【文档说明】山东省泰安市2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx，共(11)页，528.999 KB，由小赞的店铺上传

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高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若直线11:ylkx=+与直线23:lyx=平行，则实数k的值为（）A．13−B．13C．33D．32．已知等差数列na的首项13a=，公差2d=，则5a=（）A．7

B．9C．11D．133．已知椭圆2212516xy+=上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2B．3C．5D．74．已知空间向量()2,1,2a=−，()4,2,bt=−，ab⊥，则实数

t的值为（）A．－5B．－4C．4D．55．已知圆的方程为2260xyx+−=，过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）A．1B．2C．3D．46．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前

一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A．431B．531C．631D．10317．设A，B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB=，若直线PA的方程为10xy−+=

，则直线PB的方程为（）A．50xy+−=B．210xy−−=C．270xy+−=D．30xy+−=8．已知从点P出发的三条射线PA，PB，PC，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值为（）A．12B．22C．33D．63二、选

择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列说法正确的是（）A．直线()24yaxaaR=−+必过定点()2,4B．直线310xy−−=在y轴上的截距为1C．过点()2,3

−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为210xy++=D．直线310xy++=的倾斜角为120°10．已知椭圆22:142xyC+=内一点11,2M，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F，2F，则下

列结论正确的是（）A．椭圆C的焦点坐标为()2,0，()2,0−B．椭圆C的长轴长为4C．直线1MF与直线2MF的斜率之积为14−D．2153AB=11．已知数列na的前n项和()2*12343nSnnnN=++，则下列结论正确的是（）A．数列na是递增数

列B．数列na不是等差数列C．2a，4a，6a成等差数列D．63SS−，96SS−，129SS−成等差数列12．如图，在平行六面体ABCDABCD−中，各棱长均为2，设AABAADDAB===，则下列

结论正确的是（）A．当π2=时，23AC=B．AC和BD总垂直C．当π3=时，三棱锥CCBD−的外接球的体积是46πD．的取值范围为2π0,3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．准线方程为2x=的抛物线的标准方程是______

．14．已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43yx=，请写出双曲线C的一个离心率：______．15．如图甲是第七届国际数学教育大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781

OAAAAAAA=====．如果把图乙中的直角三角形依此规律继续作下去，记1OA，2OA，…，nOA的长度构成数列na，则na=______．16．已知过点()4,1P的直线与椭圆22:142xyC+=相交于不同的两点A和B，

在线段AB上存在点Q，满足APQBAQPB=，则OQ的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）如图，直线2yx=−与抛物线22yx=相交于A，B两点．（1）求线段AB

的长；（2）证明：OAOB⊥．18．（12分）如图，在三棱锥OABC−中，OA，OB，OC两两垂直，3OAOC==，2OB=．（1）求点B到直线AC的距离；（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．19．（12分）已知数列na的首项11a=，且132nnnaa++=．（1）证明：

2nna−是等比数列；（2）求数列na的前n项和nS．20．（12分）已知两个定点()1,0M−，()1,0N，动点P满足2MPPN=．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．21．（12分）歇山顶，

即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EFABCD−的底面ABCD为一个矩形，28ABEF==，6AD=，EFAB∥，棱5EAEDFBFC===

=，M，N分别是AD，BC的中点．（1）求证：平面EFNM⊥平面ABCD；（2）求平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值．22．（12分）已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左，右顶点分别为A，B，过点()6,0

D且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，4PDBD==．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设直线AP，AQ和直线xt=分别交于点M，N，若MDND⊥恒成立，求t的值．高二年级考试数学试题参考

答案及评分标准一、单项选择题：题号12345678答案DCBDBBAC二、多项选择题：题号9101112答案ACBCDBCDABD三、填空题：13．28yx=−14．54或5315．()*nnN16．25

5评分意见：第14题只要写出一个正确的就得满分，两个都写出的不给分；第15题不加*nN的，不扣分．四、解答题：17．（10分）解：（1）设()11,Axy，()22,Bxy，由222yxyx=−=，得2640xx−+=．126x

x+=，124xx=，所以()22121214210ABkxxxx=++−=．（2）由（1）知：126xx+=，124xx=，所以()121212122240OAOBxxyyxxxx=+=−++=，所以OAOB⊥，所以OAOB⊥．18．（12分）解：以O为坐标原点，OB，OC，

