【文档说明】浙江省名校协作体2023-2024学年高二上学期开学适应性考试数学试题 含解析.docx，共(26)页，2.908 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5d950ce17fdd3d2aa6a9f0d35adf19d7.html

以下为本文档部分文字说明：

第1页/共26页学科网（北京）股份有限公司2023学年第一学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座

位号及准考证号；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.选择题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()l

n1Axyx==−，102xBxx−=−，则AB=（）A.12xxB.12xxC.12xxD.12xx【答案】A【解析】【分析】结合对数函数定义域和分式不等式解法化简集合A，B，由集合交集的定义求解即可．【详解】函数

()ln1yx=−的定义域为()1,+，不等式102xx−−，可化为()()120xx−−或1x=，所以12x，所以1Axx=，12Bxx=，所以12ABxx=．故选：A．2.若复数z满足(1i)(1)1z+−=，则||z=（）A.

22B.1C.2D.2【答案】A【解析】第2页/共26页学科网（北京）股份有限公司【分析】先利用复数四则运算法则计算得到1122zi=+，从而利用模长公式得到答案.【详解】()()11i111i1i1i1i22z−−===−++−，故11111i=i2222z=−++，所以22112222z

=+=.故选：A3.如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则()()ACADABAD−−=（）A.4−B.2−C.0D.4【答案】D【解析】【分析】建立直角坐标系，根据坐标运算即可求解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，故()1

,0AC=，()()0,2,2,1ADAB==，则()()()()1,22,1224ACADABAD−−=−−=+=.故选:D.4.已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A

.若m，n∥，则mn∥B.若⊥，m⊥，则mC.若∥，m，n，则mn∥第3页/共26页学科网（北京）股份有限公司D.若m，m⊥，则⊥【答案】D【解析】【分析】由平行于同一平面的两直线的位置关系判定A；由面面垂直、线面垂直判定线面关系

判断B；由两平行平面内两直线的位置关系判断C；由平面与平面垂直的判定定理判断D．【详解】若m，n∥，则mn∥或m与n相交或m与n异面，故A错误；若⊥，m⊥，则m或m，故B错误；若∥，m，n，则mn∥或m与n异面，故C错误；若m

，m⊥，由平面与平面垂直的判定可得⊥，故D正确.故选：D5.已知函数()yfx=，[,]x−的图象如图所示，则函数()yfx=的解析式可能是（）A.11()sinsin2sin323fxxxx=++B.11()coscos2cos323

fxxxx=++C.11()sin2sinsin323fxxxx=++D.11()cos2coscos323fxxxx=++【答案】A【解析】【分析】由图象可知，()fx为奇函数，结合选项判断易得，A、C为奇函数，B、D为偶函数，排除B、D选项；又知0πx时，()0fx，令2

3x=即可判断.【详解】由图像可知，函数()fx的图象关于原点对称，即()fx为奇函数，可排除B、D项；对于C选项，有2411sinsinsin2sin033233231f=++=−，而图像恒在x轴上方可知C选项错误；第4页

/共26页学科网（北京）股份有限公司故选：A.6.ABC中，πsincos22BA−=，则ACBCAB−的取值范围是（）A.112−，B.1132，C.1223，D.1233，【答案

】B【解析】【分析】化简得到coscos2BA=，从而得到2AB=，得到π3CA=−，π0,3A，利用正弦定理得到12cos1ACBCABA−=+，从而得到ACBCAB−的取值范围.【详解】πsincoscos22BBA−==，在ABC中，(),0,πAB

，故2AB=或22πAB+=，当22πAB+=时，π2BA+=，故πAB+，不合要求，舍去，所以2AB=，ππ2π3CABAAA=−−=−−=−，因为(),0,πAB，所以()20,πA，即π0,2A，因为()π30,πCA

