【文档说明】浙江省杭州第十四中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性监测数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.600 MB，由小赞的店铺上传

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杭十四中康桥高二阶段性监测数学学科试卷(10月)考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟．2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！3．考试结

束，只需上交答题卡．一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.直线310xy++=的倾斜角是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】D【解析】【分析】通过直线方程求出斜率，进而求出直线的倾斜角.【详解】由题

意，直线的斜率为33k=−，设直线的倾斜角为()0π，即35πtan36=−=.故选：D.2.已知直线l的一个方向向量()2,1,3m=−，且直线l过A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则yz−等于（）A.0B.1C.32D.3【答案】A【解析】【分析】根据方向向量的定义以及向

量平行的规则求解.【详解】因为A，B点在直线l上，必有//ABm，()1,2,3AByz=−−−，()2,1,3m=−，123213yz−−−==−，解得：33,,022yzyz==−=；故选：A.3.我国著名数学家华罗

庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（）A1()|1|fxx=−B.1()1fxx=−C.21()1fxx=

−D.21()1fxx=+【答案】B【解析】【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据()01f=−不成立排除选项C，即可得正确选项.【详解】由图知()fx的定义域为|1xx，排除选项A、D，又因为当0x=时，()01f=−，不符合图象()01f=，所以排除

选项C，故选：B.4.已知直线210xay+−=与直线(1)10axay−++=平行，则实数a的值是（）A.32B.32或0C.0D.2−【答案】A【解析】【分析】首先判断直线是否存在斜率，根据斜率相等求出参数值，检验是否重合.【详解】当0a=时，两直线都为1x=，重合

，故舍去；当0a时，由两直线平行，得到112aaa−−=−，解得32a=，经检验，两直线不重合，成立，综上，实数a的值是32．故选A．5.已知点A（3，2），B（4，﹣3），若直线l过点P（0，1）与线段AB

相交，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.536，B.[263，].C.3064，，D.5036，，【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形求出直线PA、PB的斜

率，即可求得直线l与线段AB相交时直线l的倾斜角取值范围.【详解】如图所示，由A（3，2），B（4，﹣3），P（0，1），可得斜率kPA123303−==−，kPB()1304−−==−−1，因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角的取值范围是3064

，，.故选：C.6.如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，1AAABC⊥底面，1ABBCAA==，90ABC=，点E，F分别是棱AB，1BB的中点，则直线EF和1BC所成的角是A.45B.

60C.90D.120【答案】B【解析】【分析】先将EF平移到AB1，再利用中位线进行平移，使两条异面直线移到同一点，得到所成角，求之即可．【详解】连接AB1，易知AB1∥EF，连接B1C交BC1于点G，取AC的中点H，连接GH，则GH∥AB1∥EF．设AB=BC=AA1=a，连接H

B，在三角形GHB中，易知GH=HB=GB=22a，故两直线所成的角即为∠HGB=60°．故选B．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角，平移法是研究异面直线所成的角的最常用的方法，属于基础题．7.已知0a，0b，直线1:(4)10lxay+−+=

，2:220lbxy+−=，且12ll⊥，则2112aab+++的最小值为（）A.2B.4C.45D.95【答案】D【解析】【分析】根据12ll⊥得到240ba+−=，再将2112aab+++化为积为定值的形式后，利用基本不等式可求得结果.【详解】因12

ll⊥，所以240ba+−=，即125ab++=，因为0a，0b，所以10a+，20b，所以21111111211(12)1211212125512abaababababab+++=++=

++++=+++++++为12149221151255baab+++=+=+，当且仅当32a=，54b=时，等号成立．故选：D.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各

项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号

则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8.如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足11BPDE⊥，则线段1BP的长度的最大值为

（）A.455B.2C.22D.3【答案】D【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设点(),,0Pxy，根据110BPDE=得出x、y满足的关系式，并求出y的取值范围，利用二次

