【文档说明】四川省宜宾市第四中学2019-2020学年高二下学期期末模拟考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(22)页，1.642 MB，由小赞的店铺上传

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2020年春四川省宜宾市第四中学高二期末模拟考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2log1,AxxxR=，{|1}Bxx=，则AB=（）A.

(1−，1)B.(1，2)C.(0，)+D.(1，)+【答案】C【解析】【分析】先解得不等式2log1x，即02x，再根据并集的定义求解即可.【详解】由题22log1log2x=，02x，所以{02}

Axx=，则{0}ABxx=,故选：C.【点睛】本题考查集合间的并集运算，属于基础题目.2.复数3(1iii++为虚数单位）的虚部是（）A.2−B.2C.i−D.1−【答案】D【解析】【分析】对复数进行化简，可得虚部.【详解】对原式进行化简：3(3)(1)

21(1)(1)iiiiiii++−==−++−所以复数31ii++的虚部为-1故选D【点睛】本题考查了复数的概念，对复数进行运算化简是解题的关键，属于基础题.3.某班共有52人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样

本．已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是()A.10B.11C.12D.16【答案】D【解析】【分析】由题计算出抽样的间距为13，由此得解．【详解】由题可得，系统抽样的间距为13，则31316+=在样本中．故选D【点睛】本题

主要考查了系统抽样知识，属于基础题．4.设,ab是向量，“aab=+”是“0b=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据向量的运算性质结合充分条件和必要条件的判

定，即可得出答案.【详解】当12ab=−时，1122abbbba+=−+==，推不出0b=当0b=时，0b=，则0abaa+=+=即“aab=+”是“0b=”的必要不充分条件故选：B【点睛】本题主要考查了判断必要不充分条件，属于中档题.5.函数(

)22xxfx−=−是()A.奇函数且在R上是减函数B.奇函数且在R上是增函数C.偶函数且在()0,+上是减函数D.偶函数且在()0,+上是增函数【答案】B【解析】试题分析：因为()()22xxfxfx−−=−=−，所以函数()22xxfx−=−是奇函数.又函数()

2xgx=与函数()2xhx−=−都是R上的增函数，所以由简单复合函数的单调性可知，()()()fxgxhx=+也是R上的增函数.考点：1.偶函数；2.简单复合函数的单调性6.以下三个命题：①“2x”是“2320xx−+”的充分不必要条件；②若pq为假命题，则p，q

均为假命题；③对于命题p：xR，使得210xx++；则p是：xR，均有210xx++.其中正确的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.0个【答案】B【解析】【分析】①求出不等式2320xx−+的解集然后再判断两集合的关系，从而得出结论.②用联结的两个命题，只要有一个为假则这个复

合命题即为假.③根据特称命题的否定为全称命题判断.【详解】①不等式2320xx−+，解得2x或1x，|2xx|21xxx或所以22320xxx−+，23202xxx−+，“2x”是“2320xx−+”的充

分不必要条件.①正确；②若pq为假命题，则p，q至少有一个为假，故②错误；③命题p：xR使得210xx++的否定p为xR，均有210xx++.③正确，故选B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断，简单逻辑联结词及含有一个量词的命题的否定，属于基础题．7.执

行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是()A.(30,42B.(42,56C.(56,72D.(72,90【答案】A【解析】【分析】执行程序框图，从而执行结果找到结束循

环的条件．【详解】程序框图执行如下：S0261220304256k123456782Ssk=+，1kk=+则输出的结果是7，m的取值范围(30,42；故选A．【点睛】本题考查了学生读程序框图的能力，属于基础题．8.某几何

体的三视图如图所示，且该几何体的体积是32，则正视图中的x的值是（）A.2B.92C.32D.3【答案】C【解析】【详解】根据题中所给的几何体的三视图，可知该几何体为底面是直角梯形的，且一条侧棱与底面垂直，结合三视图

中数据，可得113(12)2322Vx=+=，即32x=，故选C．9.六位同学站成一排照毕业相，甲同学和乙同学要求相邻，并且都不和丙丁相邻，则一共有多种排法（）A.72B.144C.180D.288【答案】A【解析】先把甲乙捆绑在一起看做一个复合元素，若

这个复合元素在两端,从不包含丙丁的2人选1人,和复合元素相邻,剩余的全排即可,故有2213222348AAAA=种，若这个复合元素在不在两端，从不包含丙丁的2人选2人，分别放在这个复合元素两边，这4人捆绑在一起组成一个新的复合元素，再和丙丁全排即

可，故有22322324AAA=种，根据分类计数原理可得，共有48+24=72种，本题选择A选项.点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再

考虑其他元素(或位置)．(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法．10.已知直线:210lxya−+−=与圆()()22129xy−++=相交所得弦长为4，则a=（）A.