=−，所以π0,3A，由正弦定理得sinsinsinACABBCBCA==，故()()sinsinsin2sin2sincossin2sincossinsinsinπ3sin2sin2c

oscos2sinACBCBAAAAAAAAAABCAAAAAAA−−−−−====−++因为()0,πA，所以sin0A，故()()222cos12cos12cos12coscos24cos12cos12cos1ACBCAAAABAAAAA−−−−===+−−+，因为π0,3A

，所以2cos10A−，故12cos1ACBCABA−=+，第5页/共26页学科网（北京）股份有限公司因为π0,3A，所以1cos,12A，()2cos1,2A，()2cos12,3A+，故112cs1

32o1ACBCABA+−=，.故选：B【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等

关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.7.设a，Rb，若0x时，恒有24324221xxxxaxbx−++++，

则（）A.||||2ab−=B.2ab−=C.||||2ab+=D.2ab+=【答案】C【解析】【分析】利用特殊值及解决恒成立问题常用分离参数转化为求最值问题即可求解.【详解】当0x时，恒有243242

21xxxxaxbx−++++，当0x=时，原式化为01b；当1x=时，原式化为222ab++，即0ab+=，,10aba=−−.又0x时，24324221xxxxaxbx−++++恒成立；3221axbxx+−+，即3221axa

xx−−+恒成立；()322(1)21(1)1axxxxxx−−+=−−−恒成立；当1x时，21axx−−恒成立，()()2min11axxx−−令2215()124fxxxx=−−=−−

，则由二次函数的性质，知()fx在()1+单调递增；第6页/共26页学科网（北京）股份有限公司2()(1)1111fxf=−−=−，即1a−，又10a−，1a=−，则1b=.对于A，||||1ab==，故A不正确；对于B

，112ab−=−−=−，故B不正确；对于C，||||112ab+=−+=，故C正确；对于D，0ab+=，故D不正确.故选：C.8.为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1

cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（）A.()32533πcm3+B.()34533πcm3+C.()32533πcm+D.()38533

πcm3+【答案】B【解析】【分析】根据四个小球和容器的相切关系，作出对应的正视图和俯视图，建立球心和半径之间的关系即可得到容器的半径.【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:第7页/共26页学科网（北京）股份有限公司正视图

中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有222OAABOB+=，俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离11OA与正视图中的OA相等，设半球半径为R，已知小球半径r=1，∴2OA=，1AB=，3OB=，31ROBr=+=+.半球面形状的容器的容积是()()

3345+33π1414π31π23233VR==+=.故选：B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分.9.某学校为了了解本校学生的上学方式

，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B—自行乘车，C—家人接送，D—其他方式．并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A.扇形统计图中D的占比最大B.条形统计图

中A和C高度不一样C.扇形统计图中A的占比大于D的占比D.估计该校超过一半的学生选择自行乘车或家人接送【答案】CD【解析】【分析】根据D方式上学的学生占比即可求出总人数，则得到A方式出行的人数，再对选项一一分析即可.【详解】由条形统计图知，B−自行乘车上学的有42人,C

−家人接送上学的有30人,D−其他方式上学的有18人,采用,,BCD三种方式上学的共90人,由扇形统计图知，D−其他方式上学的学生占15%,所以1812015%=人，则A−结伴步行上学的有1209030−=人，故条形

图中A、C一样高，故B错误；第8页/共26页学科网（北京）股份有限公司扇形图中A类占比与C一样都为3025%120=，故扇形统计图中A占比大于D的占比，故C正确；因为样本中选择自行乘车或家人接送的频率为423060%50%120+=，所以估计该校超过一半的学生选择自行乘车或家人

接送，故D正确；因为D−其他方式上学的人数最少，故扇形统计图中D的占比最小，故A错误.故选：CD.10.已知0ab，则（）A.22ab−−B.log2log2abC.323abab+D.2a

bab+【答案】AD【解析】【分析】根据不等式性质及指数函数、幂函数单调性可判断A；举反例可判断B；利用基本不等式可判断C,D.【详解】根据幂函数1yx=，指数函数22xy=在定义域内均单调增函数，0,,22ababab−−−−，故A正确；由0ab，取12,2ab==，可得

