【文档说明】北京市门头沟区大峪中学2023-2024学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析.docx，共(17)页，929.147 KB，由小赞的店铺上传

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大峪中学2023―2024第二学期高一年级数学学科期中考试试卷（满分：150分；时间：120分钟；命题人：李妍玫；审核人：王锋）一、选择题（本大题共10小题，每题4分，共40分）1.函数()πsin23xfx=+

的最小正周期为（）A.πB.2πC.4πD.6π【答案】C【解析】【分析】根据周期公式2πT=计算可得.【详解】函数()πsin23xfx=+的最小正周期2π4π12T==.故选：C2.若sin0，且tan0，则是A.第一象限角B.第二象限角C.第

三象限角D.第四象限角【答案】C【解析】【详解】sin0，则的终边在三、四象限；tan0则的终边在三、一象限，sin0，tan0，同时满足，则的终边在三象限．3.sin20cos40cos20sin40+的值为（

）A12B.22C.32D.32−【答案】C【解析】【分析】根据正弦的和差角公式即可求解.【详解】()3sin20cos40cos20sin40sin2040sin602+=+==，故选:C．4.已知向量(1,3),(,4)abm==，且(2)bab⊥−，则m值为（）.的A.2

−B.2C.4D.2−或4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得2(2,2)abm−=−，结合(2)bab⊥−，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(1,3),(,4)abm==，可得2(2,2

)abm−=−，又由(2)bab⊥−，可得(2)80mm−+=，解得2m=−或4m=．故选：D．5.比较tan48、()tan22−、tan114的大小关系（）A.()tan114tan48tan22−B.()tan22tan114tan48−C.()tan22

tan48tan114−D.()tan48tan22tan114−【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式得()tan114tan66=−，然后由正切函数的单调性可得.【详解】()()t

an114tan18066tan66=−=−，因为函数tanyx=在()90,90−上单调递增，且662248−−，所以()()tan66tan22tan48−−，即()tan48tan22tan114−.故选：

D6.函数si21nyx=−的定义域为（）A.3ππ22,23ππkk++，ZkB.6ππ72,26ππkk++，ZkC.6ππ52,26ππkk++，ZkD.3ππ42,23ππkk++，Zk【

答案】C【解析】【分析】依题意可得2sin10x−，根据正弦函数的性质计算可得.【详解】对于函数si21nyx=−，令2sin10x−，即1sin2x，解得ππππ52266kxk++，Zk，所以函数si21nyx=−的定义域为6ππ

52,26ππkk++，Zk.故选：C7.已知函数()sin()fxx=+（其中2）的图象如图所示，为了得到()fx的图象，则只需将()sin2gxx=的图象A.向左平移3个单位长度B.向右平移3个单位长度C.向左平移6个单位长度D.

向右平移6个单位长度【答案】C【解析】【分析】由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而得到函数()fx的解析式．再根据sin()yAx=+的图象变换规律得出结论．【详解】解：由函数()sin()fxx=+的图象可得：1274123

=−，解得2=．再由已知条件及五点法作图得23+=，解得:3=，故函数()sin2sin236fxxx=+=+，故把()sin2gxx=的图象向左平移6个长度单位可得()fx的图象，故选：C．8.已知63cossin5xx−=−，则2πsin3x

+=（）A.45B.45−C.35D.35-【答案】D【解析】分析】先利用辅助角公式化简，然后由诱导公式可得.【详解】因为13π63cossin2sincos2sin2235xxxxx−=−−=−−=−

，所以π3sin35x−=，所以2πππ3sinsinπsin3335xxx+=+−=−−=−.故选：D9.已知实数,,“+2,kkZ=

”是“()sin+sinsin=+”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由条件推结论可判断充分性，由结论推条件可判断必要性.【详解】当+2,kkZ

=时，()sin+0=，且sinsinsinsin(2)sinsin0k+=+−+=−=，充分性成立；当()sin+sinsin=+时，未必有+2,kkZ=，例如,0==时，此时()sin+sinsin0=+=，但

不满足+2,kkZ=.所以实数,,“+2,kkZ=”是“()sin+sinsin=+”的充分而不必要条件.故选：A.10.1551年奥地利数学家､天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角