-9B.1C.1或-2D.1或-9【答案】D【解析】【分析】根据圆的性质，利用点到直线的距离公式和勾股定理列方程即可解得结果.【详解】由条件得圆的半径为3，圆心坐标为()1,2−，因为直线:210lxya−+−=与圆()()22

129xy−++=相交所得弦长为4，所以224|141|925a++−−=，所以2890aa+−=，解得1a=或9a=−．故选：D.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的标准方程、圆的性质，属于基础题

.11.直三棱柱111ABCABC−的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA===,120BAC=则此球的表面积等于（）A.529B.20C.8D.523【答案】B【解析】设三角形BAC外接圆半径为r，则232223sin32BCrr===球的半径等于2215,+=表

面积等于2420,R=选B.12.若对lx，()2,xm+，且2lxx，都有122121lnln1xxxxxx−−，则m的最小值是()注：(e为自然对数的底数，即2.71828)e=A.1eB.eC.1D.3e【

答案】C【解析】【分析】由题意，把问题等价于2121lnx1lnx1xx++，令()lnx1fxx+=，根据函数的单调性，即可求解m的范围．【详解】由题意，当l2xx0时，由122121xlnxxlnx1xx−

−，等价于122121xlnxxlnxxx−−，即121212xlnxxxlnxx++，故()()1221xlnx1xlnx1++，故2121lnx1lnx1xx++，令()lnx1fxx+=，则()()21fxfx，又21xxm0，故()fx在()m,+递减，又由()

21lnxfxx−=，当()f'x0，解得：x1，故()fx在()1,+递减，故m1，故选C．【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及函数恒成立及转化思想，其中解答中把问题等价于2121lnx1lnx1xx++，令()lnx1f

xx+=，根据函数()fx的单调性求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.291()xx+展开式中，常数项的值为__________.【答案】84【

解析】【分析】先写出通项，在通项公式中令x的指数为0，求出k，从而写出常数项．【详解】解：()921831991kkkkkkTCxCxx−−+==令18﹣3k＝0，k＝6，故921xx+的展开式中的常数项为T下标7＝C96＝84故答案为84【点睛】本题考查二项式定理中

通项公式的应用：求常数项，属基本题型、基本方法的考查．14.函数1()sinsin33fxaxx=+在π3x=处有极值，则a的值是__________．【答案】2【解析】∵1()sinsin33fxaxx=+，∴()co

scos3fxaxx+=，∵函数()fx在π3x=处有极值，∴π03f=，即：ππcoscos3033a+=，∴1102a−=，解得2a=．故答案为2.点睛：这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零

点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，如果求完导如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答．15.若对于任意的[1,0],x−关于x的不等式2320xaxb

++恒成立，则221ab+−的最小值为___________________【答案】45【解析】【分析】令()232=++fxxaxb，根据对于任意的[1,0],x−关于x的不等式2320xaxb++恒成立，结合

二次函数的性质，则有()231200abb−−+，画出其可行域，令22=+zab，表示原点()0,0o与点(),Pab之间距离的平方，再求其最小值即可.【详解】令()232=++fxxaxb，因为对于任意的[1,0],x−关于x的不等式2320xaxb++恒成立，所以()23

1200abb−−+，即2300abb−−，其可行域如图阴影部分，令22=+zab，则表示原点()0,0O与点(),Pab之间距离的平方，如图，当OP垂直于230−−=ab所在的直线时，距离最小，最小

值为：35d=，所以221ab+−的最小值为：2415d−=，故答案为：45【点睛】本题主要考查二元一次不等式与平面区域及其应用，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.16.如图所示,在正方体1111ABCDABCD−中,M,N分别为棱11CD,1CC

的中点,有以下四个结论:①直线AM与1CC是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与1MB是异面直线；④直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为___________(注:把你认为正确的结论序号填在横

线上).【答案】③④.【解析】【分析】根据异面直线判定定理可知①错误，③正确；根据线线平行的性质可知②错误；通过平移求解出异面直线所成角，可得④正确.【详解】①1CC平面11CDDC，M平面11CDDC，A

平面11CDDC，1MCC，可知AM与1CC为异面直线，故①错误；②1//BNAD，1ADAMA=，可知BN与AM不平行，故②错误；③BN平面11BCCB，1B平面11BCCB，M平面11BCCB，1BBN，可知BN与1MB

异面，可知③正确；④M,N分别为棱11CD,1CC的中点，可知1//MNCD，则直线MN与AC所成角即为1DCA，又1ADC为等比三角形，可得160DCA=，可知④正确.本题正确结果：③④【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系、异面直线所成角的求解问题，属于基础题.三