函数的基本性质求得1BP的最大值.【详解】如下图所示，以点D为坐标原点，DA、DC、1DD所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，则点()12,2,2B、()10,0,2D、()1,2,0E，设点()(),,002,02Pxyxy，()11,2,2DE=−，()12,2

,2BPxy=−−−，11DEBP⊥，()112224220BPDExyxy=−+−+=+−=，得22xy=−，由0202xy，得022202yy−，得01y，()()2221224548BPxyyy=−+−+=−+，01y

，当1y=时，1BP取得最大值3.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线段长度最值的计算，涉及利用空间向量法处理向量垂直问题，考查计算能力，属于中等题.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法不正确的是（）A.11yykxx−=−不能表示过点11(,

)Mxy且斜率为k的直线方程；B.在x轴、y轴上的截距分别为,ab的直线方程为1xyab+=；C.直线ykxb=+与y轴的交点到原点的距离为b；D.平面内的所有直线的方程都可以用斜截式来表示.【答案】BCD【解析】【分析】由11yykxx−=−中1xx可判断A；当0ab==可判断B；由距离为正

数可判断C；由截距式斜率一定存在可判断D【详解】由于11yykxx−=−定义域为1xx，故不过点11(,)Mxy，故A选项正确；当0ab==时，在x轴、y轴上的截距分别为0的直线不可用1xyab+=表示，故B不正确；直线ykxb=+与y轴的交点为(0,)b，

到原点的距离为||b，故C不正确；平面内斜率不存在的直线不可用斜截式表示.故选：BCD【点睛】本题考查了直线方程的几种形式的适用范围，考查了学生概念理解，综合分析的能力，属于基础题.10.在长方体ABCDABCD−中，1ABAD==，(1)AA=

，则异面直线AB与BC所成角的大小可能为（）A.6B.4C.3D.2【答案】AB【解析】【分析】根据空间向量夹角公式、长方体的性质，结合空间向量加法的几何意义、余弦函数的单调性、异面直线的性质进行求解即可.【详解】因为1ABAD==，(1)AA=，所以由

勾股定理可知：21ABBC==+，22()()000,ABBCAAABBBBCAABBAABCABBBABBC=++=+++=+++=设异面直线AB与BC所成角为((0,])2，2221c

os111ABBCABBC===−++，因为1，所以222221111111120011121212+−−−+++，即1cos12，因为(0,]2，所以π0θ3<<，因此选项AB符合，故选：AB11.设A

BC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的是（）A.若1a=，2b=，则A可以是3B.若6A=，1a=，3c=，则1b=C.若ABC是锐角三角形，2a=，3b=，则边长c的取值范围

是()5,13D.若222sinsinsinsinsinABCAC+−，则角A的取值范围是0,3【答案】CD【解析】【分析】对选项A，根据正弦定理即可判断A错误，对选项B，根据余弦定理即可判断B错误，对选项C，根据余弦定理即可判断C正确，对选项D，根据正弦定理角化边公式得到

222abcac+−，再利用余弦定理即可判断D正确.【详解】对选项A，12sinsin3B=，解得sin31B=，故A错误；对选项B，2313232bb=+−，解得1b=或2b=，故B错误.对选项C，

因为ABC是锐角三角形，所以222222222222cos02940cos04902490cos02bcaAbccacbBcaccabcCab+−=+−+−=+−+−+−=，解得513c，故C正确.对选项D，因为2

22sinsinsinsinsinABCAC+−，所以222abcac+−，222bcaac+−，222122bcaac+−，即1cos2A≥，又因为0A，所以03A，故D正确.故选：CD12.将边长为2的正方形A

BCD沿对角线BD折成直二面角ABDC−−，如图所示，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则（）A.EFBC⊥B.四面体ABCD−的表面积为423+C.四面体ABCD−的外接球的体积为82π3D.过EF且与BD平行的平面截四面体ABCD−所得截面的面积为2【答案】BC

D【解析】【分析】A用非等腰三角形来判断，B求四面体表面积来判断，C求外接球体积来判断，D作出截面并计算出截面面积来判断.【详解】设O是BD的中点，则,,,OAOBOCOD两两相互垂直，二面角ABDC

