【文档说明】山东省泰安市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.990 MB，由小赞的店铺上传

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高二年级考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线1:1lykx=+与直线2:3lyx=平行，则实数k的值为（）A.13−B.13C.33D.

3【答案】D【解析】【分析】利用两直线平行斜率相等，求出实数k的值.【详解】因为直线1:1lykx=+与直线2:3lyx=平行，所以两直线斜率相等，即3k=.故选：D.2.已知等差数列na的首项13a=，公差2d=，则5a=（）A.7B.9C.11D.13【答案】C【解

析】【分析】根据等差数列的通项公式可算出答案.【详解】因为等差数列na的首项13a=，公差2d=，所以5143811aad=+=+=故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式，较简单.3.已知椭圆2212516xy+=上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为

（）A.2B.3C.5D.7【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的定义列方程，求得P到另一个焦点的距离.【详解】根据椭圆定义可知，P到两个焦点的距离之和为22510a=?，所以P到另一个焦点的距离为1073−=.故选

：B.【点睛】本小题主要考查椭圆的定义，属于基础题.4.已知空间向量()2,1,2a=−，()4,2,bx=−满足ab⊥，则实数x的值是（）A.5−B.4−C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由已知条件得出0ab=，结合

空间向量数量积的坐标运算可求得实数x的值.【详解】由已知条件得出()241222100abxx=−−+=−=，解得5x=.故选：D.5.已知圆2260xyx+−=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【

分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260xyx+−=化为22(3)9xy−+=，所以圆心C坐标为(3,0)C，半径为3，设(1,2)P，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的

直线的距离最大，所求的弦长最短，此时22||(31)(2)22CP=−+−=根据弦长公式得最小值为229||2982CP−=−=.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6.我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺…”其大意

为：“有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，5天共织了5尺布…”．那么该女子第一天织布的尺数为（）A.431B.531C.631D.1031【答案】B【解析】【分析】设第一天织布尺数为x，则由题意有()234122225x++++=，据此可得答案.

【详解】设第一天织布的尺数为x，则()234122225x++++=52153152131xxx−===−.故选：B7.设A、B是y轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB=，若直线PA的方程为10xy−+=，则直线PB的方程为（）A.

50xy+−=B.210xy−−=C.270xy+−=D.30xy+−=【答案】A【解析】【分析】根据直线PA的方程，确定出PA的倾斜角，利用PAPB=且A、B在y轴上，可得PB的倾斜角，求出P的坐标，然后求出直线PB的方程．【详解】解：由于直线PA的方程为10xy−+=，故其倾

斜角为45，又||||PAPB=，且A、B是y轴上两点，故直线PB的倾斜角为135，又当2x=时，3y=，即(2,3)P，直线PB的方程为3(2)yx−=−−，即50xy+−=．故选：A．8.,,PA

PBPC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是（）A.63B.33C.22D.12【答案】B【解析】【分析】作图，找到直线PC在平面PAB上的投影在构建多个直角三角形，找出边与角之间的关系，继而得到线面角；也可将,,PAPBPC三条射线截取

出来放在正方体中进行分析.【详解】解法一：的如图，设直线PC在平面PAB的射影为PD，作CGPD⊥于点G，CHPA⊥于点H，连接HG，易得CGPA⊥，又,,CHCGCCHCG=平面CHG，则PA⊥平面

CHG，又HG平面CHG，则PAHG⊥，有coscoscosPHCPAPCPGPHPHCPDAPDPCPGPC===故coscoscosCPACPDAPD=．已知60,30APCAPD==，故coscos603coscoscos303CPACPDAP

D===为所求．解法二：如图所示，把,,PAPBPC放在正方体中，,,PAPBPC的夹角均为60．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则(1,0,0),(0,0,1),(1,1,1),(0,1,0)PCAB，所以(1,0,1)

,(0,1,1),(1,1,0)PCPAPB=−==−，设平面PAB的法向量(,,)nxyz=，则00nPAyznPBxy=+==−+=令1x=，则1,1yz==-，所以(1,1,1)n=−，所以26cos,3||||23PCnPCnPCn−−

