【文档说明】四川省自贡市旭川中学2023-2024学年高二下学期第一次月考适应性检测数学试题（A卷） Word版含解析.docx，共(13)页，534.877 KB，由小赞的店铺上传

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高2025届第一次月考适应性检测A卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1.在等差数列na中，35712aaa+=−，则19aa+=A.8B.12C.16D

.20【答案】A【解析】【详解】由题意，数列na为等差数列，结合等差数列通项公式的性质得，3575312aaaa++==，则54a=，所以19528aaa+==.故选A.2.设m为实数，若方程22121xymm+=−−表示焦点在x轴上

的椭圆，则实数m的取值范围是（）A.322mB.32mC12mD.312m【答案】D【解析】【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.【详解】22121xymm+=−−表示焦点在x轴上的椭圆，可得210mm−−，解得

312m.故选：D3.已知数列{}na是等差数列，12a=，其中公差0d，若5a是3a和8a的等比中项，则18S=（）A.398B.388C.189D.199【答案】C【解析】【分析】数列{}na是等差数列，12a=，其中公差0d，由5a是3a和8a的

等比中项，可得2(24)(22)(27)ddd+=++，解得d即可得出．.【详解】解：数列{}na是等差数列，12a=，其中公差0d，5a是3a和8a的等比中项，2(24)(22)(27)ddd+=++，化为(1)0dd−=，0

d．所以1d=，则18181718211892S=+=．故选：C．4.与椭圆C：221156xy+=共焦点且过点()2,2P的双曲线的标准方程为（）A.221167xy−=B.22163xy−=C.22136xy−=D.221916xy−

=【答案】C【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,ab的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221xyab−=，则1563c=−=，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330FF−，由双曲线的定义可知

()()22121223223233323226PFPFacFF−=++−−+=−====，所以3,3,936acb===−=，所以所求双曲线的标准方程为22136xy−=.故选：C.5已知数列{}na满足112a=，11nnnaaa+=+，则2023a=（）.

A.12021B.12022C.12023D.12024【答案】D【解析】【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可．【详解】解：因为11nnnaaa+=+，则1111nn

aa+-=，又112a=，则112a=，所以数列1{}na是首项为2，公差为1的等差数列，所以11nna=+，所以11nan=+，则202311202312024a==+．故选：D.6.设双曲线222:1yCxb−=

的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且12FPFP⊥，若12PFF的面积为4，则双曲线C的离心率为（）A.2B.2C.3D.5【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的定义和三角形的面积公式，列出方程组求得c的值，结合离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线222:1y

Cxb−=，可知1a=，设21,PFmPFn==，可得2mn−=，又因为12FPFP⊥，若12PFF的面积为4，所以142mn=，且2224mnc+=，联立方程组，可得25c=，所以双曲线的离心率为5cea==.故选：D.7.已知11a=，(

)()1nnnanaan++=−N，则数列{𝑎𝑛}的通项公式是na=（）A.21n−B.11nnn++C.2nD.n【答案】D【解析】【分析】根据题意可得11nnanan++=，再利用累乘法计算可得；【详解】由()1+=−nnnanaa，得()11n

nnana++=，即11nnanan++=，则11nnanan−=−，1212nnanan−−−=−，2323nnanan−−−=−，…，21221ana=，，由累乘法可得1nana=，所以2nann=，，又11a=，符合上式，所以nan=.

故选：D．8.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创隙积术，是研究某种物品按一定规律堆积起来求其总数问题.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，发展了隙积术的成果，对高阶等差数列求和问题提出

了一些新的垛积公式.高阶等差数列的前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.现有二阶等差数列：2，3，5，8，12，17，23…则该数列的第41项为（）A.782B.822C.780D.8

20【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和累加法求通项可求解.【详解】设该数列为na,由题可知,数列1nnaa+−是以211aa−=为首项,1为公差的等差数列,所以11(1)1nnaann+−=+−=,所以()()()213211112nnnaaaaaaaan++−+

−++−=−=+++,所以11(1),2nnnaa++−=所以1(1)2,2nnna++=+所以4140412822,2a=+=故选:B.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的

四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得2分，有选错的不得分）9.记nS为等差数列{𝑎𝑛}的前n项和.已知535S=，411a=，则（）A.45nan=−B.23nan=+C.223nSnn=−D.24nSnn=+【答案】AC【解析】【分析】

由535S=求出37a=，再由411a=可得公差为434daa=−=，从而可求得其通项公式和前n项和公式【详解】由题可知，53535Sa==，即37a=，所以等差数列{𝑎𝑛}的公差434daa=−=，

所以()4445naandn=+−=−，()2451232nnnSnn−−==−.故选：AC.【点睛】本题考查等差数列，考查运算求解能力.10.数列na满足112a=，()*112nnnnaaaan++−=N，数列nb的前n项和为𝑆𝑛，且()