−−为之二面角，OCBDOC⊥⊥平面ABDOCOF⊥，A选项，连接,BFCF，()2222215,213BFCF=+==+=，2BC=，所以三角形BFC不是等腰三角形，而E是BC的中点，所以EF与BC不垂直，A选项

错误.B选项，()()22222AC=+=，所以三角形ABC和三角形ADC是等边三角形，所以四面体ABCD−的表面积为2232224234+=+，B选项正确.C选项，由于OAOBOCOD===，所以

O是四面体ABCD−外接球的球心，外接球的半径为2，体积为()3482233=，C选项正确.D选项，设G是CD中点，H是AB中点，画出图象如下图所示，//,////HFBDEGBDHFEG，,,,HFEG四点共面.由于//,EGBDBD平面EFGH，EG平面EF

GH，所以//BD平面EFGH，112,122EGBDFGAC====，由于,,ODOAODOCOCOAO⊥⊥=，所以OD⊥平面AOC，所以ODAC⊥，而//FGAC，所以FGEG⊥，所以截面面积为212EGFG==.D选项正确.故选：

BCD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知()0.3PA=，()0.5PB=，当事件A，B相互独立时，()PAB=________.【答案】0.65【解析】【分析】根据独立事件的概率乘法公式求出()PAB，最后根据()()()()PABPAPBPAB=+−计算可得.【详解】因

为()0.3PA=，()0.5PB=，且事件A，B相互独立，所以()()()0.30.50.15PABPAPB===，()()()()0.30.50.150.65PABPAPBPAB=+−=+−=.故答案为：0.6514.某老师从星期一到星期五收到信件数分别是10，6，8，5，

6，则该组数据的方差2s=___________________．【答案】165【解析】【详解】试题分析：由平均数及方差的定义可得10685675x++++==；222222116[(107)(67)(

87)(57)(67)]3.255s=−+−+−+−+−==.考点：样本数据的数字特征：平均值与方差.15.直线l的方程为：(2)(31)1ayax−=−−，若直线l不经过第二象限，则实数a的取值范围为_______.【答案】2a【解析】【分析】根据题意，分类讨论，当20a−=或20a−

时，根据直线l不经过第二象限，列出不等式方程，计算可得答案.【详解】（1）20a−=，即2a=时，直线l为15x=，满足l不经过第二象限；（2）20a−，即2a时，直线l的方程化简为：31122ayxaa−=−−−，l不经过

第二象限，则有1023102aaa−−−−，解得2a；综上，得2a时满足l不经过第二象限.故答案为：2a16.对于锐角，若3sin125−=，则cos23+=______．【答案】2425−##0

.96−【解析】【分析】观察角与角之间的关系，利用诱导公式和二倍角公式将所求角转化为已知角，然后可解.【详解】因为为锐角，所以5121212−−，所以4cos125−=，又因为22()3122+−−=所以cos2cos[2()]sin2()2sin()co

s()3212121212+=+−=−−=−−−342425525=−=−.故答案为：2425−四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3b=．（1）若

5π6C=，ABC的面积为32，求c；（2）若π3B=，求2−ca的取值范围．【答案】（1）13（2）()323−，【解析】【分析】（1）先应用面积公式求a,再应用余弦定理求解即可；（2）先应用正弦定理边角转化，再应用辅助角公式结合正弦求值域即可解.【小问1详解】115π3sin3sin

2262ABCSabCa===，解得2a=，由余弦定理可得()22225π2cos23223cos136cababC=+−=+−=；【小问2详解】由正弦定理得32πsinsinsin3acAC===，所以2sin2sinaAcC==，，π3B=，π2sin3cossin3aCCC

=+=+，的π23sin3cos23sin6caCCC−=−=−，2ππππ03662CC−−，，，，π1sin162C−−，，2ca−的取值范围是

()323−，．18.如图，直四棱柱1111ABCDABCD−中，13AA=，底面ABCD是边长为4菱形，且60BAD=，E为AD中点．（1）求点1B到直线1AE的距离．（2）求平面11BAB与平面1ABE夹角的余弦值．【答案】（1）83913（2）33926【解析】【分析】（1）根据