===．设直线PC与平面PAB所成角为，所以6sin|cos,|3PCn==，所以23cos1sin3=−=．故选B．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.直线()24Ryaxaa=−+必过定点()2,4B.直线310xy−−=在y轴上的截距为1C.过点()2,3−且垂直于直线230xy−+=的直线方程为210xy++=D

.直线310xy++=的倾斜角为120°【答案】AC【解析】【分析】对于A，整理直线方程，合并出参数的系数，令其等于零，建立方程，可得答案；对于B，将0x=代入直线方程，结合截距的定义，可得答案；对于C，根据直线之间的垂直关系，设未知直线方程，代入点，可得答案；对于D，根据

直线的一般式方程，明确直线的斜率，可得答案.【详解】对于A，由直线方程24yaxa=−+，整理可得()24yax=−+，当2x=时，4y=，故A正确；对于B，将0x=代入直线方程310xy−−=，可得10y−−=，解得1y=−，故B错误；

对于C，由直线方程230xy−+=，则其垂线的方程可设为20xyC++=，将点()2,3−代入上式，可得()2230C−++=，解得1=C，则方程为210xy++=，故C正确；对于D，由直线方程310xy++=，可得其斜率为33−，设

其倾斜角为，则3tan3=−，解得150=，故D错误.故选：AC.10.已知椭圆22:142xyC+=内一点11,2M，过点M的直线l与椭圆C交于A，B两点，且M是线段AB的中点，椭圆的左，右焦点分别为1F，2

F，则下列结论正确的是（）A.椭圆C的焦点坐标为()2,0，()2,0−B.椭圆C的长轴长为4C.直线1MF与直线2MF的斜率之积为14−D.2153AB=【答案】BCD【解析】【分析】根据椭圆的几何性

质、点差法、以及弦长公式求得正确答案.【详解】依题意，椭圆22:142xyC+=，所以2,2abc===，所以焦点坐标为()()122,0,2,0FF−，A选项错误.长轴长24a=，B选项正确.121112241212MFMFkk==−−+，C选项正确.设()()1122,

,,AxyBxy，则222211221,14242xyxy+=+=，两式相减并化简得12121212121212121212,,1412yyyyyyyyxxxxxxxx+−−−−==−=−+−−−，即直线AB的斜率为1−，直线AB的方程为()131,22

yxyx−=−−=−+，由2232142yxxy=−++=消去y并化简得261210xx−+=，所以121212,6xxxx+==，所以()221215112463AB=+−−=.故选：BCD11.已知数列na的前n项和()2*123N43nSnnn=++，则

下列结论正确的是（）A.数列na是递增数列B.数列na不是等差数列C.2a，4a，6a成等差数列D.63SS−，96SS−，129SS−成等差数列【答案】BCD【解析】【分析】由na与nS的关系推导出数列na的

通项公式，判断选项A，B，分别计算出2a，4a，6a和63SS−，96SS−，129SS−，结合等差数列的定义判断选项C，D.【详解】()2*12S3N43nnnn=++，2n时，()()221121215

31134343212nnnaSSnnnnn−=−=++−−+−+=+，1n=时，114712aS==，即47,11215,2212nnann==+，*Nn.2117471212aa==，因此数列

na不是单调递增数列，故A错误；又1n=时，不满足15212nan=+，数列na不是等差数列，故B正确；21712a=，42912a=，64112a=，因此2a，4a，6a成等差数列，故C正确；()63456153545632124SSaaa−=++=+++=，(

)96789155378932124SSaaa−=++=+++=，()129101112157110111232124SSaaa−=++=+++=．6396129,,SSSSSS−−−成等差数列，故D正确.故选：BCD.12.平行六面体ABCD

ABCD−中，各棱长均为2，设AABAADDAB===，则下列结论中正确的有（）A.当2=时，23AC=B.AC和BD总垂直C.θ的取值范围为2(0,)3D.θ=60°时，三棱锥CCBD−的外接球的体积是46【答案】ABC【解析】【分析】对于

A，求正方体对角线即可判断；对于B，利用空间向量数量积运算即可判断；对于C，由正三棱锥AABD−高与斜高的关系即可计算判断；对于D，求出正四面体CCBD−外接球体积判断作答.【详解】平行六面体ABCDABCD−中，各棱长均为2，设AABAADDAB===，对于A，