21211log2log222==−，故B错误；由0ab可得323233aabbab+=，当且仅当33ab=即9ab=取等号，C错误；由基本不等式可知2abab+，当且仅当ab=取等号，但0ab，等号

取不到，故D正确，故选：AD.11.如图，矩形ABCD中，已知2AB=，4BC=，E为AD的中点.将ABE沿着BE向上翻折至ABE，记锐二面角ABEC−−的平面角为，AB与平面BCDE所成的角为

，则下列结论可能成立的是（）的为第9页/共26页学科网（北京）股份有限公司A.sin2sin=B.2coscos=C.2ab<D.4−【答案】ABC【解析】【分析】记BC中点为F，连接

EF，证得AOBE⊥，OFBE⊥，得到锐二面角ABEC−−的平面角为AOF=，在证得BE⊥平面AOF，过A作AHOF⊥，证得AH⊥平面BCDE，连接BF，得到=ABH，分别在直角AOH△和ABH，结合三角函数的性质，逐项判定，即可求解.【详解】记BC中

点为F，连接EF，连接AF与BE交于点O，可得四边形ABFE是正方形，所以AOBE⊥，OFBE⊥，故锐二面角ABEC−−的平面角为AOF=，因为AOOFO=且,AOOF平面AOF，所以BE⊥平面AOF，过A作A

HOF⊥于H，则⊥BEAH，又因为BEOFO=，且,BEOF平面BCDE，所以AH⊥平面BCDE，连接BF，则AB与平面BCDE所成的角为=ABH，记=AHh，因为直角AOH△中，sin

2AHhOA==，在直角ABH中，sin2==AHhAB，所以sin2sin=①，选项A成立；将①平方得：22sin2sin=，所以()221cos21cos−=−，可得22cos2c

os1cos2=−=，因为，都是锐角，则2coscos，所以cos2cos，又因为02π，0π，根据余弦函数的单调性可知，可得2ab<，选项C成立；第10页/共26页学科网（北京）股份有限公司因为c

os2OH=，cos2=BH，若使2coscos=，则需2OHBH=，即当6OBH=，可以成立，即B可能成立：又由由，都是锐角，且2sinsin1=，可得2sin2，则π4，由选项C知2ab<，所以π24−−=，

选项D错误.故选：ABC.12.已知函数()fx，()gx的定义域均为R，且()()13fxgx+−=，()()33gxfx+−=．若()ygx=的图象关于点(1,0)对称，则（）A.()()fxfx−=−B.(

)()gxgx−=C.()202216066kfk==D.()202010kgk==【答案】BD【解析】【分析】对A选项从函数关于点对称得到；对B选项，通过赋值，得到()fx的其中一个周期为4，对C选项进行求和得到值与()1f值相关；对

D由前面知道其一个周期为4，通过计算得到其每四个数值和为0，最后得到2020组数据和也为0.【详解】因为()ygx=的图象关于点(1,0)对称，所以()()110gxgx−++=，()gx的定义域均为R，故()10g=，由()()13fxg

x+−=，得()()13fxgx−++=，所以()()6fxfx+−=，故A错误；令0x=得，()03f=，因为()()33gxfx+−=，所以()()123gxfx++−=与()()13fxgx+−=联立得，第11页/共26页学科网（北京）股份有限公司

()()26fxfx+−=，则()()246fxfx−+−=，所以()()4fxfx=−，即()fx的其中一个周期为4，因为()()33gxfx+−=，所以()()413xfgx+++=．即()()4gxgx+=，所以()gx的其中一个周期

也为4，由()()33gxfx+−=，得()()143gxfx−+−=，与()()13fxgx+−=联立，得()()11gxgx−=−，即()()gxgx=−．所以B正确；由()()26fxfx+−=，得()()136ff+