OA方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A，()2,0,0B，()0,3,0C，所以()2,0,3AB=−，()0,3,3AC=−，()2,0,0OB=．（1）取()2,0,3aAB==−，220

,,22ACuAC==−，则213a=，322au=，所以，点B到直线AC的距离为()229341322aau−=−=．（2）设(),,nxyz=是平面ABC的一个法向量，则00ABnACn==，所以230330xzyz−=−=．取2z=，解得32x

y==，所以()3,2,2n=．设直线OB与平面ABC所成角为，则6317sincos,17217OBnOBnOBn====，所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为31717．19．（12分）解：（1）因为132nnnaa++=，所有()1122

nnnnaa++−=−−．因为11a=，所以121a−=−．所以()11220nnnnaa++−=−−，所以11212nnnnaa++−=−−，所以数列2nna−是首项为－1，公比为－1的等比数列．（2）法1：由（1）知()()12111nnnna−−=−−=−，所以()12n

nna=−+，所以()()()12222111nnnS=++++−+++−．当n为偶数时，可得()121202212nnnS+−=+=−−；当n为奇数时，可得()121212312nnn

S+−=−=−−；综上可得，1122,23,nnnnSn++−=−为偶数为奇数．法2：设数列2nna−的前n项和为nT，则()()()1111122nnnT−−−−−==．所以()()()23111115

2222222222nnnnnnnST++−−−=+++++=+−=+−．20．（12分）解：（1）设点P的坐标为(),xy，因为2MPPN=所以，()()2222121xyxy++=−+．整理得22610xyx+−+=，所以点P的轨迹方程为22610xyx+−+=．

（2）因为点N到直线PM的距离为1，2MN=，所以30PMN=，直线PM的斜率为33，所以直线PM的方程为()313yx=+．由()22610,313xyxyx+−+==+，整理得2410xx−+=．解得23x=+或23x=−．分别代入直线PM的方程

，解得点P的坐标为()23,13++或()23,13−−+，()23,13+−−或()23,13−−．所以直线PN的方程为1yx=−或1yx=−+．21．（12分）解：（1）证明：因为EAED=，M为AD的中点，所以EMAD⊥．在矩形ABCD中，M，N分

别是AD，BC的中点，所以MNAD⊥．又EMMNM=，EM，MN平面EFNM，所以AD⊥平面EFNM．又AD平面ABCD，所以平面EFNM⊥平面ABCD．（2）在平面EFNM中，过F作FHMN⊥，H为垂足．因为平

面EFNM⊥平面ABCD，平面EFNM平面ABCDMN=，FH平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD．过H作BC的平行线，交AB于点S，则3HS=，2HN=，23HF=，以H为坐标原点，以HS，HN

，HF方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B，()3,2,0C−，()3,6,0D−−，()0,0,23F，所以()3,2,23BF=−−，()6,0,0B

C=−，()3,2,23CF=−，()0,8,0CD=−．设平面EFCD的一个法向量为(),,mxyz=，则00CFmCDm==，所以3223080xyzy−+=−=，取3z=，解得20xy==，所

以()2,0,3m=−，同理可得平面BFC的一个法向量为()0,3,1n=．设平面BFC与平面EFCD夹角为．则21coscos,14mnmnmn===，所以平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值为2114．22．（12分）解

：（1）由题知，当PQ与x轴垂直时，4PDBD==，所以642aODBD=−=−=，()6,4P，所以2236414b−=，解得22b=，所以双曲线C的方程为22142xy−=．（2）设直线PQ的方程为6xmy=+，()11,Pxy

，()22,Qxy，由226142xmyxy=+−=，得()22212320mmyy−++=，所以122122myym+=−−，122322yym=−．直线AP的方程为()1122xyyx+

=+，与xt=联立，解得()112,2tyMtx++．同理可得()222,2tyNtx++．所以()1126,2tyDMtx+=−+，()2226,2tyDNtx+=−+，因为MDND⊥恒成立，所以0DMDN=恒

成立，又()()()()2212126222yyDMDNttxx=−++++()()()()2212126288yyttmymy=−++++()()()21222112262864myymyyyytt++=++−+()()221624tt=−−+所以()()22462tt−=+，解

得14t=或103t=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com