2=时，该平行六面体为正方体，其体对角线长23AC=，A正确；对于B，ACABAAAD=++，BDADAB=−，因此，22()()ACBDABAAADADABADABAAADAAAB++−−=−

=+22224cos4cos0=−+=−，B正确；对于C，连接,,BDABAD，如图，依题意，AABD−为正三棱锥，取BD中点E，令O为正ABD的中心，连,,AEAOEO，有AO⊥平面ABD，的正三棱锥AABD−的斜高cos2cos22AEA

B==，2sin4sin22BDAB==，则323sin632OEBD==，显然，AEOE，即232cossin232，则tan32，锐角(0,)23，从而得2(0,)3，

C正确；对于D，当60=时，三棱锥CCBD−为正四面体，三棱锥AABD−也是正四面体，它们全等，由C选项知，2222322(3)()33AOAEOE=−=−=，正四面体AABD−的外接球球心在线段AO上，设球半径为r，

则有222()rAOrOB=−+，整理得222(2)AOrAOOE=+，解得62r=，于是得三棱锥CCBD−外接球的体积346()632V==，D不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：几何体的外接球的表

面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.准线方程为2x=的抛物线的标准方程是_______．【答案】28yx=−【解析】【详解】抛物线的准

线方程为2x=，说明抛物线开口向左，且224p==，所以抛物线的标准方程是28yx=−．14.已知双曲线C的对称轴为坐标轴，中心是坐标原点，渐近线方程为43yx=，请写出双曲线C的一个离心率______．【答案】53（答案不唯一）【解析

】【分析】分类讨论双曲线C的焦点在x轴、y轴两种情况，结合双曲线的渐近线方程及离心率公式计算可得.【详解】当双曲线C的焦点在x轴时，其渐近线为byxa=，则43ba=，所以离心率222451133cbeaa==+=+=，当双曲

线C的焦点在y轴时，其渐近线为ayxb=，则43ab=，即34ba=，所以离心率222351144cbeaa==+=+=，综上，可得双曲线的离心率为53或54.故答案为：53（答案不唯一）.15.如图甲是第七届国际数学教育大会（简称7ICME−）的会徽图案，会徽的主体图

案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的，其中11223781OAAAAAAA=====，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，记12,,,nOAOAOA的长度构成数列{}na，则此数列的通项公式为na

=_____．【答案】n【解析】【分析】由图可知1122378...1OAAAAAAA=====，，由勾股定理可得2211nnaa−=+利用等差数列的通项公式求解即可.【详解】根据图形1122378...1OAAA

AAAA=====，因为122378...OAAOAAOAA、都是直角三角形，2211nnaa−=+2na是以1为首项，以1为公差的等差数列，()2111nann=+−=，nan=，故答案为n.【点睛】本题主要考查

归纳推理的应用，等差数列的定义与通项公式，以及数形结合思想的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于与中档题.16.已知过点()4,1P的直线与椭圆22:142xyC+=相交于不同的两点A和B，在线段AB上存在点Q，满足APQBAQPB

=，则OQ的最小值为______．【答案】255【解析】【分析】设()11,Axy，()22,Bxy，(),Qxy，由,,,APBQ四点共线，用向量共线关系表示,AB两点坐标，又点,AB在椭圆上，把坐标代入椭圆方程，得出Q点

在一条定直线上，再求最短距离即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，(),Qxy，由APQBAQPB=，记APPBAQQB=，又,,,APBQ四点共线，设PAAQ=，则由已知0，且1，PBBQ

=−.由PAAQ=，得()()11114,1,xyxxyy−−=−−，解得114111xxyy+=++=+，同理PBBQ=−，得()()22224,1,xyxxyy−−=−−−，解得224111xxyy−

=−−=−，因为点A在椭圆上，所以224111142xy+++++=，即()()()22241142xy+++=+，①同理点B在椭圆上，所以224111142xy−−−−+=，即

()()()22241142xy−−+=−，②①-②得164442xy+=，因为0所以220xy+−=，故点Q在定直线220xy+−=上，OQ的最小值为点O到直线220xy+−=的距离22555d==.故答案：255.【点睛】解析几何中线段定比

分点问题方法点睛：1.在平面直角坐标系中，已知()11,Axy，()22,Bxy，(),Pxy，且APPB=，0且1−，那么我们就说P分有向线段AB的比为，则有:121211xxxyyy+=++=+，这就是定比分