=，但()1f与()3f的值不确定，又()03f=，()23f=，所以20221()(1)(2)505[(1)(2)(3)(4)]6063(1)kfkfffffff==+++++=+故C错误；由()()33gxfx+−=，得()()303gf+=，所以()

03g=，又()()123fg−+=，()()143fg+=，两式相加得，()()240gg+=，所以()()()()()20201050512340kgkgggg===+++=，故D正确，故选：BD．【点睛】抽象函数的对称性、周期性、奇偶性综合的问

题难度较大，不易推导求解，平时要多去推导练习.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知甲、乙两组数据从小到大排列，甲：27，28，39，m，49，50；乙：24，27，n，4

3，48，52．若这两组数据的第40百分位数、第50百分位数分别相等，则mn=______【答案】4339【解析】【分析】利用百分位数的定义求解．【详解】因为40%62.4=，50%63=，所以第40百分位数为39n=，第

50百分位数为3943394122m++==，则43m=，第12页/共26页学科网（北京）股份有限公司所以4339mn=．故答案：4339.14.设0p，0q，满足248logloglog(2)pqpq==+，则pq=______.

【答案】12##0.5【解析】【分析】利用对数的运算法则以及换底公式求解.【详解】由24loglogpq=可知22222log1loglogloglog42qpqq===，即pq=，由28loglog(2)ppq=+可知22232log(2)loglog2l

og8pqppq+==+，即32ppq=+，消去q得220pp−−=，解得2p=或1p=−（舍去），当2p=时4q=，所以12pq=，故答案为：12.15.已知球O的表面积为8π，A，B，C，D为球O的球面上的四个点，E

，F分别为线段AB，CD的中点．若2ABCDEF===，且ABCD⊥，则直线AC与BD所成的角的余弦值为________．【答案】13【解析】【分析】根据已知条件判断出,,EOF三点共线，构造正四棱柱IDJCAHBG−，利用异面直线所成角

的定义求解即可.【详解】设球O的半径为R,由24π8πR=，解得2R=,∵OAOB=,且E分别为线段AB的中点，∴OEAB⊥,在RtOAE中，221OEOAAE=−=,同理可得1OF=，又∵2EF=,∴,,EOF三点共线，作出球O的内接正四棱柱

IDJCAHBG−,ACIGK=,∵GI∥BD,∴AKG为直线AC与BD所成的角，为第13页/共26页学科网（北京）股份有限公司∵2ABEF==,∴2AI=,2AG=,∴62AKGK==,由余弦定理得()222222662221cos2366222AKGKAGAKG

AKGK+−+−===,故答案为：13.16.设1e，2e为单位向量，满足1222ee−，12aee=+，122bee=+，设a，b的夹角为，则2cos的最小值为________．【答案】1516【解析】【分析】由1222ee−可

得12ee的取值范围，再由向量数量积的定义及夹角公式进行求解即可．【详解】1e，2e为单位向量，则121==ee，即22121ee==，()212121222542eeeeee−=−=−，得1214ee，令12tee

=，1.4t()()12121223333abeeeeeet=++=+=+，()212122222aeeeet=+=+=+，()2121225454beeeet=+=+=+，33cos2254ab

tttab+==++，第14页/共26页学科网（北京）股份有限公司有()()()()()229191991cos225425484108tttttt++===−++++，由14t，则10812t+，即1110812

t+，得913410816t−−+，99193158410881616t−−=+，即215cos16.故答案为：1516【点睛】关键点点睛：本题考查向量的数量积和模等基础知识，解题关键在于令12tee=，把2cos表示成关

于t的函数，由已知求出t的取值范围，利用函数思想求2cos的最小值.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题20001,1,0pxxxm−−−:是假命题.（1）求实数m的取值集合B；（2）设不等式()()320

xaxa−−−的解集为A，若xB是xA的必要不充分条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）()2,B=+（2）2,3+【解析】【分析】（1）由题意得到p是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解；（2）

