【文档说明】湖南省益阳市安化县两校联考2023-2024学年高二下学期7月期末自检数学试题（解析版）.docx，共(16)页，1.069 MB，由小赞的店铺上传

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2023-2024学年下学期期末自检高二数学一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{21}{2012}Ax|x,B,,,,=−=−则AB=()A.{201},,−B.{

210},,−−C.{20},−D.{201},,【答案】C【解析】【分析】根据交集的概念与运算直接得出结果.【详解】由题意知，{2,0}AB=−.故选：C2.已知11izz=−+，则复数z=（）A.2i+B.2i−C.1i−D.1i−+【答

案】C【解析】【分析】设izab=+（a，bR），代入11izz=−+，利用复数相等求解.【详解】设izab=+（a，bR），则izab=−.因为11izz=−+，所以ii11iabab+−=−+,即()()i1iab−+()1iiab=+−+，整

理得2i1iaba++=+，所以211aba+==，解得11ab==−，所以1iz=−.故选：C3.设,ab均为单位向量，且14ab=，则2ab+=rr（）A.3B.6C.6D.9【答案】B【解析】分析】对2ab+两边平方可得答案

.【详解】()2222244+=+=++ababababrrrrrrrr15464=+=.故选：B.4.已知锐角满足4tan23=，则2sin3coscos2−+=（）A.1−B.25−C.45D.75【答案】D【解析】【分

析】利用二倍角公式求出1tan2=，再将原式化为22tan3tantan1++，代入求解即可.【详解】因为为锐角，所以tan0，又22tan4tan21tan3==−，所以1tan2

=，所以222222sin3sincostan3tan7sin3coscos2sincostan15++−+===++.故选：D.5.已知等比数列,nnaS是其前n项和，223Sa=，则33Sa=（）A

.72B.8C.7D.14【答案】C【【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，根据题意求得12q=，结合等比数列前n项和的定义即可求解.【详解】设等比数列na的公比为q，因223Sa=，可得1223aaa+=，即122aa=，所以2112aa

q==，所以222311122231112112712Saaqaqqqaaqq++++++====.故选：C.6.通辽是“最美中国文化旅游城市”，境内旅游资源丰富，自然景观优美，其中的大

青沟，孝庄园文化旅游区，珠日河草原旅游区，库伦三大寺，孟家段国家湿地公园，银沙湾，可汗山都是风景宜人的旅游胜地，某班4个同学分别从7处风景点中选择一处进行旅游观光，则不同的选择方案是（）A.47C种B.47A种C.

74种D.47种【答案】D【解析】【分析】由题意每位同学都有7种选择，利用分步计数原理即可求解.【详解】由题意每位同学都有7种选择，则4名同学共有47种选择方案.故选：D.7.我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为“刍童”.如图，在刍童ABCDEFGH−中，4,

2,8,4ABADEFEH====，平面ABCD与平面EFGH之间的距离为3，则此“刍童”的体积为（）A.36B.46C.56D.66【答案】C【解析】【分析】首先说明几何体为四棱台，再代入台体体积公式，即可

求解.为【详解】由//ABEF，//ADEH，//BCFG，//DCHG，且ABADBCDCEFEHFGHG===，则,,,EAFBGCHD交于同一点P，该“刍童”为四棱台，矩形ABCD的面积为428=,矩形EFGH的面积为8432=,且上下底面的高为3，所以四棱台的体积()1

8328323563V=++=.故选：C8.若M，N分别是双曲线C：2213yx−=的右支和圆D：()()22511xy−+−=上的动点，且F是双曲线C的右焦点，则MNMF+的最小值为（）A.523−B.522−C.322−D.321−【答案】A【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，双曲线的

左焦点坐标，结合双曲线的定义及两点之间线段最短转化计算.【详解】圆D：()()22511xy−+−=的圆心()5,1D，半径1r=，双曲线C：2213yx−=则1a=，3b=，222cab=+=，设左焦点为()12,0F−，则122MFMFa−==，即12MFMF=−，所以()

2211235213523MNMFMNMFDF+=+−−=++−=−，当且仅当M、N在线段1DF与双曲线右支、圆的交点时取等号.故选：A二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小繁给出的远项中，有多项待合题目要求.全部选对的得6分，部