点坐标公式.当P为内分点时，0；当P为外分点时，0(1−).2.这个公式在解决解析几何中向量共线或者点共线问题有着很强大的作用，运用好往往可以几步就解决一个大题.四、解答题：本题共6小题，

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，直线2yx=−与抛物线22yx=相交于A，B两点．（1）求线段AB的长；（2）证明：OAOB⊥．为【答案】（1）210；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线的方程和抛物线的方程

，结合根与系数关系求得AB.（2）根据根与系数关系、向量数量积等知识证得结论成立.【小问1详解】设()11,Axy，()22,Bxy，由222yxyx=−=，得2640xx−+=．126xx+=，124xx=，所以()22121214210ABkxxxx=++−=．【小问2详解】

由（1）知：126xx+=，124xx=，所以()121212122240OAOBxxyyxxxx=+=−++=，所以OAOB⊥，所以OAOB⊥．18.如图，在三棱锥OABC−中，OA，OB，OC两两垂直，3OAOC==，2OB=．（1）求点B到直线AC的

距离；（2）求直线OB与平面ABC所成角的正弦值．【答案】（1）342（2）31717【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用点与直线距离的空间向量法计算可得.（2）利用直线与平面夹角的空间向量法计算可得【小问1详解】解：以

O为坐标原点，OB，OC，OA方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,3A，()2,0,0B，()0,3,0C，所以()2,0,3AB=−，()0,3,3AC=−，()2,0,0OB=．取()2,0,3aAB==−，220,,2

2ACuAC==−，则213a=，322au=，所以点B到直线AC的距离为()229341322aau−=−=．小问2详解】解：设(),,nxyz=是平面ABC的一个法向量，则00ABnACn=

=，所以230330xzyz−=−=，取2z=，解得32xy==，所以()3,2,2n=．设直线OB与平面ABC所成角为，则6317sincos,17217OBnOBnOBn====，所以直线OB与平面ABC所成角的正弦值为31717．19.在数列na的首项为11

a=，且满足132nnnaa++=．（1）求证：2nna−是等比数列．（2）求数列na的前n项和nS．【【答案】（1）证明见解析；（2）1122,23,nnnnSn++−=−为偶数为奇数.【解析】【分析】（1）由132nnnaa+=−+，化简得到11212nnnnaa++−=−−

，结合等比数列的定义，即可求解；（2）由（1）求得(1)2nnna=−+，分当n为偶数和当n为奇数，两种情况讨论，结合等比数列的求和公式，即可求解.【详解】（1）由题意，数列na满足132nnnaa++=，即132nnnaa+=−+，则11123

2221222nnnnnnnnnnnnnaaaaaa+++−−+−−===−−−−，又由11a=，可得1121a−=−，所以数列2nna−表示首项为1−，公比为1−的等比数列.（2）由（1）知121(1)(1)nnnna−

−=−−=−，所以(1)2nnna=−+，所以12=222(1)1(1)nnnS++++−+++−，当n为偶数时，可得12(12)=02212nnnS+−+=−−；当n为奇数时，可得12(12)=12312nnnS+−−=−−，综上可得，1122

,23,nnnnSn++−=−为偶数为奇数.20.已知两个定点()1,0M−，()1,0N，动点P满足2MPPN=．（1）求点P的轨迹方程；（2）若点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程．【答案】（1）226

10xyx+−+=（2）1yx=−或1yx=−+【解析】【分析】（1）设点(),Pxy，后由2MPPN=结合两点间距离公式可得轨迹方程；（2）由点N到直线PM的距离为1，可得30PMN=，则可得直线PM方程为()313yx=+或()313y

x=−+，将直线方程与轨迹方程联立可得点P坐标，后可得直线PN方程.【小问1详解】设点P的坐标为(),xy，因为2MPPN=，所以()()2222121xyxy++=−+．整理得22610xyx+−+=，所以点P的轨迹方程为2261

0xyx+−+=．【小问2详解】因为点N到直线PM的距离为1，2MN=，所以30PMN=，直线PM的斜率为33或33−，所以直线PM的方程为()313yx=+或()313yx=−+.联立轨迹方程与()313yx=+，可得()2