先由必要不充分条件的性质得到集合A是集合B的真子集，再分类讨论得到解集A，从而列不等式求得a的取值范围.【小问1详解】因为命题20001,1,0pxxxm−−−:是假命题，所以命题2:1,1,0pxxxm−−−是真命题，所以2mxx−在1,1x

−上恒成立，令()()211fxxxx=−−，则()fx开口向上，对称轴为12x=，所以()fx在11,2−上单调递减，在1,12上单调递增，第15页/共26页学科网（北京）股份有限公司又()()()21112f−=−−−=，()21110f=−

=，所以()()max12fxf=−=，所以m>2，即()2,m+，故()2,B=+.【小问2详解】因为xB是xA的必要不充分条件，所以集合A是集合B的真子集，又()2,B=+，因为()()320xax

a−−−对应的方程()()320xaxa−−−=的根为3xa=或2xa=+，当32aa+，即1a时，由()()320xaxa−−−得23axa+，则()2,3Aaa=+，所以22a+，则0a，故1a

；当32aa=+，即1a=时，由()()320xaxa−−−得()230x−，显然x，即A=，满足题意；当32aa+，即1a时，由()()320xaxa−−−得32axa+，则()3,2Aaa=+，所以3

2a，则23a，故213a；综上：23a，即2,3a+.18.已知函数()()sin0,0,2πfxAxA=+的部分图像如图所示.（1）求()fx的单调递增区间；（2）设111ππ1212x，且方程()fxm=有

两个不同的实数根，求实数m的取值范围.第16页/共26页学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）πππ,π36kk−++，Zk（2）()()2,03,2−【解析】【分析】（1）先根据图像

求出函数解析式，然后按求单调区间的步骤求解即可；（2）利用函数与方程的有关知识即可求解.【小问1详解】由题图知2A=，5πππ41264T=−=，πT=，2ππT==，所以2=，所以()()2sin2xxf=+，又()02sin1f==，所以1sin2=，又π2，则π6=

，故()π2sin26fxx=+.令πππ2π22π262kxk−+++，Zk，解得ππππ36kxk−++，Zk，故函数()fx的单调递增区间为πππ,π36kk−++，Zk.【小问2详解】因为111ππ1212x，所以1ππ

22π36x+，设2sinyt=，π,2π3t，画出函数图像，如图所示：第17页/共26页学科网（北京）股份有限公司根据图像知：当()()2,03,2m−时，满足题意.19.对平面向量m，n，定义运算：sinmnmn=，其中m，nr分

别表示m，n模长，是m与n的夹角.在ABC中，已知43ABAC=，4ABAC=.（1）是否存在满足条件的ABC，使得26ABAC+=？若存在，求BCuuur的值；若不存在，请说明理由；（2）若28ABAC+=，D是线段AC上一点，且23BDAD=，求DBDACBCD.【答

案】（1）不存在，理由见解析（2）33【解析】【分析】（1）由题意，得π3BAC=，再结合基本不等式可判断结果；（2）解法一：结合（1），利用余弦定理求出23BC=，π2ABC=，再借助正弦定理求出π4ABD=，从而解决问题；解法二：结合（1），利用正弦定理求出π4ABD=

，2(31)AD=−，再结合三角形面积公式求解问题.【小问1详解】||43ABAC=，||||sin43ABACBAC=.4ABAC=，||||cos4ABACBAC=，tan3BAC=，

又()0,πBAC，π3BAC=，||||8ABAC=.2||||22||||2168ABACABAC+==≥，当且仅当2||||4ABAC==时，2||||ABAC+有最小值8.因此，不存在满足条件的

ABC，使得2||||6ABAC+=.【小问2详解】由（1）知，当2||||8ABAC+=时，||2AB=，||4AC=.的第18页/共26页学科网（北京）股份有限公司解法一：在ABC中，π3BAC=，由余弦定理得，222BCABACABBC=+−，23BC=，π2ABC=.在AB