题意分析可以建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标关系求解点到直线的距离；（2）根据二面角的向量求解方法即可.【小问1详解】由题意易知BEBC⊥，则如图所示，分别以BE、BC、1BB为x，y，z轴建立坐标系，则()23

00E，，，()12323A−，，，()1003B，，，()000，，B，的又因为()1023AE=−，，，设()112320aAB==−，，，112301313AEuAE==−，，,所以点1B到直线1AE的距离2216839(?)1613

13daau=−=−=；【小问2详解】又()2300BE=，，，()12323BA=−，，，()1003BB=，，，设平面1EAB的一个法向量为()1111nxyz=，，，平面11BAB的一个法向量为()2222nxyz=，，

，则111·0·0BEnBAn==，有111123023230xxyz=−+=，解得111032xyz==，即可得()1032n=，，，2122221230·023230·0zBBnxyzBAn==−+==

，，解得22203zyx==，即可得()2130n=，，，设二面角11BABE−−的平面角为，可知为钝角，则122212·33339cos26·32?31nnnn===++，所以平面11BA

B与平面1ABE夹角的余弦值是33926．19.已知直线1l，2l互相垂直，且相交于点()1,2P．（1）若1l的斜率为2，2l与x轴的交点为Q，点(),Mab在线段PQ上运动，求11ba−+的取值范围；（2）若1l，2l分别与y轴相交于点

A，B，求AB的最小值．【答案】（1）11,62−；（2）2.【解析】【分析】（1）利用直线的位置关系及点斜式可得2l的方程为()1122yx=−−+，然后利用11ba−+的几何意义及斜率公式即得；（2）设1l的斜率为()0

kk，由题可得直线方程，进而可得1ABkk=+，然后利用基本不等式即得.【小问1详解】由于1l的斜率为2，则2l的斜率为12−，则2l的方程为()1122yx=−−+，令0y=，得()5,0Q，11ba−+表示点(),Mab与()1,1N−连线的斜率，由于12PNk=，16QNk=−

，所以，11ba−+的取值范围是11,62−．【小问2详解】由题可知，直线1l，2l的斜率均存在，且不为0，设1l的斜率为()0kk，则2l的斜率为1k−，直线1l的方程为()12ykx=−+，令0x=，得2Ayk=−，

直线2l的方程为()112yxk=−−+，令0x=，得12Byk=+，则112BAAByykkkk=−=+=+，当且仅当1k=时取“=”．故AB的最小值为2．20.已知以点(1,2)A−为圆心的圆与直线m：270xy++=相切，过点(2,0)B−的

动直线l与圆A相交于M、N两点.（1）求圆A的方程；（2）当219MN=时，求直线l的方程.【答案】（1）()()221220xy++−=（2）2x=−或3460xy−+=【解析】【分析】（1）根据题意结合点到直线的距离公式求圆的半径，即可得圆的方程；（2）先求圆心到直线l的距离，在结

合点到直线的距离公式求直线l的斜率，注意讨论直线l的斜率是否存在.小问1详解】点(1,2)A−到直线m：270xy++=的距离为221472512d−++==+，即圆A的圆心(1,2)A−，半径25r=，故圆A的方程为()()221220xy++−=.【小

问2详解】设圆心(1,2)A−到直线l的距离为d，则222MNrd=−，解得1d=，当直线l的斜率不存在时，则:2lx=−，此时圆心(1,2)A−到直线l的距离为1d=，符合题意，成立；当直线l的斜率存在时，设为k，则():2lykx=+，即20kxyk−+=，∵22211kkdk−−+==+，解

得34k=，∴直线l：3460xy−+=；综上所述：直线l的方程为2x=−或3460xy−+=.21.函数()sin()fxAx=+(0,016,0)2A在R上的最大值为2，(0)1f=.（1）若点(,2)8在()fx的图象上，