形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示.现已知()12π0cscsec2fxxxx=+，则该函数的最小值为（）A.3

B.5C.1D.2【答案】C【解析】【【分析】根据给定的定义，利用锐角三角函数的定义转化为角的正余弦，即1seccosxx=，1cscsinxx=，所以()()sin2cos5sinfxxxx=+=+，利用三角函数的图象与

性质即可求解.【详解】依题意，x可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义可得1seccosxx=，1cscsinxx=，所以()12sin2coscscsecfxxxxx=+=+π02x，所以()()525sin2cos5sincos5sin

55fxxxxxx=+=+=+，其中5cos5=，25sin5=，当π02x，则π2x++，而25sin5=，π5sincos25+==，所以()minπ

π55sin51225fxf==+==；故选：C二、填空题（本大题共5小题，每题5分，共25分）11.已知是第二象限角，且1tan3=−，则sin=______．【答案】1010【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】若是第二象

限角，且1tan3=−，故sin1cos3=−，则1s3incos=−，故221cos(cos)13+−=，解得310cos10=−（正舍），故1010sin=，故答案为：101012.设向量a与

b的夹角为60，且22a=，3b=，则a在b方向上的投影数量为______．【答案】2【解析】【分析】由向量的投影公式即可求解.【详解】由题意a在b方向上的投影数量为cos602a=.故答案为：2.13.《九章算术》是中国

古代的数学名著，其中《方田》一章给出了弧田面积的计算公式．如图所示，弧田是由圆弧AB和其所对弦AB围成的图形，若弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，则弧田的弦AB长是__________，弧田的面积是__________．【答案】①

.63②.12π﹣93【解析】【分析】过O作OCAB⊥，交AB于D，先求得圆心角AOB的弧度数，然后解解三角形求得AB的长.利用扇形面积减去三角形OAB的面积，求得弧田的面积.【详解】∵如图，弧田的弧AB长为4π，弧所在的圆的半径为6，过O作OCAB⊥，交AB于D，根据圆的几何性质

可知，OC垂直平分AB.∴α＝∠AOB＝46＝23，可得∠AOD＝3，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin3＝2×362＝63，∴弧田的面积S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝124π×6﹣16332＝12π﹣93．故答案为

：63，12π﹣93．【点睛】本小题主要考查弓形弦长和弓形面积的计算，考查中国古代数学文化，属于中档题.14.当0πx时，函数()2cossinfxxx=−的最小值为______．【答案】54−##114−##1.25−【解析】【分析】利用平方关系将函数化为关于c

osx的二次函数，结合二次函数性质可解.【详解】()22cossincoscos1fxxxxx=−=+−，令cosxt=，则21ytt=+−，因为0πx，所以1cos1x−，即11t−，由二次函数性质可知，当12t=−时，2min1151224y=−−−=−.故答案为：

54−15.已知函数()π2sin4fxx=−（0）在0,2π上的图象有且仅有3个最高点．下面四个结论：①()fx在()0,2π上的图象有且仅有3个最低点；②()fx在()0,2π至多有7个零点

；③()fx在π0,12单调递增；④的取值范围是1927,88；则正确的结论是______．（填写序号）【答案】②③④【解析】【分析】根据第3个正最大值点在区间0,2π内，第4个正最大值点

不在0,2π内列不等式可得的范围，可判断④；求出第3个正最小值点，结合的范围求出其范围即可判断①；根据的范围，求出第7、8个正零点的范围，可判断②；由πππ242x−−得π3π44x−，结合

的范围求出3π4的范围可判断③.【详解】对于④，由ππ2π,42xkk−=+Z得()fx的最大值点为3π2π,4kxk=+Z，因为()fx在0,2π上的图象有且仅有3个最高点，所以3π4π2π43

π6π2π4++，解得192788，④正确；对于①，由ππ2π,42xkk−=−+Z得()fx的最小值点为8ππ,4kxk−=Z，因为192788，所以8182719，因为第3个