D△中，π3BAC=，23BDAD=，由正弦定理得，sin3sin2BDBACADABD==，2sin2ABD=，BDAD，π4ABD=，π4DBC=.12||||sin2||||||sin322=13||||||sin2||||sin2322ABDCBDABBDABDSDBDA

DBDAADBSCBCDCBCDDCBBCBDDBC====△△解法二：在ABD△中，π3BAC=，23BDAD=，由正弦定理得，sin3sin2BDBACADABD==，2sin=

2ABD，BDAD，π4ABD=，5π12BDA=，又sinsinADABABDBDA=，22231+2222AD=，2(31)AD=−.2(33)CD=−.||||||sin||2(31)3=|

|3||||||sin2(33)ABDCBDSDBDADBDAADBADSCDCBCDCBCDDCB−====−△△.20.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PAB是

边长为4的等边三角形，2BC=，60ABC=，M是PC上一点．第19页/共26页学科网（北京）股份有限公司（1）若M是PC的中点，证明：//PA平面BDM；（2）若平面MAB⊥平面PCD，求PMPC的值．【答案】（1）证明见解析（2）45【解

析】【分析】（1）利用中位线定理与线面平行的判定定理即可得证；（2）先利用面面垂直与性质定理与线面垂直的判定定理依次证得PQ⊥平面ABCD，CD⊥面PQE，从而证得PEMN⊥，再利用面面垂直与性质定理证得PE⊥平面MAB，进而得到PENQ⊥，由此利用平行线分线段成比例求得PMPC的值.

【小问1详解】连接BDACO=，连接,,DMBMOM，如图，因为底面ABCD是平行四边形，所以O是AC的中点，又M是PC的中点，所以//OMPA，因为OM平面BDM，PA平面BDM，所以//PA平面BDM.【小问2详解】记AB的中点为Q，连接PQ，则PQ⊥AB，在平面

ABCD过Q作⊥QEAB，交CD于E，连接PE，如图，第20页/共26页学科网（北京）股份有限公司因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面ABCDAB=，PQ平面PAB，所以PQ⊥平面ABCD，又CD

平面ABCD，则PQCD⊥，易得QECD⊥，又,,PQQEQPQQE=面PQE，所以CD⊥面PQE，因为PE面PQE，所以CDPE⊥，过M作//MNCD交PE于N，连接NQ，则PEMN⊥，因为//MNCD，//ABCD，所以//MNAB，则,,,MNAB四点共面，所以

平面MAB与平面PCD交线一部分为MN，又平面MAB⊥平面PCD，PE平面PCD，所以PE⊥平面MAB，因为NQ平面MAB，所以PENQ⊥，因为PAB是边长为4的等边三角形，所以PQAB⊥，23PQ=，因为平行四边形ABCD中，2BC=，60ABC=，4AB

=，则2BQ=，sin603EQBC==，故在RtPQE△中，2212315PEPQEQ=+=+=，易得90PQEPNQ==，EPQQPN=，则EPQQPN，所以PQPEPNPQ=，则21215PQPNPE==，因为/

/MNCD，所以121451515PMPNPCPE===.【点睛】关键点睛：本题第2小问解决的关键是在平面PCD内找到垂直于平面MAB与平面PCD交线的直线，从而利用平行线分线段成比例即可得解.21.已知24410kxkxk−++=是关于x的实系数一元

二次方程.（1）若a是方程的一个根，且1=a，求实数k的值；第21页/共26页学科网（北京）股份有限公司（2）若12,xx是该方程的两个实根，且Zk，求使1221xxxx+的值为整数的所有k的值.【答案】（1）1k=−或19k=−或13

k=（2）5,3,2−−−【解析】【分析】（1）分类讨论a是题设方程的实根或虚根两种情况，实根时直接将a代入即可求得k值，虚根时利用韦达定理及判别式即可求得k值，由此得解；（2）利用韦达定理求得1221421xxxxk−+=++，从而列出k的所有可能取值，再

