【文档说明】2023-2024学年高中数学人教A版2019 必修第二册课后习题 第七章测评 Word版含解析.docx，共(6)页，55.744 KB，由小赞的店铺上传

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第七章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021浙江丽水期末)复数(2-i)i的虚部为()A.-1B.1C.2D.2i答案C解析复数(2-i)i=1+2i,故它

的虚部为2.2.(2021新高考Ⅰ卷)已知z=2-i,则z(𝑧+i)=()A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i答案C解析∵z=2-i,∴𝑧=2+i.∴𝑧+i=2+2i.∴z(𝑧+i)=(2-i)(2+2i)=4+2i-2i2=6+2

i.故选C.3.(2021全国乙卷)设2(z+𝑧)+3(z-𝑧)=4+6i,则z=()A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i答案C解析设z=x+yi(x,y∈R),则𝑧=x-yi,2(z+𝑧)+3(z-𝑧)=4x+6y

i=4+6i,得x=1,y=1,故z=1+i.4.(2021广东天河期末)复平面内的平行四边形OABC的顶点A和C(O是坐标原点)对应的复数分别为4+2i和-2+6i,则点B对应的复数为()A.2+6iB.2+8iC.6+2iD.8+2i答案B解析∵𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂

𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,∴点B对应的复数为4+2i+(-2+6i)=2+8i.故选B.5.(2021湖北黄陂校级模拟)若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在()A.实轴上B.虚轴上C.第一象限D.第二象限答案B解析由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面

内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.6.(2021福建仓山校级期中)已知复数z满足|z-i|=1,则|z-3-5i|的最大值是()A.8B.7C.6D.5答案C解析设z=a+bi(a,b∈R),∵|

z-i|=1,∴|z-3-5i|的最大值即为圆a2+(b-1)2=1的圆心(0,1)与点(3,5)的距离加半径1,即为√(0-3)2+(1-5)2+1=5+1=6,故|z-3-5i|的最大值是6.故选C.7.复数z满足𝑧1+i2=z(2-i),则|z

|=()A.1B.1或3√2C.2√5D.0或2√5答案D解析∵𝑧1+i2=|𝑧|2(√2)2=|𝑧|22=z(2-i),∴|𝑧|22=|z|·|2-i|=√5·|z|,则|z|2=2√5|z|,解得|z|=0或|z|=2√5.故选D.8.(2021吉林白城期末)已知z的共轭复数𝑧

=1+3i,且𝑧1-i-z0=|z-i|,则|z0|的最大值为()A.√5+√17B.√17−√5C.2√17D.2√5答案A解析∵𝑧=1+3i,∴z=1-3i,则z-i=1-4i,𝑧1-i=(1-3i)(1+i)2=2-

i,∴|z0-(2-i)|=√17.设z0=x+yi(x,y∈R),则点P(x,y)的集合是以(2,-1)为圆心,√17为半径的圆,故|z0|=√𝑥2+𝑦2的最大值为√5+√17.故选A.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求

.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021重庆期末)若复数z1=2+3i,z2=1-i,则下列说法正确的是()A.𝑧1在复平面内对应的点位于第四象限B.若z1+a(a∈R)是纯虚数,那么a=-2C.z1z2=-1+iD.若z1,z2

在复平面内对应的向量分别为𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗(O为坐标原点),则|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√17答案ABD解析𝑧1=2-3i在复平面内对应的点为(2,-3),位于第四象限,故A正确;∵z1+a=2+3

i+a是纯虚数,∴a+2=0,解得a=-2,故B正确;z1z2=(2+3i)(1-i)=5+i,故C错误;|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|z2-z1|=|1-i-(2+3i)|=√(-1)2+(-4)2=√17,故D正确.故选A

BD.10.(2021福建福州期中)已知复数z满足z=-1+i2021,则下列关于复数z的结论正确的是()A.|z|=√2B.复平面内表示复数z的点位于第二象限C.复数z是方程x2+2x+2=0的一个根D.复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的

距离为√13答案ABC解析∵i2021=i·i2020=i,∴z=-1+i2021=-1+i,|z|=√(-1)2+12=√2,故A正确;复平面内表示复数z的点为(-1,1),位于第二象限,故B正确;∵

(-1+i)2+2(-1+i)+2=0,∴复数z是方程x2+2x+2=0的一个根,故C正确;∵|z-z1|=|-1+i-1-2i|=|-2-i|=√5,故复平面内表示复数z的点与表示复数z1=1+2i的点之间的距离