分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在72xx−的展开式中，下列说法正确的是（）A.不存在常数项B.二项式系数和为1C.第4项和第5项二项式系数最大D.所有项的系数和为128【答案】AC【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式及赋值法，逐项分析即得.【详解】因为展开式

的通项公式为()()77271772C21CrrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，对A，由270r−=，得72r=(舍去)，所以展开式不存在常数项，故A正确；对B，二项式系数和为72128=，故B错误；对C，展开式共有8项，所以第4项和

第5项二项式系数最大，故C正确；对D，令1x=，得所有项的系数和为()7211−=，故D错误；故选：AC.10.已知函数3()1fxxx=−+，则（）A.2()31xfx=−B.()fx有两个极值点C.点(0,1)是曲线(

)yfx=的对称中心D.()fx有两个零点【答案】ABC【解析】【分析】求导后令()0fx=，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。【详解】2()31xfx=−，故A正确；令()0fx=，解得33x=，当33

x或33x−时，()0fx，当3333x−时，()0fx，所以函数()fx在3,3−−和3,3+上单调递增，在33,33−上单调递减，故函数()fx在33x=处取得极小值，在33x=−取得极大值，即()32

=31039fxf=−+极小值，()32=31039fxf−=+极大值，()fx只有一个零点，故B正确D错误；()()33112fxfxxxxx+−=−+−++=，所

以()fx关于()0,1对称，故C正确。故选：ABC11.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点P在截面11BCD内，且153PC=，则（）A.三棱锥1PABD−的体积为16B.线段PA的长为103C.点P的轨迹长为2π3D.PAPC的最大值为59【答案】ACD【解析】【分析

】对于A，点P到平面1ABD的距离为11333AC=，再通过三棱锥1PABD−的体积公式计算即可；对于B，设11BCD的中心为1O，则111323|,3|3||OCAO==，通过勾股定理计算||PA即可；对于C，如图②所示，点P的轨迹是以1O为圆心，23为半径的圆的一部分，由三段162345,,

PPPPPP劣弧构成并计算即可；对于D，建立空间直角坐标系，当P位于点1P或2P的位置时，cosAPPAC最小，计算11PAPC即可.【详解】对于A，在正方体中，易证1AC⊥平面11BCD，平面11//BCD平面1ABD，且两平面间的距离为11333AC=，又1ABD

的面积132ABDS=，所以三棱锥1PABD−的体积1131331,333236PABDABDVS−===故A正确；对于B，如图①所示，设11BCD的中心为1O，则111323|,3|3||OCAO==，2222111111214|

||||,||||||,|33POPCOCPAAOPO=−==+=故B错误；对于C，如图②所示，由1121122||||||3POPOPP===知，11260POP=，点P轨迹是以1O为圆心，23为半径的圆的一部分，由三段162345,,PPP

PPP劣弧构成，其长度为圆1O周长的一半1222ππ,233=故C正确；对于D，()2142cos9PAPCPAPAACAPAPACAPPAC=+=−=−，cosAPPAC为AP在AC方向上的投影，由图

①可知，当P位于点1P或2P的位置时，cosAPPAC最小，此时PAPC取得最大值，如图②所示，建立空间直角坐标系，则()1221121,1,0,,,1,,,13333CPP，1121125,,1

,,133339PAPC=−−−−=，故D正确.故选：ACD.的三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数21()lnxfxxxa+=+为奇函数，则a的值为_____________.【答案】1−【解析】【

分析】求出函数()fx的定义域，再由奇函数的性质求出a并验证即得.【详解】函数21()lnxfxxxa+=+中，10(1)()0xxxaxa++++，方程(1)()0xxa++=的根为1,a−−，由函数()fx是奇函数，得1()0a−+−=，解得1a=−

，此时21()ln1xfxxx+=−的定义域为,1(),)1(−−+，222111()()lnlnln()111xxxfxxxxfxxxx−+−+−=−==−=−−−+−，即函数()fx为奇函数，所以a的值为1−.故答案为：1−13.镇江西津渡的云台阁，是一座宋

元风格的仿古建筑，始建于2010年，目前已成为镇江市的地标建筑之一.如图，在云台阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且40ABBC==米，则云台阁的高度为________米.【答案】81