22610410313xyxxxyx+−+=−+==+，解得23x=+或23x=−．得直线PM的方程为()313yx=+时，P的坐标为()23,13++或()23,13−−+.直线PM的方程为()313yx=−+时，P的坐标为()23,13+−−或()23,13−−．当

P的坐标为()23,13++时，直线PN的方程为：131113yx+==−+，即1yx=−.P的坐标为()23,13−−+时，直线PN的方程为：131113yx−+==−−−，即1yx=−+.P的坐标为()23,13

+−−时，直线PN的方程为：131113yx−−==−−+，即1yx=−+.P的坐标为()23,13−−时，直线PN的方程为：131113yx−==−−，即1yx=−.综上可得直线PN的方程为1yx=−或1yx=−+21

.歇山顶，即歇山式屋顶，为古代汉族建筑屋顶样式之一，宋朝称九脊殿、曹殿或厦两头造，清朝改称歇山顶，又名九脊顶，其屋顶（上半部分）类似于五面体形状．如图所示的五面体EFABCD−的底面ABCD为一个矩形，28ABEF==，6AD=，//EFAB，棱5EAEDFBFC====，M，N分别是AD，

BC的中点．（1）求证：平面EFNM⊥平面ABCD；（2）求平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）2114【解析】【分析】（1）证明EMAD⊥以及MNAD⊥，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点

坐标，求得平面BFC与平面EFCD法向量，根据向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】因为EAED=，M为AD中点，所以EMAD⊥．在矩形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，所以MNAD⊥．又EMMNM=，EM，MN平面EFNM，所以AD⊥平面EFNM．又AD平面ABCD，所以

平面EFNM⊥平面ABCD．的【小问2详解】在平面EFNM中，过F作FHMN⊥，H为垂足．因为平面EFNM⊥平面ABCD，平面EFNM平面ABCDMN=，FH平面EFNM，所以FH⊥平面ABCD．过H作BC的平行线

，交AB于点S，则3HS=，2HN=，23HF=，以H为坐标原点，以HS，HN，HF方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()3,2,0B，()3,2,0C−，()3,6,0D−−，()0,0,23F，所以()3,2,23BF=

−−，()6,0,0BC=−，()3,2,23CF=−，()0,8,0CD=−．设平面EFCD的一个法向量为(),,mxyz=，则00CFmCDm==，所以3223080xyzy−+=−=，取3z=，解得20xy=−

=，所以()2,0,3m=−，同理可得平面BFC的一个法向量为()0,3,1n=．设平面BFC与平面EFCD夹角为．则21coscos,14mnmnmn===，所以平面BFC与平面EFCD夹角的余弦值为2

114．22.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左，右顶点分别为A，B，过点()6,0D且不与x轴重合的动直线交双曲线C于P，Q两点，当直线PQ与x轴垂直时，4PDBD==．（1）求双曲线C的标准方程；（2）设直线AP，

AQ和直线xt=分别交于点M，N，若MDND⊥恒成立，求t的值．【答案】（1）22142xy−=（2）14t=或103t=【解析】【分析】(1)由4PDBD==可得a的值，再将点()6,4P代入即可求解；(2)设直线PQ的方程为6xmy=+，与双曲线方程联立，利用韦达定理求出直线AP的方程，求

出点,MN的坐标，利用MDND⊥即可求出结果.【小问1详解】由题知，当PQ与x轴垂直时，4PDBD==，所以642aODBD=−=−=，()6,4P，所以2236414b−=，解得22b=，所以双曲线C的方程为22142xy−=．【小问2详解】设直线PQ的方程为6

xmy=+，()11,Pxy，()22,Qxy，由226142xmyxy=+−=，得()22212320mmyy−++=，所以122122myym+=−−，122322yym=−．直线AP的方程为(

)1122yyxx=++，与xt=联立，解得()112,2tyMtx++．同理可得()222,2tyNtx++．所以()1126,2tyDMtx+=−+，()2226,2tyDNtx+=−+，因为MDND⊥恒成立，所

以0DMDN=恒成立，又()()()()2212126222yyDMDNttxx=−++++()()()()2212126288yyttmymy=−++++()()()21222112262864myymyyyy

tt++=++−+()()221624tt=−−+所以()()22462tt−=+，解得14t=或103t=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com