【文档说明】福建省莆田第十五中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含答案.docx，共(19)页，759.312 KB，由小赞的店铺上传

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莆田第十五中学2019-2020学年度上学期高二数学期末考试卷考试时间:120分钟命题人：审核人：班级：姓名：座号：一、单选题1．“00mn且”是“0mn”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件2．命题；命题．则（）A．“或”

为假B．“且”为真C．真假D．假真3．双曲线22134xy−=的渐近线方程是（）A．233yx=B．32yx=C．32yx=D．23yx=4．以双曲线221169xy−=的右顶点为焦点的抛物线的标准

方程为()A．216yx=B．216yx=−C．28yx=D．28yx=−5．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于12，则C的方程是()A．22134xy+=B．22143xy+=C．22142xy+=D

．22143xy+=6．已知椭圆()22:10yCxnn+=的离心率为32，则n的值为（）A．14或4B．14C．12或2D．127．下列说法不正确的是（）A．命题“若2320xx−+=，则1x=”的逆否命题为“若1x，则2320xx−+”B．pq为假命题，则,p

q均为假命题C．若“1x”是“||1x”的充分不必要条件D．若命题：:p“0xR，使得20010xx++”，则:p“xR，均有210xx++”8．若椭圆22214xym+=与双曲线22212x

ym−=有相同的焦点，则实数m为（）A．1B．1−C．D．不确定9．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC−，12CACCCB==，则直线1BC与直线1AB所成角的余弦值为（）A．56B．53C．55D．5410．试在抛物线2y4x=−上求一点P，

使其到焦点F的距离与到()A2,1−的距离之和最小，则该点坐标为()A．1,14−B．1,14C．()2,22−−D．()2,22−11．设M为椭圆221259xy+=上的一个点，1F,2F为焦

点,1260FMF=，则12MFF的周长和面积分别为（）A．16，3B．18，3C．16，33D．18，3312．已知A、B分别为椭圆C：2222xyab+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为（）A．12B．512−C．

22D．32二、填空题13．抛物线24xy=的准线方程是_______14．已知椭圆22194xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，若椭圆上的点P满足12||2||PFPF=，则1||PF=________15．有下列几个命

题：①若ab，则11ab；②“若0ab+=，则,ab互为相反数”的否命题；③“若ab则22acbc”的逆命题；④“若1ab=，则,ab互为倒数”的逆否命题.其中真命题的序号__________.16．已知椭圆221167xy+=的右焦点为F，过原点O作直线交椭圆于A、B两点，点A在

x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点(,)Apq的纵坐标q=________．三、解答题17．命题p：方程230xxm−+=有实数解，命题q：方程22192xymm+=−−表示焦点在x轴上的椭圆．(1)若命题p为真，求m

的取值范围；(2)若命题pq为真，求m的取值范围．18．如图,在直三棱柱111CBAABC−中，AC=3，BC=4，，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：1BCAC⊥；（2）求证：AC1//平面CDB1．19．已知椭圆C的焦点为1F(220)−，和2F(220)，，长

轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．20．如图，抛物线的顶点在原点，圆4)2(22=+−yx的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于

2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于、、、四点，求的值.21．在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，1AB=，2APAD==.（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点,MN分别在,ABPC上，且MN⊥平面PC

D，试确定点,MN的位置22．如图，椭圆C：2222+1xyab=(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线L与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直线L的方

程．莆田第十五中学2019-2020学年度上学期高二数学期末考试卷解析考试时间:120分钟命题人：一、单选题1．“00mn且”是“0mn”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．不充分不必要条件

【答案】A2．命题；命题．则（）A．“或”为假B．“且”为真C．真假D．假真【答案】D3．双曲线22134xy−=的渐近线方程是（）A．233yx=B．32yx=C．32yx=D．23yx=【答案】A4．以双曲线221169xy−=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．216yx