.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.对某班50名学生的数学成绩和对数学的兴趣进行了调

查，统计数据如下表所示：对数学感兴趣对数学不感兴趣合计数学成绩好17825数学成绩一般52025合计222850（1）试运用独立性检验的思想方法分析：学生学习数学的兴趣与数学成绩是否有关系，并说明理由．（2）从数学成绩好的同学中抽取4人继续调查，设对数学感兴趣的人数

为X，求X的分布列和数学期望．附：()2PKk0.0500.0100.001k3.8416.63510.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++．【答案】（1）有99.9%的把握认为有关系，理由详见解析；（2）分布列详见解析，数学期望为

2.72【解析】【分析】()1根据表中数据计算观测值2K，对照临界值得出结论；()2由题意知随机变量X的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列和数学期望值．【详解】（1）222()50(172085)

11.688()()()()25252228nadbckabcdacbd−−===++++．因为()20.001PKk=，所以有99.9%的把握认为有关系．（2）由题意知，X的取值为0，1，2，3，4．因为41322817

8178444252525(0),(1),(2)CCCCCPXPXPXCCC======，31417817442525(3),(4)CCCPXPXCC====．所以，分布列为X01234P48425CC13178425CCC22178425CCC3117842

5CCC417425CC所以，41322314817817817817444442525252525()01234CCCCCCCCEXCCCCC=++++132231417817817817425234178(75612070)25232

2CCCCCCCC++++++==174253682.7225231125===．【点睛】本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列应用问题，是中档题．18.已知函数()()323,fxaxbxxabR=+−,在点()()1,1f处的切线方

程为20y+=.(1)求函数()fx的解析式;(2)若方程()fxm=有三个根,求m的取值范围．【答案】（1）()33fxxx=−；（2）22m−.【解析】【分析】（1）求得()fx的导数，可得切线的斜率和切点，由已知切线方程，可得a，b的方程组，即可得到所求解析式；（2）求得

()fx的导数和单调区间、极值，由题意可得m介于两极值之间．【详解】解：（1）函数32()3fxaxbxx=+−的导数为2()323fxaxbx=+−，根据在点()()1,1f处的切线方程为20y+=，得()

12f=-，()10f=，即32ab+−=−，3230ab+−=，解得1a=，0b=，则3()3fxxx=−；（2）令2()330fxx=−=，解得1x=−或1，令()0fx，得1x或1x−；令()0fx，得11x−

；()fx的单调增区间是(,1)−−，(1,)+，单调减区间是(1,1)−，有两个极值为()12f−=，()12f=-，图象如图所示：方程()fxm=有三个根，即为()yfx=和ym=有三个交点，22m−．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值，考查方程思想

和转化思想，以及运算能力，属于中档题．19.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E为棱AB的中点.（1）证明：1//AB平面1DCE；（2）求平面11ABC与平面1CED所成二面角的正弦值.【答案】（1

）证明见解析（2）69【解析】【分析】（1）根据正方体特点可证得11//ABCD，由线面平行判定定理证得结论；（2）以D为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法求得夹角的余弦值，根据同角三

角函数关系求得所求的正弦值.【详解】（1）在正方体1111ABCDABCD−中，11//ADBC∴四边形11ABCD为平行四边形∴11//ABCD∵1CD平面1DCE，1AB平面1DCE∴1//AB平面1DCE.（2）以点D为坐标原点，1,,DADCDD方向分别为x轴、y轴、

z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz−设2AB=，则()0,0,0D，()2,0,0A，()2,2,0B，()2,1,0E，()10,2,2C，()12,0,2A，()10,0,2D，()0,2,0C.设平面11AB

C的法向量为(),,nxyz=，由1(0,2,2)AB=−，()112,2,0AC=−则111220220ABnyzACnxy=−==−+=，取1x=，1y=，1z=，则()1,1,1n=设平面1CED的法向量为(),,m

abc=ur，由1(0,2,2)DC=−，(2,1,0)EC=−则122020DCmbcECmab=−==−+=，取1a=，2b=，2c=，则()1,2,2m=可得5mn=urr，3m=，3n=，553cos,933mn==故平面11ABC与平面1

CED所成二面角的正弦值为2536199−=【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；关键是能够熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题型.20.已知抛物

线22ypx=上任一点到焦点的距离比到y轴距离大1.（1）求抛物线的方程；（2）设,AB为抛物线上两点，且AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点()4,0M，求MAB的面积的最大值.【答案】（1）24yx=；（2）8.【解析】【分析】（1）本题利用定义，确定出抛物线的准线方程，从而求解出

抛物线的方程；（2）利用设出直线方程，联立方程组，借助于韦达定理，表示出三角形MAB的面积,然后借助于参数的范围，利用导数求解函数的最值.【详解】（1）由已知易得抛物线为122pyp=−=−=，曲线C的方程为24yx=；（2）设直线AB的