正最小值点为23π4，所以46π23π46π27419，所以第3个正最小值点23π4不一定在()0,2π内，故①错误；对于②，由ππ,4xkk−=Z得4ππ,4kxk+=Z，第7、8个正零点为25π29π,44，因为50π25π50π58π29π58

π,2741927419，所以第7个正零点有可能在()0,2π内，第8个正零点不在()0,2π内，所以()fx在()0,2π至多有7个零点，②正确；对于③，由πππ242x−−得π3π44x−，因为π2π3π6π129419

，所以()fx在π0,12单调递增，③正确.故答案为：②③④【点睛】关键点睛：本题关键在于利用的范围，求出关键零点、最值点、端点的范围，然后即可得解.三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16

.已知是锐角，且()()()()()()sinπcos2πtanπtanπsinπf−−−−=+−−．（1）化简()f；（2）若π1cos25−=，求()f的值，【答案】（1）()αcosαf=-；（2

）265−.【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）根据诱导公式和平方关系即可求解.【小问1详解】由诱导公式化简得：()()()()()sincostanπsincostancossinπtansintanf−+−=

==−−+.【小问2详解】π1cossin25−==，∵22sincos1+=，且为锐角，∴26cos5=，∴()26cos5f=−=−17.已知sincoscossi2n53+=−，求下列代数式的值：（1）tan2；（2）22111sinsincosco

s432++【答案】（1）43−；（2）1330.【解析】【分析】（1）利用齐次式弦化切可解得tan2=，再由二倍角公式可解；（2）借助平方关系将所求化为齐次式，然后弦化切可得.【小问1详解】当cos0=时，sincoscossi2n53+=−不成立，∴cos0，∴2si

ncos2tan153cossin3tan++==−−，解得tan2=，所以222tan224tan21tan123===−−−【小问2详解】原式2222111sinsincoscos432sincos++=+2211121tantan1134323

2tan14130++++===++.18.已知函数()2sin3fxx=−．（1）利用五点法画函数()fx在π7,π33内的图象；（2）已知函数()()gxfx=（0），且()gx的最小正周期为2π3，

求()gx的单调递增区间；【答案】（1）答案见解析（2）π2π5π2π,183183kk−++（kZ）【解析】【分析】（1）根据“五点法”，列表，描点，连线，可得函数草图.（2）先根据条件，确定函数的解析式，再结合三角函数的图象和性质求函数的

单调区间.【小问1详解】列表如下：xπ35π64π311π67π3π3x−0π2π3π22π()fx0202−0描点，连线可得函数图象图象如下：【小问2详解】因为()()π2sin3gxfxx==−因为2π2π3T==，所以3=，即()π2s

in33gxx=−因为πππ2π32π232kxk−+−+，kZ解得π2π5π2π183183kkx−++，kZ所以()gx的单调递增区间为π2π5π2π,183183kk−++（kZ）．1

9.如图，在平面直角坐标系xOy中，点()1,0A，点34,55B−在单位圆上，AOB=（0π）．（1）求πtan4+的值；（2）若四边形OADB是平行四边形，求点D的坐标；（3）若2=ABAP，求OPAB值．【答案】（1

）17−的（2）24,55（3）0【解析】【分析】（1）根据三角函数定义求出tan，再由正切的两角和公式可得；（2）根据向量加法运算即可得解；（3）利用平面向量的线性运算求出OP，然后由数量积的坐标表示可得.【

小问1详解】由点()1,0A，点34,55B−在单位圆上，AOB=（0π），得445tan335==−−，所以41πtan113tan441tan713−+++===−−−−；【小问2详解】四边形OADB是平行四边

形，则ODOAOB=+，又()341,0,,55OAOB==−，所以()34241,0,,5555OD=+−=所以点D的坐标为24,55；【小问3详解】∵2=ABAP，∴()2OBOAOPOA−=−∴(

)112,255OPOBOA=+=，又84,55ABOBOA=−=−，所以1284,,05555OPAB=−=20.已知函数()2cos3sincosfxxxxm=++（0，mR），再从条件①、条件②、条件③这

三个条件中选择能确定函数()fx的解析式的两个作为已知．条件①：函数()fx两条对称轴之间最短距离为π；条件②：函数()fx的图象经过点10,2；条件③：函数()fx的最大值为1．（1）求()fx的解析式及最小值点；（2）已知a

