为()111,,mxyz=，()0,2,0PQ=，()3,1,22AP=−−，则1111203220mPQymAPxyz===−−+=，取122x=，可得()

22,0,3m=，设平面APB的法向量为()222,,nxyz=，()23,0,0BA=，则22222303220nBAxnAPxyz===−−+=，取222y=，可得()0,22,1n=，333cos,33113mnmnmn=

==由图形可知，二面角−−QAPB的平面角为锐角，故二面角−−QAPB的余弦值为3333.20.已知点P与定点()3,0F的距离和它到定直线433x=的距离比是32.（1）求点P的轨迹方程C；（2）若直线ykxm=+与轨迹C交于,MN两点，O为坐标原点直线

,OMON的斜率之积等于14−，试探求OMN的面积是否为定值，并说明理由.【答案】（1）2214xy+=（2）是定值，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意可得32PFd=，即可求解；.（2）利用韦达定理结合14OMONkk=−，可得22241mk=+，再利用弦长公式和点到直线的距

离公式表示出三角形的面积，进而可求解.【小问1详解】设P点坐标为()22(3)33,,,22433PFxyxydx−+==−，化解可得：2214xy+=.【小问2详解】设()()1122,,,MxyNxy，联立直线和椭圆方程可得：221

4ykxmxy=++=，消去y可得：()222148440kxkmxm+++−=，所以222222644(14)(44)16440kmkmkm=−+−=−+，即2241km+，则2121222844

,1414kmmxxxxkk−−+==++，14OMONkk=−，()()121212121144kxmkxmyyxxxx++=−=−()2212121214kxxkmxxmxx+++=−，把韦达定理

代入可得：22222228(14)144444kmkmkmm−+++=−−−，整理得()22241*mk=+，满足2241km+，又()()()()()2222212122216416161414kkmMNkxxxxk++−=++−=+

，而O点到直线MN的距离21mdk=+，所以()()22222641616112214OMNmkmSdMNk+−==+△，把()*代入，则()()222221(41)6416321214821OMNkkkSk++−+−==△，可得OMNS△是定值1

.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1

2xx+、12xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.已知函数()ecos2xfxaxx=−+−．（1）求曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（2）若()fx在()0,+上单调递增，求实数a的取值范围；（3）当1a时

，判断()fx在()0,+零点的个数，并说明理由．【答案】（1）()1yax=−（2）(,1−（3）仅有一个零点，理由见解析；【解析】【分析】（1）利用导函数的几何意义，求出()fx在()()0,0f处的导数值，再由直线的点斜式方程即可求得切线方程；（2）根据导函数与原函数

的关系可知，()0fx在()0,+上恒成立，构造函数()()esin,0,xgxxx=−+并求出其最小值即可求得实数a的取值范围；（3）利用函数与方程的思想，求出方程ecos2xxax+=+的根的个数即可，在同一坐标系下画出函数

()ecosxhxx=+和2yax=+的图象，利用切线方程位置可求出结果.【小问1详解】由()ecos2xfxaxx=−+−可得()esinxfxax=−−，此时切线斜率为()0esin010faa=−−=−，而()00e0

cos020f=−+−=；所以切线方程为()()010yax−=−−，即()1yax=−；即曲线()yfx=在点()()0,0f处的切线方程为()1yax=−；【小问2详解】根据题意，若()fx在()0,+上单调递增，即可得(

)esin0xfxax=−−在()0,+上恒成立，即esinxax−恒成立；令()()esin,0,xgxxx=−+，则()()ecos,0,xgxxx=−+；显然ex在()0,x+上满足0

ee1x=，而cos1x恒成立，所以()ecos0xgxx=−在()0,x+上恒成立；即()esinxgxx=−在()0,x+单调递增，所以()()01gxg=；所以1a即可；因此实数a的取值范围为(,

1−.【小问3详解】令()ecos20xfxaxx=−+−=，即可得ecos2xxax+=+；构造函数()ecosxhxx=+，()0,x+，易知()esin0xhxx=−在()0,+上恒成立，即(

)hx在()0,+上单调递增，如下图中实曲线所示：又函数2yax=+恒过()0,2，且()00ecos0=2h=+，易知()00esin01h=−=，所以函数()ecosxhxx=+在()0,2处的切线方程为2yx=+；又1a，所以2yax

=+（图中虚线）在()0,+范围内恒在2yx=+（图中实直线）的上方；所以由图易知2yax=+与()ecosxhxx=+在()0,+范围内仅有一个交点，即函数()fx在()0,+内仅有一个零点.22.在平面直角坐标系x

Oy中，直线l的参数方程为13xtyt=+=（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2262sin=+.（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；（2）已知点()1,0M，若直线l与曲线C交于A，

B两点，求11||||MAMB+的值.【答案】（1）直线l的普通方程为310yx−+=，曲线C的直角坐标方程为22132xy+=；（2）3【解析】【分析】（1）由已知结合参数方程与普通方程的互化，极坐标

与直角坐标方程的互化即可求解；（2）首先得到直线参数方程的标准形式，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，然后结合直线的参数方程中参数的几何意义可求．【小问1详解】直线l的参数方程为13xtyt=+=（t为参数）消去参数t可得13xy=+，即直线l的普通方程为3

10yx−+=，由曲线C的极坐标方程为2262sin=+，可得2222sin6+=，又222cossinxyxy==+=，所以()22226xyy++=，即曲线C的直角坐标方程为22132xy+=；【小问2详解】直线l的参数方程为13(xt

tyt=+=为参数）可化为312(12xuuyu=+=为参数），代入到即22236xy+=可得2983160uu+−=，()28349160u=+显然成立，设直线与曲线C交点对应的参数分别为1u，2u，则12839uu+=−，121

69uu=−，所以21212126464163()42799uuuuuu−=+−=+=，所以1212121212163||||||11119316||||||||||||9uuuuMAMBuuuuuu+−+=

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