为√5,故D错误.故选ABC.11.(2021福建仓山校级期中)已知z1,z2是复数,则下列结论正确的是()A.若𝑧12+𝑧22>0,则𝑧12>-𝑧22B.|z1-z2|=(z1+z2)2-4z1z

2C.|𝑧12|=|𝑧1|2D.非零复数z3,满足z1z3=z2z3,则z1=z2答案CD解析对于A,设z1=2-i,z2=2+i,则𝑧12=3-4i,𝑧22=3+4i,满足𝑧12+𝑧22>0,但不能比较大小,故A错误;对于B,设z1=2-i,z2=2+i

,则|z1-z2|=2,(z1+z2)2-4z1z2=-4,故B错误;对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),则𝑧12=a2-b2+2abi,|𝑧12|=√(𝑎2-𝑏2)2+4𝑎2𝑏2=√(𝑎2+𝑏2)2=a2

+b2,𝑧1=a-bi,|𝑧1|=√𝑎2+𝑏2,则|𝑧1|2=a2+b2,故C正确;对于D,因为z1z3=z2z3,且z3是非零复数,所以两边同时除以z3得z1=z2,故D正确.故选CD.12.(2021江苏扬州期末

)已知实数x,a,b和虚数单位i,定义:复数z0=cosx+isinx为单位复数,复数z1=a+bi为伴随复数,复数z=z0z1=f(x)+g(x)i为目标复数,目标复数的实部f(x)和虚部g(x)分别为实部函数

f(x)和虚部函数g(x),则下列说法正确的有()A.f(x)=acosx-bsinxB.g(x)=asinx-bcosxC.若f(x)=2sinπ3-x,则a=√3,b=-1D.若a=√3,b=-1且g(x)=65,则锐角x的正弦值

sinx=3√3+410答案AD解析因为z=z0z1=f(x)+g(x)i=(acosx-bsinx)+(asinx+bcosx)i,所以f(x)=acosx-bsinx,g(x)=asinx+bcosx,故A正确,B错误;因为f(x)=2sin

π3-x=√3cosx-sinx,所以a=√3,b=1,故C错误;因为g(x)=asinx+bcosx=√3sinx-cosx=2sinx-π6=65,所以sinx-π6=35,又因为x为锐角,则x-π6∈-

π6,π3,所以cosx-π6=√1-sin2(𝑥-π6)=45,故sinx=sinx-π6+π6=sinx-π6cosπ6+cosx-π6sinπ6=3√3+410,故D正确.故选AD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20

分.13.(2021四川遂宁模拟)复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=.答案√5解析∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i,则|z+3i|=|1+2i|=√12+22=√5.14.(2021上海虹口校级期末)在复平面内,复数6-

5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是.答案2-i解析∵复数6-5i,-2+3i在复平面内对应的点分别为A,B,∴A(6,-5),B(-2,3).∵C为线段AB的中点,∴C(2,-1),∴点C对应的复数是2-

i.15.(2021上海奉贤期末)如果1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,其中i是虚数单位,则pq=.答案-10解析1-2i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根,则1+2i也是方程的根,所以{-𝑝=(1-2i)+(1+2i),𝑞=(1-2

i)(1+2i),解得{𝑝=-2,𝑞=5,所以pq=-10.16.复平面上两个点Z1,Z2分别对应两个复数z1,z2,它们满足下列两个条件:①𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗且z2=z1·2i;②两

点Z1,Z2连线的中点对应的复数为3+4i,则△Z1OZ2的面积为.答案20解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=z1·2i=(a+bi)·2i=-2b+2ai,∴Z1(a,b),Z2(-2b,2a).又两点Z1,Z2连线的中点对应的复数

为3+4i,∴{𝑎-2𝑏2=3,2𝑎+𝑏2=4,解得{𝑎=225,𝑏=-45.∴|𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(225)2+(-45)2=2√5,|𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(85)2+(445)2=4√5.又𝑂𝑍1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⊥𝑂𝑍2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,∴△Z1OZ2的面积为S=12×2√5×4√5=20.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021江苏江阴校级月考)已知复数z=𝑚-3𝑚+3+(m2-

2m-15)i(i是虚数单位).(1)若复数z是纯虚数,求实数m的值;(2)若z在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.解(1)复数z是纯虚数,则𝑚-3𝑚+3=0且m2-2m-15≠0,解得m=3.(2)z在复平面上对应的点位于第

四象限,则𝑚-3𝑚+3>0且m2-2m-15<0,解得3<m<5,所以实数m的取值范围为(3,5).18.(12分)已知z为复数,z+2i和𝑧2-i均为实数,其中i是虚数单位.(1)求复数z和|z|;(2)若z1=𝑧+1𝑚-1−7𝑚+2i对应的点在第四象限,求实数m的取值范围.