利用一元二次方程的判别式即可确定k所有取值.【小问1详解】因为24410kxkxk−++=是关于x的实系数一元二次方程，所以0k,因为a是方程24410kxkxk−++=的一个根，且1=a，当Ra时，则1a=或1a=−，若1a=，代入方程得4410kkk−++=，解得1k=−；若1a=−

，代入方程得4410kkk+++=，解得19k=−；当a为虚数时，不妨设az=，则z也是方程24410kxkxk−++=的一个根，故14kzzk+=，又因为1=a，即1z=，故1zz=，所以114kk+=，解得13k=，又()()24441160kkkk=−−+=−

，得0k，所以13k=；综上：1k=−或19k=−或13k=.【小问2详解】由韦达定理可知，121xx=+，1214kxxk+=，0k，所以()()222212121212122112121224221xxxxxxxxxxkxxxxxxxxk+−+++=

==−=−+44442211kkk+−−=−=+++，第22页/共26页学科网（北京）股份有限公司因为1221421xxxxk−+=++为整数,Zk，所以1k+必为4−的因式，则1k+的值可能为4,2,1,1,2,4−−−，则实数k的值

可能为5,3,2,1,3−−−，又因为12,xx是该方程的两个实根，所以()()24441160kkkk=−+=−，则0k，所以k所有取值为5,3,2−−−.22.已知函数()2πsincos,,π2gxxxax=−+有两个零点．（1）求实数a的取值范围；（

2）设1x，2x是g（x）的两个零点，证明：123π2xx+．【答案】（1）5,14−−（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由()0gx=可得21coscosaxx+=+，然后令costx=，则221cosco

s,04xxtt+=+−，再分10a+或114a+−，114a+=−和1104a−+讨论即可；（2）函数g（x）有两个零点1x，2x，令1122cos0,cos0txtx==，则转化为1t，2t为方程21

att+=+的两根，然后根据根与系数的关系结合三角函数的性质可得123πcoscos2xx−，再利用余弦函数的单调性可证得结论.【小问1详解】解：()22πsincoscoscos1,,π2gxxxaxxax=−+=−−++．由()0gx=可得21

coscosaxx+=+，令costx=，由π,π2x可得10t−，的第23页/共26页学科网（北京）股份有限公司故221coscos,04xxtt+=+−．当10a+或114a+−，即1a

−或54a−时，21att+=+无解，所以g（x）不存在零点；当114a+=−，即54a=−时，21att+=+有一解12t=−，此时x仅有一解23，所以g（x）只存在一个零点；当1104a−+，即514a−

−时，21att+=+有两解1524ta=−+，此时15cos24xa=−+在π,π2x各有一解，故g（x）有两个零点．综上，实数a的取值范围为5,14−−．【小问2详解】证明

：函数g（x）有两个零点1x，2x，令1122cos0,cos0txtx==，则1t，2t为方程21att+=+的两根，则121tt+=−，()121tta=−+，所以12coscos1xx+=−，两边平方得221212cosc

os2coscos1xxxx++=，因为120c2oscosxx，所以22221222coscos1cossinxxxx+=+，所以2221223πcossincos2xxx=−，由2ππ2x可得2π3ππ22x−，所以23πcos02x−，则

123πcoscos2xx−，因为cosyx=在π,π2上单调递减，所以123π2xx−，即123π.2xx+【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查余弦函数性质的应用，

第（2）问解题的关键是通过换元将问题转化为二次方程有两个根，再利用根与系数的关系结余弦函数的性质可证得结论，考第24页/共26页学科网（北京）股份有限公司查数学思想和计算能力，属于难题.第25页/共26页学科网（北京）股份有限公司第26页/共26页学科网（北京）股份有限公司获得更多

资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com