求函数()fx图象的对称中心；（2）将函数()yfx=的图象向右平移4个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得函数()ygx=的图象，若()ygx=在[0,]8上为增函数，求的最大值.【答案】（1）对称中心为：(,0),28kkZ−（2）2.【解析】【分析】【（1

）首先根据三角函数的性质求出函数解析式()2sin()4fxx=+，将点(,2)8代入解析式求出()2sin(2)4fxx=+，根据正弦函数的中心对称点整体代入即可求解.（2）根据三角函数的平移伸缩变换可得()2sin2gxx=，由题意可得222T=，解不等式即可

求解.【详解】因为函数()fx在R上的最大值为2，所以2A=因为(0)1f=，所以2sin1=，2sin2=因为02，所以4=，所以()2sin()4fxx=+（1）由题知：()28f=，所以2sin()284+=，sin()184+=所以2,842

kkZ+=+，162,kkZ=+又因为016，所以2=因此()2sin(2)4fxx=+；由2,4xkkZ+=得：,28kxkZ=−所以函数()fx图象的对称中心为：(,0),28kkZ−（2）将函数()

2sin()4fxx=+的图象向右平移4个单位，得：2sin[()]=2sin44yxx=−+.再将2sinyx=的图象纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，得：()2sin2gxx=，又因为()gx

在[0,]8上为增函数，所以()gx的周期222T=，解得02.所以的最大值为2.【点睛】本题考查了三角函数的性质以及图像的平移伸缩变换，熟记三角函数的性质是解题的关键，属于基础题.22.如图，在四棱

锥PABCD−中，PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，,,222,BCADCDADPCADDCBCE⊥====∥为PD的中点．（1）证明：//CE平面PAB；（2）求直线CE与平面PAB间的距离．【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）取PA的中点M

，连,BMEM，可证四边形BCEM为平行四边形，//CEBM，再根据线面平行的判定定理可得//CE平面PAB；（2）根据//CE平面PAB，转化为求点E到平面PAB的距离，取AD的中点N，连,BNPN，可证BC⊥平面PNB，以B为原点，,BCBN分别为,xy轴，

在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，根据点面距的向量公式可求出结果.【小问1详解】取PA的中点M，连,BMEM，因为E为PD的中点，所以//EMAD，12EMAD=，又//BCAD，12BCAD=，所以//EMBC，EMBC=，所以四边形B

CEM为平行四边形，所以//CEBM，因为CE平面PAB，BM平面PAB，所以//CE平面PAB..【小问2详解】因为//CE平面PAB，所以点E到平面PAB的距离即为所求.因为,,222BCADC

DADADDCBC⊥===∥，取AD的中点N，连,BNPN，则四边形BCDN为矩形，1BNCD==，因为PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，所以PNAD^，112PNAD==，因为BNAD⊥，PNBNN?，,PNBN平面PNB，所以AD⊥平面PNB

，因为//BCAD，所以BC⊥平面PNB，因为BCABCD，所以平面ABCD⊥平面PNB，以B为原点，,BCBN分别为,xy轴，在平面PNB内，作Bz⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)B，(1,1,0)A−，(1,1,

0)D，因为BC⊥平面PNB，PB平面PNB，所以BCPB⊥，在RtPBC△中，2PC=，1BC=，所以2222213PBPCBC=−=−=，因为1BNPN==，所以22211(3)1cos2112PNB+−==−Ð，因为PNB是三角形内角，所

以120PNB=，所以33(0,,)22P，153(,,)244E，所以33(0,,)22BP=，(1,1,0)BA=−，153(,,)244BE=，设平面PAB的一个法向量为(,,)nxyz=，则330220nBPyznBA

xy=+==−+=，取1x=，则1y=，3z=−，(1,1,3)n=−，所以点E到平面PAB的距离为153|3|||5244||5113nBEdn+−===++.故直线CE与平面PAB间的距离为55.获得更多资源请扫

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