解(1)设z=a+bi(a,b∈R),则b+2=0,解得b=-2.因为𝑧2-i=2𝑎+25+𝑎-45i为实数,所以𝑎-45=0,解得a=4.所以z=4-2i,|z|=2√5.(2)z1=4+1𝑚-1+2-7𝑚+2i对应的点在第四象限,则{4+1𝑚-1>0,2-7𝑚+

2<0,解得-2<m<34,或1<m<32.故实数m的取值范围为(-2,34)∪(1,32).19.(12分)已知复数z满足|z|+𝑧-8-4i=0(i为虚数单位).(1)求复数z;(2)若m∈R,ω=zi+m,求|ω|的取值范围.解设z=a+bi(a,b∈R).

(1)由|z|+𝑧-8-4i=0,得√𝑎2+𝑏2+a-bi-8-4i=0,则{√𝑎2+𝑏2+𝑎-8=0,𝑏+4=0,解得{𝑎=3,𝑏=-4,∴z=3-4i.(2)|ω|=|(3-4i)i+m|=|4+m+3i|=√(𝑚+4)2+9,∵m∈R,∴|ω|≥3,故|ω|的取值范

围是[3,+∞).20.(12分)(2021陕西宝塔校级期末)已知复数z满足z+4为纯虚数,且𝑧2-i为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数m的取值范围.解设z=x+yi(x,y∈R

),则z+4=(x+4)+yi.∵z+4为纯虚数,∴x+4=0且y≠0,即x=-4,y≠0.又𝑧2-i=-4+𝑦i2-i=(-4+𝑦i)(2+i)(2-i)(2+i)=-8-𝑦5+2𝑦-45i∈R,∴2y-4=0,即y=2.∴z=-4+2i.∵m为实数

,且(z+mi)2=[-4+(m+2)i]2=(12-4m-m2)-8(m+2)i,由题意知{12-4𝑚-𝑚2>0,-8(𝑚+2)<0,解得-2<m<2.∴实数m的取值范围为(-2,2).21.(12分)(2021安徽蜀山校级期中)如图,已知复平面内

平行四边形ABCD中,点A对应的复数为-1,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为2+2i,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗对应的复数为4-4i.(1)求点D对应的复数;(2)求平行四边形ABCD的面积.解(1)设点D在复平面内对应的复数为x+yi(x,y∈R),则𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗

=(x+1,y).∵四边形ABCD为平行四边形,∴𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗,解得x=3,y=-4,故点D对应的复数为3-4i.(2)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(4,-4),可得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗·𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0,∴𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⊥𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.又|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=2√2,|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=4√2,∴平行四边形ABCD的面积S=2√2×4√2=16.22.(12分)(2021四川武侯校级期中)设复数z1=1-i,z2=co

sθ+isinθ,其中θ为锐角.(1)若复数z=𝑧2𝑧1在复平面内对应的点在直线y=2x上,求tanθ的值;(2)求|𝑧1+z2|的取值范围(其中𝑧1是z1的共轭复数).解(1)因为复数z1=1

-i,z2=cosθ+isinθ,所以z=𝑧2𝑧1=cos𝜃+isin𝜃1-i=(cos𝜃+isin𝜃)(1+i)1+1=cos𝜃-sin𝜃2+cos𝜃+sin𝜃2i;由z在复平面内

对应的点在直线y=2x上,所以cos𝜃+sin𝜃2=cosθ-sinθ,即3sinθ=cosθ,所以tanθ=sin𝜃cos𝜃=13.(2)因为𝑧1+z2=(1+i)+(cosθ+isinθ)

=(1+cosθ)+(1+sinθ)i,所以|𝑧1+z2|2=(1+cosθ)2+(1+sinθ)2=3+2(sinθ+cosθ)=3+2√2sinθ+π4.又因为θ为锐角,所以θ+π4∈π4,3π4,所以sinθ+π4∈√22,1,