*213nnbSn=+N，则下列正确的是（）A.12023是数列na中的项B.数列nb是首项为3，公比为3的等比数列C.数列1nnaa+的前n项和14nTD.数列nnba的前

n项和()1213322nnnA+−=+【答案】BCD【解析】【分析】由等差数列的定义和通项公式求得12nan=，由数列的通项与前n项和的关系，求得3nnb=，结合数列的裂项相消求和、错位相减法求和，可得结论．【详解】解：数列na满足112a=，()*112Nnnnnaaaan++−=

，可得1112nnaa+−=，即有()12212nnna=+−=，即12nan=，由()*21N3nnbSn=+，可得111221133bSb=+=+，解得13b=，当2n时，由213nnbS=+，可得11213nnbS−−=+，两式相

减可得1122211333nnnnnbbSSb−−−=+−−=，即为13nnbb−=，即数列nb是首项为3，公比为3的等比数列，则3nnb=，故B正确；令12023na=，解得20232n=，不为整数，故A错误；()

111114141nnaannnn+==−++，则1111111111142231414nTnnn=−+−++−=−++，故C正确；23nnnbna=，()2213233nnAn=

+++，()2313213233nnAn+=+++，两式相减可得()()2113132233332313nnnnnAnn++−−=+++−=−−，化为()1213322nnnA

+−=+，故D正确．故选：BCD．11.已知数列na的前n项和为nS，点()()*,3NnnSn+在函数32xy=的图象上，等比数列nb满足()*1Nnnnbban++=，其前n项和为nT，则下列结

论正确的是（）A.2nnST=B.21nnTb=−C.nnTaD.1nnTb+【答案】BD【解析】【分析】根据题意，将点()()*,3NnnSn+坐标代入函数32xy=中，可得323nnS=−据此可得数列na的通项公式，对于等比数列nb，设

其公比为q，由题意可得()12113bbbq+=+=,2321(1)(1)6bbbqbqq+=+=+=，即可得数列nb的通项公式，由等比数列前n项和公式计算可得nT的表达式，据此依次分析选项，即可得答案【详解】根据题意，对于数列na，点()()*,3NnnSn+

在函数32xy=的图象上，则有332nnS+=，即323nnS=−①﹔由①可得∶11323nnS−−=−，②,①-②可得：11(323)(323)32,(2)nnnnan−−=−−−=,③=1n时，113233aS==−=,验证可得∶=1n时

，1=3a符合③式,则132nna−=，对于等比数列nb，设其公比为q，等比数列nb满足()*1Nnnnbban++=，=1n时，有()12113bbbq+=+=④，=2n时，有2321(1)(1)6bbbqbqq+=+=+=⑤

，联立④⑤，解可得11,2bq==，则12nnb−=，则有1(12)2112nnnT−==−−;据此分析选项：对于A、3233(21),21nnnnnST=−=−=−,则有3nnST=，故A错误；对于B、21nnT=−，12nnb−=，故21nnTb=−，故B

正确；对于C、=1n时，011211,323,nnTaTa=−===不成立，故C错误；对于D、21nnT=−，12nnb+=，则有1nnTb+，D正确；故选：BD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12.若数列

na满足*111,2(N)nnaaan+==，则4a=________，前8项的和8S=________.【答案】①.8②.255【解析】【分析】由已知条件可得数列na是以2为公比，1为首项的等比数列，然后利用等比数列的通项公式和前n项和公式分别求出4a和8S.【详解】因为数列

na满足*111,2(N)nnaaan+==，所以数列na是以2为公比，1为首项的等比数列，所以34128a==，888122125512S−==−=−.故答案为：8，25513.已知等比数列na是

递增数列，nS是na的前n项和，若1a，3a是方程2540xx−+=的两个根，则6S=__________．【答案】63【解析】【详解】试题分析：因为13,aa是方程254(4)(1)0xxxx−+=−−=的两个根，且等比数列{

}na是递增数列，所以，即，则66126312S−==−；故填63．考点：1．一元二次方程的根与系数的关系；2．等比数列．14.《孙子算经》中提到“物不知数”问题.如：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序排成一列，即25,8,11,,，构成数列

na，记数列na的前n项和为nS，则227nSn+的最小值为________.【答案】19【解析】【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式，即可得到23122nSnn=+，再由基本不等式即可得到结果.