5【解析】【分析】设OPh=，利用三角函数分别表示,,OAOBOC,然后分别,OBAOBC中利用余弦定理表示cos,cosOBAOBC,因为OBAOBC+=,所以coscos0OBAOBC+=,求出h即可【详解】设OPh=在RtOPA△中，tanta

n30OPOAPOA==，3=OAh.RtOPB△中，tantan60OPOBPOB==,33OBh=,在RtOPC中，tantan45OPOCPOC==,OCh=.在OAB中，由余弦定理得：22222214033cos232403hhOB

ABOAOBAOBABh+−+−==，在OBC△中，由余弦定理得：2222221403cos232403hhOBBCOCOBCOBBCh+−+−==,因为OBAOBC+=,所以coscos0OBAOBC+=，即2222221140

340033hhhh+−++−=，815h=.故答案为：81514.设1F，2F是双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线在第一象限交于点P，且213PFPF=，则双

曲线C的离心率为__.若12PFF△内切圆圆心I的横坐标为2，则12PFF△的面积为___.【答案】①.102②.6【解析】【分析】利用题给条件结合双曲线定义求得,ac关系，进而求得双曲线C的离心率；利用题给条件求得a的值，进而求得12PFF△的面积.【详解】设

以12FF为直径圆与双曲线在第一象限的交点设为P，在的则1290FPF=，由双曲线的定义可得12222PFPFaPF−==，所以13PFa=，2PFa=，由勾股定理得2221212PFPFFF+=，即有22294aac+=，∴102e=.设12PFF△内切圆与x轴相切于M，M点横坐标为t，则1

212PFPFMFMF−=−，则3()2aatcctt−=+−−=,解之得ta=又由12PFF△内切圆圆心I的横坐标为2，得2a=，故12121162622PFFSPFPF===.故答案为：102，6四､解答题：本题共5小题，其中第15题13

分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知222bcabc+−=，sin7sinAC=．（1）求bc的值；（2）若2CDDA=，且2BD=，求ABC的面积．【答案】（1）3（2）3

3【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出A，再判断C为锐角，即可求出sinC、cosC，从而求出sinB，即可得解；（2）依题意可得13BDBAAC=+，将两边平方，结合3bc=及数量积的运算律求出b、c，再由面积公式计算可得.【小问1详解】因为222bcabc+−=，由余弦定理可得2221

cos22bcaAbc+−==，又()0,πA，所以π3A=，又因为sin7sinAC=，由正弦定理可得7ac=，则AC，所以C为锐角，又3sin212sin1477AC===，所以257cos1sin14CC=−=，所以()()sinsinπsinsincoscossinBAC

ACACAC=−+=+=+35712132121421414=+=，所以321sin143sin2114bBcC===．【小问2详解】由（1）可得3bc=，2CDDA=，且2BD=，因为13BDBAADBAAC=+=+，所以()222221212cosπ9393BDBAACB

AACcbcbA=++=++−222222cccc−===+，所以2c=，6b=，所以113sin2633222ABCSbcA===．16.如图，四棱锥PABCD−的底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形，PA是圆柱的母线，2PAAD==，1AB=.（1）证明：平面PCD

⊥平面PAD；（2）求平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质定理和判定定理证明CD⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理即可证明平面PCD⊥平面PAD.

（2）以A为原点，分别以,,ABADAP所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PBC与平面PCD的法向量，由平面夹角的向量公式求解即可.【小问1详解】证明：因为PA是圆柱的母线，所以PA⊥平面ABCD，而CD平面ABCD，所以PACD⊥.因

为底面ABCD是圆柱底面圆的内接矩形，所以AC是直径，从而CDAD⊥，又因为PAADA=，PA平面PAD，AD平面PAD，所以CD⊥平面PAD，而CD平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.【小问2详解】由题意PA⊥平面ABC

D，ABAD⊥，注意到AB平面ABCD，AD平面ABCD，所以,APABAPAD⊥⊥，所以,,ABADAP两两互相垂直，以A为原点，分别以,,ABADAP所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()()(

)()0,0,0,1,0,0,1,2,0,0,2,0,0,0,2ABCDP，所以()()()1,0,2,1,2,2,0,2,2PBPCPD=−=−=−，设()111,,mxyz=为平面PBC的法向量，则1111120220mPBxzmPCxyz=−==+−=，令11z

=，可得112,0xy==，得平面PBC的一个法向量为()2,0,1m=，设()222,,nxyz=为平面PCD的法向量，则22222220220nPDyznPCxyz=−==+−=，令21y=，可得220,1xz==，