=B．216yx=−C．28yx=D．28yx=−【答案】A5．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为(1,0)F，离心率等于12，则C的方程是()A．22134xy+=B．22143xy+=C．22142xy+=D．22143xy+=【答案】D6．已知椭圆()22:10yCx

nn+=的离心率为32，则n的值为（）A．14或4B．14C．12或2D．12【答案】A当椭圆C的焦点在x轴上时，则01n，则21a=，2bn=，则2221cabn=−=−，此时，椭圆C的离心率为312cena==−=，解得14n=；当椭圆C的焦点在y轴上时，则1n，则2a

n=，21b=，则2221cabn=−=−，此时，椭圆C的离心率为132cnean−===，解得4n=.因此，14n=或4.7．下列说法不正确的是（）A．命题“若2320xx−+=，则1x=”的逆否命题为“若1x，则2320xx−+”B．pq为假命

题，则,pq均为假命题C．若“1x”是“||1x”的充分不必要条件D．若命题：:p“0xR，使得20010xx++”，则:p“xR，均有210xx++”【答案】B8．若椭圆22214xym+=与双曲线22212xym−=有

相同的焦点，则实数m为（）A．1B．1−C．D．不确定【答案】C由方程可知，双曲线焦点在x轴上，故2242mm−=+，解得21m=,故1m=9．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱111ABCABC−，12CACCCB=

=，则直线1BC与直线1AB所成角的余弦值为（）A．56B．53C．55D．54【答案】C设122CACCCB===，所以()()()()110,0,1,0,2,0,2,0,0,0,2,1BCAB=，所以()()110,2,1,2,2,

1BCAB=−=−.设异面直线1BC与直线1AB所成角为，则cos=11cos,BCAB1111BCABBCAB=415553−==.10．试在抛物线2y4x=−上求一点P，使其到焦点F的距离与到()A2,1−的距离

之和最小，则该点坐标为()A．1,14−B．1,14C．()2,22−−D．()2,22−【答案】A由题意得抛物线的焦点为(1,0)F−，准线方程为:1lx=．过点P作PMl⊥于点M，由定义可得PMPF=,所以PAPFPAPM+=+，由图形可得，当,

,PAM三点共线时，||||PAPM+最小，此时PAl⊥．故点P的纵坐标为1，所以横坐标14x=−．即点P的坐标为1(,1)4−．11．设M为椭圆221259xy+=上的一个点，1F,2F为焦点,1260FMF=，则12MFF的周长和面积分别为（）A．16，3B

．18，3C．16，33D．18，33【答案】D【解析】试题分析：，，所以12MFF的周长为,根据余弦定理：,即,所以12．已知A、B分别为椭圆C：2222xyab+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，则该椭圆的离心率为（）A．12

B．512−C．22D．32【答案】BA、B分别为椭圆C：2222xyab+=1（a＞b＞0）的右顶点与上顶点，F是C的左焦点，若FB⊥AB，可得：a2+b2+b2+c2＝（a+c）2，即：2ac＝2b2＝2a2﹣2c2，可得e2+e﹣1＝0，解得e512

−=，e512−−=（舍去）．二、填空题13．抛物线24xy=的准线方程是_______【答案】1y=−14．已知椭圆22194xy+=的左、右焦点分别为1F、2F，若椭圆上的点P满足12||2||PFPF=，则1||PF=________【答案】415．有下列几个命题：①若ab，则11

ab；②“若0ab+=，则,ab互为相反数”的否命题“；③“若ab则22acbc”的逆命题；④“若1ab=，则,ab互为倒数”的逆否命题.其中真命题的序号__________.【答案】②④16．已知椭圆221167xy+=的右焦点为F，过原点O作直线交

椭圆于A、B两点，点A在x轴的上方．若三角形ABF的面积为2，则点(,)Apq的纵坐标q=________．【答案】23椭圆221167xy+=的右焦点为(3,0)F，(,)Apq，且0q由椭圆的对称性知：

(,)Bpq−−，113222ABFSOFqOFqOFqq=+−===,解得23q=三、解答题17．命题p：方程230xxm−+=有实数解，命题q：方程22192xymm+=−−表示焦点在x轴上的椭圆．(1)若命题p为真，求m的取值范围；(2)若命题pq为真，求m的取值范围．【详

解】（1）∵230xxm−+=有实数解，∴293)40,4mm（=−−…(4分)（2）∵椭椭圆焦点在x轴上,所以902092mmmm−−−−，∴1122m∵pq为真，1192