【详解】由题意可知，数列na是以2为首项，3为公差的等差数列，则()213123222nnnSnnn−=+=+，所以222732727273123119nSnnnnnnnn+++==+++=，当且仅当273nn=时，即3n=时，等号成立，所以227nSn+的最小值为

19.故答案为：19四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知数列{}na满足178a=且11123nnaa+=+.（1）求证：23na−是等比数列；（2）求数列{}na的通项公式.【答案】（1）证明见解析；（2）2512323

nna+=+.【解析】【分析】（1）由11123nnaa+=+，构造出1212()323nnaa+−−=，再求出125324a−=，可得结论；（2）由（1）和等比数列的通项公式可得解.详解】（1）证明：11123n

naa+=+，111211233212332()32nnnnaaaa++−=−−−==1213,223nnaa+−=−又125324a−=，23na−是首项为524，公比为12的等比数列；（2）由（1）知11325151,3242322nnna−−

−==2512323nna+=+【点睛】本题考查根据递推公式证明数列是等比数列和等比数列的通项公式，关键在于构造出所需的表达式，属于中档题.16.已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为nS，35229aa+=，880S=．（1）求{𝑎𝑛}的通项公式

；（2）设11nnnbaa+=，求数列{𝑏𝑛}的前n项和nT．【答案】（1）21nan=+【.（2）11646nTn=−+【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，由题意列出方程组，求出首项和公差，即可求得答案；（2）由（1）可得11nnn

baa+=的表达式，利用裂项相消法，即可求得答案.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，则由35229aa+=，880S=，得1131029878802adad+=+=，解得132ad==

，故()32121nann=+−=+；【小问2详解】由（1）得()()111111212322123nnnbaannnn+===−++++，故111111111)23557212(3nnTbbbnn=+++=−+−++−++11111()23

23646nn=−=−++.17.2015年推出一种新型家用轿车，购买时费用为16.9万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共1.2万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元.（I）设该辆轿车使用n年的总费用（包括购买

费用、保险费、养路费、汽油费及维修费）为f(n)，求f(n)的表达式；（II）这种汽车使用多少报废最合算（即该车使用多少年，年平均费用最少）？【答案】(1)2()16.91.2(0.10.1)fnnnn=++−20.11.116.9nn=++（万元）.(2)13年报废最合

算.【解析】【详解】分析：（1）先根据等差数列求和公式得维修总费用，再加上购买费用、保险费、养路费、汽油费得f(n)的表达式；（2）先列年平均费用，再根据基本不等式求最值,最后根据等号取法得结果.详解：（I）由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n年的维修总费用为()200.210.10.12n

nnn+−=−（万元）所以()()216.91.20.10.1fnnnn=++−20.11.116.9nn=++（万元）（II）该辆轿车使用n年的年平均费用为()20.11.116.9fnnnnn++=16.90.11.1nn=++16.920.11.1nn+=3.

7（万元）当且仅当16.90.1nn=时取等号，此时n=13答：这种汽车使用13年报废最合算.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另

一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.18.已知nT为正项数列na的前n项的乘积，且13a=，21nnnTa+=，数列nb满足nnbkan=−．（1）试求2a，3a的值；（2）求数列na的通项公

式：（3）若数列nb为递增数列，求实数k的取值范围．【答案】（1）29a=，327a=（2）答案见解析（3）16k【解析】【分析】（1）根据21nnnTa+=，可得2211nnnTa+++=，两式相除可得11nnnnaa++=，两边取对数并构造常数列，即可求得3nna=，进一步得

到答案.（2）由（1）的分析可得答案.（3）由（1）的结论，求出nb，再根据单调数列的意义列式求解即得.【小问1详解】由nT为正项数列na的前n项的乘积，得11nnnTaT++=，由21nnnTa+=，得2211nnnTa+++=，于是22211121nnnnnnnTa

aTa+++++==，即11nnnnaa++=，两边取对数得11lglgnnnnaa++=，即()1lg1lgnnnana+=+，整理得1lglg1nnaann+=+，因此数列lg{}nan是常数列，即1lglglg31naan==，于是lglg31g3nna

n==，所以3nna=.所以239,27aa==.【小问2详解】由（1）可知数列na的通项公式为3nna=.【小问3详解】由（1）知，3nnbkn=−，由数列nb为递增数列，得113N,(1)30nnnnnbkn

bkn++−+−+，即1N,231023nnnkk−，而数列123n是递减数列，11236n，当且仅当1n=时等号，所以实数k的取值范围是16k.19.已知等差数列na的前n项和为nS，且424SS=，()2

21nnaan=+N．（1）求数列na的通项公式；（2）求数列na的前n项和nS；（3）若13nnb−=，令nnncab=，求数列nc的前n项和nT．【答案】（1）21nan=−（2）2n（3）()113nnTn=+−【解析】【分析】（1）利用等差数列的前n项和公式与

通项公式，即可解出1ad，，则可写出其通项公式；（2）利用等差数列的前n项和公式，结合第（1）问，即可求得；（3）利用错位相减，化简解可得出答案.【小问1详解】设公差为d，221nnaa=+中，令1n=得2121a

a=+，又424SS=，则()1111464221adadada+=++=+，解得112ad==，故()()1112121naandnn=+−=+−=−；【小问2详解】()22112nnndSnannnn−=+=+−=；小问3详解】()1213nnnnncab

−=−=，则()021133353213nnTn−=++++−①，故()233133353213nnTn=+++−+②，故①－②得()2121232323213nnnTn−−=++++−−()()(

)3312213133213222313nnnnnnnn−=+−−=+−−−=−+−−，故()113nnTn=+−．【