得平面PCD的一个法向量()0,1,1n=.设平面PBC与平面PCD的夹角为，则110coscos,1052mnmnmn====，所以平面PBC与平面PCD的夹角的余弦值为1010.17.随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某

地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下：脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]购物群数量/个1218m3218（1）求实数m的值.并用组

中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数；（2）假设所有购物群销售脐橙的数量()2~,XN，其中为（1）中的平均数，214400=.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙

在[256,616)（单位：盒）内的群为“A级群”，销售数量小于256盒的购物群为“B级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“A级群”奖励100，对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大

约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数）附：若()2~,XN，则()0.683PX−+，(22)PX−+0.954，(33)0.997PX−+.【答案】（1）m=20；平均数为376（2

）奖金约为95700元【解析】【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得m值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得；（2）由题意，结合（1）的结果易得,的值，根据“A级群”，“特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对

应的概率，再计算出需准备的奖金即可.【小问1详解】由题意得，12183218100m++++=，解得20m=.则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为1(1501225018350204503255018)376100++++=.【小问2详解】由题意，376,120,==则

256,6162=−=+，故(256616)(2)PXPX=−+1()(22)122PXPX=−++−+110.6830.9540.818522+=，故“A级群”约有10000.8185818.5819=个；()()()116

162[1(22)]10.9540.02322PXPXPX=+=−−+−=，故“特级群”约有10000.02323=个；则依题意，需要资金为8191002360095700+=元，即该脐橙基地大约需要准备95700元.18.

已知椭圆22:1124xyC+=及直线:0lxyt−+=．（1）若直线l与椭圆没有公共点，求实数t的取值范围；（2）P为椭圆C上一动点，若点P到直线l距离的最大值为62，求直线l的方程．【答案】（1）(,4)(4,)−−+（2）80xy−−=或80−+=xy.

【解析】【分析】（1）联立方程组，根据题意，利用Δ0，即可求得实数t的取值范围；（2）根据题意，把点P到直线l距离的最大值，转化为与直线l平行且与椭圆C相切的直线1l与直线l间的距离，由（1）可得直线1:40lxy−−=或直线2:

40lxy−+=与椭圆C相切，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解.【小问1详解】解：联立方程组2201124xyxy−+=+=，整理得22463120xtxt++−=，因为直线l与椭圆C没有公共点，所以22

3644(312)0tt=−−，解得4t或4t−，所以实数t的取值范围为(,4)(4,)−−+.【小问2详解】解：由题意，点P到直线l距离的最大值，等价于与直线l平行且与椭圆C相切的直线1l与直线l间的距离，由（1）中，223644(312)0tt=−−=，解得4t=或

4t=−，此时直线1:40lxy−−=或直线2:40lxy−+=与椭圆C相切，当1l与l之间的距离为62时，可得()2246211t+=+−，解得8t=或16t=−（舍去）；当2l与l之间的距离为62时，可得()224621

1t−=+−，解得8t=−或16t=（舍去），综上可得，所求直线l的方程为80xy−−=或80−+=xy.19.设函数()elnxfxax=−．（1）当1a=，求()fx在点()1,e处的切线方程；（2）证明：当0a时，()2lnfxaaa−；【答案】（1

）()e11yx=−+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由导数的意义求出切线的斜率，再由点斜式得到直线方程即可；（2）先证明()fx在()0,+上存在唯一零点，设为0x，再由导数求出最小值()()0minfxfx=结合基本不等式和对数的运算证明即可.【小问1详解】当1a=时，()elnx

fxx=−，则()1exfxx=−，即()1e1f=−，所以()fx在点()1,e处的切线方程为()()ee11yx−=−−，即()e11yx=−+.【小问2详解】因为()e,0,0xafxxax=−，因为exy=为单调递增函

数，ayx=−也为单调递增函数，所以()fx为单调递增函数，又()e10afa=−，且eee0eaaaaaf=−，所以()fx在()0,+上存在唯一零点，设为0x，当()00,xx时，()0fx，()fx为单调递减函数；当()0

,xx+时，()0fx，()fx为单调递增函数；所以()()0minfxfx=，由()00fx=可得00exax=，即00exax=，所以()()0000000lnlnlneln2lnexxaaaafxaaaaxaaaaaxxx=−=−−

=+−−，当且仅当01x=时取等号，所以当0a时，()2lnfxaaa−，