R，若函数()yfxa=−在区间π0,2上恰好有两个零点，求a的取值范围．（3）若函数()fx在区间0,t（0t）上有且仅有2条对称轴，求t的取值范围．【答案】（1）()πsin6fxx=+，最小值点为2π2π3xk=−+，k

Z（2）3,12a（3）4π7π33t【解析】【分析】（1）先化简，选择条件①②或①③，由①可得周期，可求出12=，再根据②或③即可求出m，然后由正弦函数性质可得最小值点；（2）转化为函数()yf

x=的图象与函数ya=的图象在区间π0,2上恰好有两个交点，作图即可得解；（3）求出函数()yfx=的对称轴，根据函数()fx在区间0,t（0t）上有且仅有2条对称轴，即可得t的取值范围.【小问1详解】()2cos3sincosfxxx

xm=++1cos23sin222xxm+=++π1sin262xm=+++选择条件②③不能确定函数解析式，选择条件①②.因为2π2π2T==，所以12=，又因为()1110222fm=++=，所以12m=−．所以()

πsin6fxx=+．当ππ2π62xk+=−+，Zk，即2π2π3xk=−+，kZ时，()fx取得最小值，所以函数()fx的最小值点为2π2π3xk=−+，kZ．选择条件①③.因为2π2π2T==，所以

12=，又因为()max1112fxm=++=，所以12m=−．所以()sin6fxx=+．当ππ2π62xk+=−+，kZ，即2π2π3xk=−+，kZ时，()fx取得最小值，所以函数()fx的最小值点为2π2π3xk=−+，kZ．【小

问2详解】∵函数()yfxa=−在区间π0,2上恰好有两个零点，∴函数()yfx=的图象与函数ya=的图象在区间π0,2上恰好有两个交点，∵π0,2x，∴作出函数(

)yfx=的图象如图，由图可知，3,12a．小问3详解】由πππ62xk+=+，kZ，得()fx对称轴方程为ππ3xk=+，kZ又因为()fx在区间上0,t上有且仅有2条对称轴，所以4π7π33t．21.对于集合12,,,

n=和常数0，定义：()()()22210200coscoscosnn−+−++−=为集合相对0的“余弦方差”.（1）若集合,34=，00=，求集合相对

0的“余弦方差”；（2）若集合2,,33=，证明集合相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；（3）若集合,,4=，[0,)，[,2)，相对于任何常数0的“余弦方差”是一个常数，求，的

值.【答案】（1）38（2）证明见解析，这个常数为12；（3）11121912==或7122312==【解析】【分析】（1）根据集合相对0的“余弦方差”的定义及特殊角的三

角函数值即可求解；（2）根据集合相对于常数0的“余弦方差”的定义及两角差的余弦公式即可求解；（3）根据集合相对于常数0的“余弦方差”的定义及三角恒等变换公式即可求解.【小问1详解】【解：当集合,34=，00=时，集合相对0的“余弦方差”22cos(0)cos(0)

33428−+−==；【小问2详解】证明：当集合2,,33=时，集合相对于常数0的“余弦方差”2220002cos()cos()cos()333−+−+−=222000001313(cossin)(cossin)cos22223++−++

=22200013cossincos12232++==，此时“余弦方差”是一个常数，且常数为12；【小问3详解】解：当集合,,4=，)0,，),2时，集合相对于任何常

数0的“余弦方差”222000cos()cos()cos()43−+−+−=2222220000111[(coscos)cos(1sin2sin2)sincos(sinsin)sin]322

=++++++++，要使上式对任何常数0是一个常数，则1sin2sin20++=且222211coscossinsin22++=++，所以cos2cos20sin2sin21+=+=−，故()221cos21sin2=+−−，整理得到1sin22=−，而

)20,2，故726=或1126=，所以7π12=或1112=，当7π12=时，有3cos221sin22==−，而)22,4，故2326=即2312=，当1112=时，有3cos221sin22

=−=−，而)22,4，故1926=即1912=，故11121912==或7122312==．