方程为ykxb−+，联立抛物线24yx=，消去元得()222240kxkbxb+−+=，，，即得，，点M到直线AB的距离，则，面，令，设，则，当1t=时，()()max14ftf==，MAB面积最大值为8.【点睛】本题考查抛物线的定义，抛物线的方程，以及直线与抛物线的位罝关系及圆锥

曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法

、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.21.设Ra,函数()lnfxxax=−.(1)若3a=，求曲线()yfx=在()1,3P−处的切线方程；(2)求函数()fx单调区间(3)若()f

x有两个零点12,xx,求证:212xxe.【答案】（1）210xy++=；（2）见解析；（3）见解析【解析】【详解】分析：（1）求出()fx，由()1f的值可得切点坐标，求出()1f的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()yfx=在点()()1,1

f处的切线方程；（2）求出()'fx，分两种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令()'0fx，可得函数()fx的增区间，()'0fx，可得函数()fx的减区间；（3）原不等式212xxe等价于121212lnln2xxxxxx−−+()1212122ln

xxxxxx−+令12xtx=,则1t,于是()()121212221lnln1xxtxtxxxt−−++，()()21ln1tgttt−=−+，利用导数可证明()()10gtg=，从而可得结果.详解：在区间()0,+

上,()11axfxaxx−=−=.（1）当3a=时，()12f==−则切线方程为()()321yx−−=−−，即210xy++=（2）若0a,则()0fx,()fx是区间()0,+上的增函数,若0a,令()0fx=得:1xa=.在区间10,a上,

()0fx,函数()fx是增函数;在区间1,a+上,()0fx,函数()fx是减函数;(3)设120,xx()()120,0,fxfx==1122ln0,ln0xaxxax−=−=()1

212lnlnxxaxx+=+,()1212lnlnxxaxx−=−原不等式21212lnln2xxexx+()122axx+121212lnln2xxxxxx−−+()1212122lnxxx

xxx−+令12xtx=,则1t,于是()()121212221lnln1xxtxtxxxt−−++.（9分）设函数()()21ln1tgttt−=−+(1)t,求导得:()()()()222114011tgt

tttt−=−=++故函数()gt是()1,+上的增函数,()()10gtg=即不等式()21ln1ttt−+成立,故所证不等式212xxe成立.点睛：本题是以导数的运用为背景的函数综合题，主要考查了函数思想，化归思想，抽象概括能

力，综合分析问题和解决问题的能力，属于较难题，近来高考在逐年加大对导数问题的考查力度，不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大，本部分的要求一定有三个层次：第一层次主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义；第二层次是导数的简单应用，包括求函数的单调区

间、极值、最值等；第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式甚至数列及函数单调性有机结合，设计综合题.22.在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+

=+（t为参数），在极坐标系中，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极点，以x轴非负半轴为极轴，圆C的方程为6sin=.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点()1,2P，设圆C与直线l交于点A，B

，求PAPB+的最小值.【答案】（1）()2239xy+−=；（2）27【解析】【分析】（1）由6sin=得26sin=，利用互化公式可得直角坐标方程.（2）将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得()22c

ossin70tt+−−=，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出.【详解】（1）由6sin=得26sin=，化为直角坐标方程为226xyy+=，即()2239xy+−=.（2）将直线l的参数方程

代入圆C的直角坐标方程，得()22cossin70tt+−−=，由()22cos2sin470=−+，设12,tt是上述方程的两根，()1212cossin7tttt+=−−=−，又直线过点()1,2P，结合t的几何意义得1212PAPBtttt+=+=

−()()22121244cossin28tttt=+−=−+324sin232427=−−=，PAPB+的最小值27.【点睛】本题考查了极坐标方程与普通方程的互化、参数的几何意义以及根与系数关系，属于基础题.23.设函数()121fxxx=++−．（1）求不等式()3fx

的解集；（2）若()fx的最小值为a，且xyza++=，求()()22212xyz++++的最小值．【答案】（1）1xx−或1x（2）最小值为274．【解析】【分析】（1）讨论1x−，112x−，12x三种情况，分别计

算得到答案.（2）计算得到32xyz++=，再利用均值不等式计算得到答案.【详解】（1）()3,1,12,1,213,,2xxfxxxxx−−=−+−当1x−时，由33x−，解得1x−；当112x−时，由23x−+，解得1x=−；当12

x时，由33x，解得1x．所以所求不等式的解集为1xx−或1x．（2）根据函数图像知：当12x=时，()min32afx==，所以32xyz++=．因为()()212xyz++++()()()()()()2221221212xyzxyxzyz=++++

+++++++()()222312xyz++++，由32xyz++=，可知()()281124xyz++++=，所以()()22227124xyz++++，当且仅当32x=，12y=，12z=−时，等号成立．所以()()22212xyz++++的最小值为2

74．【点睛】本题考查了解绝对值不等式，函数最值，均值不等式，意在考查学生对于不等式，函数知识的综合应用.