24mm且，924m.…(10分)18．如图,在直三棱柱111CBAABC−中，AC=3，BC=4，，AA1=4，点D是AB的中点．（1）求证：1BCAC⊥；（2）求证：AC1//平面CDB1【详解】(Ⅰ)由证AC1BC⊥C可推得1BCAC⊥（

或由空间向量法证明）…6分(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E，连结DE∵D是AB的中点，E是C1B的中点,∴DE∥AC1∵平面CDB1，平面CDB1∴AC1∥平面CDB1.…12分19．已知椭圆C的焦点为1F(220)−，和2F(220)，，

长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：（1）椭圆C的标准方程；（2）弦AB的中点坐标及弦长．【答案】（1）2219xy+=（2）中点坐标为91()55，−，弦长635【详解】（1）椭圆C的焦点为()122,0F−

和()222,0F，长轴长为6椭圆的焦点在x轴上，22c=，3a=221bac=−=椭圆C的标准方程为：2219xy+=…4分（2）设()11,Axy，()22,Bxy，线段AB的中点为()00,Mxy由22992xyyx+

==+，消去y得：21036270xx++=12185xx+=−，122710xx=…6分120925xxx+==−00912255yx=+=−=弦AB的中点坐标为91,55−…8分()2222121212182763114245105ABkxxkxxxx=+−=++−

=−−=…12分20．如图，抛物线的顶点在原点，圆的圆心恰是抛物线的焦点.（1）求抛物线的方程；（2）一条直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值.【详解】（1）设抛

物线方程为y2=2px(p>0)，圆的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．抛物线的方程为：y2=8x；…(4分)（2）依题意直线AB的方程为y=2x-4设A(x1,y1)，D(x2,y2)，则|AD|=x1+x2+p=6+4=1

0．…(12分)21．在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，1AB=，2APAD==.（1）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；（2）若点,MN分别在,ABPC上，且MN⊥平面PCD，试确定点,MN的位置【答案】（1）105；（2）M为AB的中点，N为PC的中点【详解

】（1）由题意知，AB，AD，AP两两垂直．以ABADAP，，为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz−，则()()()()B100C120D020P002.，，，，，，，，，，，从而()()()PB102PC

122PD022.=−=−=−，，，，，，，，设平面PCD的法向量()nxyz=，，，则PC0PD0nn==，，即220220xyzyz+−=−=，，不妨取y1，=则x0z1==，．所以平面PCD的一个法向量为()n011=，，

．设直线PB与平面PCD所成角为θ，所以PBn10sinθcosPBn5PBn===，，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为105．…6分（2）设()Ma00，，，则()MAa00=−，，，设PNλPC=，则()PNλ2λ2λ，，，=−而()AP002，，，=所以()MNMAAPPN

λa2λ22λ=++=−−，，．由（1）知，平面PCD的一个法向量为()n011=，，，因为MN⊥平面PCD，所以MN∥n．所以0222a−==−，，解得，11λa22==，．所以M为AB的中点，N为PC的中点．…12分22．如图，椭圆C：2222+

1xyab=(a＞b＞0)的离心率为12，其左焦点到点P(2，1)的距离为10．不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)求ABP的面积取最大时直

线l的方程．【解析】(Ⅰ)由题：12cea==；(1)左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：22(2)1dc=++=10．(2)由(1)(2)可解得：222431abc===，，．∴所求椭圆C的方程为：22+143xy=．…4分(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝12

x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝12x0．∵A，B在椭圆上，∴220220+12333434422+143AAABABABABABBBxyxyyxxkxxyyyxy=−+==−=−=−−+=．

设直线AB的方程为l：y＝﹣32xm+(m≠0)，代入椭圆：2222+143333032xyxmxmyxm=−+−=+＝-．显然222(3)43(3)3(12)0mmm=−−=−．∴

﹣12＜m＜12且m≠0．由上又有：ABxx+＝m，AByy+＝233m−．∴|AB|＝1ABk+|ABxx−|＝1ABk+2()4ABABxxxx+−＝396212m−．∵点P(2，1)到直线l的距离为：82241313mmd−−==．∴SAB

P＝12d|AB|＝3622(4)(12)mm−−，其中﹣12＜m＜12且m≠0．当m＝17−时，有(SABP)max．此时直线l的方程322720xy++−=…12分